[課程標(biāo)準(zhǔn)要求] 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,能通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3, 的導(dǎo)數(shù).3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并能利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求簡單復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù).
1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)
定義:如果當(dāng)Δx→0時(shí),平均變化率 無限趨近于一個(gè)確定的值,即 有極限,則稱y=f(x)在x=x0處可導(dǎo),并把這個(gè)確定的值叫做y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率),記作 ,即f′(x0)= = .
定義的變化形式:f′(x0)= .
2.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)從求函數(shù)y=f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)x=x0時(shí),f′(x0)是一個(gè) 的數(shù).這樣,當(dāng)x變化時(shí),y=f′(x)就是x的函數(shù),我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y′,即f′(x)=y′= .
3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的 的斜率k0,即k0= = .
(1)曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線是指P為切點(diǎn),斜率為f′(x0)的切線,具有唯一性.(2)曲線y=f(x)過點(diǎn)P(x0,y0)的切線,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),切線可能有多條.
4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
函數(shù)的解析式中含有根式的,在求導(dǎo)時(shí)要先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后求導(dǎo)數(shù).
5.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則若f′(x),g′(x)存在,則有(1)[f(x)±g(x)]′= ;(2)[f(x)g(x)]′= ;
f′(x)±g′(x)
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
6.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x= .即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.
1.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢,其正負(fù)反映了變化的方向,其大小|f′(x)|反映了變化的快慢,|f′(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.2.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).
(4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x).
1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).(1)f′(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.(　 　)(2)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.(　 　)(3)f′(x0)=[f′(x0)]′.(　 　)(4)若f(x)=-sin x,則f′(x)=cs(-x).(　 　)
解析:因?yàn)?x-2)′=-2x-3,所以A錯(cuò)誤;(xcs x)′=cs x-xsin x,所以B正確;(ln 10)′=0,所以C錯(cuò)誤;(e2x)′=2e2x,所以D錯(cuò)誤.故選B.
3.(選擇性必修第二冊P81習(xí)題5.2 T6改編)已知函數(shù)f(x)=2xf′(1)+xln x,則f′(1)等于(　 　)A.eB.1C.-1D.-e
解析:f′(x)=2f′(1)+ln x+1,當(dāng)x=1時(shí),f′(1)=2f′(1)+1,所以f′(1)=-1.故選C.
所以k=y′|x=-1=5,
從而切線方程為y+3=5(x+1),即y=5x+2.
考點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算[例1] (1)(2024·北京模擬)下列結(jié)論正確的是(　　)
B.若y=sin x2,則y′=2xcs x2C.若y=cs 5x,則y′=-sin 5x
對于B,y=sin x2,則y′=2xcs x2,故正確;對于C,y=cs 5x,則y′=-5sin 5x,故錯(cuò)誤;
(2)已知函數(shù)f(x)=ln(2x-3)+axe-x,若f′(2)=1,則a=　　　　.?
所以f′(2)=2+ae-2-2ae-2=2-ae-2=1,則a=e2.
(1)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的原則:先化簡解析式,使之變成能用求導(dǎo)公式求導(dǎo)的函數(shù)的和、差、積、商再求導(dǎo).(2)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算的方法:①連乘積形式:先展開化為多項(xiàng)式的形式,再求導(dǎo);②分式形式:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導(dǎo);
③對數(shù)形式:先化為和、差的形式,再求導(dǎo);④根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,再求導(dǎo);⑤三角形式:先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo);⑥復(fù)合函數(shù):明確復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi),層層求導(dǎo).
[針對訓(xùn)練] 函數(shù)f(x)=x(x-1)·(x-2)·…·(x-5),則f′(0)=　　　　.?
解析:因?yàn)閒′(x)=(x)′·[(x-1)(x-2)·…·(x-5)]+[(x-1)·(x-2)·…·(x-5)]′·x=(x-1)(x-2)·…·(x-5)+[(x-1)(x-2)·…·(x-5)]′·x,所以f′(0)=(0-1)×(0-2)×…×(0-5)+0=-120.
考點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用角度一　求切線方程
(2)設(shè)曲線y=x+ln x的一條切線過點(diǎn)(0,1),則此切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為(　　)
在求曲線的切線方程時(shí),注意兩個(gè)“說法”:求曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程和求曲線過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程,在點(diǎn)P處的切線,一定是以點(diǎn)P為切點(diǎn),過點(diǎn)P的切線,不論點(diǎn)P在不在曲線上,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn).(1)在點(diǎn)P處的切線方程為y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
(2)求過點(diǎn)P的切線方程的步驟為:第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P′(x1,f(x1));第二步:寫出在點(diǎn)P′(x1,f(x1))處的切線方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1);第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)代入切線方程,求出x1;第四步:將x1的值代入方程y-f(x1)=f′(x1)(x-x1)可得過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程.
角度二　求參數(shù)的值或范圍[例3] (1)已知曲線y=aex+xln x在點(diǎn)(1,ae)處的切線方程為y=2x+b,則(　　)A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1
解析:(1)因?yàn)閥′=aex+ln x+1,所以切線的斜率k=y′|x=1=ae+1,所以切線方程為y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1.又切線方程為y=2x+b,
即a=e-1,b=-1.故選D.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,則a的取值范圍是　　　 　　.?
解析:(2)因?yàn)閥=(x+a)ex,所以y′=(x+a+1)ex.
(-∞,-4)∪(0,+∞)
O為坐標(biāo)原點(diǎn),由題意,
因?yàn)榍€y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線,
所以Δ=a2+4a>0,解得a0,所以a的取值范圍是(-∞,-4)∪(0,+∞).
處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題,關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程:(1)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率;(2)切點(diǎn)在切線上;(3)切點(diǎn)在曲線上.
角度三　公切線問題[例4] 已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=x2+ax(a∈R),若經(jīng)過點(diǎn)A(0,-1)存在一條直線l與f(x)的圖象和g(x)的圖象都相切,則a等于(　　)A.0B.-1C.3D.-1或3
解析:設(shè)直線l與f(x)的圖象相切于點(diǎn)(x1,y1).因?yàn)閒(x)=xln x,所以f′(x)=ln x+1,y1=f(x1)=x1ln x1,則直線l的方程為y-x1ln x1=(ln x1+1)(x-x1),又點(diǎn)A(0,-1)在直線l上,所以-1-x1ln x1=(ln x1+1)·(0-x1),解得x1=1,所以y1=0,因此直線l的方程為y=x-1.直線l與g(x)的圖象相切,所以x2+ax-x+1=0,Δ=(a-1)2-4=0,解得a=-1或a=3.故選D.
確定兩曲線的公切線問題,切點(diǎn)是切線的核心,解決這類問題的關(guān)鍵是設(shè)出切點(diǎn)的坐標(biāo),用好相切的特征,即若兩個(gè)函數(shù)的圖象有相同的切線,則需根據(jù)函數(shù)與切線在切點(diǎn)處的函數(shù)值相等以及兩函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值也相等,構(gòu)建方程(組)加以求解.
[針對訓(xùn)練](1)(角度二)(2024·河北唐山模擬)若直線y=kx-2與曲線y=1+3ln x相切,則k等于(　　)
解析:(1)令y=f(x)=1+3ln x,所以f′(x)= ,
設(shè)切點(diǎn)為(m,1+3ln m),則切線的斜率k=f′(m)= ,即曲線在點(diǎn)(m,1+3ln m)處的切線方程為y-(1+3ln m)= (x-m),
即y= x+3ln m-2,因?yàn)橹本€y=kx-2與曲線y=1+3ln x相切,所以3ln m-2=-2,所以m=1,又 =k,所以k=3.故選A.
(2)(角度一)(2024·河北保定模擬)函數(shù)f(x)= +ln x 的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的方程為　　　　 　.?
(3)(角度三)已知直線l:y=x+b為曲線f(x)=ex的切線,若直線l與曲線g(x)= 也相切,則實(shí)數(shù)m的值為　　　　.?
解析:(3)設(shè)直線l:y=x+b與曲線f(x)=ex相切于點(diǎn)(x0, ),由f′(x0)= =1,得x0=0,所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),所以直線l的方程為y=x+1.又由直線l與曲線g(x)相切,聯(lián)立方程,消去y得 =x+1,化簡得x2-2(m-1)x+9=0,所以Δ=4(m-1)2-4×9=0,解得m=4或m=-2.
考點(diǎn)三　導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的圖象[例5] 函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,下列不等關(guān)系正確的是(　　)A.0

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