1.(2024·山西太原模擬)若f(x)=x2-2sin x,則f'()=( )
A.π+2B.π-2
C.πD.
2.(2024·山東濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)=,則曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為( )
A.3x+2y-3=0B.3x-2y-3=0
C.2x-3y-2=0D.2x-3y+2=0
3.(2024·河北石家莊模擬)已知直線(xiàn)x-y+3=0是曲線(xiàn)y=x3+mx+1的一條切線(xiàn),則實(shí)數(shù)m=( )
A.2B.1C.-1D.-2
4.(2024·重慶巴蜀中學(xué)模擬)已知函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(5,f(5))處的切線(xiàn)方程是y=-x+8,則f(5)+f'(5)=( )
A.2B.3C.4D.-1
5.(多選題)(2024·浙江嘉興模擬)下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是( )
A.若f(x)=cs x,則f'(x)=-sin x
B.若f(x)=e-2x+1,則f'(x)=e-2x+1
C.若f(x)=,則f'(x)=
D.若f(x)=xln x,則f'(x)=
6.已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln x-e1-x,則曲線(xiàn)y=f(x)在(-1,f(-1))處的切線(xiàn)方程為( )
A.y-e2+1=0
B.y+1=0
C.(e2-1)x-y+e2-2=0
D.2x+y+3=0
7.(2024·廣東深圳模擬)若曲線(xiàn)f(x)=ln x+在(2,f(2))處切線(xiàn)的傾斜角為α,則tan α= .
8.(2024·云南玉溪模擬)曲線(xiàn)y=(x-4)ex過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為 .
9.(2024·黑龍江哈爾濱三中檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x2 023+x3+2 023的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),則f(2 023)+f(-2 023)+f'(2 023)-f'(-2 023)= .
10.(2024·江蘇揚(yáng)州模擬)若直線(xiàn)l是曲線(xiàn)y=ln x的切線(xiàn),也是曲線(xiàn)y=ex-2的切線(xiàn),則直線(xiàn)l的方程為 .
綜合 提升練
11.(多選題)若直線(xiàn)y=3x+m是曲線(xiàn)y=x3(x>0)與曲線(xiàn)y=-x2+nx-6(x>0)的公切線(xiàn),則( )
A.m=-2B.m=-1C.n=6D.n=7
12.(多選題)(2024·遼寧沈陽(yáng)模擬)下列四條曲線(xiàn)中,直線(xiàn)y=2x與其相切的有( )
A.y=2ex-2B.y=2sin x
C.y=3x+D.y=x3-x-2
13.(2024·湖南長(zhǎng)沙聯(lián)考)過(guò)點(diǎn)(2,0)作曲線(xiàn)f(x)=xex的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),則x1+x2=( )
A.-2B.-C.D.2
14.(2024·河南新鄉(xiāng)模擬)在曲線(xiàn)y=2x3-的所有切線(xiàn)中,與直線(xiàn)y=7x+6平行的共有( )
A.4條B.3條C.2條D.1條
15.(2024·陜西安康模擬)若點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=ln x-x2上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線(xiàn)l:x+y-4=0距離的最小值為 .
創(chuàng)新 應(yīng)用練
16.(2024·河南南陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則( )
A.f(2 023)=2B.f'(x)的一個(gè)周期是4
C.f'(x)是奇函數(shù)D.f'(1)=1
17.(2024·福建廈門(mén)模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+aln x的圖象有兩條與直線(xiàn)y=2x平行的切線(xiàn),且切點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),則的取值范圍是 .
課時(shí)規(guī)范練19 導(dǎo)數(shù)概念及其意義、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算
1.C 解析 因?yàn)閒(x)=x2-2sinx,所以f'(x)=2x-2csx,于是f'()=π,故選C.
2.B 解析 f(1)=0,切點(diǎn)為(1,0),f'(x)=,f'(1)=,所以切線(xiàn)方程為y=(x-1),即3x-2y-3=0,故選B.
3.D 解析 曲線(xiàn)y=x3+mx+1,可得y'=3x2+m,直線(xiàn)x-y+3=0是曲線(xiàn)y=x3+mx+1的一條切線(xiàn),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為a,則切點(diǎn)縱坐標(biāo)為a+3,則
解得a=-1,m=-2,故選D.
4.A 解析 由于函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)P(5,f(5))處的切線(xiàn)方程是y=-x+8,故f(5)=-5+8=3,f'(5)=-1,故f(5)+f'(5)=2,故選A.
5.BD 解析 對(duì)于A,f'(x)=(csx)'=-sinx,故A正確;對(duì)于B,f'(x)=e-2x+1·(-2x+1)'=-2e-2x+1,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,f'(x)=,故C正確;對(duì)于D,f'(x)=lnx+x=lnx+1,故D錯(cuò)誤.故選BD.
6.D 解析 因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),設(shè)x0,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)-e1+x,所以f(-1)=-1.因?yàn)楫?dāng)x0)相切于點(diǎn)(a,a3),與曲線(xiàn)y=-x2+nx-6(x>0)相切于點(diǎn)(b,3b+m),對(duì)于函數(shù)y=x3(x>0),y'=3x2,則3a2=3(a>0),解得a=1.所以13=3+m,即m=-2.對(duì)于函數(shù)y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,則-2b+n=3(b>0),又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7.
12.ABD 解析 直線(xiàn)y=2x的斜率為k=2.
A選項(xiàng)中,y'=2ex,令2ex=2,得x=0,當(dāng)x=0時(shí),y=0,因?yàn)辄c(diǎn)(0,0)在直線(xiàn)y=2x上,所以直線(xiàn)y=2x與曲線(xiàn)y=2ex-2相切;B選項(xiàng)中,y'=2csx,令2csx=2,得x=2kπ(k∈Z),當(dāng)x=2kπ時(shí),y=0,因?yàn)辄c(diǎn)(0,0)在直線(xiàn)y=2x上,所以直線(xiàn)y=2x與曲線(xiàn)y=2sinx相切;C選項(xiàng)中,y'=3-,令3-=2,得x=±1,當(dāng)x=1時(shí),y=4,當(dāng)x=-1時(shí),y=-4,因?yàn)?1,4),(-1,-4)都不在直線(xiàn)y=2x上,所以直線(xiàn)y=2x與曲線(xiàn)y=3x+不相切;D選項(xiàng)中,y'=3x2-1=2,得x=±1,當(dāng)x=1時(shí),y=-2,當(dāng)x=-1時(shí),y=-2,其中(-1,-2)在直線(xiàn)y=2x上,所以直線(xiàn)y=2x與曲線(xiàn)y=x3-x-2相切.故選ABD.
13.D 解析 由題意得f'(x)=(x+1)ex,過(guò)點(diǎn)(2,0)作曲線(xiàn)f(x)=xex的兩條切線(xiàn),設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x0),則(x0+1),即(-2x0-2)=0,由于>0,故-2x0-2=0,Δ=12>0,由題意可知x1,x2為-2x0-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解,故x1+x2=2,故選D.
14.B 解析 由y'=6x2+,令6x2+=7,得x=±1或x=±當(dāng)x=1時(shí),切點(diǎn)為(1,1),不在直線(xiàn)y=7x+6上,切線(xiàn)不與直線(xiàn)y=7x+6重合,滿(mǎn)足題意;當(dāng)x=-1時(shí),切點(diǎn)為(-1,-1),在直線(xiàn)y=7x+6上,切線(xiàn)與直線(xiàn)y=7x+6重合,舍去;當(dāng)x=時(shí),切點(diǎn)為(,-),不在直線(xiàn)y=7x+6上,切線(xiàn)不與直線(xiàn)y=7x+6重合,滿(mǎn)足題意;當(dāng)x=-時(shí),切點(diǎn)為(-),不在直線(xiàn)y=7x+6上,切線(xiàn)不與直線(xiàn)y=7x+6重合,滿(mǎn)足題意.故在曲線(xiàn)y=2x3-的所有切線(xiàn)中,與直線(xiàn)y=7x+6平行的共有3條,故選B.
15.2 解析 過(guò)點(diǎn)P作曲線(xiàn)y=lnx-x2的切線(xiàn),當(dāng)切線(xiàn)與直線(xiàn)l:x+y-4=0平行時(shí),點(diǎn)P到直線(xiàn)l:x+y-4=0距離最小.設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0)(x0>0),因?yàn)閥'=-2x,所以切線(xiàn)斜率為k=-2x0,由題知-2x0=-1,解得x0=1或x0=-(舍去),所以P(1,-1),此時(shí)點(diǎn)P到直線(xiàn)l:x+y-4=0的距離d==2
16.B 解析 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),又f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),即f(x+4)=-f(x+2)=f(x),因此f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(2023)=f(2020+3)=f(505×4+3)=f(3)=-f(1)=-2,故A錯(cuò)誤;f(x+4)=f(x),所以f'(x+4)=f'(x),所以f'(x)的一個(gè)周期是4,故B正確;因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以[f(-x)]'=[-f(x)]',所以-f'(-x)=-f'(x),所以f'(-x)=f'(x),所以f'(x)是偶函數(shù),故C錯(cuò)誤;例如f(x)=2sin(x),滿(mǎn)足f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=f(-x)且f(1)=2,所以f'(x)=πcsx,可得f'(1)=0≠1,故D錯(cuò)誤,或由f(x+2)=f(-x),得f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng),因而f(x)在x=1處有極值,所以f'(1)=0,故D錯(cuò)誤.故選B.
17.(0,) 解析 由題意可知f(x)=x2+alnx的定義域?yàn)?0,+∞),所以x1,x2∈(0,+∞),f'(x)=2x+,當(dāng)切點(diǎn)為P(x1,f(x1))時(shí),切線(xiàn)斜率為2x1+,當(dāng)切點(diǎn)為Q(x2,f(x2))時(shí),切線(xiàn)斜率為2x2+,因?yàn)閮蓷l切線(xiàn)與直線(xiàn)y=2x平行,所以2x1+=2,2x2+=2,即2-2x1+a=0,2-2x2+a=0,所以x1,x2是關(guān)于方程2x2-2x+a=0的兩個(gè)正實(shí)數(shù)根,由Δ=(-2)2-4×2a>0,得a0,可得0

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