1.下列結(jié)論正確的是( )
A.梯形可以確定一個(gè)平面
B.若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行
C.若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面α內(nèi),則l∥α
D.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合
2.在底面半徑為1的圓柱OO1中,過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD,其中母線AB=2,E是弧BC的中點(diǎn),F是AB的中點(diǎn),則( )
A.AE=CF,AC與EF是共面直線
B.AE≠CF,AC與EF是共面直線
C.AE=CF,AC與EF是異面直線
D.AE≠CF,AC與EF是異面直線
3.已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為3,A1在底面ABC上的射影D為BC的中點(diǎn),則異面直線AB與CC1所成的角為( )
A.π6 B.π4 C.π3 D.π2
4.已知直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi).則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
5.如圖,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=AA1,則異面直線A1C與BC1所成角的余弦值為( )
A.12 B.13
C.14 D.25
6.已知a,b是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面,則下列說法中正確的序號(hào)為 .
①若a平行于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則a∥α;
②若α∥β,a?α,b?β,則a與b是異面直線;
③若α∥β,a?α,則a∥β;
④若α∩β=b,a?α,則a與β一定相交.
7.如圖,在四棱錐PABCD中,O為CD上的動(dòng)點(diǎn),VP?OAB恒為定值,且
△PDC是正三角形,則直線PD與直線AB所成角的大小是 .
8.在四面體ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,則EF的長(zhǎng)為 .
9.如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=4,∠ACB=90°,F,G分別是線段AE,BC的中點(diǎn),求AD與GF所成的角的余弦值.
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10.平面α過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點(diǎn)A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( )
A.32 B.22 C.33 D.13
11.如圖所示,四邊形ABEF和ABCD都是梯形,BC12AD,BE12FA,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn).
(1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形;
(2)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?
12.如圖所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是AB,CC1的中點(diǎn).
(1)求異面直線A1E與D1F所成角的余弦值;
(2)求三棱錐A1D1EF的體積.
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13.如圖,四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,E,F分別為AA1,CC1的中點(diǎn),M為AB上一點(diǎn).
(1)若D1E與CM相交于點(diǎn)K,求證:D1E,CM,DA三條直線相交于同一點(diǎn);
(2)若AB=2,AA1=4,∠BAD=π3,求點(diǎn)D1到平面FBD的距離.
參考答案
【A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固】
1.解析:因?yàn)樘菪蔚纳?、下兩底面平?所以梯形是平面圖形,故A正確;若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線可能相交、平行或異面,故B錯(cuò)誤;當(dāng)直線和平面相交時(shí),該直線上也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi),故C錯(cuò)誤;如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)且它們共線,那么這兩個(gè)平面可能相交,故D錯(cuò)誤.故選A.
2.解析:如圖,由已知得,AE=AB2+BE2=4+(2)2=6,CF=
BC2+BF2=4+1=5,所以AE≠CF,在△ABC中,O是BC的中點(diǎn),F是AB的中點(diǎn),所以O(shè)F∥AC,所以AC與OF是共面直線,若AC與EF是共面直線,則O,F,A,C,E在同一平面,顯然矛盾,故AC與EF是異面直線.故選D.
3.解析:連接A1D,AD,A1B(圖略),因?yàn)镃C1∥AA1,所以∠A1AB為異面直線AB與CC1所成的角.由題可知AD=4-1=3,A1D=9-3=6,A1B=
(6)2+1=7,由余弦定理,可得cs∠A1AB=9+4-72×3×2=12,所以∠A1AB=π3,所以異面直線AB與CC1所成的角為π3.故選C.
4.解析:直線a,b分別在兩個(gè)不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”?“平面α和平面β相交”,反之不成立.所以“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.故選A.
5.解析:延長(zhǎng)AC至D使得CD=AC,連接C1D,BD,則CDA1C1,所以四邊形CDC1A1是平行四邊形,所以A1C∥C1D,所以∠BC1D是異面直線A1C與BC1所成的角或其補(bǔ)角,在正三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以CC1⊥BC,同理CC1⊥CD,設(shè)AB=1,則A1C=BC1=C1D=2,∠BCD=
120°,CD=AC=CB=1,∠CBD=∠CDB=30°,所以BD=2×1×cs 30°=3,所以cs∠BC1D=BC12+C1D2-BD22BC1·C1D=2+2-32×2×2=14,所以異面直線A1C與BC1所成角的余弦值為14.
故選C.
6.解析:①忽略了a在α內(nèi)這一情況,故①錯(cuò)誤;②直線a與b沒有交點(diǎn),所以直線a與b可能異面也可能平行,故②錯(cuò)誤;③直線a與平面β沒有公共點(diǎn),所以a∥β,故③正確;④直線a與平面β可能相交也可能平行,故④錯(cuò)誤.
答案:③
7.解析:因?yàn)閂P?OAB為定值,
所以S△ABO為定值,即O到AB的距離為定值.
因?yàn)镺為CD上的動(dòng)點(diǎn),所以CD∥AB,
所以∠PDC為異面直線PD與AB所成的角.
因?yàn)椤鱌DC為正三角形,所以∠PDC=60°.
所以直線PD與直線AB所成的角為60°.
答案:60°
8.解析:如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接OE,OF,
由題意,得OE∥AC,OF∥BD,
所以O(shè)E與OF所成的銳角即為AC與BD所成的角,而AC,BD所成的角為60°,
所以∠EOF=60°或∠EOF=120°.
當(dāng)∠EOF=60°時(shí),EF=OE=OF=12.
當(dāng)∠EOF=120°時(shí),取EF的中點(diǎn)M,
則OM⊥EF,
EF=2EM=2×34=32.
答案:12或32
9.解:取DE的中點(diǎn)H,連接HF,GH.
由題設(shè),HF∥AD且HF=12AD,
所以∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補(bǔ)角).
在△GHF中,可求HF=22,GF=GH=26,
所以cs∠GFH=HF2+GF2-GH22·HF·GF=(22)2+(26)2-(26)22×22×26=36.
所以AD與GF所成的角的余弦值為36.
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10.解析:如圖所示,過點(diǎn)A補(bǔ)作一個(gè)與正方體ABCDA1B1C1D1相同棱長(zhǎng)的正方體,易知平面α為平面AF1E,則m,n所成的角為∠EAF1.因?yàn)椤鰽F1E為正三角形,
所以sin∠EAF1=sin 60°=32.故選A.
11.(1)證明:由已知FG=GA,FH=HD,可得GH12AD.又BC12AD,所以GHBC,所以四邊形BCHG為平行四邊形.
(2)解:因?yàn)锽E12FA,G為FA的中點(diǎn),
所以BEFG,
所以四邊形BEFG為平行四邊形,所以EF∥BG.
由(1)知BGCH,
所以EF∥CH,
所以EF與CH共面.
又D∈FH,所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.
12.解:(1)如圖,設(shè)BB1的中點(diǎn)為H,連接HF,EH,A1H,
因?yàn)镕是CC1的中點(diǎn),
所以A1D1∥CB∥HF,
A1D1=CB=HF,
因此四邊形A1D1FH是平行四邊形,
所以D1F∥A1H,D1F=A1H,
因此∠EA1H是異面直線A1E與D1F所成的角或其補(bǔ)角,
又正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E是AB的中點(diǎn),所以A1E=A1H=
22+12=5,EH=12+12=2,由余弦定理可知,cs∠EA1H=
A1E2+A1H2-EH22A1E·A1H=5+5-22×5×5=45,所以異面直線A1E與D1F所成角的余弦值為45.
(2)因?yàn)锳1D1∥HF,HF?平面A1D1E,A1D1?平面A1D1E,
所以HF∥平面A1D1E,
因此點(diǎn)H,F到平面A1D1E的距離相等,
所以VA1?D1EF=VF?A1D1E=VH?A1D1E
=VD1?A1EH=13D1A1·S△A1EH
=13×2×(22-12×2×1×2-12×1×1)
=1,
所以三棱錐A1-D1EF的體積為1.
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13.(1)證明:因?yàn)镈1E與CM相交于點(diǎn)K,
所以K∈D1E,K∈CM,而D1E?平面ADD1A1,CM?平面ABCD,
且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,
所以K∈AD,
所以D1E,CM,DA三條直線相交于同一點(diǎn)K.
(2)解:因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,AB=2,
所以BC=CD=2,而四棱柱的側(cè)棱AA1⊥底面ABCD,
所以CC1⊥底面ABCD,
又F是CC1的中點(diǎn),CC1=4,所以CF=2,
所以BF=DF=22,
又四邊形ABCD為菱形,∠BAD=π3,
所以BD=AB=2,
所以S△FBD=12×2×(22)2-12=7.
設(shè)點(diǎn)D1到平面FBD的距離為h,點(diǎn)B到平面DD1F的距離為d,
則d=2sinπ3=3,
又VD1?FBD=VB?DD1F,
所以13S△FBD·h=13S△DD1F·d,
所以13×7·h=13×12×4×2×3,
解得h=4217,
即點(diǎn)D1到平面FBD的距離為4217.

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