2025年新高考數(shù)學(xué)精析考點(diǎn)考點(diǎn)53直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練)(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【考試提醒】
1.了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.
2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.
3.能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問題
【知識點(diǎn)】
1．直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交?Δ>0；直線與圓錐曲線相切?Δ＝0；直線與圓錐曲線相離?Δb>0)，
則k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
則k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq \f(p,y0).
【例題3】（2024·甘肅張掖·三模）已知傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線的斜率為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)求出的關(guān)系式，把，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法化簡即可求解．
【詳解】設(shè)，，，
則，，，
所以，所以，
將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程可得：，
兩式作差可得：，
所以，則，
故選：D
【變式1】（2023·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)、，由，利用點(diǎn)差法求解.
【詳解】解：設(shè)、，
若軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，
因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
則，兩式相減得，
則，
因?yàn)椋?，?br>所以，，解得，
因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
【變式2】（2023·貴州遵義·三模）已知拋物線上兩點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則直線AB的斜率為 .
【答案】2
【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求得直線AB的斜率，并驗(yàn)證判別式大于零.
【詳解】設(shè)，代入拋物線，得，
則①，
因?yàn)閮牲c(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)對稱，則，
所以由①得，
直線AB的斜率為2.
則直線AB：與代入拋物線聯(lián)立，得，，解得.
所以直線AB的斜率為2.
故答案為：2.
【變式3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求出的值，然后由橢圓的離心率計(jì)算，再由平方關(guān)系得到，可寫出橢圓的方程；
（2）設(shè)的坐標(biāo)，點(diǎn)差法計(jì)算出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再根據(jù)中點(diǎn)所在直線可求出點(diǎn)的坐標(biāo).
【詳解】（1）依題意得：
，即，解得
，解得
橢圓的方程為
（2）如圖所示：

設(shè)，中點(diǎn)為，
所以
則
又兩點(diǎn)在橢圓上，可得，
兩式相減可得，整理得
，①.
過點(diǎn)斜率為的直線為.
因?yàn)樵谥本€上，故，②
聯(lián)立①②，解得
所以中點(diǎn)坐標(biāo)為.
【基礎(chǔ)保分練】
一、單選題
1．（2024·湖南長沙·三模）已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為的漸近線上一點(diǎn).若的面積為，則的離心率為（）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】利用向量的線性運(yùn)算再來求數(shù)量積，可得，再利用底邊為的焦半徑三角面積，可求出高為，從而可得一條漸近線的斜率，則即可解得離心率.
【詳解】
不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
由，得.
由的面積為，結(jié)合三角形面積公式得：點(diǎn)到軸的距離為，
所以的一條漸近線的傾斜角為，其斜率為，
因此的離心率.
故選：B.
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知直線與橢圓C：交于M，N兩點(diǎn)，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，若，則a的值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直線斜率可得，結(jié)合條件可得，利用直角三角形知識可得答案.
【詳解】易知，直線的斜率為且經(jīng)過點(diǎn)，
所以直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點(diǎn)，則．
因?yàn)?，?
所以，因?yàn)?，所以?br>因此，解得．
故選：B
3．（2024·山西臨汾·三模）已知橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且與直線相切，則橢圓的離心率為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由橢圓得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓與直線相切聯(lián)立方程組，得出，根據(jù)離心率公式計(jì)算即可．
【詳解】由橢圓得，焦點(diǎn)，
因?yàn)闄E圓與有相同的焦點(diǎn)，所以橢圓的焦點(diǎn)，則，
又因?yàn)榕c直線相切，則橢圓與直線只有1個(gè)交點(diǎn)，
聯(lián)立方程組得，，
則，化簡得，，解得或（不合題意舍），
則，又，所以，
故選：A．
4．（2024·云南大理·模擬預(yù)測）已知拋物線：上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線：對稱，若，則（）
A．5B．C．4D．
【答案】B
【分析】設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，結(jié)合題目條件可計(jì)算出直線方程，再借助線段的中點(diǎn)在上計(jì)算即可得.
【詳解】設(shè)直線為，代入拋物線得，
則，，∴，
直線為，線段的中點(diǎn)記為，
則，.
又中點(diǎn)在上，∴.

故選：B.
二、多選題
5．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測）已知A，B為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，分別為雙曲線C的左，右焦點(diǎn)．下列命題中正確的是（）
A．若R為雙曲線C上一點(diǎn)，且，則
B．到雙曲線C的漸近線的距離為
C．若P為雙曲線C上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則直線的斜率之積為2
D．雙曲線C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱
【答案】BC
【分析】根據(jù)雙曲線的定義、漸近線、斜率、對稱等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對于雙曲線，，
A選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義，由，
解得或，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.
B選項(xiàng)，雙曲線的一條漸近線方程為，即，
到直線的距離為，所以B選項(xiàng)正確.
C選項(xiàng)，設(shè)，則，
，所以，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)，設(shè)不同兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，
則，
則，兩式相減并化簡得，
則，即，此時(shí)直線，
代入雙曲線方程得，，
這與是雙曲線上不同的兩點(diǎn)矛盾，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解雙曲線定義有關(guān)問題，一定要注意雙曲線定義中的“絕對值”.在雙曲線中，有關(guān)弦和中點(diǎn)的問題，可以考慮利用“點(diǎn)差法”來解決.
6．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線的斜率為，且與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（點(diǎn)在軸的上方），下列說法正確的是（）
A．若，則B．若，則
C．點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積與有關(guān)D．若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則
【答案】ABD
【分析】設(shè)，根據(jù)弦長公式即可判斷A；過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義求出，進(jìn)而可求出，即可判斷B；設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理即可判斷C；由，得，根據(jù)點(diǎn)在軸的上方，得，再結(jié)合拋物線的定義即可判斷D.
【詳解】設(shè)，
對于A，若，則直線，
聯(lián)立，得，則，
所以，故A正確；
對于B，過點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，
不妨設(shè)，則，
則，故B正確；
對于C，易得直線的斜率不為零，設(shè)，
聯(lián)立，得，則為定值，
所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積與無關(guān)，故C錯(cuò)誤；
對于D，由，得，
即，即，
由，
得，，
因?yàn)辄c(diǎn)在軸的上方，所以，
則，所以，
所以，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
7．（2024·浙江紹興·模擬預(yù)測）雙曲線，過點(diǎn)作直線，與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)M，則的斜率為 .
【答案】或
【分析】根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系可知當(dāng)直線與雙曲線漸近線平行及相切時(shí)，直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，從而可得答案.
【詳解】雙曲線漸近線斜率為，
當(dāng)直線l與雙曲線漸近線平行時(shí)，直線l和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)直線與雙曲線漸近線不平行時(shí)，令直線，
聯(lián)立雙曲線可得，則，
此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則，可得；
綜上，的斜率為或.
故答案為：或.
8．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知橢圓與直線交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓的方程為 .
【答案】
【分析】代入直線，求得直線斜率，然后利用點(diǎn)差法化簡計(jì)算即可得出結(jié)果．
【詳解】代入直線，可得：，，
所以直線方程為：.
設(shè)，代入橢圓方程得，
兩式相減得：，
即,又，
所以，
又因?yàn)橹本€的斜率為，所以，解得：.
所以橢圓的方程為.
故答案為：.
9．（2024·湖南長沙·三模）已知橢圓的離心率為，過的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn).若，則的焦距為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，得到橢圓的方程為，由的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合弦長公式，列出方程求得的值，即可求解.
【詳解】由橢圓的離心率為，可得，則，
所以橢圓的方程為，即，
由直線過橢圓的右焦點(diǎn)且斜率為，可得的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
則，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
所以，
解得，所以橢圓的焦距為.
故答案為：.
四、解答題
10．（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知雙曲線的虛軸長為，離心率為，分別為的左、右頂點(diǎn)，直線交的左、右兩支分別于，兩點(diǎn)．
(1)求的方程；
(2)記斜率分別為，若，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可求得C的方程.
（2）設(shè)，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式及建立方程即可求出值.
【詳解】（1）依題意，，由雙曲線的離心率為，
得，即，
解得，
所以雙曲線的方程為.
（2）由（1）知，，設(shè)點(diǎn)，，
由消去得，
由已知，，
且，所以，
所以，，
而，
由，得，
即，
整理得，
即，則，
即，于是，
要恒成立，則，解得，滿足，
所以.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線結(jié)合問題，通常要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，再根據(jù)題目條件列出方程，或得到弦長或面積，本題中已經(jīng)給出等量關(guān)系，只需代入化簡整理即可.
11．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:，圓，其中.圓與雙曲線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.
(1)記直線的斜率為，直線的斜率為，求.
(2)當(dāng)直線的斜率為3時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）涉及到中點(diǎn)弦，我們可以采用點(diǎn)差法得到，而由可得，兩式相比即可得解；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理可表示的坐標(biāo)為，由得斜率，由此可列方程求出參數(shù)，進(jìn)而得解.
【詳解】（1）
因?yàn)椋?
又設(shè)，因?yàn)椋?br>所以.
而圓心不在坐標(biāo)軸上，從而，
所以.
所以，
又，所以.
（2）設(shè)直線，與聯(lián)立，化簡并整理得：，
其中.
設(shè)，
所以，
即點(diǎn)坐標(biāo)為.
因?yàn)椋?，而?br>即，解得.
因此，所以.
【綜合提升練】
一、單選題
1．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知點(diǎn)，是橢圓上不關(guān)于長軸對稱的兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)（），線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得，
再由題意可得，則得，化簡得，再由的范圍可求得結(jié)果.
【詳解】設(shè)（），線段的中點(diǎn)為，
則，兩式相減得，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)?，，所以?br>所以，
所以，所以，
因?yàn)椋?br>所以，所以，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)是，直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則周長的最大值為（）
A．6B．8C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連、，對的周長運(yùn)用三角形不等式即可.
【詳解】解：原點(diǎn)到直線的距離，
故直線為圓的切線，
設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連、，
則的周長，
當(dāng)且僅當(dāng)直線過左焦點(diǎn)時(shí)取到等號.
故選：B．
3．（2024·湖南益陽·一模）已知拋物線，的焦點(diǎn)分別為、，若、分別為、上的點(diǎn)，且線段平行于軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形B．當(dāng)時(shí)，是等腰三角形
C．存在四邊形是菱形D．存在四邊形是矩形
【答案】C
【分析】設(shè)出的坐標(biāo)并求得，由此對選項(xiàng)進(jìn)行分析，結(jié)合圖象求得正確答案.
【詳解】依題意，線段平行于軸，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，
則，焦點(diǎn)，
A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，解得，所以，
則，是直角三角形，A選項(xiàng)正確.
B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，解得，所以，
由于，所以關(guān)于直線對稱，而，
所以此時(shí)是等腰三角形.
對于CD選項(xiàng)，先考慮四邊形是平行四邊形，
則，則，
此時(shí)，，
所以四邊形是矩形，不是菱形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.
故選：C
4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)，則內(nèi)切圓的半徑等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出漸近線方程，與直線聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出的三邊長，及點(diǎn)到直線的距離，利用等面積法即可求解內(nèi)切圓的半徑.
【詳解】雙曲線的漸近線方程為，

聯(lián)立方程，解得
同理聯(lián)立，解得，
不妨設(shè)，
則，
點(diǎn)到直線的距離，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，
則有，
即，
解得.
故選：C
5．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的方程為，過點(diǎn)作直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)M，N.若，則直線的方程為（）
A． B．
C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，則直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，得，
，由，得，從而求得，由此可得直線的方程.
【詳解】設(shè)，直線的斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立，
則①， ②
因?yàn)椋瑒t③，
①③聯(lián)立解得，代入②得，
則直線的方程為或，
故答案為：C
6．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）若雙曲線的右支上存在兩點(diǎn)，使直線垂直于雙曲線在點(diǎn)處的切線，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不妨設(shè)在軸上方，則雙曲線在點(diǎn)處的切線斜率，結(jié)合垂直直線的斜率關(guān)系可得，由直線與雙曲線的位置關(guān)系可得，解不等式可得的范圍.
【詳解】由題，不妨在軸上方，則雙曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，
因?yàn)殡p曲線上一點(diǎn)的切線斜率的絕對值大于漸近線斜率的絕對值，
所以，
又，故，
又與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn)且斜率為負(fù)，
所以，
故
所以.
故選：D.
7．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知橢圓右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，該橢圓上一點(diǎn)與的連線的斜率，的中點(diǎn)為，記的斜率為，且滿足，若分別是軸?軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則三角形面積的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，表示出點(diǎn)E坐標(biāo)，即可根據(jù)求出，根據(jù)四邊形的面積結(jié)合基本不等式可求.
【詳解】由題意知：，直線的方程為，
聯(lián)立方程可得，
因?yàn)槭瞧渲幸粋€(gè)解，則另一個(gè)解滿足，即，
所以，則可得的中點(diǎn)，則，
因?yàn)?，所以，解得，則即，
設(shè)，則由四邊形的面積為2，有，
即，由基本不等式得，，
從而三角形的面積，等號當(dāng)，時(shí)取到.
所以三角形面積的最大值為.
故選：A.
8．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線（斜率為正）交雙曲線于兩點(diǎn)，滿足，設(shè)為的中點(diǎn)，則直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）斜率的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)條件畫出圖形結(jié)合圓錐曲線的定義及條件可得，然后利用點(diǎn)差法可得，進(jìn)而可得，然后利用基本不等式即得.
【詳解】首先證明：雙曲線上的任意點(diǎn)Px0,y0到左焦點(diǎn)F1?c,0與左準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù)（離心率）.
依題意，則點(diǎn)Px0,y0到直線的距離，
所以，則.
由題可知在左支上在右支上，如圖，設(shè)，在左準(zhǔn)線上的射影為，因?yàn)椋?br>則且，所以，
設(shè)，則，
所以，，即，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，
故選：C.
二、多選題
9．（2024·廣西柳州·一模）過拋物線：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)和原點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）．
A．B．
C．以為直徑的圓與軸相切D．
【答案】ACD
【分析】設(shè)直線l的方程為，，，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可判斷B；設(shè)，由可判斷A；比較半徑與圓心到軸的距離即可判斷C；由拋物線的定義表示出，將韋達(dá)定理代入化簡可判斷D.
【詳解】由題意可設(shè)過點(diǎn)的直線l的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
即，所以，，
，
所以，所以，故B錯(cuò)誤；
設(shè)，設(shè)直線的方程為，令，所以，
,
所以直線的斜率為，所以，故A正確.
因?yàn)椋砸詾橹睆降膱A的圓心為，半徑為，
所以圓心到軸的距離為，所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；
由拋物線的定義知：，
所以
，故D正確.
故選：ACD.
10．（2024·寧夏吳忠·一模）過雙曲線的右焦點(diǎn)作直線，交雙曲線于兩點(diǎn)，則（）
A．雙曲線的實(shí)軸長為2
B．當(dāng)軸時(shí)，
C．當(dāng)時(shí)，這樣的直線有3條
D．當(dāng)時(shí)，這樣的直線有4條
【答案】ABD
【分析】根據(jù)雙曲線的方程求得的值可判斷A；根據(jù)直線與雙曲線的交點(diǎn)形成的弦長特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷B，C，D.
【詳解】雙曲線的，則，
所以雙曲線的實(shí)軸長為2，故A正確；
當(dāng)軸時(shí)，與雙曲線的右支的交點(diǎn)為,，所以，故B正確；
由于當(dāng)軸時(shí)，，又因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為2，
故當(dāng)時(shí)，則直線與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)且斜率存在，這樣的直線有且僅有兩條，故C不正確；
則當(dāng)時(shí)，則直線與雙曲線左右各有一個(gè)交點(diǎn)且斜率存在，這樣的直線有兩條；
過右焦點(diǎn)與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，也滿足，且有兩條，
綜上，當(dāng)時(shí)，這樣的直線有4條，故D正確.
故選：ABD.
11．（2023·浙江嘉興·模擬預(yù)測）已知橢圓，，分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn).設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，且不與頂點(diǎn)重合，若直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則（）
A．若直線與的斜率分別為，，則
B．直線與軸垂直
C．
D．
【答案】ABC
【分析】設(shè)，由斜率公式及點(diǎn)在橢圓上可得判斷A，聯(lián)立直線的方程求出、坐標(biāo)，由條件可得即可判斷B，求出中點(diǎn)在上，即可判斷CD.
【詳解】如圖，
設(shè)，則，故A正確；
直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得，即，
同理可得，因?yàn)?，所以，所以，則直線與軸垂直，故B正確；
同理，所以，故的中點(diǎn)在直線上，故C正確；D錯(cuò)誤，
故選：ABC.
三、填空題
12．（2024·全國·模擬預(yù)測）過雙曲線的右焦點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，則四邊形面積的取值范圍是．
【答案】
【分析】由題意設(shè)直線的方程為，將其與雙曲線方程聯(lián)立化簡得，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長公式可用表示出，由點(diǎn)到直線的距離公式可得三角形邊上的高，從而可得三角形面積表達(dá)式，進(jìn)一步可得（平行）四邊形面積表達(dá)式，進(jìn)一步即可求解.
【詳解】
由題意得．
因?yàn)辄c(diǎn)在的右支上，
所以設(shè)直線的方程為．
與聯(lián)立，得，，
設(shè)，則，
所以．
易知點(diǎn)到直線的距離．
由線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，得四邊形是平行四邊形，
其面積．
由，得，
所以，所以．
故答案為：.
13．（2024·河北衡水·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，焦距為6，點(diǎn)，直線與交于A，B兩點(diǎn)，且為AB中點(diǎn)，則的周長為．
【答案】
【分析】設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，即可求得a的值，再結(jié)合的周長為4a，即得答案.
【詳解】由題意知，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，
兩式相減得，
由題意為AB中點(diǎn)，
則，代入整理得．
即由題意知，
因此，所以，由焦距為6，解得．
由橢圓定義知的周長為．
故答案為：
14．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測）已知拋物線，從拋物線內(nèi)一點(diǎn)發(fā)出平行于軸的光線經(jīng)過扡物線上點(diǎn)反射后交拋物線于點(diǎn)，則的面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再結(jié)合面積公式與拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)求解即可.
【詳解】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，直線與軸的交點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，
的焦點(diǎn)為，故與軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
根據(jù)題意，畫出草圖，如下圖所示，
令得，解得，又過焦點(diǎn)，
所以方程為：，
即，聯(lián)立，
得，解得或，所以
∴的邊上的高為，
又，
所以，
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是，充分了解拋物線的光學(xué)性質(zhì)，從而得解.
四、解答題
15．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知傾斜角為（）的直線l與拋物線C：（）只有1個(gè)公共點(diǎn)A，C的焦點(diǎn)為F，直線AF的傾斜角為．
(1)求證：；
(2)若，直線l與直線交于點(diǎn)P，直線AF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，求證：．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)出，得直線的方程為再與拋物線方程聯(lián)立并結(jié)合只有一個(gè)切點(diǎn)可得，從而可求解.
（2）設(shè)，則直線AB的方程設(shè)為，與拋物線聯(lián)立后，分別求出其兩根關(guān)系，從而可求解.
【詳解】（1）設(shè)，則l的方程為，
與聯(lián)立得，
因?yàn)橹本€l與拋物線C只有1個(gè)公共點(diǎn)，
所以，整理得，
所以，
又，所以，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以．
（2）時(shí)，C的方程為，
把，代入得l的方程為，
把代入得，
所以，
由（1）知，，設(shè)，
設(shè)直線AB方程為，與聯(lián)立得，
t，是該方程的兩個(gè)根，所以，所以，
所以，
所以.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
16．（2024·安徽·一模）已知雙曲線C：的離心率為2.且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求C的方程；
(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)離心率以及經(jīng)過的點(diǎn)即可聯(lián)立求解曲線方程；
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡得，根據(jù)弦長公式，結(jié)合不等式即可求解，
【詳解】（1）由題意可得，解得，
故雙曲線方程為.
（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)，
則，
將其代入雙曲線方程，
又，解得，
此時(shí)，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
聯(lián)立，
故，
則
，
化簡得，此時(shí)，
所以
，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，
，故，
因此，
綜上可得.
17．（2024·廣東韶關(guān)·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率之積為，記點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)且斜率為的直線與軸相交于點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，若.求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，根據(jù)斜率公式代入上式，進(jìn)行化簡即可得曲線方程；
（2）方法一、二，設(shè)出直線的方程為，與曲線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，結(jié)合向量關(guān)系求解；方法三，由題，的中點(diǎn)即的中點(diǎn)，由點(diǎn)差法可得弦中點(diǎn)坐標(biāo)與弦所在直線的斜率的關(guān)系，列式運(yùn)算得解.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知.
直線的斜率分別，
所以，
化簡得
點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）方法一，設(shè)，
由題意知直線的方程為，所以，
聯(lián)立方程組，消去整理得，
，，
由得，，
故有，即，
解得.
方法二：設(shè)，由題意知直線的方程為，所以，
聯(lián)立方程組，消去整理得.
，，
由得，，
故有，即，
解得.
方法三：設(shè)，由題意知直線的方程為，所以.
因?yàn)?，所以線段的中點(diǎn)為，
，又因?yàn)椋渣c(diǎn)也是的中點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，
①-②得，即，
所以，
又因?yàn)?，所以?br>解得.
18．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，圓Γ的圓心P在y軸上（不與重合），且與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)．已知．
(1)求Ω的離心率；
(2)若Ω的右焦點(diǎn)為，且圓Γ過點(diǎn)F，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由點(diǎn)差法與直線與圓的性質(zhì)分別得到與直線的斜率有關(guān)的等量關(guān)系，結(jié)合已知條件將坐標(biāo)化，得，再結(jié)合兩斜率關(guān)系，整體消元可得，從而求出斜率；
（2）將化斜為直，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示，再由韋達(dá)定理代入得關(guān)于的函數(shù)解析式，求解值域即可.
【詳解】（1）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則線段中點(diǎn)Mx1+x22,y1+y22
由題意不與重合，則，由在雙曲線右支上，則，
所以斜率存在且不為.
由在雙曲線上，則，且，
兩式作差得，
所以有，
故①，
由圓Γ的圓心P在y軸上（P不與O重合），設(shè)，
由題意，
則，
化簡得，由，得，
由圓Γ的圓心為，弦中點(diǎn)為，所以，
則，即②，
由①②得，，則，
故Ω的離心率為.
（2）由Ω的右焦點(diǎn)為，得，
由（1）知，，所以有，故雙曲線的方程為.
設(shè)圓的方程為，由圓Γ過點(diǎn)，則，
則圓的方程可化為，
聯(lián)立，消化簡得，
，
其中，，則有，
由，
同理，
所以，
其中，
令，則，
所以，
設(shè)，，
由函數(shù)在單調(diào)遞增，則，即，
所以有，
故,
.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線最值范圍問題，關(guān)鍵在把要求最值（范圍）的幾何量、代數(shù)式轉(zhuǎn)化為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)，然后利用函數(shù)、不等式方法進(jìn)行求解.
19．（2022·山東臨沂·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線H上的一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為5，為坐標(biāo)原點(diǎn)，．
(1)求拋物線H的方程；
(2)若一直線經(jīng)過拋物線H的焦點(diǎn)F，與拋物線H交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為直線上的動(dòng)點(diǎn)．
①求證：．
②是否存在這樣的點(diǎn)C，使得△ABC為正三角形?若存在，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由，
【答案】(1)拋物線H的方程為；
(2)證明見解析；存在點(diǎn)，使得為正三角形，理由見解析.
【分析】(1) 由條件列方程求參數(shù)，由此可得拋物線H的方程； (2)設(shè)直線，，聯(lián)立方程得關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的表示方法，即可求證；可假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，由直線和垂直關(guān)系求出點(diǎn)，由韋達(dá)定理和弦長公式求得弦，結(jié)合即可求解具體的的值，進(jìn)而求解點(diǎn)；
【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€的方程為，M 拋物線上且的橫坐標(biāo)為5，
所以M的縱坐標(biāo)為，
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，過點(diǎn)作，垂足為,
因?yàn)?，所以，所?br>又，所以，
所以，所以，又
所以，
同理當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，
所以拋物線的方程為；
（2）①設(shè)直線，,
由，得，
則.
，
，
所以，所以
②假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)為，由①知;
，則，則，
則，而，由得，，所以存在點(diǎn).
【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線軌跡方程的求法，韋達(dá)定理，向量法在解析幾何中的具體應(yīng)用，由特殊三角形的關(guān)系求解參數(shù)值，運(yùn)算推理能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題
【拓展沖刺練】
一、單選題
1．（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的焦點(diǎn)，圓與軸相交于兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則橢圓離心率的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)軸可設(shè)，代入橢圓方程可求得圓的半徑，根據(jù)為銳角三角形，可構(gòu)造關(guān)于的齊次不等式，進(jìn)而配湊出離心率，解不等式即可求得結(jié)果.
【詳解】圓與軸相切于焦點(diǎn)，軸，可設(shè)，
在橢圓上，，解得：，圓的半徑為；
作軸，垂足為，
，，
為銳角三角形，，，
，即，解得：，
即橢圓離心率的取值范圍為.
故選：D.
2．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知拋物線，過動(dòng)點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，則面積的最小值是（）
A．6B．9C．12D．18
【答案】B
【分析】設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式化簡計(jì)算可得，，同理可得，，有，設(shè)直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式計(jì)算可得，而Px0,y0在直線,上，建立等式計(jì)算可得，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點(diǎn)，
所以直線,斜率均存在，
故設(shè)直線，
則，
所以，因?yàn)?，代入化簡得，得?br>所以直線，整理得，
設(shè)直線，同理可得，
所以，即，
設(shè)直線，
，
所以，，得，
因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，
所以設(shè)直線恒過拋物線焦點(diǎn)，
而Px0,y0在直線,上，
所以，即是方程是方程的兩實(shí)數(shù)根，
所以，解得，即
所以，
設(shè)到直線的距離為，則，
所以，當(dāng)時(shí)，面積的最小為.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵根據(jù)切線方程與拋物線建立等式計(jì)算可得，直線與拋物線建立等式可得直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)；Px0,y0在直線,上，得是方程方程的兩相異實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式求得，最后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算可得.
3．（2023·廣東廣州·一模）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由題意畫出圖，由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，由的內(nèi)切圓圓心分別為，進(jìn)行分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出的底和高，利用三角形的面積公式計(jì)算即可.
【詳解】由題意如圖所示：
由雙曲線，知，
所以，
所以，
所以過作垂直于軸的直線為，
代入中，解出，
由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，
且，的內(nèi)切圓圓心
的連線垂直于軸于點(diǎn)，
設(shè)為，在中，由等面積法得：
由雙曲線的定義可知：
由，所以，
所以，
解得：，
因?yàn)闉榈牡慕瞧椒志€，
所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，
在中，由等面積法得：
，
又
所以，
所以，
所以，
，
所以
，
故選：A.
二、多選題
4．（2023·湖南·模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線E的右支上一點(diǎn)，若，雙曲線E的離心率為，則下列結(jié)論正確的是（）
A．雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
B．雙曲線E的漸近線方程為
C．點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為
D．若直線與雙曲線E的另一支交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為PM的中點(diǎn)，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)雙曲線定義及離心率求出得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出漸近線方程判斷AB，再由點(diǎn)到漸近線的距離判斷C，點(diǎn)差法可判斷D.
【詳解】根據(jù)雙曲線的定義得，，故，由，得，
所以，所以雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為，漸近線方程為，即，所以A正確，B不正確；
設(shè)，則點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積為，所以C正確；
設(shè)，，因?yàn)镻，M在雙曲線E上，所①，②，
①－②并整理得，，即，所以，所以D正確．
故選：ACD．
5．（2024·河北唐山·二模）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A．B．以為直徑的圓與相切
C．以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)D．為直角三角形
【答案】AC
【分析】設(shè)過點(diǎn)的直線為，聯(lián)立直線和拋物線的方程求出可判斷A；以為直徑的圓的圓心為和半徑，再求出圓心到準(zhǔn)線的距離為，即可判斷B；求出圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，可判斷C；取特列可判斷D.
【詳解】設(shè)過點(diǎn)的直線為，
對于A，聯(lián)立，得，
，，
所以，故A正確；
對于B，因?yàn)?br>，，
所以，的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的圓心為，
又，
設(shè)圓的半徑為，則，
所以，
又圓心到準(zhǔn)線的距離為，
而，因?yàn)椋裕?br>所以以為直徑的圓與相離，故B錯(cuò)誤；
對于C，圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，
，
所以，所以，
所以以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，故C正確；
對于D，因?yàn)槁?lián)立，得，
若，則上述方程為，解得：或，
取，則，則，
取，則，則，
又拋物線過焦點(diǎn)F1,0，所以，，
，
所以不為直角三角形，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，平行于軸的直線與交于點(diǎn)，直線與直線在第一象限交于點(diǎn)，且，，，，若過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的方程為．
【答案】
【分析】設(shè)，根據(jù)已知條件求出，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出、，由此即可確定橢圓的方程，方法一：利用點(diǎn)差法求出直線斜率，即可求出的方程；方法二：點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立得，利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合即可求出進(jìn)而求出的方程.
【詳解】設(shè)，由，，，，
得，，
所以，所以，，代入的方程得，
解得，故的方程為．
解法一易知的斜率存在且不為0，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，
則，，兩式相減得，
由點(diǎn)為的中點(diǎn)得，，
則的斜率為，所以的方程為，即．
解法二易知的斜率存在且不為，設(shè)的方程為，
代入的方程并整理得，需滿足，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
解得，所以的方程為，即．
故答案為：
7．（2024·廣東茂名·一模）已知雙曲線，直線分別與的左、右支交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的面積為，則直線的方程為 .
【答案】
【分析】聯(lián)立直線與曲線方程，可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理表示的面積并計(jì)算即可得解.
【詳解】聯(lián)立，消去，得，
令Mx1,y1，Nx2,y2，則，，
，，解得，
由直線過定點(diǎn)，故，
，
解得或（舍去），，直線的方程為.
故答案為：.
四、解答題
8．（2024·四川南充·一模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù)，記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，若曲線C上兩點(diǎn)M，N均在x軸上方，且，，求直線FM的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)距離公式列出方程即可求解；
（2）設(shè)，可得直線的方程，呢絨聯(lián)立方程組，結(jié)合對稱性與弦長公式列出方程即可求解.
【詳解】（1）由題意，，
整理化簡得，，
所以曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，直線的斜率都存在，設(shè)，
則直線的方程為，
分別延長，交曲線于點(diǎn)，
設(shè)，
聯(lián)立，即，
則，
根據(jù)對稱性，可得，
則
，
即，解得，
所以直線FM的斜率為.
9．（2024·湖北·一模）如圖，已知拋物線，過點(diǎn)作斜率為的直線，分別交拋物線于與，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn).
(1)求拋物線的方程；
(2)若，證明：；
(3)若直線過點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析，
【分析】（1）先求直線再聯(lián)立拋物線得出韋達(dá)定理應(yīng)用中點(diǎn)坐標(biāo)得出,進(jìn)而得出拋物線；
（2）先設(shè)直線方程代入拋物線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，應(yīng)用，即可得到結(jié)論.
（3）先設(shè)直線過點(diǎn)P得出,同理結(jié)合理過點(diǎn)Q得出,最后得出BM的直線得出定點(diǎn).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
聯(lián)立消去，
可得，
設(shè)，
拋物線C方程為：.
（2）由題知，設(shè)，
，代入拋物線可得，
，
又，
同理.
（3）因?yàn)椋?br>所以，代入點(diǎn)得①，
設(shè)，同理，
過點(diǎn)②
，
結(jié)合①②可得
又因?yàn)?br>所以，整理得
所以直線過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題定點(diǎn)的關(guān)鍵是先點(diǎn)斜式設(shè)出AB直線方程結(jié)合拋物線方程得出直線,同理得出BM的直線方程進(jìn)而得出定點(diǎn).
10．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，. 已知點(diǎn)和都在雙曲線上，其中e為雙曲線的離心率.
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)是雙曲線上位于軸右方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn).
(i) 若，求直線的斜率；
(ii) 求證：是定值.
【答案】(1)
(2)(i)；(ii)
【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程求解即可；
（2）（I）構(gòu)造平行四邊形，求出，然后利用弦長公式求直線的斜率即可；（II）利用三角形相似和雙曲線的性質(zhì)，將轉(zhuǎn)化為，然后結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.
【詳解】（1）將點(diǎn)和代入雙曲線方程得：
，結(jié)合，化簡得：，解得，
雙曲線的方程為．
（2）(i) 設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)記為，
則．
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)椋?，即?br>故三點(diǎn)共線．
又因?yàn)榕c互相平分，所以四邊形為平行四邊形，故，
所以．
由題意知，直線斜率一定存在，
設(shè)的直線方程為，代入雙曲線方程整理得：
，故，
直線與雙曲線上支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，解得．
由弦長公式得
，
則，且由圖可知，即，
代入解得．
(ii) 因?yàn)?，由相似三角形得?br>所以
．
因?yàn)椋?br>所以，故為定值．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(ii)的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合韋達(dá)定理即可順利得解.

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