(1)求證:當(dāng)點E在棱AB上移動時,始終有D1E⊥A1D;
(2)點E在棱AB上移動,當(dāng)平面D1EC⊥平面B1EC時,求AE的長.
2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AC∩BD=O,底面ABCD為菱形,邊長為2,PC⊥BD,PA=PC,且∠ABC=60°,異面直線PB與CD所成的角為60°.
(1)求證:PO⊥平面ABCD;
(2)若E是線段OC的中點,求點E到直線PB的距離.
3.(2024·河南濮陽模擬)在如圖所示的六面體ABC-A1D1B1C1中,平面ABC∥平面A1D1B1C1,AA1∥CC1,BC=2B1C1,AB=2A1D1.
(1)求證:AC∥平面BB1D1;
(2)若AC,BC,CC1兩兩互相垂直,AC=2,CC1=3,求點A到平面BCD1的距離.
4.(2024·云南曲靖模擬)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形,側(cè)面PAB是等邊三角形,BC=2AB,AC=AB,PB⊥AC.
(1)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
(2)設(shè)Q為側(cè)棱PD上一點,四邊形BEQF是過B,Q兩點的該幾何體的截面,且AC∥平面BEQF,是否存在點Q,使得平面BEQF⊥平面PAD?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
課時規(guī)范練56 利用空間向量證明平行、垂直與利用空間向量求距離
1. (1)證明 以D為坐標(biāo)原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則D(0,0,0),C(0,2,0),A1(1,0,1),B1(1,2,1),D1(0,0,1).
設(shè)E(1,y0,0)(0≤y0≤2),則=(1,y0,-1).因為=(-1,0,-1),所以=(1,y0,-1)·(-1,0,-1)=0,所以,即D1E⊥A1D.
(2)解 設(shè)平面D1EC的法向量為m=(x1,y1,z1),因為=(1,y0,-1),=(0,2,-1),
所以
取y1=1,則m=(2-y0,1,2).
設(shè)平面B1EC的法向量為n=(x2,y2,z2),因為=(0,2-y0,1),=(1,0,1),所以
取y2=1,則n=(2-y0,1,y0-2),
因為平面D1EC⊥平面B1EC,可得m⊥n,
即m·n=(2-y0,1,2)·(2-y0,1,y0-2)=0.所以(2-y0)2+1+2(y0-2)=0,解得y0=1,故當(dāng)平面D1EC⊥平面B1EC時,AE的長為1.
2.(1)證明 因為四邊形ABCD為菱形,所以AC⊥BD.因為PC⊥BD,PC∩AC=C,PC,AC?平面APC,所以BD⊥平面APC.因為PO?平面APC,所以BD⊥PO.因為PA=PC,O為AC的中點,所以PO⊥AC,又因為AC∩BD=O,AC,BD?平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.
(2)解 以O(shè)為坐標(biāo)原點,直線OB,OC,OP分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因為AB∥CD,所以∠PBA或其補角為異面直線PB,CD所成的角,顯然∠PBA是銳角,
所以∠PBA=60°.
在菱形ABCD中,因為AB=2,∠ABC=60°,所以O(shè)A=1,OB=
設(shè)PO=a,則PA=,PB=,在△PBA中,由余弦定理,得PA2=AB2+PB2-2AB·PB·cs∠PBA,
所以a2+1=4+a2+3-2,解得a=
所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),P(0,0,),E(0,,0),=(-,0),=(-,0,),||=,||=3,所以d=,所以點E到直線PB的距離為
3. (1)證明 取AB的中點E,BC的中點F,連接D1E,B1F,EF,在六面體ABC-A1D1B1C1中,因為平面ABC∥平面A1D1B1C1,平面ABC∩平面ABD1A1=AB,平面A1D1B1C1∩平面ABD1A1=A1D1,所以AB∥A1D1.
同理可得BC∥B1C1.
因為E,F分別是AB,BC的中點,且AB=2A1D1,BC=2B1C1,
所以A1D1∥AE,A1D1=AE,B1C1∥CF,B1C1=CF,
所以四邊形AED1A1是平行四邊形,四邊形CFB1C1是平行四邊形,
所以AA1∥ED1,CC1∥FB1,
又AA1∥CC1,所以ED1∥FB1,則E,F,B1,D1四點共面.
因為平面ABC∥平面A1D1B1C1,平面ABC∩平面EFB1D1=EF,
平面A1D1B1C1∩平面EFB1D1=B1D1,
所以EF∥B1D1.
又E,F分別是AB,BC的中點,EF∥AC,所以AC∥B1D1.
因為AC?平面BB1D1,B1D1?平面BB1D1,所以AC∥平面BB1D1.
(2)解 因為AC,BC,CC1兩兩互相垂直,所以以C為坐標(biāo)原點,CA,CB,CC1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則C(0,0,0),A(2,0,0).
設(shè)BC=t,則B(0,t,0),D1(1,,3),=(-2,t,0),=(0,t,0),=(1,,3).
設(shè)平面BCD1的一個法向量為n=(x,y,z),則
則y=0,取z=1,則x=-3,n=(-3,0,1),
所以點A到平面BCD1的距離為
4.(1)證明 在△ABC中,因為BC=2AB,AC=AB,所以AC2+AB2=BC2,
所以AC⊥AB,
又AC⊥PB,PB∩AB=B,且PB,AB?平面PAB,所以AC⊥平面PAB,
又AC?平面ABCD,
所以平面PAB⊥平面ABCD.
(2)解 假設(shè)存在點Q,使得平面BEQF⊥平面PAD.
取AB中點為H,連接PH,則PH⊥AB,
因為平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PH?平面PAB,
所以PH⊥平面ABCD.所以PH⊥AB,PH⊥AC.
如圖,以A為坐標(biāo)原點,直線AB為x軸,直線AC為y軸,以過點A且平行于直線PH的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)AB=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),D(-2,2,0),P(1,0,),從而=(-2,2,0),=(1,0,),=(-4,2,0),=(3,-2).
設(shè)n1=(x1,y1,z1)是平面PAD的法向量,則
令x1=,則y1=1,z1=-1,則n1=(,1,-1).
設(shè)=,其中0≤λ≤1.
則+=(3λ-4,2-2,).
連接EF,因為AC∥平面BEQF,AC?平面PAC,平面PAC∩平面BEQF=EF,所以AC∥EF.
取與同向的單位向量j=(0,1,0).
設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面BEQF的法向量,
則
令x2=,則z2=4-3λ,則n2=(,0,4-3λ).由平面BEQF⊥平面PAD,知n1⊥n2,由n1·n2=3λ+3λ-4=0,解得λ=
故在側(cè)棱PD上存在點Q,使得平面BEQF⊥平面PAD,

相關(guān)試卷

備戰(zhàn)2025屆新高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時規(guī)范練54幾何法求線面角二面角及距離（附解析人教A版）：

這是一份備戰(zhàn)2025屆新高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時規(guī)范練54幾何法求線面角二面角及距離（附解析人教A版），共11頁。

備戰(zhàn)2025屆新高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時規(guī)范練55空間向量及其運算（附解析人教A版）：

這是一份備戰(zhàn)2025屆新高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時規(guī)范練55空間向量及其運算（附解析人教A版），共5頁。試卷主要包含了已知A,B,C,則向量的夾角為，關(guān)于空間向量,以下說法正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

適用于新教材2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量解答題專項四第1課時利用空間向量證明平行垂直與利用空間向量求距離北師大版：

這是一份適用于新教材2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量解答題專項四第1課時利用空間向量證明平行垂直與利用空間向量求距離北師大版，共5頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練《利用空間向量求點、線、面的距離》

2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練《利用空間向量求點、線、面的距離》
23版新高考一輪分層練案(四十一)　利用空間向量求空間角、距離

23版新高考一輪分層練案(四十一)　利用空間向量求空間角、距離
2023年新教材高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高考解答題專項四第1課時利用空間向量證明平行垂直與利用空間向量求距離含解析新人教B版

2023年新教材高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高考解答題專項四第1課時利用空間向量證明平行垂直與利用空間向量求距離含解析新人教B版
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)　第七章 第6節(jié) 第1課時利用空間向量證明平行與垂直

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)　第七章 第6節(jié) 第1課時利用空間向量證明平行與垂直
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部