常見考點
考點一 角的計算
典例1．在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，，.
（1）求角C的大小；
（2）求的值；
（3）求的值.
變式1-1．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b=1,c=2，
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
變式1-2．在中，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知
（1）求的值；
（2）若，求的值.
變式1-3．已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足
（1）求角的值
（2）若，求的值
考點二 邊的計算
典例2．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大??；
（2）若，，點D在邊BC上，且，求線段AD的長．
變式2-1．已知鈍角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且___________，，，求c的值.
（1）從條件①，②中選擇一個填到橫線上，并解決問題；
（2）以（1）中結(jié)論為條件，若D是邊AC上一點，且，求線段BD的長度.
變式2-2．已知△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）判斷三角形△的形狀；
（2）記線段上靠近點的三等分點為，若，，求.
變式2-3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若a=2，的面積為，求b，c的值.
考點三 面積的計算
典例3．在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，．
(1)證明：；
(2)若，求的面積．
變式3-1．記的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求角A的值；
(2)若為銳角三角形，設(shè)，，求的面積.
變式3-2．在中，，，且，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知.
條件①：；
條件②：.
(1)求b的值；
(2)求的面積.
變式3-3．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，.
(1)若，求b.
(2)若______，求c的值及的面積.
請從①，②，這兩個條件中任選一個，將問題（2）補充完整，并作答.
考點四 周長的計算
典例4．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.
(1)求角的大??；
(2)若，，求的周長.
變式4-1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若，求的周長l．
變式4-2．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：是等腰三角形；
(2)若的面積為，且，求的周長．
變式4-3．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足．
(1)求A的大??；
(2)若，的面積為，求的周長．
鞏固練習
練習一 角的計算
1．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.
（1）求的值；
（2）求的值.
3．在的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，已知，.
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，.
（1）求角B；
（2）求a，c；
（3）求的值.
練習二 邊的計算
5．在中，角所對的邊分別為，已知.
（1）求角；
（2）若，的面積為，求.
6．在中，角，，的對邊分別為，，，且，三角形三邊上的高之比為.
（1）求的值；
（2）若為邊上一點，，，求的長.
7．已知鈍角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且___________，，，求c的值.
從條件①，②中選擇一個填到橫線上，并解決問題.
8．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求.
練習三 面積的計算
9．在中，角所對邊分別為，且.
(1)求角的大??；
(2)若，求的面積.
10．已知 的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.
(1)求角的大??；
(2)若，，求的面積.
11．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.
(1)求角A的大??；
(2)若，，求的面積.
12．在中，．
(1)求的大小；
(2)現(xiàn)在給出三個條件：①；②；③．試從中選出兩個條件，補充在下面的問題中，______，______，求的面積．
練習四 周長的計算
13．在中，角的對邊分別為，若.
(1)求角；
(2)若的面積為，，求的周長.
14．已知的三個內(nèi)角，，所對的邊為，，.若.
(1)求角的大小；
(2)若的面積為，，求的周長.
15．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.
(1)求角的值；
(2)若，且的面積為，求的周長.
16．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，____．
從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．
(1)求角A的大??；
(2)若b=4，的面積，求的周長．
第一篇 解三角形
專題01 解三角形中的角、邊、面積、周長計算問題
常見考點
考點一 角的計算
典例1．在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知，，.
（1）求角C的大?。?br>（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用正弦定理邊角互化結(jié)合余弦定理即可求解；
（2）利用正弦定理即可求解；
（3）先求出，再利用三角恒等變換結(jié)合二倍公式即可求解.
（1）
解：
由正弦定理將角化為邊整理得：
所以
又
所以
（2）
解：由（1）知，，又，
由正弦定理得：
即
解得：
（3）
解：由題知，，
即
所以
所以為銳角
由（2）知，
所以
所以
所以
即.
變式1-1．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b=1,c=2，
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】
（1）2
（2）144
（3）?338?78
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理解方程；
（2）利用正弦定理即可得解；
（3）求出csA，利用兩角差的余弦公式求解.
（1）
由余弦定理可得：2=a2+1?2a×34，2a2?3a?2=0,a>0
所以解得：a=2
（2）
csC=34,sinC=74，
由正弦定理可得：274=2sinA
解得：sinA=144
（3）
由余弦定理csA=1+2?422=?24
cs2A?π6=32cs2A+12sin2A=321?2sin2A+sinAcsA=?338?78
變式1-2．在中，角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知
（1）求的值；
（2）若，求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）化簡原式，直接利用余弦定理求的值即可；
（2）由（1）可得，利用正弦定理求得．
（1）
在中，由，整理得，
又由余弦定理，可得；
（2）
由（1）可得，又由正弦定理，
及已知，可得；
故.
變式1-3．已知的內(nèi)角的對邊分別為，滿足
（1）求角的值
（2）若，求的值
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)已知條件，由正弦定理角化邊，得到三邊的關(guān)系，進而利用余弦定理求解；
（2）由正弦定理求得,并根據(jù)邊的大小關(guān)系判定為銳角，然后利用倍角公式和兩角和的正弦公式計算.
（1）
解：∵，
由正弦定理得，.
化簡得，.
由余弦定理得，.
又，
∴.
（2）
解：由（1）知，，又，，
∴.
又，
∴.
∴，
，
∴
考點二 邊的計算
典例2．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角A的大?。?br>（2）若，，點D在邊BC上，且，求線段AD的長．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理化邊為角，然后由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡可得角；
（2）中由余弦定理求得，再由余弦定理求得，然后在中由余弦定理求得．
（1）
在中，由正弦定理得
因為，代入得
即．
又，所以．
又，所以．
（2）
在中，由余弦定理得
所以，．
在中，由余弦定理得．
在中，由余弦定理得，
所以．
變式2-1．已知鈍角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且___________，，，求c的值.
（1）從條件①，②中選擇一個填到橫線上，并解決問題；
（2）以（1）中結(jié)論為條件，若D是邊AC上一點，且，求線段BD的長度.
【答案】
（1）1
（2）
【分析】
（1）由正弦定理化邊為角可得，即可求出.選擇條件①：求得，利用余弦定理即可求出；選擇條件②，由正弦定理可得，再由余弦定理即可求出；
（2）利用余弦定理即可求出.
（1）
因為，
由正弦定理可得，
即，
因為，所以，則，
又，所以.
選擇條件①：
由，得，
由余弦定理得，
即，解得或，
當時，，是直角三角形，不符合題意；
當時，，是鈍角三角形，符合題意；
所以.
選擇條件②，
因為，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
即，解得.
（2）
由（1）知，中，，
由余弦定理可得，
即，故.
變式2-2．已知△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）判斷三角形△的形狀；
（2）記線段上靠近點的三等分點為，若，，求.
【答案】
（1）等腰三角形；
（2）.
【分析】
（1）由已知，結(jié)合正弦定理可得，根據(jù)即可判斷形狀.
（2）應(yīng)用余弦定理，結(jié)合有求，即可求.
（1）
∵，由正弦定理得，整理得.
∴由，可得，即三角形為等腰三角形.
（2）
設(shè)，則，
由余弦定理得：，，而，
∴，解得，
∴.
變式2-3．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
（1）求A；
（2）若a=2，的面積為，求b，c的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）先利用正弦定理將邊變成角，然后利用以及兩角和的正弦公式代入計算即可；
（2）先利用面積公式求出，再利用余弦定理求出，然后解方程組即可.
（1）
由及正弦定理得
.
因為，
所以.
由于，
所以.
又，故.
（2）
由題得的面積，故①.
而，且，故②，
由①②得.
考點三 面積的計算
典例3．在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，．
(1)證明：；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)證明見解析(2)6
【解析】
【分析】
小問1：證法一：運用余弦定理可證，證法二：利用正弦定理可證；
小問2：由余弦定理求得，結(jié)合三角形面積公式可求結(jié)果．
(1)
（1）證法一：∵，∴，
由余弦定理可得．
則，
，∴．
證法二：∵，由正弦定理得，
∴，
可得，
所以由正弦定理可得．
(2)
（2）由余弦定理可得
．
∴，∴，
∵，A為三角形內(nèi)角，∴，
∴．
變式3-1．記的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求角A的值；
(2)若為銳角三角形，設(shè)，，求的面積.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等變換得到，進而求出或，故或；（2）利用余弦定理求出或3，驗證后得到，進而利用三角形面積公式進行求解.
(1)
，所以，因為，所以，故或，即或.
(2)
由第一問所求和為銳角三角形得，
由余弦定理可得，化為，解得或3，
若，則，即為鈍角，不成立，
當，經(jīng)檢驗符合條件，的面積為.
變式3-2．在中，，，且，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知.
條件①：；
條件②：.
(1)求b的值；
(2)求的面積.
【答案】(1)選條件①：；選條件②：
(2)選條件①：；選條件②：
【解析】
【分析】
（1）若選①：在三角形ABC中由正弦定理及余弦定理可得a，b關(guān)系式，解方程可得b的值；若選②：由正弦定理可得a，b，c的關(guān)系，再由余弦定理可得a，b，c的關(guān)系，再由A角的余弦值可得b的值．
（2）結(jié)合（1），利用三角形面積公式即可求出三角形的面積；
(1)
選條件①：.
在中，因為，所以.
因為，且，，，
所以，
化簡得，解得或.
當時，，與題意矛盾，
所以，所以.
選條件②：.
在中，因為，且，
所以由，得.
因為，且，，，
所以，解得.
(2)
選條件①：.
因為，，所以，
所以.
選條件②：.
由（1）知，所以.
因為，，所以，
所以.
變式3-3．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，，.
(1)若，求b.
(2)若______，求c的值及的面積.
請從①，②，這兩個條件中任選一個，將問題（2）補充完整，并作答.
【答案】(1)；
(2)選；選
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)正弦定理計算即可得出結(jié)果；
(2)利用余弦定理或正弦定理求出c的值，再結(jié)合三角形的面積公式計算即可.
(1)
，由正弦定理，得，
所以；
(2)
選①：由余弦定理，得，即，
整理，得，由c>0，得c=4，
所以；
選②：因為，由正弦定理，得c=2a，
所以c=6，所以.
考點四 周長的計算
典例4．已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的周長.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知可得，由余弦定理求出的值，再結(jié)合即可得角的大??；
（2）根據(jù)三角形的面積公式可得的值，再由余弦定理即可求出的值，進而可得的周長.
(1)
因為，所以，
由余弦定理可得：，
又因為，所以.
(2)
由已知所以，
由已知及余弦定理得，
即，所以，解得：或（舍），
所以的周長為.
變式4-1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)求角B；
(2)若，求的周長l．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)結(jié)合正弦定理可化為，由此可求角B；(2)由余弦定理可得，解方程求，由此可得的周長l．
(1)
由及正弦定理，可得．
在中，，所以，所以．
又，所以．
(2)
由余弦定理，可得，
即，又，解得．
故的周長
變式4-2．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)證明：是等腰三角形；
(2)若的面積為，且，求的周長．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件利用三角形射影定理化簡即可得解.
(2)根據(jù)給定條件求出，再利用三角形面積定理及(1)的結(jié)論求出a，b，然后借助余弦定理求出c即可計算作答.
(1)
在中，，
由射影定理得，，
所以是等腰三角形．
(2)
在中，因且，則，
又，即，由(1)知，則有，
在中，由余弦定理得：，解得，
又，則a，b，c能構(gòu)成三角形，符合題意，，
所以的周長為.
變式4-3．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足．
(1)求A的大小；
(2)若，的面積為，求的周長．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）通過正弦定理將邊化為角的關(guān)系，可得，進而可得結(jié)果；
（2）由面積公式得，結(jié)合余弦定理得，進而得結(jié)果.
(1)
∵
∴由正弦定理，得
∴
∵，∴，故
(2)
由（1）知，
∵
∴
∵由余弦定理知，
∴，
故
∴，故
∴的周長為．
鞏固練習
練習一 角的計算
1．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】
（1）.
（2）.
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理進行邊角互化，再由正弦的和角公式可求得答案；
（2）由正弦的二倍角公式和正弦的差角公式可求得答案.
（1）
解：因為，由正弦定理得，
又，所以，
因為，所以.
（2）
解：由（1）得，所以，所以，，
所以，
所以.
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由余弦定理結(jié)合正弦定理化簡可得；
（2）由（1）求出和，再利用和的余弦公式即可求出.
（1）
由已知結(jié)合余弦定理得，∴.
由正弦定理得
∴.
∵，∴，
∵，∴.
（2）
因為，所以，則，
則，
所以.
3．在的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，已知，.
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）利用正弦定理和已知條件可求；
（2）根據(jù)邊的比例關(guān)系和余弦定理可求；
（3）利用倍角公式求解，然后利用和角公式可求結(jié)果.
（1）
因為，所以；
因為，所以.
（2）
由（1）可得；所以.
（3）
因為，所以為銳角，所以；
，；
所以.
4．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，.
（1）求角B；
（2）求a，c；
（3）求的值.
【答案】
（1）
（2），
（3）
【分析】
（1）根據(jù)題目條件，結(jié)合正弦定理，可以得到即可；（2），，結(jié)合第一問求出的，列余弦定理方程求解；（3）直接利用兩角差的余弦公式展開，分別求出展開式的每一項.
（1）
在中，由正弦定理，
得.
又因為在中，所以.
因為，所以，因而.
所以，所以.
（2）
因為，，由余弦定理得，
解得，.
（3）
由余弦定理得，，則
所以，所以，，所以
.
練習二 邊的計算
5．在中，角所對的邊分別為，已知.
（1）求角；
（2）若，的面積為，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）由正弦定理邊角互化得，進而得，在求解即可得答案；
（2）由面積公式得，進而根據(jù)題意得，，再根據(jù)余弦定理求解即可.
（1）
解：因為，
所以，
因為，
所以，即，
因為，所以.
（2）
解：因為的面積為，，
所以，即，
因為，所以，
所以，解得.
所以.
6．在中，角，，的對邊分別為，，，且，三角形三邊上的高之比為.
（1）求的值；
（2）若為邊上一點，，，求的長.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
由于，則三邊，，上的高之比為，根據(jù)
，得出，并利用余弦定理求出的值；
利用中的值求出的值，進而利用正弦定理求出的長.
（1）
解：由于，則三邊，，上的高之比為.
又因為，則.
設(shè)，則，，.
在中，由余弦定理得
.
（2）
解：將代入，得，
又，則.
在中，由正弦定理得，
則.
7．已知鈍角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且___________，，，求c的值.
從條件①，②中選擇一個填到橫線上，并解決問題.
【答案】條件選擇見解析，
【分析】
結(jié)合正弦定理化簡已知條件，求得.若選①，則利用余弦定理求得；若選②，則結(jié)合正弦定理、余弦定理求得的值.
【詳解】
依題意，
由正弦定理得,
在三角形中，，
所以，，
由于，所以.
若選①，則，
由余弦定理得，
即，
解得或.
當時，符合題意.
當時，，則是直角三角形，不符合題意.
若選②，，由正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
所以.
8．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）求角的大?。?br>（2）若，，求.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）根據(jù)余弦定理直接計算即可；
（2）根據(jù)正弦定理直接計算即可.
（1）
因為，
由余弦定理得：，
所以，結(jié)合，
故.
（2）
由（1）得：，于是，
由正弦定理得：，
于是，
故.
練習三 面積的計算
9．在中，角所對邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面積.
【答案】(1)；
(2)或.
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理邊角關(guān)系、三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，即可知的大小.
（2）由余弦定理及已知條件可得或，再應(yīng)用三角形面積公式求△的面積.
(1)
由正弦定理可得：
，則，
∴，可得，又，
∴.
(2)
由余弦定理：且，則，
，則，
∴，整理得，解得或，
①當時，，此時，
②當時，，此時.
∴△的面積為或.
10．已知 的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且滿足.
(1)求角的大??；
(2)若，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由可得，再利用余弦定理可求得角，
（2）由可得，再利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面積公式可求得答案
(1)
因為可得：，
由余弦定理可得，
又，所以
(2)
由可得，
由余弦定理知：，
，
解得，
11．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.
(1)求角A的大小；
(2)若，，求的面積.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理邊化角即可求解角A的大??；
（2）結(jié)合余弦定理得，由代換可得，聯(lián)立正弦面積公式可求的面積.
(1)
由邊化角得，
，得，顯然，
則，；
(2)
由余弦定理得：，
將代入得，，代入得.
12．在中，．
(1)求的大?。?br>(2)現(xiàn)在給出三個條件：①；②；③．試從中選出兩個條件，補充在下面的問題中，______，______，求的面積．
【答案】(1)
(2)若選①③，；若選②③，.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)正弦定理進行邊角互化，再利用兩角和的正弦公式求解；
（2）根據(jù)正弦定理可知，不能同時選①②，若選①③，由余弦定理可解得各邊長及三角形的面積；若選②③，利用正弦定理可解得各邊長及面積.
(1)
解：由正弦定理可得，即，即，又在中，，所以，，所以；
(2)
若選①②，由，，又正弦定理，即，不成立，所以不能同時選①②；
若選①③，由余弦定理得，即，解得，，，所以；
若選②③，由，得，且，，則，由正弦定理，即，解得，所以.
練習四 周長的計算
13．在中，角的對邊分別為，若.
(1)求角；
(2)若的面積為，，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）、根據(jù)正弦定理和余弦定理求解即可；
（2）、利用面積公式求出的值，化簡求出的值，從而求出的周長.
(1)
,
,,
又，.
(2)
由（1）可知.
,,
,,,
,，.
的周長為.
14．已知的三個內(nèi)角，，所對的邊為，，.若.
(1)求角的大??；
(2)若的面積為，，求的周長.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理進行角化邊的運算，結(jié)合余弦定理求出，根據(jù)角的范圍可求出角.
（2）由三角形面積可求出，代入（1）中的等式結(jié)合完全平方式可求出的值，進而求出三角形的周長.
(1)
解：由正弦定理得
則，
由余弦定理得，
又由，可得；
(2)
由，可得，
又由，有，
又由，有，
故的周長為.
15．已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.
(1)求角的值；
(2)若，且的面積為，求的周長.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；
（2）由三角形的面積公式可求得的值，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩邊的長，利用余弦定理求出的值，即可得出的周長.
(1)
解：由正弦定理得，
，則，所以，，
，則，可得，故.
(2)
解：由三角形的面積公式可得，所以，，
由已知可得，解得或.
當時，則為等邊三角形，其周長為；
當且時，由余弦定理可得，
此時，的周長為.
綜上所述，的周長為或.
16．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，____．
從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．
(1)求角A的大小；
(2)若b=4，的面積，求的周長．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）選①，利用余弦定理化簡即得解；選②，利用正弦定理和三角恒等變換化簡即得解；
（2）由面積求出再利用余弦定理求出，即得解.
(1)
解：選①：，；
選②：由正弦定理得：，
在中，，，可得，
.
(2)
解：由（1）知，
由余弦定理可得，則，
因此，的周長為．

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