常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 恒成立問(wèn)題
典例1．已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線為.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.
變式1-1．已知函數(shù)， ．
(1)證明： ，直線都不是曲線的切線；
(2)若，使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
變式1-2．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.
變式1-3．已知函數(shù)（）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)且．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
考點(diǎn)二 存在性問(wèn)題
典例2．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
變式2-1．已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知，若存在時(shí)使不等式成立，求的取值范圍．
變式2-2．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
變式2-3．已知函數(shù)，
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范圍．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 恒成立問(wèn)題
1．已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
2．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
3．已知函數(shù).
(1)若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
4．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
(2)當(dāng)，且時(shí)，]恒成立，求b的取值范圍.
練習(xí)二 存在性問(wèn)題
5．己知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.
(2)存在，使得成立，求整數(shù)的最小值.
6．已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：存在，使得不等式 有解（e是自然對(duì)數(shù)的底）.
7．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范圍.
8．已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
第六篇 導(dǎo)數(shù)
專題04 利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與存在性問(wèn)題
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 恒成立問(wèn)題
典例1．已知函數(shù)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線在點(diǎn)處的切線為.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式在上恒成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）求導(dǎo)，由切線為，可得，運(yùn)算即得解；
（2）參變分離可得，令，求導(dǎo)分析單調(diào)性，可得的最小值為，分析即得解
(1)
可得，
因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線為.
所以，解得，.
(2)
由（1）知，
∵不等式在上恒成立，
∴在上恒成立，即在上恒成立.
令，∵，當(dāng)時(shí)，解得.
∴當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
∴的最小值為，∴，∴正實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
變式1-1．已知函數(shù)， ．
(1)證明： ，直線都不是曲線的切線；
(2)若，使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，根據(jù)斜率相等，進(jìn)而構(gòu)造
函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可證明；
（2）由，使恒成立轉(zhuǎn)化為，再
利用導(dǎo)數(shù)法求出在的最大值即可求解.
(1)
由題意可知，的定義域?yàn)椋?br>由，得，
直線過(guò)定點(diǎn)，
若直線與曲線相切于點(diǎn)，則
，即
設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞增，又，
從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立，這與矛盾.
所以，，直線都不是曲線的切線.
(2)
由，得，
，
若，使恒成立轉(zhuǎn)化為即可.
令，，則，
令，，則
，所以，
所以在上是單調(diào)遞減；
所以，故
在上是單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，取得最大值為，
，即.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
【點(diǎn)睛】
解決此題的關(guān)鍵利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩點(diǎn)求斜率，再根據(jù)同一切線斜率相等即可證明，
對(duì)于恒成立問(wèn)題通常采用分離常數(shù)法，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)法即可求解.
變式1-2．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)a的值.
【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；
(2).
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，求得，令，得到，且，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求得，設(shè)，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，得到單調(diào)遞增，設(shè)有唯一的零點(diǎn)，使得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到，再令，結(jié)合單調(diào)性求得，即可求解.
(1)
解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?
可得，
令，可得，單調(diào)遞增，
又由，
當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞增，
所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.
(2)
解：由，可得，
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由，單調(diào)遞增，
設(shè)有唯一的零點(diǎn)，即，
當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞增，
所以

因?yàn)?，可得?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，
所以，
因?yàn)楹愠闪?，即恒成立?br>令，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，即，
又由恒成立，即，所以.
變式1-3．已知函數(shù)（）恰有兩個(gè)極值點(diǎn)且．
(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）對(duì)求導(dǎo)后分析其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)
（2）將代入后消去，然后為不等式恒成立問(wèn)題，換元后分類討論最值
(1)
∵，依題意得為方程的兩不等正實(shí)數(shù)根，
∴，，令，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，
∴，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是；
(2)
由（1）得，，兩式相減得，，
，
∵，令，∴，即，
令，則需滿足在上恒成立，
∵，令，則（），
①當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，∴，
∴在上單調(diào)遞增，∴，符合題意，
②當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，
∴在上單調(diào)遞減，∴，不符合題意，
③當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，
∴在上單調(diào)遞減，∴，不符合題意，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
考點(diǎn)二 存在性問(wèn)題
典例2．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)答案見解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論對(duì)進(jìn)行分類討論，由，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)來(lái)求得的取值范圍.
(1)
已知函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>，
①當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上所述，時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
時(shí)，在單調(diào)遞增；
時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)
若存在，使得成立，即使得.
由（1），可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，
不滿足；
當(dāng)時(shí)，
，所以，即，
令，∴，
∴在上單調(diào)遞減，
又∵，由，得.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
變式2-1．已知函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
(2)已知，若存在時(shí)使不等式成立，求的取值范圍．
【答案】(1)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
(2).
【解析】
【分析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷的符號(hào)作答.
(2)對(duì)給定不等式作等價(jià)變形，借助(1)脫去法則“f”，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，再求出函數(shù)最值作答.
(1)
函數(shù)，，求導(dǎo)得：，
令，，則，即函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，
而，則當(dāng)時(shí)，，即，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(2)
當(dāng)時(shí)，，
因且，則，由(1)知，在單調(diào)遞減，
則存在，不等式成立，
令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，于是得，
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)探討解決問(wèn)題.
變式2-2．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
(2).
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，，得出的定義域并對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出的單調(diào)區(qū)間；
（2）將題意等價(jià)于在內(nèi)有解，設(shè)，即在上，函數(shù)，對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，令，得出，分類討論與區(qū)間的關(guān)系，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)和最小值，結(jié)合，從而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)
解：當(dāng)時(shí)，，可知的定義域?yàn)椋?br>則，
可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)
解：由題可知，存在，使得成立，
等價(jià)于在內(nèi)有解，
可設(shè)，即在上，函數(shù)，
，
令，即，解得：或（舍去），
當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
，得，
又，所以；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
，得，不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
，，
，
即，不符合題意；
綜上得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)解決不等式成立的綜合問(wèn)題：
（1）利用導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)區(qū)間問(wèn)題，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，否則，寫出的單調(diào)區(qū)間易出錯(cuò)；利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，要注意分類討論和化歸思想的應(yīng)用；
（2）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的綜合問(wèn)題的一般步驟是：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)區(qū)間和最值，再進(jìn)行相應(yīng)證明.
變式2-3．已知函數(shù)，
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范圍．
【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(3)
【解析】
【分析】
（1）研究的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出的極值；（2）先求，再解不等式與，求出單調(diào)區(qū)間，注意題干中的的條件；（3）先把題干中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有，再結(jié)合第二問(wèn)研究的的單調(diào)區(qū)間，對(duì)a進(jìn)行分類討論，求出不同范圍下的，求出最后結(jié)果
(1)
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br>令得：，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，的極小值為，無(wú)極大值
(2)
，定義域?yàn)?br>因?yàn)椋?，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.
綜上：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(3)
存在，使得成立，等價(jià)于存在，使得，即在上有
由（2）知，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以
當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，故在處取得最小值，由得：，因?yàn)?，?
當(dāng)，即時(shí)，由（2）知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最小值為
令
因?yàn)?，所以，則，即，不滿足題意，舍去
綜上所述：a的取值范圍為
【點(diǎn)睛】
導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 恒成立問(wèn)題
1．已知函數(shù).
(1)求在處的切線方程；
(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義直接求解即可；
（2）分離變量可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得，由此可得的取值范圍.
(1)
，，又，
在處的切線方程為；
(2)
當(dāng)時(shí)，由得：，
令，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，
，在上單調(diào)遞增，，
，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)中的恒成立問(wèn)題；解決恒成立問(wèn)題的基本思路是采用分離變量的方式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間關(guān)系，即由得；由得.
2．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接求導(dǎo)，先確定導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)，即可確定的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，參變分離得，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)得，
再構(gòu)造函數(shù)確定單調(diào)性后，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
(1)
當(dāng)時(shí)，，，易得在上遞增，又，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
(2)
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可得；當(dāng)時(shí)，由恒成立可得恒成立，
設(shè)，則，
可設(shè)，可得，設(shè)，由，可得恒成立，
可得在遞增，即在遞增，所以，即恒成立，即在遞增，
所以，再令，可得，當(dāng)時(shí)，，在上遞增，
當(dāng)時(shí)，，在遞減，所以，所以；
綜上可得.
【點(diǎn)睛】
本題關(guān)鍵點(diǎn)在于參變分離構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)后，通過(guò)因式分解將導(dǎo)數(shù)變?yōu)椋?br>再把分子的因式構(gòu)造成函數(shù)，確定后，即得的正負(fù)，進(jìn)而求解.
3．已知函數(shù).
(1)若在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，得到，即可求出的取值范圍；
（2）把題意轉(zhuǎn)化為，分類討論：當(dāng)時(shí)，求出；當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求出，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)
因?yàn)椋裕?br>令，得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，
因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以，即，
故的取值范圍是；
(2)
由題知：，則，即，
當(dāng)時(shí)，恒成立，則，
當(dāng)時(shí)，，令，則，
則當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增，
故，則，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
4．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
(2)當(dāng)，且時(shí)，]恒成立，求b的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出，然后算出即可；
（2）由條件可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，則原不等式等價(jià)于在上恒成立，然后可證明，然后得在上單調(diào)遞增，然后即可求解.
(1)
當(dāng)時(shí)，，則
又因?yàn)?br>所以曲線在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為.
(2)
恒成立，即恒成立.
等價(jià)于恒成立.
構(gòu)造函數(shù)，則在上恒成立等價(jià)于在上恒成立.
因?yàn)椋?br>令函數(shù)，則，顯然是增函數(shù)，
則在上單調(diào)遞增，所以，
故，從而可得在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，恒成立.
所以，所以，即b的取值范圍是[-1，+∞）
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是將原不等式變形，構(gòu)造出函數(shù)，屬于函數(shù)的同構(gòu)類型，解答的關(guān)鍵是觀察不等式的特點(diǎn)，變成同一函數(shù)在兩個(gè)變量處的取值.
練習(xí)二 存在性問(wèn)題
5．己知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.
(2)存在，使得成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】(1)增區(qū)間為，無(wú)單減區(qū)間
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可求得結(jié)果；
（2）由題意可知，存在，使得，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍，可求得整數(shù)的最小值.
(1)
解：當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
故函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)單減區(qū)間.
(2)
解：存在，使得成立，即，
令，其中，則，
，
令，則，
令，對(duì)任意的恒成立，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，則，
即對(duì)任意的恒成立，則函數(shù)為增函數(shù).
因?yàn)?，?br>所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，，，
設(shè)，則，
令，則對(duì)任意的恒成立，
故函數(shù)在上為增函數(shù)，則，
即對(duì)任意的恒成立，故函數(shù)在為增函數(shù)，
故，即，即，
因?yàn)闉檎麛?shù)，所以整數(shù)的最小值為.
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
6．已知函數(shù)，
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：存在，使得不等式 有解（e是自然對(duì)數(shù)的底）.
【答案】(1)討論見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
(1)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)后利用判別式對(duì) 進(jìn)行分類討論即可；
(2)理解“有解”的含義，構(gòu)造函數(shù)將原不等式轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值.
(1)
的定義域?yàn)镽，，
，
①當(dāng)時(shí)， ，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根為：，
時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，
，單調(diào)遞減，
時(shí)，，單調(diào)遞增，
②當(dāng)時(shí)， ，，
所以在上單調(diào)遞增；
(2)
不等式 等價(jià)于 ，
所以只需證 的最大值大于1，
因?yàn)?，?br>又，所以，時(shí)等號(hào)成立，
所以 ，
設(shè)函數(shù) ， ，
，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，
因?yàn)?，所以存在，使不等式 有解.
【點(diǎn)睛】
對(duì)于第二問(wèn)使用函數(shù)的縮放法是核心，
對(duì)原函數(shù)由于的不確定性使得求其最大值很困難，
“化繁為簡(jiǎn)”，“化難為易”的數(shù)學(xué)思想就顯得特別重要，
通過(guò)本題的計(jì)算應(yīng)該能夠體會(huì)到這種數(shù)學(xué)思想，
在以后的數(shù)學(xué)計(jì)算中遇到很復(fù)雜的計(jì)算應(yīng)該首先考慮這種數(shù)學(xué)思想.
7．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，證明函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)；
(2)若存在，使不等式成立，求的取值范圍.
【答案】(1)證明見解析
(2)或
【解析】
【分析】
（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）首先討論函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合函數(shù)的最小值構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)分類討論即可確定的取值范圍．
(1)
證明：當(dāng)時(shí)，，
令，
∴在上為增函數(shù)，
∵，
∴，使，
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
因此，在上為減函數(shù)，在 上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)f(x)在上只有一個(gè)零點(diǎn)．
(2)
解：當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，，即，
∴當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在 上為增函數(shù)，
∴，
由，知，
設(shè)，則，
∴在上為減函數(shù)，
又，
∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴存在，使不等式成立，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，所以不存在，使不等式 成立，
當(dāng)時(shí)，取，即，所以，
所以存在，使不等式 成立，
綜上所述，的取值范圍是或．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：在解決能成立問(wèn)題時(shí)一般是將不等式能成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，利用能成立；能成立.
8．已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
(2)若存在，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)函數(shù)在上遞增，在上遞減，極大值為，無(wú)極小值
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義即可得解；
（2）若存在，使不等式成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可得出答案.
(1)
解：當(dāng)時(shí)，，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值；
(2)
解：若存在，使不等式成立，
則，即，
則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，
令，，
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在遞增，在上遞減，
所以，
所以.
x
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
x
+
0
-
0
+
遞增
極大值
遞減
極小值
遞增
x
-
0
+
遞減
極小值
遞增

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