1.車上有6名乘客,沿途有3個車站,每名乘客可任選1個車站下車,則乘客不同的下車方法數(shù)為( )
A.63B.36
C.120D.20
2.(2024·湖南長郡中學(xué)月考)如圖,用4種不同的顏色,對四邊形中的四個區(qū)域進行著色,要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色,則不同著色方法的種數(shù)為( )
A.72B.56C.48D.36
3.已知兩條異面直線a,b上分別有4個點和7個點,則這11個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為( )
A.4B.7C.11D.126
4.(2023·全國甲,理9)現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有( )
A.120種B.60種C.30種D.20種
5.(多選題)下列說法正確的是( )
A.4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠三個項目,每人報一項,共有81種報名方法
B.4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠三個項目,每項限報一人,且每人至多報一項,共有24種報名方法
C.4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍,共有64種可能的結(jié)果
D.從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為12
6.(2023·新高考Ⅰ,13)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有 種(用數(shù)字作答).
7.由0,1,2,3,4,5這6個數(shù)字可以組成 個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).
綜合 提升練
8.(2024·黑龍江哈師大附中模擬)記a,b,c,d為1,2,3,4的任意一個排列,則使得(a+b)(c+d)為奇數(shù)的排列個數(shù)為( )
A.8B.12
C.16D.18
9.(2024·遼寧教研聯(lián)盟模擬)中國空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.假設(shè)中國空間站要安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名航天員開展實驗,其中天和核心艙安排4人,問天實驗艙與夢天實驗艙各安排1人.若甲、乙兩人不能同時在一個艙內(nèi)做實驗,則不同的安排方案共有( )
A.14種B.16種C.18種D.20種
10.(多選題)如圖,線路從A到B之間有五個連接點,若連接點斷開,可能導(dǎo)致線路不通,現(xiàn)發(fā)現(xiàn)AB之間線路不通,則下列對于斷開情況判斷正確的是( )
A.至多三個斷點的有19種
B.至多三個斷點的有22種
C.共有25種
D.共有28種
11.(2024·重慶模擬)某城市休閑公園管理人員擬對一塊圓環(huán)區(qū)域進行改造,封閉式種植鮮花,該圓環(huán)區(qū)域被等分為5個部分,每個部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進行栽種.要求相鄰區(qū)域不能用同種顏色的鮮花,總的栽種方案有 種.
創(chuàng)新 應(yīng)用練
12.通常,我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成:第一部分為漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機關(guān)代號,第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號,如圖所示.其中序號的編碼規(guī)則為:
①由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除I,O之外的24個英文字母組成;
②最多只能有2個英文字母.
則采用5位序號編碼的魯V牌照最多能發(fā)放的汽車號牌數(shù)為 萬張.(用數(shù)字作答)
課時規(guī)范練75 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理
1.B 解析 每名乘客都有3種選法,故總的方法數(shù)為36.
2.C 解析將四個區(qū)域標記為A,B,C,D,如圖所示.
第一步涂A:有4種涂法,第二步涂B:有3種涂法,第三步涂C:有2種涂法,第四步涂D:有2種涂法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知,一共有4×3×2×2=48種著色方法.
3.C 解析 分兩類情況討論:
第1類,直線a分別與直線b上的7個點可以確定7個不同的平面;
第2類,直線b分別與直線a上的4個點可以確定4個不同的平面.
根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,共可以確定7+4=11個不同的平面.
4.B 解析 方法一:先在5名志愿者中安排1名在這兩天都參加公益活動,有5種安排方法.再在星期六、星期日,每天從剩下的4名志愿者中安排1名不同的志愿者參加公益活動,有4×3=12種安排方法.由乘法原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有5×12=60種.
方法二:在5名志愿者中安排2名在星期六參加公益活動,有=10種安排方法.再從星期六參加公益活動的2名志愿者中安排1名及從剩下的3名志愿者中安排1名在星期日參加公益活動,有2×3=6種.由乘法原理得恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有10×6=60種.
方法三:從5名志愿者中,在星期六、星期日兩天各安排2名參加公益活動,有=100種安排方法,星期六、星期日兩天的志愿者全不相同的安排方法有=30種,全相同的安排方法有=10種,所以恰有1人在這兩天都參加的不同的安排方法共有100-30-10=60種.
故選B.
5.ABC 解析 對于A項,每位同學(xué)均有3種選擇,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知,共有34=81種報名方法,故A項正確.
對于B項,第一步,從4位同學(xué)中選出3人,有=4種方法;
第二步,選出的3名同學(xué),選擇不同的項目,有=6種方法.
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知,共有4×6=24種報名方法,故B項正確.
對于C項,每項運動的冠軍都有4種可能,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知,共有43=64種可能的結(jié)果,故C項正確.
對于D項,若選擇0,則0只能排在第二位,其他兩位從3個奇數(shù)中選擇2個排好,所以有=6個;
若選擇2,則2可以排在前兩位,有2種可能,其他兩位從3個奇數(shù)中選擇2個排好,所以有2=12個.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,共有6+12=18個,故D項錯誤.
故選ABC.
6.64 解析 方法一(直接法): 若選2門課,只需體育類和藝術(shù)類各選1門,有=16(種)不同的選課方案;
若選3門課,分兩類.體育類選1門、藝術(shù)類選2門,體育類選2門、藝術(shù)類選1門,有=48(種)不同的選課方案.綜上,共有16+48=64(種)不同的選課方案.
方法二(間接法): 由題意可知,從8門課中選擇2門或者3門共有=84(種)不同的選課方案,只選擇體育類或藝術(shù)類的有2()=20(種),則符合題意的共有84-20=64(種)不同的選課方案.
7.52 解析 根據(jù)題意,對該沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)進行分類討論,
第一類:0在個位數(shù)時,先填百位,有5種方法,再填十位,有4種方法,故能組成5×4=20個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù);
第二類,0不在個位數(shù)時,先填個位,只有2,4兩種方法,再填百位,0不能在此位,故有4種方法,最后填十位,有4種方法,故能組成2×4×4=32個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).
根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,一共可以組成32+20=52個沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù).
8.C 解析 由已知得,前兩位a和b一奇一偶,有=8種排法,后兩位c和d一奇一偶,有=2種排法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,使得(a+b)(c+d)為奇數(shù)的排列個數(shù)為8×2=16種.
9.C 解析 按照甲是否在天和核心艙分類.①若甲在天和核心艙,天和核心艙需要從除了甲、乙之外的4人中選取3人,剩下兩人去剩下兩個艙位,則有=4×2=8種可能;
②若甲不在天和核心艙,需要從問天實驗艙和夢天實驗艙中挑選一個,剩下5人中選取4人進入天和核心艙即可,則有=2×5=10種可能.
根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有8+10=18種可能.
10.AC 解析 若有1個斷點,則1,5中斷開1個,有2種情況;
若有2個斷點,則1,5都斷開有1種;1,5中斷開1個,2,3,4中斷開1個有2×3=6種,共1+6=7種情況;
若有3個斷點,則2,3,4斷開有1種;1,5都斷開,2,3,4斷開1個有3種;1,5斷開1個,2,3,4斷開2個有2×3=6種,共1+3+6=10種;
若有4個斷點,則1,5都斷開,2,3,4中斷開2個有3種;1,5中斷開1個,2,3,4都斷開有2種,共有3+2=5種;
若有5個斷點,有1種情況.
綜上,至多三個斷點的情況有2+7+10=19種,故A正確,B錯誤;所有情況共有2+7+10+5+1=25種,故C正確,D錯誤.
故選AC.
11.30 解析 1,2的栽種方案有=6種,已用兩種顏色,第三種顏色可能在3,4,5,可得:
(1)若第三種顏色在3或5,有如下兩種可能:
①3,5的顏色相同,則4的顏色有兩種可能,栽種方案有=2種;
②3,5的顏色不相同,則4的顏色必和1或2的顏色相同,栽種方案有=2種;
栽種方案共有2+2=4種.
(2)若第三種顏色在4,則3的顏色必和1的顏色相同,5的顏色必和2的顏色相同,栽種方案共有1種.
綜上,總的栽種方案有6×(4+1)=30種.
12.706 解析 當(dāng)號牌中有兩個英文字母時,且兩個英文字母相同,則有103=24×104張,兩個英文字母不相同,則有103=552×104張;
當(dāng)號牌中有一個英文字母時,有104=120×104張;
當(dāng)號牌中沒有英文字母時,有105張;
所以滿足條件的號牌共有(552+24+120+10)×104張,即有706萬張.

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