常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 恒成立問(wèn)題
典例1．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)證明是等差數(shù)列；
(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意，恒成立，求m的取值范圍.
變式1-1．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.
變式1-2．已知數(shù)列和滿足，，.
(1)求與；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若不等式，對(duì)一切都成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
變式1-3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，
①求；
②若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
考點(diǎn)二 能成立問(wèn)題
典例2．在①，，，成等比數(shù)列；②；；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：已知是遞增的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且___.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
變式2-1．已知等差數(shù)列中，公差，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
變式2-2．已知是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，求出符合條件的n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.
變式2-3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，是和的等差中項(xiàng)，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，且的前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 恒成立問(wèn)題
1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若不等式2對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
2．已知數(shù)列中，，且滿足．
(1)求的值；
(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
3．已知在等比數(shù)列中，，數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若任意，恒成立，求的取值范圍.
4．已知等比數(shù)列中，數(shù)列滿足，且．
（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值．
練習(xí)二 能成立問(wèn)題
5．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知是與的等差中項(xiàng)，且.
（1）求的通項(xiàng)公式.
（2）是否存在正整數(shù)，使得?若存在，請(qǐng)求出符合條件的所有的集合，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
6．已知數(shù)列和滿足，，且.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的正整數(shù)的值.
7．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：，且是，的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，，求使成立的正整數(shù)的最小值．
8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知，規(guī)定，若存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
第二篇 數(shù)列
專題07 數(shù)列中的恒成立與能成立問(wèn)題
常見(jiàn)考點(diǎn)
考點(diǎn)一 恒成立問(wèn)題
典例1．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)證明是等差數(shù)列；
(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意，恒成立，求m的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出當(dāng)時(shí)，將中的換成，然后兩式相減，可得，再換成，再相減可得從而可證.
（2）由（1）可知，即得到，由裂項(xiàng)相消法求和可得答案.
(1)
當(dāng)時(shí)，，則，解得.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以?br>兩式相減得，即.
又滿足，所以，.
所以，兩式相減得.
所以，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)為正數(shù)，所以，
所以是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.
(2)
由（1）可知，，.
則，
.
所以m的取值范圍為.
變式1-1．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)，建立方程，求出等差數(shù)列的公差為，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)（1）求出，根據(jù)錯(cuò)位相減求出，根據(jù)題意可知，再根據(jù)為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況求解，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.
(1)
解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，且，，成等比數(shù)列，
則，即，又，解得，
所以;
(2)
解：因?yàn)椋?br>設(shè)，
①，
②，
①-②：，
，.
則，得，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，最小，
即，即；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),，又單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，最大，
即，即；
所以.
變式1-2．已知數(shù)列和滿足，，.
(1)求與；
(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，若不等式，對(duì)一切都成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算得，再借助前n項(xiàng)和第n項(xiàng)的關(guān)系推理計(jì)算作答.
(2)由(1)求出，變形給定不等式，再分奇偶討論計(jì)算作答.
(1)
依題意，當(dāng)時(shí)，，則
，
而滿足上式，故有；
，，當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，則，而，滿足上式，即有，
所以，.
(2)
由(1)知，，
兩邊同乘-2得：，
兩式相減得：，
，由得：，
依題意，對(duì)一切，都成立，
當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，，而數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，，解得，因此，，
所以實(shí)數(shù)的最小值.
變式1-3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，
①求；
②若不等式對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析，
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；
（2）①由（1）可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即可；
②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；
(1)
證明：由，，當(dāng)時(shí)，可得，解得，
當(dāng)時(shí)，，
又，兩式相減得，
所以，所以，即，
則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；
所以，所以
(2)
解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以
整理得
②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即
考點(diǎn)二 能成立問(wèn)題
典例2．在①，，，成等比數(shù)列；②；；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答.問(wèn)題：已知是遞增的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且___.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1).
(2)存在，，理由見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)所選條件，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求基本量，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，結(jié)合已知求基本量，寫(xiě)出通項(xiàng)公式；根據(jù)關(guān)系求通項(xiàng)公式.
（2）根據(jù)所得通項(xiàng)公式可知有，有，由題設(shè)討論確定的值及符號(hào)，即可判斷存在性.
(1)
是遞增的等差數(shù)列，若公差為，
選①：，則，可得.
∴.
選②：，可得 ，
∴.
選③：當(dāng)時(shí)，，
又，顯然符合通項(xiàng)公式.
∴.
(2)
由（1）知：，可得，
∴當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
綜上，存在，使得取得最大值.
變式2-1．已知等差數(shù)列中，公差，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若為數(shù)列的前項(xiàng)和，且存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由題中條件，列出方程組求解，得出首項(xiàng)和公差，即可得出通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消的方法，先求出，得出，求出的最大值，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）由題意可得即
又因?yàn)?，所以所以?br>（2）∵，
∴．
∵存在，使得成立．
∴存在，使得成立．
即存在，使得成立．
∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．
∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：
裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和的常見(jiàn)類型：
（1）等差型，其中是公差為的等差數(shù)列；
（2）無(wú)理型；
（3）指數(shù)型；
（4）對(duì)數(shù)型.
變式2-2．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S4，S2，S3成等差數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)n，使得？若存在，求出符合條件的n的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）.（2）存在，最小值為
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解得首項(xiàng)與公比，代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；
（2）先求和項(xiàng)，再根據(jù)奇偶討論化簡(jiǎn)不等式，即得結(jié)果.
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則.
由題意得
即
解得
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）有.
假設(shè)存在，使得則
即
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，上式不成立；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即
解得
綜上，存在符合條件的正整數(shù)，最小值為11.
【點(diǎn)睛】
本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列求和公式、解數(shù)列不等式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.
變式2-3．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，是和的等差中項(xiàng)，且.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，且的前項(xiàng)和為，求使得成立的的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)由條件轉(zhuǎn)化為首相和公比的等式，求得首項(xiàng)和公比，再求通項(xiàng)公式；
（2）由等差和等比數(shù)列的前項(xiàng)和，轉(zhuǎn)化不等式為，
(1)
，
∵，∴，
∴，.∴，
(2)
.
，，數(shù)列為單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，.
∴.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 恒成立問(wèn)題
1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，滿足．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若不等式2對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用得，變形得，則可證明等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；
（3）令，通過(guò)計(jì)算的正負(fù)，求出的最大值，將題目轉(zhuǎn)化為，解不等式即可.
(1)
①
②
①-②得，即，
變形可得，
又，得
故數(shù)列是以-1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，
.
(2)
令，則
當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
又，，
因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意的正整數(shù)恒成立，
，解得.
2．已知數(shù)列中，，且滿足．
(1)求的值；
(2)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見(jiàn)解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）令時(shí)代入遞推公式可求解；
（2）利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明，得到公差為1，首項(xiàng)為2，寫(xiě)其通項(xiàng)公式；
（3）由題意化簡(jiǎn)得，求出的最值便可求出的范圍.
(1)
解：由題意得：
(2)
為常數(shù)
數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列
(3)
令，
當(dāng)時(shí)，，遞增
當(dāng)時(shí)，，遞減
當(dāng)或n=3時(shí)，有最大值
3．已知在等比數(shù)列中，，數(shù)列滿足.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若任意，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知求出的公比即可得出通項(xiàng)公式，再由即可求出的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法求出，記，可得數(shù)列遞增，求出的最小值即可.
【詳解】
(1)設(shè)公比為，，
則，解得，.
，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即.
∴；
（2）當(dāng)時(shí)，，，
兩式相減得：.
又，∴，有，
，
記，則，
∴，
∴數(shù)列遞增，其最小值為.
故.
4．已知等比數(shù)列中，數(shù)列滿足，且．
（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；
（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立，求正整數(shù)的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先令、，求出，即可求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，再作差即可得到的通項(xiàng)公式；
（2）首先求出，，即可求出與，依題意可得不等式恒成立，所以，即可求出參數(shù)的范圍，即可得解；
【詳解】
解：（1）因?yàn)棰?，?br>當(dāng)時(shí)，，所以
當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，②；
①-②得，因?yàn)?，所以，?dāng)，也成立；所以
（2）由（1）可得，所以，即
又，所以 ，因?yàn)閷?duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立，所以對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立，所以，即，又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以的最小值為
練習(xí)二 能成立問(wèn)題
5．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知是與的等差中項(xiàng)，且.
（1）求的通項(xiàng)公式.
（2）是否存在正整數(shù)，使得?若存在，請(qǐng)求出符合條件的所有的集合，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)是與的等差中項(xiàng)，所以，求得，即可得解；
（2）由（1）先求得，解不等式，即，分為偶數(shù)時(shí)和為奇數(shù)進(jìn)行討論即可得解.
【詳解】
（1）設(shè)的公比為，顯然
由題意得，解得或（舍去）.
所以.
（2）由（1）知，
要使，即，
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，無(wú)解;
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即則，
綜上所述，存在符合條件的正整數(shù)，所有符合條件的的集合為.
6．已知數(shù)列和滿足，，且.
（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求滿足的正整數(shù)的值.
【答案】（1），；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得的通項(xiàng)公式，即可得出的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)求和法可求得的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法結(jié)合分組求和法可求得，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的二次不等式，結(jié)合可得出的取值.
【詳解】
（1）對(duì)任意的，，則，且，
所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)和公比均為，
故，，
因?yàn)椋?br>所以，
；
（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
則，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
則，
由可得，
整理可得，解得，
因?yàn)?，故?
7．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：，且是，的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，，求使成立的正整數(shù)的最小值．
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，代入已知條件可求得后得通項(xiàng)公式；
（2）求出，用錯(cuò)位相減法求得，再解不等式可得．
【詳解】
（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．
依題意，有，代入，可得，
，
解之得或
又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，
所以，，
數(shù)列的通項(xiàng)公式為．
（2），
，①
，②
②－①，得．
即，即．
易知：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
使成立的正整數(shù)的最小值為．
8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足．
（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知，規(guī)定，若存在使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由遞推式，令求，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式及，結(jié)合已知條件求通項(xiàng)公式.
（Ⅱ）應(yīng)用裂項(xiàng)求和求，即有，進(jìn)而求的范圍．
【詳解】
（Ⅰ）由題設(shè)，，即，可得，又等比數(shù)列的公比為2，
∴，故，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，
∴上有，即，而，
∴是常數(shù)列且，即；
（Ⅱ）由題意，，
∴，對(duì)有解，則，
令，故，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，知：為的最小項(xiàng)，
∴．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，利用裂項(xiàng)求和求，將有解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)列的性質(zhì)求最小項(xiàng)，即可得參數(shù)范圍.

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