1.(2024·陜西綏德中學(xué)?？?已知直線l和平面α所成的角為,則直線l和平面α內(nèi)任意直線所成的角的取值范圍為( )
A.[0,]B.[]
C.(0,)D.[]
2.如圖,三棱臺(tái)ABC-A1B1C1的下底面是正三角形,AB⊥BB1,B1C1⊥BB1,則二面角A-BB1-C的大小是( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
3.(2024·湖南長(zhǎng)沙模擬)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E在線段BB1上運(yùn)動(dòng),則下列直線與平面AD1E的夾角為定值的是( )
A.B1CB.BC1C.A1CD.AC1
4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,AB=AP=2,點(diǎn)E,F分別是PC,PD的中點(diǎn),則點(diǎn)C到平面AEF的距離為( )
A.B.C.D.2
5.(2023·全國(guó)乙,理9)已知△ABC為等腰直角三角形,AB為斜邊,△ABD為等邊三角形,若二面角C-AB-D為150°,則直線CD與平面ABC所成角的正切值為( )
A.B.C.D.
6.(2024·河南名校聯(lián)考)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠ABC=∠ACD=60°,AB=BC=2,CD=1,且二面角P-BC-A為60°,則四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為( )
A.3+5B.10
C.3+D.11
7.(2022·浙江,8)如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1,AC=AA1,E,F分別是棱BC,A1C1上的點(diǎn).記EF與AA1所成的角為α,EF與平面ABC所成的角為β,二面角F-BC-A的平面角為γ,則( )
A.α≤β≤γB.β≤α≤γ
C.β≤γ≤αD.α≤γ≤β
8.(多選題)(2022·新高考Ⅰ,9)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則( )
A.直線BC1與DA1所成的角為90°
B.直線BC1與CA1所成的角為90°
C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°
D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°
9.如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,PA=3,PB=PC=BC=6,則二面角P-BC-A的正弦值為 .
10.如圖,AB是圓柱OO1的一條母線,BC是底面圓的一條直徑,D是圓O上一點(diǎn),且AB=BC=5,CD=3.
(1)求直線AC與平面ABD所成角的正弦值;
(2)求點(diǎn)B到平面ACD的距離.
綜 合 提升練
11.(2024·海南海口模擬)如圖,點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線AP與平面ABCD所成的角為45°,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為( )
A.π+4B.4π
C.2D.3+π
12.(2024·廣東珠海模擬)如圖所示,PA垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面,C為圓上異于A,B的任意一點(diǎn).若AB=2,PA=,記直線PB與平面PAC所成的角為α,∠ABC=β,則sin αsin β的最大值為( )
A.B.C.D.
13.如圖,△ACD和△BCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,平面ACD⊥平面BCD,BE⊥平面BCD.
(1)證明:BE∥平面ACD;
(2)若點(diǎn)E到平面ABC的距離為,求平面ECD與平面BCD夾角的正切值.
創(chuàng) 新 應(yīng)用練
14.(2024·江蘇淮安模擬)刻漏是中國(guó)古代用來計(jì)時(shí)的儀器,利用附有刻度的浮箭隨著受水壺的水面上升來指示時(shí)間.為了使受水壺得到均勻水流,古代的科學(xué)家們發(fā)明了一種三級(jí)漏壺,壺形都為正四棱臺(tái).自上而下,三個(gè)漏壺的上口寬依次遞減1寸(約3.3厘米),下底寬和深度也依次遞減1寸.自上而下設(shè)三個(gè)漏壺的側(cè)面與底面所成銳二面角依次為θ1,θ2,θ3,則( )
A.θ1+θ3=2θ2
B.sin θ1+sin θ3=2sin θ2
C.cs θ1+cs θ3=2cs θ2
D.tan θ1+tan θ3=2tan θ2
課時(shí)規(guī)范練54 幾何法求線面角、二面角及距離
1.D 解析 根據(jù)線面角的定義,線面角是平面外的直線與平面內(nèi)所有直線所成的角中最小的角,故直線l與α內(nèi)直線所成角的最小值為,當(dāng)直線l在α內(nèi)的射影與平面α內(nèi)的一條直線垂直時(shí),l與這條直線所成的角為,故直線l與α內(nèi)直線所成角的范圍為[].
2.C 解析 在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中,因?yàn)锽1C1∥BC,且B1C1⊥BB1,所以BC⊥BB1.又AB⊥BB1,且AB∩BC=B,AB,BC?平面ABC,所以B1B⊥平面ABC,所以∠ABC為二面角A-BB1-C的平面角.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,所以∠ABC=60°.
3. B 解析 連接BC1.因?yàn)锽C1∥AD1,且AD1?平面AD1E,BC1?平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E,所以BC1與平面AD1E的夾角始終為0°.而直線B1C,A1C,AC1與平面AD1E的夾角均會(huì)因?yàn)辄c(diǎn)E的位置的不同而不同.
4.B 解析 在四棱錐P-ABCD中,因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形,PA⊥平面ABCD,所以CD⊥AD,CD⊥PA,又AD∩PA=A,AD,PA?平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又PD?平面PAD,所以CD⊥PD.因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別是PC,PD的中點(diǎn),所以CD∥EF,所以PD⊥EF,又PA=AD,則AF⊥PD,且EF∩AF=F,AF,EF?平面AEF,所以PD⊥平面AEF,所以線段PF為點(diǎn)P到平面AEF的距離,又E是PC的中點(diǎn),所以點(diǎn)C與點(diǎn)P到平面AEF的距離相等,又PF=,所以點(diǎn)C到平面AEF的距離為
5. C 解析 (方法一)如圖,取AB中點(diǎn)O,連接OC,OD,則由題可知∠DOC為二面角C-AB-D的平面角,∴∠DOC=150°.設(shè)CA=CB=a,則OC=AB=a.
∵△ABD是等邊三角形,∴OD⊥AB,且OD=AB=a.在△DOC中由余弦定理得,CD2=OC2+OD2-2OC·ODcs∠DOC=a2,∴CD=a.過D作DH⊥平面ABC,垂足為H,易知點(diǎn)H在直線OC上,則∠DCH為直線CD與平面ABC所成的角,且∠DOH=30°,故DH=OD=a,∴sin∠DCH=,則cs∠DCH=,∴tan∠DCH=故選C.
(方法二)取AB中點(diǎn)O,連接OC,OD.以O(shè)為原點(diǎn),OA,OC所在直線分別為x軸、y軸,過O點(diǎn)作平面ABC的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).設(shè)AB=2,則由題可得A(1,0,0),C(0,1,0),D(0,-),則=(0,-),由題可知平面ABC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1).設(shè)CD與平面ABC所成角為θ,則sinθ=|cs|=,∴csθ=,∴tanθ=
6. C 解析 因?yàn)锳B=BC,∠ABC=60°,所以△ABC為正三角形.取BC的中點(diǎn)E,連接PE,AE,則AE⊥BC.因?yàn)镻A⊥底面ABCD,BC?平面ABCD,所以PA⊥BC,又PA∩AE=A,PA,AE?平面PAE,所以BC⊥平面PAE,則BC⊥PE,則∠PEA為二面角P-BC-A的平面角,所以∠PEA=60°,所以PA=AEtan60°=3,PE==2因?yàn)椤螦CD=60°,AC=2,CD=1,所以由余弦定理得AD=
,則AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD.因?yàn)镻A⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD,又PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以CD⊥平面PAD.因?yàn)镻D?平面PAD,所以CD⊥PD.PD==2故S△PAB=PA·AB=3×2=3,S△PAD=PA·AD=3,S△PCD=PD·CD=21=,S△PBC=BC·PE=2×2=2,所以四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為3++2=3+
7. A 解析 作FG⊥AC交AC于G,連接EG.因?yàn)镕G⊥平面ABC,所以α=∠EFG,β=∠FEG,tanα=,tanβ=,易知AC≥EG,故β≥α.作FH∥B1C1交A1B1于點(diǎn)H,連接BH,CF,作FM⊥BC交BC于點(diǎn)M,連接GM,得γ=∠FMG,則tanγ=,由EG≥MG,得β≤γ.綜上可知α≤β≤γ,
故選A.
8. ABD 解析 連接AD1,∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,BC1∥AD1,A1D⊥AD1,∴直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確;連接B1C,∵A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1,∴A1B1⊥BC1,又BC1⊥B1C,A1B1∩B1C=B1,A1B1?平面A1B1C,B1C?平面A1B1C,∴BC1⊥平面A1B1C,又CA1?平面A1B1C,∴BC1⊥CA1,即直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確;連接A1C1,交B1D1于點(diǎn)O,連接BO.易證C1A1⊥平面BB1D1D.∴∠C1BO為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則OC1=a,BC1=a,∴sin∠C1BO=,∴∠C1BO=30°,故C錯(cuò)誤;∵C1C⊥平面ABCD,∴∠C1BC為直線BC1與平面ABCD所成的角.
又∠C1BC=45°,∴直線BC1與平面ABCD所成的角為45°,故D正確.
故選ABD.
9 解析 取BC的中點(diǎn)D,連接PD,AD.因?yàn)镻B=PC,所以PD⊥BC.因?yàn)镻A⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.因?yàn)镻D?平面PAD,PA?平面PAD,PA∩PD=P,所以BC⊥平面PAD.因?yàn)锳D?平面PAD,所以BC⊥AD.所以∠PDA為二面角P-BC-A的平面角.因?yàn)镻B=PC=BC=6,所以PD=6=3,sin∠PDA=,即二面角P-BC-A的正弦值是
10.解 (1)∵AB⊥平面BCD,BC,CD?平面BCD,∴AB⊥CD,AB⊥BC.
∵BC是圓O的直徑,∴BD⊥CD,
又AB∩BD=B,AB,BD?平面ABD,
∴CD⊥平面ABD,∴∠CAD即為直線AC與平面ABD所成角.
∵AB=BC=5,AB⊥BC,∴AC=5,
又CD=3,∴sin∠CAD=,
即直線AC與平面ABD所成角的正弦值為
(2)過點(diǎn)B作BM⊥AD,垂足為M.
由(1)知CD⊥平面ABD,CD?平面ACD,
∴平面ABD⊥平面ACD,
又平面ABD∩平面ACD=AD,BM?平面ABD,BM⊥AD,
∴BM⊥平面ACD.
∵BD==4,
∴AD=
AD·BM=AB·BD,
∴BM=,
即點(diǎn)B到平面ACD的距離是
11. A 解析 若點(diǎn)P在正方形A1B1C1D1內(nèi),過點(diǎn)P作PP'⊥平面ABCD于點(diǎn)P',連接AP',A1P.則∠PAP'為直線AP與平面ABCD所成的角,則∠PAP'=45°.又PP'=2,則PA=2,則PA1=2,則點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)A1為圓心,2為半徑的圓落在正方形A1B1C1D1內(nèi)的部分,包括點(diǎn)B1,D1.若點(diǎn)P在正方形A1B1BA內(nèi)或A1D1DA內(nèi),軌跡分別為線段AB1,AD1,不包括點(diǎn)A.因?yàn)辄c(diǎn)P不可能落在其他三個(gè)正方形內(nèi),所以點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2+2+2=π+4
12.D 解析 因?yàn)辄c(diǎn)C為以AB為直徑的圓O上異于A,B的任意一點(diǎn),所以∠ACB=,即AC⊥BC.因?yàn)镻A垂直于以AB為直徑的圓O所在的平面,即PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC.又AC∩PA=A,且PA,AC在平面PAC內(nèi),所以BC⊥平面PAC.所以直線PB與平面PAC所成的角為∠BPC,即∠BPC=α.設(shè)AC=x,0

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