常見考點
考點一 常規(guī)不等式的證明
典例1．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(2)證明：當時，．
變式1-1．已知函數(shù)．
(1)試比較與的大?。?br>(2)證明：，．
變式1-2．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程.
(2)證明：.
變式1-3．已知函數(shù)．
(1)若，證明：在上存在唯一的零點；
(2)若，證明：當時，．
考點二 含n不等式的證明
典例2．已知函數(shù) ．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：…
變式2-1．已知函數(shù)，.
(1)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
變式2-2．已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.
(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設g(x)＝，對?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實數(shù)k的取值范圍；
(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
變式2-3．已知函數(shù).
(1)當時，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
(2)求證：（，e是自然對數(shù)的底數(shù)）
鞏固練習
練習一 常規(guī)不等式的證明
1．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的極值；
(2)當x>0時，證明：
2．已知函數(shù).
(1)若，討論零點的個數(shù)；
(2)求證：當時，（注：）.
3．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及在上的最小值；
(2)證明：當時，.
4．已知函數(shù)．
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；
(2)當時，求證：．
練習二 含n不等式的證明
5．已知函數(shù).
(1)若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
(2)證明：(，).
6．已知函數(shù)在處取得極值
(1)求函數(shù)的單調(diào)性；
(2)證明：對于任意的正整數(shù)，不等式都成立.
7．已知函數(shù).
(1)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)證明：.
8．已知函數(shù).
(1)若，求的值；
(2)證明：對任意的正整數(shù)，.
第六篇 導數(shù)
專題06 利用導數(shù)證明不等式
常見考點
考點一 常規(guī)不等式的證明
典例1．已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．
(2)證明：當時，．
【答案】(1)答案見解析
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，求出的值，然后分別解不等式、，可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求得，可證得結(jié)論成立.
(1)
解：因為，所以，解得，所以．
函數(shù)的定義域為，令，得；令，得．
所以函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.
(2)
證明：要證，即證，只需證．
令，其中，
則．
令，則，所以在上單調(diào)遞增．
因為，，
所以存在，使，可得，
當時，，即，則在上單調(diào)遞減；
當時，，即，則在上單調(diào)遞增．
所以．
所以，所以．
【點睛】
方法點睛：利用導數(shù)證明不等式問題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
變式1-1．已知函數(shù)．
(1)試比較與的大小．
(2)證明：，．
【答案】(1)，理由見解析；
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）構(gòu)造函數(shù)，求出單調(diào)性，極值，最值，得到結(jié)果；（2）在第一問求解的基礎上，通過變形得到，再經(jīng)過放縮證明出不等式.
(1)
．理由如下：
設，則．
由，得；由，得．
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在x=0處取得極小值，也是最小值，
故，即，當且僅當時，等號成立．
(2)
證明：由（1）可知，當且僅當時，等號成立，
則，當且僅當時，等號成立．
，從而，即，當且僅當時，等號成立．
故．
因為，所以，
因為，所以，所以，
即，即．
【點睛】
導函數(shù)證明不等式，放縮是一種常見方法，常見的放縮有切線放縮，最值放縮等，比如本題中所用的，（）為切線放縮，而為最值放縮.
變式1-2．已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程.
(2)證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）當時，求得，得到和，進而求得切線的方程；
（2）令，利用導數(shù)求得單調(diào)性，得到，即，得到，再令，利用導數(shù)求得單調(diào)性，得到，兩式相加，即可求解.
(1)
解：當時，函數(shù)，
可得，所以，
因為，所以切點坐標為，
所以曲線在點處的切線方程為，
即曲線在點處的切線方程.
(2)
證明：令，則，
當時，；當時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，即，則①.
令，則，
當時，；當時，，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以②，
①②可得，即.
變式1-3．已知函數(shù)．
(1)若，證明：在上存在唯一的零點；
(2)若，證明：當時，．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】
【分析】
（1）利用導數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由零點存在性定理求證即可；
（2）求出函數(shù)導數(shù)，分析當時，導數(shù)大于等于0，利用函數(shù)單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最小值即可證明.
(1)
當時，，故，
，
當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，，由零點存在性定理知，
在上存在唯一的零點.
(2)
，
，
當時，，
令，
當時，，，
當時，令，則，
故時，，單調(diào)遞增；時，，單調(diào)遞減，
故當時，，，
，
綜上可知，時，，故，在時單調(diào)遞增，
所以，即當時，．
考點二 含n不等式的證明
典例2．已知函數(shù) ．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：…
【答案】(1)分類討論，答案見解析.
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）利用換元法，結(jié)合導數(shù)以及復合函數(shù)的單調(diào)性，對進行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）當時，根據(jù)的單調(diào)性得到，結(jié)合累加法證得.當時，根據(jù)的單調(diào)性得到，結(jié)合累加法證得.從而證得原不等式成立.
(1)
令，∵
①當時，對任意都有是 上的增函數(shù)，
由于當時，是增函數(shù)，當時，是減函數(shù)，
由復合函數(shù)的單調(diào)性知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
②當，對任意都有是 上的減函數(shù)，
從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
③當時，則，
則在遞增，在遞減
從而在區(qū)間和單調(diào)遞增，
在區(qū)間和單調(diào)遞減.
綜上所述，①當時，在遞增，在遞減；
②當時，從而在區(qū)間和單調(diào)遞增，
在區(qū)間和單調(diào)遞減；
③當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
(2)
①當時，由（1）知，在單調(diào)遞減，
令，有，即
累加得.
②當時，由（1）知，在單調(diào)遞增，
令，有，即
累加得
從而對任意都成立．
【點睛】
證明有兩個不等號的不等式成立，可分別證明這兩個不等式連接的式子成立，從而證得不等式成立.復合函數(shù)的單調(diào)性可以根據(jù)“同增異減”來判斷.
變式2-1．已知函數(shù)，.
(1)若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(2)求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）等價于，即，記，只要證明即可，分，和三種情況討論函數(shù)的最值，從而可得出答案；
（2）由（1）可知當時，在上成立，即，令，則，由此即可證得結(jié)論.
(1)
解：等價于，即，
記，則，
當時，，在上單調(diào)遞增，
由，，
所以，即不恒成立；
當時，則，當時，，
所以在上單調(diào)遞增，
則，
所以不恒成立；
當時，，，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，即恒成立，
所以在上恒成立，實數(shù)的取值范圍是；
(2)
證明：當時，在上成立，即，
令，則，
所以
，
所以.
【點睛】
本題考查了不等式恒成立問題和不等式的證明問題，考查了利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)換思想，有一定的難度.
變式2-2．已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2處的切線斜率為－.
(1)求實數(shù)a的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設g(x)＝，對?x1(0，＋∞)，?x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正實數(shù)k的取值范圍；
(3)證明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
【答案】(1)a＝1，增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
(3)證明見解析
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)導數(shù)幾何意義先求出，再求導解不等式可得單調(diào)區(qū)間；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為f(x)max≤g(x)max，再分別求最大值建立不等式即可求解；
（3）根據(jù)（1）中的不等式放縮，再通過裂項相消法求和可證明.
(1)
由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
當x(0，1)時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)，當x(1，＋∞)時，f′(x)

相關試卷

2024年新高考數(shù)學培優(yōu)專練23 利用導數(shù)證明不等式（原卷版+解析）：

這是一份2024年新高考數(shù)學培優(yōu)專練23 利用導數(shù)證明不等式（原卷版+解析），文件包含專題23利用導數(shù)證明不等式原卷版docx、專題23利用導數(shù)證明不等式教師版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共35頁， 歡迎下載使用。

2024年高考數(shù)學突破145分專題23 利用導數(shù)證明不等式(原卷版)200：

這是一份2024年高考數(shù)學突破145分專題23 利用導數(shù)證明不等式(原卷版)200，共4頁。試卷主要包含了多選題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題07 利用導數(shù)證明不等式（原卷及解析版）：

這是一份專題07 利用導數(shù)證明不等式（原卷及解析版），文件包含專題07利用導數(shù)證明不等式原卷版docx、專題07利用導數(shù)證明不等式解析版docx等2份試卷配套教學資源，其中試卷共15頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

新高考數(shù)學二輪復習導數(shù)培優(yōu)專題11 利用導數(shù)證明不等式（含解析）

新高考數(shù)學二輪復習導數(shù)培優(yōu)專題11 利用導數(shù)證明不等式（含解析）
高考數(shù)學二輪復習專題23 利用導數(shù)證明不等式(2份打包，原卷版+教師版)

高考數(shù)學二輪復習專題23 利用導數(shù)證明不等式(2份打包，原卷版+教師版)
高中數(shù)學高考專題23 利用導數(shù)證明不等式(原卷版)

高中數(shù)學高考專題23 利用導數(shù)證明不等式(原卷版)
高考一輪復習專題22 利用導數(shù)證明不等式(原卷版)無答案

高考一輪復習專題22 利用導數(shù)證明不等式(原卷版)無答案
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部