常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量分布列
典例1．某校組織“百年黨史”知識比賽，每組有兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行同一組比賽，每人搶到每道題的機(jī)會相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒回答者得0分；搶到題目且回答錯誤者得0分，沒搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對每道題目的概率為．乙答對每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨(dú)立．
(1)求乙同學(xué)得100分的概率；
(2)記X為甲同學(xué)的累計得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式1-1．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奧運(yùn)會，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運(yùn)會設(shè)7個大項，15個分項，109個小項．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項目；張家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項目．某運(yùn)動隊擬派出甲、乙、丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，誰進(jìn)入決賽的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)人決賽的概率為，求p的值；
(3)在（2）的條件下，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．
變式1-2．某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，由第一?第二兩道工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果只有A，B兩個等級.兩道工序的加工結(jié)果直接決定該產(chǎn)品的等級：兩道工序的加工結(jié)果均為A級時，產(chǎn)品為一等品；兩道工序恰有一道.工序加工結(jié)果為B級時，產(chǎn)品為二等品；其余均為三等品.每一道工序加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，一件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）如表二所示：
表一
表二
(1)用（萬元）表示一件產(chǎn)品的利潤，求的分布列和均值；
(2)工廠對于原來的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級，計劃通過增加檢測成本對第二工序進(jìn)行改良，假如在改良過程中，每件產(chǎn)品檢測成本增加萬元（即每件產(chǎn)品利潤相應(yīng)減少萬元）時，第二工序加工結(jié)果為A級的概率增加，問該改良方案對一件產(chǎn)品的利潤的均值是否會產(chǎn)生影響？并說明理由.
變式1-3．對飛機(jī)進(jìn)行射擊，按照受損傷影響的不同，飛機(jī)的機(jī)身可分為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三個部分.要擊落飛機(jī)，必須在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中兩次，或在Ⅲ部分命中三次.設(shè)炮彈擊落飛機(jī)時，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射擊進(jìn)行到擊落飛機(jī)為止.假設(shè)每次射擊均擊中飛機(jī)，且每次射擊相互獨(dú)立.
(1)求恰好在第二次射擊后擊落飛機(jī)的概率；
(2)求擊落飛機(jī)的命中次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
典例2．高三學(xué)生甲、乙為緩解緊張的學(xué)習(xí)壓力，相約本星期日進(jìn)行“某競技體育項目”比賽．比賽采用三局二勝制，先勝二局者獲勝．商定每局比賽(決勝局第三局除外)勝者得3分，敗者得1分，決勝局勝者得2分，敗者得0分．已知每局比賽甲獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立．
(1)求比賽結(jié)束，乙得4分的概率；
(2)設(shè)比賽結(jié)束，甲得X分，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．
變式2-1．現(xiàn)有甲、乙、丙三道多選題，某同學(xué)獨(dú)立做這三道題，根據(jù)以往成績，該同學(xué)多選題的得分只有2分和0分兩種情況．已知該同學(xué)做甲題得2分的概率為，分別做乙、丙兩題得2分的概率均為．假設(shè)該同學(xué)做完了以上三道題目，且做每題的結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求該同學(xué)做完了以上三題恰好得2分的概率；
(2)求該同學(xué)的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式2-2．某運(yùn)動會中，新增加的“趣味乒乓球單打”是這屆運(yùn)動會的熱門項目，比賽規(guī)則如下：兩人對壘，開局前抽簽決定由誰先發(fā)球（機(jī)會均等），此后均由每個球的贏球者發(fā)下一個球，對于每一個球，若發(fā)球者贏此球，發(fā)球者得1分，對手得0分；若對手贏得此球，發(fā)球者得0分，對手得2分.當(dāng)有一人累計得分超過5分時，比賽就結(jié)束，得分高者獲勝.已知在選手甲和乙的對壘中，發(fā)球一方贏得此球的概率都是0.6，各球結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)假設(shè)開局前抽簽結(jié)果是甲發(fā)第一個球，求比賽出現(xiàn)比分的概率；
(2)已知現(xiàn)在比分，接下來由甲發(fā)球，兩人又打了X個球后比賽結(jié)束，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
變式2-3．為進(jìn)一步加強(qiáng)未成年人心理健康教育，如皋市教育局決定在全市深入開展“東皋大講堂”進(jìn)校園心理健康教育宣講活動，為了緩解高三學(xué)生壓力，高三年級某班級學(xué)生在開展“東皋大講堂”過程中，同座兩個學(xué)生之間進(jìn)行了一個游戲，甲盒子中裝有2個黑球1個白球，乙盒子中裝有3個白球，現(xiàn)同座的兩個學(xué)生相互配合，從甲、乙兩個盒子中各取一個球，交換后放入另一個盒子中，重復(fù)進(jìn)行n次這樣的操作，記甲盒子中黑球的個數(shù)為，恰好有2個黑球的概率為，恰好有1個黑球的概率為.
(1)求第二次操作后，甲盒子中沒有黑球的概率；
(2)求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 離散型隨機(jī)變量分布列
1．暑假里大學(xué)二年級的H同學(xué)去他家附近的某個大型水果超市打工．他發(fā)現(xiàn)該超市每天以10元/千克的價格從中心倉庫購進(jìn)若干A水果，然后以15元/千克的價格出售；若有剩余，則將剩余的水果以8元/千克的價格退回中心倉庫．H同學(xué)記錄了打工期間A水果最近50天的日需求量（單位：千克），整理得下表：
以上表中各日需求量的頻率作為各日需求量的概率，解答下面的兩個問題．
(1)若超市明天購進(jìn)A水果150千克，求超市明天獲得利潤X（單位：元）的分布列及期望；
(2)若超市明天可以購進(jìn)A水果150千克或160千克，以超市明天獲得利潤的期望為決策依據(jù)，在150千克與160千克之中應(yīng)當(dāng)選擇哪一個？若受市場影響，剩余的水果只能以7元/千克的價格退回水果基地，又該選哪一個？請說明理由．
2.從甲地到乙地要經(jīng)過個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．
(1)若有一輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這一輛車未遇到紅燈的概率；
(2)記表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
3．2022年北京冬奧會有包括中國隊在內(nèi)的12支男子冰球隊參加比賽，12支參賽隊分為三組，每組四隊，2月9號至13號將進(jìn)行小組賽，小組賽采取單循環(huán)賽制，即每個小組的四支參賽隊在比賽中均能相遇一次，最后按各隊在比賽中的得分多少來排列名次．小組賽結(jié)果的確定規(guī)則如下：
①在常規(guī)時間里，獲得最多進(jìn)球的隊為獲勝者，獲勝者得3分；
②在常規(guī)時間里，如果雙方進(jìn)球相等，每隊各得1分．比賽繼續(xù)進(jìn)行，以突然死亡法（即在規(guī)定的時間內(nèi)有一方進(jìn)球）加時賽決出勝負(fù)，突然死亡法加時賽中獲勝的隊將額外獲得1分；
③在突然死亡法加時賽中，如果雙方都沒有得分，那么進(jìn)行點(diǎn)球賽，直至決出勝負(fù)，在點(diǎn)球賽中獲勝的隊將額外獲得1分．
若在小組賽中，甲隊與乙隊相遇，在常規(guī)時間里甲隊獲勝的概率為，進(jìn)球數(shù)相同的概率為；在突然死亡法加時賽中，甲隊獲勝的概率為，雙方都沒有得分的概率為；在點(diǎn)球賽中，甲隊獲勝的概率為，假設(shè)各比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)在甲隊與乙隊的比賽中，求甲隊得2分獲勝的概率；
(2)在甲隊與乙隊的比賽中，求甲隊得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．
4．為進(jìn)一步完善公共出行方式，倡導(dǎo)“綠色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，為了鼓勵市民租用公共自行車出行，同時希望市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每次的租用時間進(jìn)行繳費(fèi)，具體繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時間不超過1小時，免費(fèi)；②超出一小時后每小時1元（不足一小時按一小時計算），一天24小時最高收費(fèi)10元.某日甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，且兩人租車時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙租用時間不超過一小時的概率分別是0.5，0.4；租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付費(fèi)多的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人付費(fèi)之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
5．隨著2022年北京冬季奧運(yùn)會的如火如茶的進(jìn)行.2022年北京冬季奧運(yùn)會吉祥物“冰墩墩”受到人們的青睞，現(xiàn)某特許商品專賣店每天均進(jìn)貨一次，賣一個吉祥物“冰墩墩”可獲利50元，若供大于求，則每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管費(fèi)10元/個；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時調(diào)劑的每一個吉祥物“冰墩墩”該店僅獲利20元．該店調(diào)查上屆冬季奧運(yùn)會吉祥物每天(共計20天)的需求量(單位：個)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到下表：
以上述20天吉祥物的需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．記X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．
(1)求X的分布列；
(2)若該店某一天購進(jìn)164個吉祥物“冰墩墩”，則當(dāng)天的平均利潤為多少元．
6．在中國共產(chǎn)黨的正確領(lǐng)導(dǎo)下，我國順利實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標(biāo)——全面建成小康社會.某地為了鞏固扶貧成果，決定繼續(xù)對甲、乙兩家鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進(jìn)行指導(dǎo).指導(dǎo)方式有兩種，一種是精準(zhǔn)指導(dǎo)，一種是綜合指導(dǎo).已知對甲企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時，投資50萬元，增加100萬元收入的概率為0.2，增加200萬元收入的概率為0.8，采用綜合指導(dǎo)時，投資100萬元，增加200萬元收入的概率為0.6，增加400萬收入的概率為0.4；對乙企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時，投資50萬元，增加100萬元收入的概率為0.3，增加200萬元收入的概率為0.7，采用綜合指導(dǎo)時，投資100萬元，增加200萬元收入的概率為0.7，增加400萬元收入的概率為0.3.指導(dǎo)結(jié)果在兩家企業(yè)之間互不影響.
(1)若決策部門對甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)，設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為萬元，求的分布列；
(2)若有150萬元無息貸款可供甲、乙兩家企業(yè)使用，對兩家企業(yè)應(yīng)分別進(jìn)行哪種指導(dǎo)總收入最高？請說明理由.
7．2021年10月16日，神舟十三號載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會對接，航天員翟志剛、王亞平、葉光富順利進(jìn)駐天和核心艙，由此中國空間站開啟了有人長期駐留的時代．為普及航天知識，某航天科技體驗館開展了一項“摸球過關(guān)”領(lǐng)取航天紀(jì)念品的游戲，規(guī)則如下：不透明的口袋中有3個紅球，2個白球，這些球除顏色外完全相同．參與者每一輪從口袋中一次性取出3個球，將其中的紅球個數(shù)記為該輪得分X，記錄完得分后，將摸出的球全部放回袋中．當(dāng)參與完成第n輪游戲，且其前n輪的累計得分恰好為2n時，游戲過關(guān)，可領(lǐng)取紀(jì)念品，同時游戲結(jié)束，否則繼續(xù)參與游戲．若第3輪后仍未過關(guān)，則游戲也結(jié)束．每位參與者只能參加一次游戲．
(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)若甲參加該項游戲，求甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率．
8．為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某單位舉辦了以“聽黨召喚，使命在肩”為主題的知識競賽活動，經(jīng)過初賽?復(fù)賽，小張和小李進(jìn)入決賽，決賽試題由3道小題組成，每道小題選手答對得1分，答錯得0分，假設(shè)小張答對第一?第二?第三道小題的概率依次是，，，小李答對每道小題的概率都是.且他們每道小題解答正確與否相互之間沒有影響，用X表示小張在決賽中的得分，用Y表示小李在決賽中的得分.
(1)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X），并從概率與統(tǒng)計的角度分析小張和小李在決賽中誰的得分能力更強(qiáng)一些；
(2)求在事件“”發(fā)生的條件下，事件“”的概率.
工序
第一工序
第二工序
概率
0.8
0.6
等級
一等品
二等品
三等品
利潤
50
20
10
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
頻數(shù)
5
10
8
8
7
7
5
每天需求量
162
163
164
165
166
頻數(shù)
2
4
6
5
3
第四篇 概率與統(tǒng)計
專題01 離散型隨機(jī)變量分布列
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 離散型隨機(jī)變量分布列
典例1．某校組織“百年黨史”知識比賽，每組有兩名同學(xué)進(jìn)行比賽，有2道搶答題目．已知甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行同一組比賽，每人搶到每道題的機(jī)會相等．搶到題目且回答正確者得100分，沒回答者得0分；搶到題目且回答錯誤者得0分，沒搶到者得50分，2道題目搶答完畢后得分多者獲勝．已知甲答對每道題目的概率為．乙答對每道題目的概率為，且兩人各道題目是否回答正確相互獨(dú)立．
(1)求乙同學(xué)得100分的概率；
(2)記X為甲同學(xué)的累計得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【解析】
【分析】
（1）應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同學(xué)得100分的概率；
（2）由題意知可能值為，分別求出對應(yīng)概率，寫出分布列，進(jìn)而求期望.
(1)
由題意，乙同學(xué)得100分的基本事件有{乙搶到兩題且一道正確一道錯誤}、{甲乙各搶到一題都回答正確}、{甲搶到兩題且回答錯誤}，
所以乙同學(xué)得100分的概率為.
(2)
由題意，甲同學(xué)的累計得分可能值為，
；；
；；；
分布列如下：
所以期望.
變式1-1．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奧運(yùn)會，于2022年2月4日星期五開幕，2月20日星期日閉幕．北京冬季奧運(yùn)會設(shè)7個大項，15個分項，109個小項．北京賽區(qū)承辦所有的冰上項目；延慶賽區(qū)承辦雪車、雪橇及高山滑雪項目；張家口賽區(qū)的崇禮區(qū)承辦除雪車、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上項目．某運(yùn)動隊擬派出甲、乙、丙三人去參加自由式滑雪．比賽分為初賽和決賽，其中初賽有兩輪，只有兩輪都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲在每輪比賽中獲勝的概率均為；乙在第一輪和第二輪比賽中獲勝的概率分別為和；丙在第一輪和第二輪獲勝的概率分別是p和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，誰進(jìn)入決賽的可能性最大；
(2)若甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)人決賽的概率為，求p的值；
(3)在（2）的條件下，設(shè)進(jìn)入決賽的人數(shù)為，求的分布列．
【答案】(1)甲進(jìn)入決賽可能性最大
(2)
(3)分布列見解析
【解析】
【分析】
（1）分別求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪均獲勝的概率，然后比較即可；
（2）利用相互獨(dú)立事件的概率的求法分別求出甲和乙進(jìn)入決賽的概率、乙和丙進(jìn)入決賽的概率、甲和丙進(jìn)入決賽的概率，即可通過甲、乙、丙三人中恰有兩人進(jìn)人決賽的概率為，列方程求解；
（3）先確定進(jìn)入決賽的人數(shù)為的取值，依次求出每一個值所對應(yīng)的概率，列表即可.
(1)
甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：
乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：
丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：
∵，∴，
∴
∴甲進(jìn)入決賽可能性最大．
(2)

整理得，解得或，
又∵，∴；
(3)
由（2）得，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為：，
進(jìn)入決賽的人數(shù)為可能取值為， ，，，
，
，
，
，
∴的分布列為
變式1-2．從甲地到乙地要經(jīng)過個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．
(1)若有一輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這一輛車未遇到紅燈的概率；
(2)記表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】
【分析】
（1）利用相互獨(dú)立事件概率計算公式，計算出所求概率.
（2）結(jié)合相互獨(dú)立事件概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.
(1)
設(shè)“一輛車未遇到紅燈”為事件，
則.
(2)
隨機(jī)變量的所以可能的取值為，
則
.
.
.
隨機(jī)變量的分布列：
隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：.
變式1-3．對飛機(jī)進(jìn)行射擊，按照受損傷影響的不同，飛機(jī)的機(jī)身可分為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三個部分.要擊落飛機(jī)，必須在Ⅰ部分命中一次，或在Ⅱ部分命中兩次，或在Ⅲ部分命中三次.設(shè)炮彈擊落飛機(jī)時，命中Ⅰ部分的概率是，命中Ⅱ部分的概率是，命中Ⅲ部分的概率是，射擊進(jìn)行到擊落飛機(jī)為止.假設(shè)每次射擊均擊中飛機(jī)，且每次射擊相互獨(dú)立.
(1)求恰好在第二次射擊后擊落飛機(jī)的概率；
(2)求擊落飛機(jī)的命中次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【解析】
【分析】
(1)把恰好在第二次射擊后擊落飛機(jī)的事件拆成兩個互斥事件的和，再利用獨(dú)立事件概率公式計算作答.
(2)求出的可能值，并求出每個取值的概率，列出分布列并求出期望作答.
(1)
設(shè)恰好第二次射擊后擊落飛機(jī)為事件是第一次未擊中Ⅰ部分，在第二次擊中Ⅰ部分的事件與兩次都擊中Ⅱ部分的事件的和，它們互斥，
所以.
(2)
依題意，的可能取值為1，2，3，4，
的事件是射擊一次擊中Ⅰ部分的事件，，由(1)知，，
的事件是前兩次射擊擊中Ⅱ部分、Ⅲ部分各一次，第三次射擊擊中Ⅰ部分或Ⅱ部分的事件，與前兩次射擊擊中Ⅲ部分，
第三次射擊擊中Ⅰ部分或Ⅲ部分的事件的和，它們互斥，，
的事件是前三次射擊擊中Ⅱ部分一次，Ⅲ部分兩次，第四次射擊的事件，，
所以的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.
典例2．高三學(xué)生甲、乙為緩解緊張的學(xué)習(xí)壓力，相約本星期日進(jìn)行“某競技體育項目”比賽．比賽采用三局二勝制，先勝二局者獲勝．商定每局比賽(決勝局第三局除外)勝者得3分，敗者得1分，決勝局勝者得2分，敗者得0分．已知每局比賽甲獲勝的概率為，各局比賽相互獨(dú)立．
(1)求比賽結(jié)束，乙得4分的概率；
(2)設(shè)比賽結(jié)束，甲得X分，求X的概率分布與數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意，求得得分的事件，即可求得其概率；
（2）根據(jù)題意，求得的取值，再求概率從而求得分布列，再根據(jù)分布列求得數(shù)學(xué)期望即可.
(1)
若比賽結(jié)束，乙得4分，則比賽結(jié)果是甲以獲勝，
故前兩局比賽，甲勝1場，敗1場，最后一局比賽，甲勝.
則比賽結(jié)束，乙得4分的概率為.
(2)
若甲連勝2局結(jié)束比賽，甲得分，其概率為；
若甲連敗2局結(jié)束比賽，甲得2分，其概率為；
若甲以結(jié)束比賽，甲得分，其概率為；
若乙以結(jié)束比賽，甲得4分，其概率為；
故X的分布列如下所示：
故.
變式2-1．現(xiàn)有甲、乙、丙三道多選題，某同學(xué)獨(dú)立做這三道題，根據(jù)以往成績，該同學(xué)多選題的得分只有2分和0分兩種情況．已知該同學(xué)做甲題得2分的概率為，分別做乙、丙兩題得2分的概率均為．假設(shè)該同學(xué)做完了以上三道題目，且做每題的結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)求該同學(xué)做完了以上三題恰好得2分的概率；
(2)求該同學(xué)的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行求解即可；
（2）寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對應(yīng)概率，從而可求出分布列，再根據(jù)期望公式即可求出期望.
(1)
解：記“該同學(xué)做完了以上三題恰好得2分”為事件A，“該同學(xué)做甲題得2分”為事件B，“該同學(xué)做乙題得2分”為事件C．“該同學(xué)做丙題得2分”為事件D，由題意知，
因為，
所以
；
(2)
解：根據(jù)題意，X的可能取值為0，2，4，6，
所以．
由（1）知，
，
故X的分布列為
所以．
變式2-2．某運(yùn)動會中，新增加的“趣味乒乓球單打”是這屆運(yùn)動會的熱門項目，比賽規(guī)則如下：兩人對壘，開局前抽簽決定由誰先發(fā)球（機(jī)會均等），此后均由每個球的贏球者發(fā)下一個球，對于每一個球，若發(fā)球者贏此球，發(fā)球者得1分，對手得0分；若對手贏得此球，發(fā)球者得0分，對手得2分.當(dāng)有一人累計得分超過5分時，比賽就結(jié)束，得分高者獲勝.已知在選手甲和乙的對壘中，發(fā)球一方贏得此球的概率都是0.6，各球結(jié)果相互獨(dú)立.
(1)假設(shè)開局前抽簽結(jié)果是甲發(fā)第一個球，求比賽出現(xiàn)比分的概率；
(2)已知現(xiàn)在比分，接下來由甲發(fā)球，兩人又打了X個球后比賽結(jié)束，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)0.304；
(2)分布列見解析，.
【解析】
【分析】
(1)把比賽出現(xiàn)比分的事件拆成兩個互斥的和，再分別求出每個事件的概率即可得解.
(2)求出X的所有可能值，再分析計算求出各個值的概率，列出分布列，求出期望作答.
(1)
比賽出現(xiàn)比分的事件A是甲發(fā)三球，前兩球甲贏，第三球乙贏的事件與甲發(fā)球乙贏、乙發(fā)球甲贏的事件的和，
事件與互斥，，，
因此，，
所以比賽出現(xiàn)比分的概率為0.304.
(2)
的所有可能值為：2，3，4，
因比分已是，接下來由甲發(fā)球，且有一人累計得分超過5分時，比賽就結(jié)束，
的事件是甲發(fā)球乙贏，乙發(fā)球乙贏比賽結(jié)束的事件，，
的事件是以下3個互斥事件的和：甲發(fā)三球甲贏，比賽結(jié)束的事件；甲發(fā)第一球甲贏，發(fā)第二球乙贏，
乙發(fā)球比賽結(jié)束的事件；甲發(fā)第一球乙贏，乙發(fā)第二球甲贏，甲發(fā)球比賽結(jié)束的事件，
，
的事件是甲發(fā)前兩球甲贏，發(fā)第三球乙贏，乙再發(fā)球比賽結(jié)束的事件，
，
所以的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望：.
變式2-3．為進(jìn)一步加強(qiáng)未成年人心理健康教育，如皋市教育局決定在全市深入開展“東皋大講堂”進(jìn)校園心理健康教育宣講活動，為了緩解高三學(xué)生壓力，高三年級某班級學(xué)生在開展“東皋大講堂”過程中，同座兩個學(xué)生之間進(jìn)行了一個游戲，甲盒子中裝有2個黑球1個白球，乙盒子中裝有3個白球，現(xiàn)同座的兩個學(xué)生相互配合，從甲、乙兩個盒子中各取一個球，交換后放入另一個盒子中，重復(fù)進(jìn)行n次這樣的操作，記甲盒子中黑球的個數(shù)為，恰好有2個黑球的概率為，恰好有1個黑球的概率為.
(1)求第二次操作后，甲盒子中沒有黑球的概率；
(2)求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)；
(2)答案見解析，
【解析】
【分析】
（1）由題意得，然后分析第二次操作后，甲盒子中沒有黑球的情況，從而求解出對應(yīng)概率；（2）先計算，判斷的取值為，分別計算對應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望公式求解.
(1)
由題意知，，兩次后甲盒子沒有黑球時，必須第一次甲盒子中取出一個黑球，第二次甲盒子（黑1白2）再取出一個黑球，乙盒子中（黑1白2）取出一個白球，則
(2)
，，由題意，的取值為，則，，
所以的分布列為
所以
【點(diǎn)睛】
求解分布列的問題時，一般需要先判斷變量的可能取值，然后分析題目中的情況計算每個取值對應(yīng)的概率，從而列出分布列，代入期望公式求解期望.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 離散型隨機(jī)變量分布列
1．暑假里大學(xué)二年級的H同學(xué)去他家附近的某個大型水果超市打工．他發(fā)現(xiàn)該超市每天以10元/千克的價格從中心倉庫購進(jìn)若干A水果，然后以15元/千克的價格出售；若有剩余，則將剩余的水果以8元/千克的價格退回中心倉庫．H同學(xué)記錄了打工期間A水果最近50天的日需求量（單位：千克），整理得下表：
以上表中各日需求量的頻率作為各日需求量的概率，解答下面的兩個問題．
(1)若超市明天購進(jìn)A水果150千克，求超市明天獲得利潤X（單位：元）的分布列及期望；
(2)若超市明天可以購進(jìn)A水果150千克或160千克，以超市明天獲得利潤的期望為決策依據(jù)，在150千克與160千克之中應(yīng)當(dāng)選擇哪一個？若受市場影響，剩余的水果只能以7元/千克的價格退回水果基地，又該選哪一個？請說明理由．
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為元
(2)超市應(yīng)購進(jìn)160千克，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）求出X的可能取值及相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)該超市一天購進(jìn)水果160千克，當(dāng)天利潤為Y元，求出Y的可能取值及相應(yīng)的概率，求出數(shù)學(xué)期望，與第一問求出的期望值相比，得到結(jié)論.
(1)
若A水果日需求量為140千克，則，且，
若A水果日需求量不少于150千克，則，且，故X的分布列為：
元
(2)
設(shè)該超市一天購進(jìn)水果160千克，當(dāng)天利潤為Y元，則Y的可能取值為140×5-20×2，150×5-10×2,160×5，即660,730,800
且，，，則，因為772>743，所以超市應(yīng)購進(jìn)160千克.
2．某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，由第一?第二兩道工序加工而成，兩道工序的加工結(jié)果相互獨(dú)立，每道工序的加工結(jié)果只有A，B兩個等級.兩道工序的加工結(jié)果直接決定該產(chǎn)品的等級：兩道工序的加工結(jié)果均為A級時，產(chǎn)品為一等品；兩道工序恰有一道.工序加工結(jié)果為B級時，產(chǎn)品為二等品；其余均為三等品.每一道工序加工結(jié)果為A級的概率如表一所示，一件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）如表二所示：
表一
表二
(1)用（萬元）表示一件產(chǎn)品的利潤，求的分布列和均值；
(2)工廠對于原來的生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級，計劃通過增加檢測成本對第二工序進(jìn)行改良，假如在改良過程中，每件產(chǎn)品檢測成本增加萬元（即每件產(chǎn)品利潤相應(yīng)減少萬元）時，第二工序加工結(jié)果為A級的概率增加，問該改良方案對一件產(chǎn)品的利潤的均值是否會產(chǎn)生影響？并說明理由.
【答案】(1)分布列答案見解析，
(2)該改良方案對一件產(chǎn)品的利潤的均值會產(chǎn)生影響，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）由題意的可能取值為50，20，10，分別求出其概率得分布列，再由期望公式計算出期望；
（2）設(shè)改良后一件產(chǎn)品的利潤為，同（1）求出的各可能取值的概率，計算出期望，由期望函數(shù)與比較可得結(jié)論．
(1)
由題意可知，的可能取值為50，20，10，
產(chǎn)品為一等品的概率為0.8×0.6=0.48，
產(chǎn)品為二等品的概率為0.8×0.4+0.2×0.6=0.44，
產(chǎn)品為三等品的概率為1-0.48-0.44=0.08，
所以的分布列為
.
(2)
改良方案對一件產(chǎn)品的利潤的均值會產(chǎn)生影響，理由如下：
由題意可知，改良過程中，每件產(chǎn)品檢測成本增加萬元時，第二工序加工結(jié)果為級的概率增加，
設(shè)改良后一件產(chǎn)品的利潤為，則可能的取值為，，，
所以一等品的概率為，
二等品的概率為，
三等品的概率為，
所以
，
因為在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取到最大值為40，
又因為，
所以該改良方案對一件產(chǎn)品的利潤的均值會產(chǎn)生影響.
3．2022年北京冬奧會有包括中國隊在內(nèi)的12支男子冰球隊參加比賽，12支參賽隊分為三組，每組四隊，2月9號至13號將進(jìn)行小組賽，小組賽采取單循環(huán)賽制，即每個小組的四支參賽隊在比賽中均能相遇一次，最后按各隊在比賽中的得分多少來排列名次．小組賽結(jié)果的確定規(guī)則如下：
①在常規(guī)時間里，獲得最多進(jìn)球的隊為獲勝者，獲勝者得3分；
②在常規(guī)時間里，如果雙方進(jìn)球相等，每隊各得1分．比賽繼續(xù)進(jìn)行，以突然死亡法（即在規(guī)定的時間內(nèi)有一方進(jìn)球）加時賽決出勝負(fù)，突然死亡法加時賽中獲勝的隊將額外獲得1分；
③在突然死亡法加時賽中，如果雙方都沒有得分，那么進(jìn)行點(diǎn)球賽，直至決出勝負(fù)，在點(diǎn)球賽中獲勝的隊將額外獲得1分．
若在小組賽中，甲隊與乙隊相遇，在常規(guī)時間里甲隊獲勝的概率為，進(jìn)球數(shù)相同的概率為；在突然死亡法加時賽中，甲隊獲勝的概率為，雙方都沒有得分的概率為；在點(diǎn)球賽中，甲隊獲勝的概率為，假設(shè)各比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
(1)在甲隊與乙隊的比賽中，求甲隊得2分獲勝的概率；
(2)在甲隊與乙隊的比賽中，求甲隊得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)；
(2)分布列見解析；.
【解析】
【分析】
（1）由題可得甲隊得2分獲勝有兩種情況，甲在加時賽中獲勝或甲在點(diǎn)球賽中獲勝，分別計算概率即得；
（2）由題可得可取0,1,2,3，分別計算概率即得分布列，然后利用期望計算公式即得.
(1)
設(shè)甲在加時賽中獲勝為事件A，甲在點(diǎn)球賽中獲勝為事件B，
則，
∴甲隊得2分獲勝的概率為.
(2)
甲隊得分可取0,1,2,3，
，
，
，
，
∴的分布列為
∴甲隊得分的數(shù)學(xué)期望為.
4．為進(jìn)一步完善公共出行方式，倡導(dǎo)“綠色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，為了鼓勵市民租用公共自行車出行，同時希望市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每次的租用時間進(jìn)行繳費(fèi)，具體繳費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：①租用時間不超過1小時，免費(fèi)；②超出一小時后每小時1元（不足一小時按一小時計算），一天24小時最高收費(fèi)10元.某日甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，且兩人租車時間都不會超過3小時，設(shè)甲、乙租用時間不超過一小時的概率分別是0.5，0.4；租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.2，0.4.
(1)求甲比乙付費(fèi)多的概率；
(2)設(shè)甲、乙兩人付費(fèi)之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)0.32
(2)分布列見解析，1.6
【解析】
【分析】
（1）用合適的字母表達(dá)每個事件，并按照題意搞清楚事件之間的關(guān)系以及每個事件的概率即可;
(2)求分布列和數(shù)學(xué)期望就是要搞清楚隨機(jī)變量的可能取值范圍，以及每個值都是由那些事件構(gòu)成的.
(1)
根據(jù)題意，記“甲付費(fèi)為0元、1元、2元、”為事件，，
它們彼此互斥，且，，，
同理，記“乙付費(fèi)為0元、1元、2元”為事件，，
它們彼此互斥，且，，，
由題知，事件，，與事件，，
相互獨(dú)立記，甲比乙付費(fèi)多為事件M，則有：
可得：
故：甲比乙付費(fèi)多的概率為：0.32；
(2)
由題知，的可能取值為：0，1，2，3，4
則有：，
，
，
，
；
所以的分布列為：
的數(shù)學(xué)期望：，
故答案為：0.32，1.6.
5．隨著2022年北京冬季奧運(yùn)會的如火如茶的進(jìn)行.2022年北京冬季奧運(yùn)會吉祥物“冰墩墩”受到人們的青睞，現(xiàn)某特許商品專賣店每天均進(jìn)貨一次，賣一個吉祥物“冰墩墩”可獲利50元，若供大于求，則每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管費(fèi)10元/個；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時調(diào)劑的每一個吉祥物“冰墩墩”該店僅獲利20元．該店調(diào)查上屆冬季奧運(yùn)會吉祥物每天(共計20天)的需求量(單位：個)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)得到下表：
以上述20天吉祥物的需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．記X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．
(1)求X的分布列；
(2)若該店某一天購進(jìn)164個吉祥物“冰墩墩”，則當(dāng)天的平均利潤為多少元．
【答案】(1)
(2)8187（元）
【解析】
【分析】
（1）可取162，163，164，165，166，求出對應(yīng)概率，然后再寫出分布列即可；
（2）設(shè)表示每天的利潤，求出所有的取值，再根據(jù)期望公式即可得解.
(1)
解：可取162，163，164，165，166，
，
，
，
，
，
所以分布列為：
(2)
設(shè)表示每天的利潤，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以平均利潤為（元）.
6．在中國共產(chǎn)黨的正確領(lǐng)導(dǎo)下，我國順利實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標(biāo)——全面建成小康社會.某地為了鞏固扶貧成果，決定繼續(xù)對甲、乙兩家鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進(jìn)行指導(dǎo).指導(dǎo)方式有兩種，一種是精準(zhǔn)指導(dǎo)，一種是綜合指導(dǎo).已知對甲企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時，投資50萬元，增加100萬元收入的概率為0.2，增加200萬元收入的概率為0.8，采用綜合指導(dǎo)時，投資100萬元，增加200萬元收入的概率為0.6，增加400萬收入的概率為0.4；對乙企業(yè)采用精準(zhǔn)指導(dǎo)時，投資50萬元，增加100萬元收入的概率為0.3，增加200萬元收入的概率為0.7，采用綜合指導(dǎo)時，投資100萬元，增加200萬元收入的概率為0.7，增加400萬元收入的概率為0.3.指導(dǎo)結(jié)果在兩家企業(yè)之間互不影響.
(1)若決策部門對甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)，設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為萬元，求的分布列；
(2)若有150萬元無息貸款可供甲、乙兩家企業(yè)使用，對兩家企業(yè)應(yīng)分別進(jìn)行哪種指導(dǎo)總收入最高？請說明理由.
【答案】(1)分布列見解析；
(2)對甲企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)總收入最高，理由見解析.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)題意確定隨機(jī)變量的所有可能取值，再求出每個取值對應(yīng)事件的概率并列出分布列即可；
(2)由條件知指導(dǎo)方案共有三種：對兩家企業(yè)均進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)；對甲企業(yè)精準(zhǔn)指導(dǎo)、對乙企業(yè)綜合指導(dǎo)；對甲企業(yè)綜合指導(dǎo)、對乙企業(yè)精準(zhǔn)指導(dǎo)，然后求出每種方案增加的總收入的數(shù)學(xué)期望，比較它們大小即可.
(1)
由題意知可能取值為300，400，500，600，
則，，
，，
∴當(dāng)決策部門對甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)時，兩家企業(yè)增加的總收入的分布列為
(2)
指導(dǎo)方案1：對甲、乙兩家企業(yè)均進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo).設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為萬元，則可能取值為200，300，400，
且，，
，(萬元)；
指導(dǎo)方案2：對甲企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo).
由(1)得(萬元)；
指導(dǎo)方案3：對甲企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo).
設(shè)兩家企業(yè)增加的總收入為，則的可能取值為300，400，500，600，
且，，
，，
(萬元).
∵，
∴指導(dǎo)方案3：對甲企業(yè)進(jìn)行綜合指導(dǎo)、對乙企業(yè)進(jìn)行精準(zhǔn)指導(dǎo)總收入最高.
7．2021年10月16日，神舟十三號載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會對接，航天員翟志剛、王亞平、葉光富順利進(jìn)駐天和核心艙，由此中國空間站開啟了有人長期駐留的時代．為普及航天知識，某航天科技體驗館開展了一項“摸球過關(guān)”領(lǐng)取航天紀(jì)念品的游戲，規(guī)則如下：不透明的口袋中有3個紅球，2個白球，這些球除顏色外完全相同．參與者每一輪從口袋中一次性取出3個球，將其中的紅球個數(shù)記為該輪得分X，記錄完得分后，將摸出的球全部放回袋中．當(dāng)參與完成第n輪游戲，且其前n輪的累計得分恰好為2n時，游戲過關(guān)，可領(lǐng)取紀(jì)念品，同時游戲結(jié)束，否則繼續(xù)參與游戲．若第3輪后仍未過關(guān)，則游戲也結(jié)束．每位參與者只能參加一次游戲．
(1)求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(2)若甲參加該項游戲，求甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率．
【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為
(2)
【解析】
【分析】
（1）先得出隨機(jī)變量X可取的，并求出相應(yīng)概率，列出分布列，計算數(shù)學(xué)期望；
（2）分別求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可領(lǐng)取紀(jì)念的概率，再相加得出甲能夠領(lǐng)到紀(jì)念品的概率．
(1)
由題意得，隨機(jī)變量X可取的值為1，2，3，
易知，，所以，
則隨機(jī)變量X的分布列如下：
所以
(2)
由（1）可知，參與者每輪得1分，2分，3分的概率依次為0.3，0.6，0.1，
記參與者第i輪的得分為，則其前n輪的累計得分為，
若參與者取球1次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即參與者得2分，則；
若參與者取球2次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即參與者獲得的分?jǐn)?shù)之和為4分，有“”、“”的情形，
則；
若參與者取球3次后可領(lǐng)取紀(jì)念品，即參與者獲得的分?jǐn)?shù)之和為6分，
有“”、“”的情形，則；
記“參與者能夠領(lǐng)取紀(jì)念品”為事件A，則
．
8．為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某單位舉辦了以“聽黨召喚，使命在肩”為主題的知識競賽活動，經(jīng)過初賽?復(fù)賽，小張和小李進(jìn)入決賽，決賽試題由3道小題組成，每道小題選手答對得1分，答錯得0分，假設(shè)小張答對第一?第二?第三道小題的概率依次是，，，小李答對每道小題的概率都是.且他們每道小題解答正確與否相互之間沒有影響，用X表示小張在決賽中的得分，用Y表示小李在決賽中的得分.
(1)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X），并從概率與統(tǒng)計的角度分析小張和小李在決賽中誰的得分能力更強(qiáng)一些；
(2)求在事件“”發(fā)生的條件下，事件“”的概率.
【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：，小李的得分能力更強(qiáng)一些
(2)
【解析】
【分析】
（1）結(jié)合相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗的知識計算出的分布列以及，由此作出判斷.
（2）利用條件概型概率計算公式，計算出事件“”的概率.
(1)
由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2，3
所以；
，
，
所以隨機(jī)變量X的分布列為
數(shù)學(xué)期望
而，所以，
所以，小李的得分能力更強(qiáng)一些.
(2)
設(shè)“”為事件A，“”為事件B，
因為；；
，
，
，
所以，所以在的條件下，的概率是.
0
50
100
150
200
0
1
2
3
P
0
1
2
3
1
2
3
4
X
2
4
6
P(X)
X
0
2
4
6
P




2
3
4
0.24
0.616
0.144
日需求量
140
150
160
170
180
190
200
頻數(shù)
5
10
8
8
7
7
5
X
680
750
P
0.1
0.9
工序
第一工序
第二工序
概率
0.8
0.6
等級
一等品
二等品
三等品
利潤
50
20
10
50
20
10
0.48
0.44
0.08
X
0
1
2
3
P
0
1
2
3
4
P
0.2
0.28
0.3
0.16
0.06
每天需求量
162
163
164
165
166
頻數(shù)
2
4
6
5
3
162
163
164
165
166
162
163
164
165
166
300
400
500
600
0.14
0.56
0.06
0.24
X
1
2
3
P
0.3
0.6
0.1
X
0
1
2
3
P

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