1.如果直線a?平面α,直線b?平面β,且α∥β,則a與b的位置關(guān)系為( )
A.共面B.平行
C.異面D.平行或異面
2.若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA與O'A'的方向相同,則OB與O'B'( )
A.一定平行且方向相同
B.一定平行且方向相反
C.一定不平行
D.不一定平行
3.如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,N是A1B1的中點(diǎn),過點(diǎn)B,D,N的平面α截該正方體所得截面的面積為( )
A.4B.
C.4D.2
4.(多選題)下列推理正確的有( )
A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α
B.若α,β是兩個(gè)不同的平面,A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB
C.l?α,A∈l?Aα
D.A∈l,l?α?A∈α
5.(2024·山東濟(jì)寧模擬)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O1為底面A1B1C1D1的中心,E為BC的中點(diǎn),則異面直線AO1與C1E所成角的余弦值是 .
6.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求證:
(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;
(2)EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.
綜合 提升練
7.(2024·重慶模擬)在四棱錐S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,AB=AS=2,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,E,F,G分別是SA,SB,BC的中點(diǎn),則異面直線DE與FG所成角的余弦值為( )
A.B.C.D.
8.如圖是正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,①BN與ED平行;②CN與BE是異面直線;③CN與BM成60°角;④DM與BN垂直.
以上四個(gè)命題中,正確命題的序號是 .
9.(2024·河北唐山模擬)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別為棱AB,BC的中點(diǎn),過D1,E,F作該正方體的截面,則截面形狀為 ,周長為 .
創(chuàng)新 應(yīng)用練
10.已知正三棱臺ABC-A1B1C1的上、下底面邊長分別為2和5,側(cè)棱長為3,則以下底面的一個(gè)頂點(diǎn)為球心,半徑為2的球面與此正三棱臺的表面的交線長為 .
課時(shí)規(guī)范練51 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
1.D 解析 由題意,a與b不可能相交,當(dāng)a與b共面時(shí),a∥b,當(dāng)a與b不共面時(shí),a與b為異面直線.
2.D 解析 如圖,若∠AOB=∠A'O'B',OA∥O'A',且OA與O'A'的方向相同,OB與O'B'不一定平行.
3.B 解析 連接B1D1,取A1D1的中點(diǎn)M,連接MN,DM,BN.因?yàn)镹是A1B1的中點(diǎn),所以MN∥B1D1,MN=B1D1=因?yàn)锽D∥B1D1,BD=B1D1,所以MN∥BD,MN=BD,所以過點(diǎn)B,D,N的平面α截該正方體所得截面為梯形BDMN.連接AC交BD于點(diǎn)O,連接A1C1交MN于點(diǎn)O1,連接OO1.因?yàn)锽1N=D1M=1,BB1=DD1=2,∠BB1N=∠DD1M=90°,所以BN=DM=,所以梯形BDMN為等腰梯形,所以O(shè)O1=,所以梯形BDMN的面積為(2)
4.ABD 解析 由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α根據(jù)基本事實(shí)2可得l?α,故A選項(xiàng)正確;由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β根據(jù)基本事實(shí)3可得α∩β=AB,故B選項(xiàng)正確;由l?α,A∈l可得A?α或A∈α,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;由A∈l,l?α可得A∈α,故D選項(xiàng)正確.
5. 解析 在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,分別取AD,A1D1的中點(diǎn)F,M,連接EF,D1F,AM,O1M,如圖.因?yàn)镋為BC的中點(diǎn),有EF∥CD∥C1D1,EF=CD=C1D1,則四邊形C1D1FE是平行四邊形.于是D1F∥C1E.因?yàn)锳F∥D1M,AF=D1M,所以四邊形AMD1F是平行四邊形,因此AM∥D1F∥C1E,則∠O1AM是異面直線AO1與C1E所成的角或補(bǔ)角.而O1為底面A1B1C1D1的中心,則O1M∥C1D1,又C1D1⊥平面ADD1A1,從而O1M⊥平面ADD1A1,而AM?平面ADD1A1,則O1M⊥AM,在Rt△O1MA中,O1M=1,AM=,則AO1=,于是cs∠O1AM=,所以異面直線AO1與C1E所成角的余弦值是
6.證明 (1)∵BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴GH∥BD.∵E,F分別為AB,AD的中點(diǎn),∴EF∥BD,∴EF∥GH,∴E,F,G,H四點(diǎn)共面.
(2)∵E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,∴EF∥GH,且EF≠GH.∴EG與FH必相交,設(shè)交點(diǎn)為M.∵EG?平面ABC,HF?平面ACD,∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD.∵平面ABC∩平面ACD=AC,∴M∈AC,∴EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上.
7. D 解析 如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O,連接OE.∵四邊形ABCD為菱形,AC∩BD=O,∴O為AC的中點(diǎn),且AC⊥BD.∵E為SA的中點(diǎn),∴OE∥SC,又F,G分別是SB,BC的中點(diǎn),∴FG∥SC,故FG∥OE.∴異面直線DE與FG所成的角為∠OED或其補(bǔ)角.∵SA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥SA.∵BD⊥AC,SA∩AC=A,SA,AC?平面SAC,∴BD⊥平面SAC.∵OE?平面SAC,∴OE⊥BD.∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC為等邊三角形,同理可知△ACD也為等邊三角形,∴OD=SA=2,AE=1,又SA⊥AC,∴OE=,∵SA⊥AD,∴DE=,∴cs∠OED=,∴異面直線DE與FG所成角的余弦值為
8. ③④ 解析 把平面展開圖還原成正方體,如圖,由異面直線的定義可知,BN與ED是異面直線,故①錯(cuò)誤;因?yàn)镋N∥AD,AD∥BC,EN=AD=BC,所以EN∥BC且EN=BC,則四邊形BCNE為平行四邊形,則BE∥CN,故②錯(cuò)誤;因?yàn)锽E∥CN,所以∠EBM(或其補(bǔ)角)為CN與BM所成的角,連接EM,可知△BEM為正三角形,則∠EBM=60°,故③正確;因?yàn)锽C⊥平面CMND,DM?平面CMND,所以DM⊥BC,又DM⊥NC,BC∩NC=C,BC,NC?平面BCNE,故DM⊥平面BCNE,又BN?平面BCNE,所以DM⊥BN,故④正確.
9.五邊形 2 解析 連接EF并延長交DC的延長線于點(diǎn)N,連接D1N交CC1于點(diǎn)Q,連接QF.延長FE交DA的延長線于點(diǎn)M,連接D1M交AA1于點(diǎn)P,連接EP,則五邊形D1QFEP即為平面D1EF截正方體ABCD-A1B1C1D1的截面多邊形,如圖.
由題意,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,則AE=1,∠AEM=∠BEF=45°,則△AME為等腰直角三角形,則AM=1.根據(jù)△AMP∽△A1D1P,得,則A1P=,AP=,則D1P=,EP=同理可得D1Q=,FQ=而EF=,則五邊形D1QFEP的周長為2×()+=2
10.2π 解析 由題意不妨令下底面為△ABC,則△ABC是邊長為5的等邊三角形,側(cè)面均為全等的等腰梯形,在四邊形ABB1A1中,AB=5,A1B1=2,AA1=BB1=3,在棱AB上取BF=2,連接A1F,易知△AA1F為等邊三角形,即∠A1AB=60°,則以下底面的一個(gè)頂點(diǎn)A為球心,
半徑為2的球面與此正三棱臺的表面的交線為三段圓弧,則所求交線長度為三段圓弧的長度之和,長度為2×3=2π.

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