?專(zhuān)題07 圓錐曲線中的向量共線問(wèn)題
一、單選題
1．已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M，N分別在拋物線C上.若，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】
由可得，設(shè)，，由，可得.
【詳解】
由可得，設(shè)，，
由，可得，
所以且，
所以，解得，所以，
所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為1.
故選：D.
【點(diǎn)睛】
本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)，考查了平面向量共線的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.
2．拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，線段與拋物線交于點(diǎn)，若，點(diǎn)到軸的距離為2，則的值是（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】C
【分析】
畫(huà)出圖形，通過(guò)向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為：，通過(guò)求解三角形，結(jié)合拋物線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解即可．
【詳解】
解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，
點(diǎn)在上，線段與拋物線交于點(diǎn)，若，
過(guò)作于，則，
所以，設(shè)準(zhǔn)線與軸交于，
則，因?yàn)辄c(diǎn)到軸的距離為2，
所以，解得，
故選：C．

【點(diǎn)睛】
本題考查拋物線幾何性質(zhì)、平面向量的線性運(yùn)算，熟練掌握拋物線的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．
3．已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，過(guò)其右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，若，則AB的垂直平分線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（ ）
A．20 B．10 C．12 D．18
【答案】A
【分析】
解法一：先根據(jù)雙曲線的方程得到焦點(diǎn)F的坐標(biāo),設(shè)出直線AB的方程,并將其與雙曲線方程聯(lián)立,再結(jié)合及根與系數(shù)的關(guān)系,求出AB的中點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可得AB的垂直平分線的方程,最后求其與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可；
解法二：設(shè)出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合,利用向量的坐標(biāo)表示求出兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行求解.
【詳解】
解法―：由,得雙曲線的右焦點(diǎn),故由題意可設(shè)直線AB的方程為.聯(lián)立方程,得,消去x得.設(shè),.由及根與系數(shù)的關(guān)系,得,得,或,由對(duì)稱性不妨設(shè),則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以AB的垂直平分線的方程為,令,得.
故選：A.
解法二：由,得雙曲線的右焦點(diǎn).不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限內(nèi),設(shè),,因?yàn)?所以,得.又點(diǎn)A,B在雙曲線上,所以,得,則,所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,直線AB的斜率,所以AB的垂直平分線的方程為,令,得.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系、向的坐標(biāo)表示. 試題綜合考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,引導(dǎo)考生抓住解析幾何問(wèn)題的本質(zhì),透過(guò)本質(zhì)建立數(shù)與形之間的聯(lián)系,體現(xiàn)了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).
4．已知拋物線，焦點(diǎn)為，圓，過(guò)的直線與交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），且，直線與圓相切，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設(shè)點(diǎn)、，可得，且，由結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得直線的方程，由直線與圓相切，得出圓心到直線的距離等于圓的半徑，由此可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】
拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，則，且，
由得，，
由，即，即，可得，，
所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的斜率為，則直線的方程為，即，
將圓的方程寫(xiě)為標(biāo)準(zhǔn)式得，則，可得.
由于直線與圓相切，則，解得，合乎題意.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用直線與圓相切求參數(shù)，同時(shí)也考查了利用拋物線中向量共比例關(guān)系求直線方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
5．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，過(guò)、分別作于，于，于，根據(jù)直線的斜率為，得到，再利用雙曲線的第二定義得到，又，結(jié)合求解.
【詳解】
設(shè)雙曲線的右準(zhǔn)線為，
過(guò)、分別作于，于，于，
如圖所示：

因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的傾斜角為，
∴，，
由雙曲線的第二定義得：，
又∵，
∴，
∴
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題主要考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用以及離心率的求法，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
6．已知點(diǎn)與拋物線，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，若，且直線QA的斜率為1，則（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
判斷A、B的位置，結(jié)合向量關(guān)系，推出A、B橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的關(guān)系，通過(guò)直線的斜率關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解即可.
【詳解】
解：由題意可知A在第一象限，B在第四象限，設(shè)，
由，所以，得，又，所以，
又A、F、B三點(diǎn)共線，可得，即，
可得，∴，，，
由QA斜率為1可得：，即，
則.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
在直線和拋物線的位置關(guān)系中，結(jié)合向量共線考查求拋物線中的參數(shù)；基礎(chǔ)題.
二、解答題
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，離心率為e．橢圓上一點(diǎn)C滿足：C在x軸上方，且⊥x軸．

（1）如圖1，若OC∥AB，求e的值；
（2）如圖2，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn)D．若，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)軸，設(shè)C，，再根據(jù)點(diǎn)C在橢圓上求得其坐標(biāo)，然后再根據(jù) OC∥AB ，由求解.
（2）設(shè)，，由（1），，然后用表示D的坐標(biāo)，代入橢圓方程求解.
【詳解】
（1）設(shè)橢圓的焦距為2c．
∵ 軸
可設(shè)C，，
因?yàn)椋?br /> 所以，
解得，
∴C
∵ OC∥AB ，
所以
∴ b=c
∴ .
（2）設(shè)，，由（1）知：，，
，，
∵
∴，
所以，，
∴
又∵D在橢圓上
∴，
化簡(jiǎn)得：
又∵，

∵ ， ，
則，
解得：
所以取值范圍是．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率的常用方法：
①直接求出a，c來(lái)求解e.通過(guò)已知條件列出方程組，解出a，c的值；
②構(gòu)造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關(guān)于a，c的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的一元二次方程求解；
③通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率．(2)橢圓的范圍或最值問(wèn)題常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求橢圓相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系．
8．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)，試求出的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由橢圓的離心率及經(jīng)過(guò)的點(diǎn)列方程即可得解；
（2）設(shè)，由韋達(dá)定理得、，再由平面向量的數(shù)乘運(yùn)算可得，代入橢圓方程運(yùn)算即可得解.
【詳解】
（1）由題意得，解得，的方程為；
（2）設(shè)，
將代入得，
所以，
所以，
由點(diǎn)為中點(diǎn)得，
由得，
所以，
因?yàn)樵跈E圓上，所以，
所以，
即，
又因?yàn)椋?br /> 所以，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.
【點(diǎn)睛】
解決本題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)乘對(duì)條件合理轉(zhuǎn)化，細(xì)心計(jì)算即可得解.
9．已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，焦距為，直線：與橢圓相交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線：與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，，，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）為弦的中點(diǎn), 設(shè)，,代入橢圓方程利用點(diǎn)差法可求解.
（2）由，，三點(diǎn)共線，，根據(jù)三點(diǎn)共線性質(zhì)可得：，則，將直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即可求得答案.
【詳解】
（1）∵焦距為，則，設(shè)，，
∵為弦的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：，，
又∵將，代入橢圓：
∴
∴將兩式作差可得：，
所以，
所以………①.
∵………②
由①②得：
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）∵，，三點(diǎn)共線，
∴根據(jù)三點(diǎn)共線性質(zhì)可得：，則
設(shè)，，則，
∴.
將直線和橢圓聯(lián)立方程消掉.
可得：.
………③，
根據(jù)韋達(dá)定理：，，
代入，可得：，，
∴，即.
∵，，
∴………④，
代入③式得，即，
∴，∴滿足④式，
∴或.
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的中點(diǎn)弦問(wèn)題，考查直線與橢圓的綜合問(wèn)題，聯(lián)立方程，韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.
10．如圖，已知橢圓，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，直線交橢圓于另一點(diǎn).

（1）若，求橢圓的離心率；
（2）若橢圓的焦距為2，且，求橢圓的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)得到，，可得；
（2）設(shè)，根據(jù)得到，，代入，解得，可得，從而可得橢圓方程.
【詳解】
（1）若，則和為等腰直角三角形．所以有，即．所以，．
（2）由題知，，設(shè)，
由，得，所以 ，．
代入，得．
即，解得．所以，
所以橢圓方程為．
【點(diǎn)睛】
本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓方程，考查了平面向量共線的坐標(biāo)表示，屬于中檔題.
11．已知橢圓：（），為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)為橢圓在軸正半軸上的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，點(diǎn)在橢圓上（不同于點(diǎn)）且滿足：，求直線的斜率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4求a，再由離心率求c，根據(jù)橢圓的性質(zhì)求b，從而得到橢圓方程．
（2）橢圓的右頂點(diǎn)為．直線，直線的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，求出的縱坐標(biāo)，利用向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解直線的斜率即可．
【詳解】
（1）由橢圓的離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4可知，，∴，
∴橢圓的方程為．
（2）橢圓的右頂點(diǎn)為．
由題可知，直線：，直線的方程為，
由，可知，
由，得，則，
∵，∴，則
∵，∴，解之，．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于綜合題.
12．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且與軸垂直的直線被橢圓和圓截得的弦長(zhǎng)分別為2和.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知?jiǎng)又本€與拋物線：相切（切點(diǎn)異于原點(diǎn)），且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，問(wèn)：橢圓上是否存在點(diǎn)，使得，若存在求出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為或
【分析】
（1）（1）設(shè)直線方程為，分別與橢圓方程，圓聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)弦長(zhǎng)分別為2和.求解.

（2）設(shè)：，，，，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)與相切，則，與橢圓方程聯(lián)立，由結(jié)合韋達(dá)定理得到Q坐標(biāo)代入橢圓方程求解.
【詳解】
（1）設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立解得，
所以，
直線方程為，與圓聯(lián)立解得，
所以，
解得，
故：.
（2）由題知存在且斜率不為0，設(shè)：，，，，
聯(lián)立，得，
因?yàn)榕c相切，故，
聯(lián)立，得，
所以，，
，
又，
所以.
因?yàn)椋?br /> 所以，
由韋達(dá)定理，代入計(jì)算得，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，即，
代入得，即，，
解得或（舍），
所以，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為或.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查直線與橢圓，直線與拋物線，直線與圓的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
13．已知橢圓的離心率是，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）依題意得到方程組，解得即可；
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，由，可得，從而求出參數(shù)的值，
【詳解】
解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為.
由題意可得
解得，.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）可得
當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，或，，
此時(shí)，不符合題意.
當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，可設(shè)直線的方程為，，.
聯(lián)立，整理得，
則，
因?yàn)椋?從而，，
則，解得.
故直線的方程為.
【點(diǎn)睛】
本題考查待定系數(shù)法求橢圓方程，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.
14．已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn).
（1）若，且點(diǎn)A在第一象限，求直線AB的方程；
（2）若點(diǎn)A，B在直線上的射影分別為，，線段的中點(diǎn)為Q，求證.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；
【分析】
（1）由題意，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，則．然后由，根據(jù)定比分點(diǎn)的知識(shí)，可得，．將，代入最終可得到的值，則即可求出直線的方程；
（2）先聯(lián)立直線與拋物線方程，整理得到一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理有，．再根據(jù)題意寫(xiě)出，，，．再根據(jù)平行向量的坐標(biāo)公式進(jìn)行代入計(jì)算即可證明．
【詳解】
（1）解：由題意，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，則．
設(shè)，，，．
，
根據(jù)定比分點(diǎn)的知識(shí)，有
，，
．
聯(lián)立，
消去，整理得．
解得，，
，
整理，得，
解得．
直線的方程為．
（2）證明：根據(jù)（1），聯(lián)立直線與拋物線方程，得
，
整理，得．
則，．
，，，．，．
，，，．



．
．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查直線與拋物線的綜合問(wèn)題，考查了定比分點(diǎn)的應(yīng)用，平行向量坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查了邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．屬于中檔題．
15．已知，直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為．
（1）若，點(diǎn)在橢圓上，、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；
（2）若過(guò)點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)直線斜率；若不能，說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合橢圓的范圍，可得所求范圍；
（2）設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和點(diǎn)差法，直線的斜率公式，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，即可得到所求斜率．
【詳解】
解：（1）時(shí)，橢圓，兩個(gè)焦點(diǎn)，，，，
設(shè)，可得，即，
，，，，
，
因?yàn)椋?br /> 所以的范圍是；
（2）設(shè)，的坐標(biāo)分別為，，，，可得，，
則，兩式相減可得，
，即，
故，又設(shè)，，直線，
即直線的方程為，
從而，代入橢圓方程可得，，
由與，聯(lián)立得，
若四邊形為平行四邊形，那么也是的中點(diǎn)，
所以，即，整理可得，
解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，
所以當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，注意運(yùn)用點(diǎn)差法，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．

16．設(shè)拋物線：焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上一點(diǎn)，已知以為圓心，為半徑的圓交于、點(diǎn)．
（Ⅰ）若，的面積為，求的值及圓的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)在第一象限，且、、三點(diǎn)在同一直線上，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)記為，且，求實(shí)數(shù)的值．
【答案】（Ⅰ），圓為：；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）依題意可得為正三角形，且，根據(jù)的面積，即可求出，從而得到圓的方程；
（Ⅱ）依題意可得直線的傾斜角為或，由對(duì)稱性可知，設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程消元列出韋達(dá)定理，由，即可得到，解得即可；
【詳解】
解：（Ⅰ）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
又∵，，∴為正三角形．
∴，，
∴，，
∴圓為：．
（Ⅱ）若、、共線，則，
∴，
∴直線的傾斜角為或，
由對(duì)稱性可知，設(shè)直線：，，，，
聯(lián)立，
∴，，或，
又，，，所以．
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用，向量共線求出參數(shù)的值，屬于中檔題.
17．已知拋物線，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交拋物線于兩點(diǎn)，.

（1）求拋物線的方程，并求其焦點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；
（2）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn).連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線與準(zhǔn)線交于點(diǎn).求證：三點(diǎn)共線.
【答案】（1）拋物線的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為（2）證明見(jiàn)解析
【分析】
（1）根據(jù)拋物線通徑的性質(zhì)，得出，即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，求出則，，通過(guò)直線相交分別求出和，從而求出和，通過(guò)化簡(jiǎn)求出，即可證出三點(diǎn)共線.
【詳解】
解：（1），則，
故拋物線的方程為：，
其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為：
（2）設(shè)直線，聯(lián)立，
得，則，
設(shè)，，則，.
法1：直線，
由得，故點(diǎn)，
直線的斜率，
則直線的斜率，
直線，則點(diǎn)
直線的斜率.
直線的斜率，由得，
則，
所以三點(diǎn)共線.
法2：直線，
由得，故點(diǎn)，
由，得.
直線的斜率，
直線，得點(diǎn)，
由，得.
直線的斜率.
直線的斜率，由得，
由，得，
則有.所以三點(diǎn)共線.
法3：（1）∵，∴，∴，∴，，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
則焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，準(zhǔn)線方程為：.
（2）設(shè)直線，聯(lián)立得：，
，
設(shè)，，
∴直線，
當(dāng)時(shí)，，∴，
∴，∴，
∴直線，
當(dāng)時(shí)，，∴，
∴，，
∴


，
∴，
∴共線.
【點(diǎn)睛】
本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線的位置關(guān)系，通過(guò)聯(lián)立方程組，韋達(dá)定理，利用直線斜率的關(guān)系證明三點(diǎn)共線，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.
18．已知拋物線上的焦點(diǎn)為.
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)作斜率為的直線交曲線于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求得，結(jié)合拋物線的開(kāi)口方向求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值，進(jìn)而求得直線的方程.
【詳解】
（1）依題意，拋物線的焦點(diǎn)為，開(kāi)口向上，，所以曲線的方程為：；
（2）設(shè)過(guò)的斜率為的直線方程為：，
聯(lián)立，消去并化簡(jiǎn)得. 令、，
所以，，
由題可知：，即：，即得，
由，，得：，，
所求直線的方程為：.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查拋物線方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.
19．已知橢圓
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且滿足．若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1），；（2）存在，7x﹣+3＝0或7x+﹣3＝0
【分析】
（1）將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a，b，c，由離心率公式可得所求值；
（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，可設(shè)直線l的方程為x＝m（y﹣3），聯(lián)立橢圓方程，消去x可得y的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式大于0，再由向量共線的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)整理解方程，即可判斷是否存在這樣的直線．
【詳解】
（1）由，得，進(jìn)而，；
（2）假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)P（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足，
可設(shè)直線l的方程為x＝m（y﹣3），聯(lián)立橢圓方程x2+2y2＝4，
可得（2+m2）y2﹣6m2y+9m2﹣4＝0，△＝36m4﹣4（2+m2）（9m2﹣4）＞0，即m2＜，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝，y1y2＝，①
由，可得（x2，y2﹣3）＝2（x1，y1﹣3），即y2﹣3＝2（y1﹣3），即y2＝2y1﹣3，②
將②代入①可得3y1﹣3＝，y1（2y1﹣3）＝，
消去y1，可得?＝，解得m2＝，所以，
故存在這樣的直線l，且方程為7x﹣y+3＝0或7x+y﹣3＝0．
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．
20．設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為,到直線的距離為.
（1）求橢圓的焦距；
（2）如果，求橢圓的方程.
【答案】（1）4；（2）.
【分析】
（1）由題意可設(shè)直線的方程為，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.
（2）由（1）可得，聯(lián)立方程消，求出兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再由得出兩交點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系即可求解.
【詳解】
（1）由題意可得：直線的方程為，
到直線的距離為，
，解得，
橢圓的焦距.
（2）由（1）可得，
設(shè)，，，，
聯(lián)立，整理可得
，
解得，，
因?yàn)?，所以?br /> 即，解得，
又，故，
故橢圓的方程為.
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，此題要求有較高的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.
21．設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，且
（1）求橢圓的離心率；
（2）若，求橢圓的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）設(shè)直線方程為，聯(lián)立，解得，根據(jù)，由求解.
（2）根據(jù)，結(jié)合（1）的數(shù)據(jù)代入求解.
【詳解】
（1）設(shè)，由題意得，
直線方程為：，聯(lián)立得，
解得，
因?yàn)椋?br /> 所以，
即，
所以.
（2）因?yàn)椋?br /> 所以，
又，則，
解得，
所以橢圓的方程是.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查橢圓的離心率的求法和橢圓方程的求法以及平面向量的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
22．如圖，已知橢圓：，點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與線段相交于點(diǎn)，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四邊形面積的最大值.
【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）由橢圓的方程可得，的坐標(biāo)，設(shè)直線，的方程分別為，，，，，，，，且，滿足方程，進(jìn)而求得的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)，求得的表達(dá)式，由在上知，進(jìn)而求得的另一個(gè)表達(dá)式，兩個(gè)表達(dá)式相等求得．
（Ⅱ）由題設(shè)可知和的值，設(shè)，，進(jìn)而可表示出四邊形的面積，進(jìn)而根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求得最大值．
【詳解】
（Ⅰ）橢圓：，，，
直線，的方程分別為，．
如圖，設(shè)，，，，，，其中，
且，滿足方程，
故．①
由，知，得，
由在上知，得，
所以，
化簡(jiǎn)得，
解得或．
（Ⅱ）由題設(shè)，，．
由（Ⅰ）知，，，，，
不妨設(shè)，，由①得，
根據(jù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知，
故四邊形的面積為


，
當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】
本題主要考查了直線與橢圓的綜合問(wèn)題．直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問(wèn)題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大．
23．已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的弦被焦點(diǎn)分成兩段的長(zhǎng)分別是2和6.
（1）求此拋物線的方程；
（2）是拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，（，是切點(diǎn)），兩切線分別交軸于，，直線交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)，求證四邊形是平行四邊形.
【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】
（1）設(shè)過(guò)的弦所在直線方程為：，其與拋物線交于，證明，則可求解.
（2）設(shè)，，根據(jù)切線分別表示出直線、的方程，則、的坐標(biāo)能表示出，聯(lián)立直線、的方程，則的坐標(biāo)可表示出，表示出直線的方程，則的坐標(biāo)可表示出，最后說(shuō)明即可.
【詳解】
解：（1），
設(shè)過(guò)的弦所在直線方程為：，其與拋物線交于，
聯(lián)立，即，，
所以，
不妨設(shè)，
，
，
∴此拋物線的方程為：；
（2）設(shè)，，，
∴直線的方程為：，
即：；令，所以，
同理，直線的方程為：；令，所以，
直線的方程為：，即：；
令，所以，
，所以，
，，所以，
∴四邊形是平行四邊形.
【點(diǎn)睛】
以直線和拋物線的位置關(guān)系為載體，考查求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，同時(shí)考查用向量法證明四邊形是平行四邊形，難題.
24．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與拋物線交于點(diǎn)和，且恒.
（1）求的值；
（2）直線過(guò)與軸平行，直線過(guò)與垂直，若與交于點(diǎn)，且直線與軸交于點(diǎn)，求直線的斜率.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得， 建立關(guān)于的方程，從而得到答案；
（2）分別求出三點(diǎn)坐標(biāo)用表示，由三點(diǎn)共線得到關(guān)于的方程，求得答案.
【詳解】
（1）由條件得.

易知不垂直于軸，可設(shè)：.
由得，
所以，所以.
（2）由（1）知拋物線方程為，.
設(shè)，由題易知且.
因?yàn)椋裕?br /> 所以的斜率為，直線的斜率為.
直線：，直線：，所以.
由，，三點(diǎn)共線得，
解得.
所以直線的斜率為.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系.屬于中檔題.
25．已知圓，直線與圓交于不同的兩點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求直線的方程．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【詳解】
試題分析：（Ⅰ）由直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)得，圓心到直線距離小于半徑，或利用直線方程與圓方程聯(lián)立方程組有兩個(gè)不同的解列判別式恒大于零，列出關(guān)于的限制條件，解出的取值范圍；（Ⅱ）由得為的中點(diǎn)，設(shè)，則，代入圓方程得，，解方程組可得或，因此可出求直線的方程
試題解析：（Ⅰ）將直線的方程代入圓的方程后，整理得，依題意，直線與圓交于不同的兩點(diǎn)．又∵，∴只需，解得的取值范圍為．
（Ⅱ）由已知為的中點(diǎn)，設(shè)，，則
，①
，②
解①②可得或，
∴直線的方程為
考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系

三、填空題
26．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l：與C交于P、Q(P在x軸上方)兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)______
【答案】
【分析】
先求出、、，再求出和，最后建立方程求即可.
【詳解】
解：由題意聯(lián)立方程組，解得或
因?yàn)镻在x軸上方，所以、,
因?yàn)閽佄锞€C的方程為，所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br /> 解得：，
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的幾何性質(zhì)、利用共線向量求參數(shù)，是中檔題
27．已知點(diǎn)在拋物線：上，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若，則直線的傾斜角的正弦值為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
求出，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可得，，根據(jù)向量可得，從而求出直線的傾斜角，即求.
【詳解】
因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線：上，
所以，得，所以，
設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為：，
所以 ，所以，
設(shè)，，
所以，，
又因?yàn)?，所以?br /> 所以，因?yàn)橹本€的斜率，
由，所以或，所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
28．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若，軸，則橢圓E的方程為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】
根據(jù)軸，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)，又，得，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得，即可得答案.
【詳解】
設(shè)，
因?yàn)檩S，
所以，代入橢圓方程得，設(shè)，
因?yàn)?，得?br /> 所以，
解得，即，
又B在橢圓上，將代入橢圓方程得：，
又，解得，
所以橢圓方程為：
故答案為： .
【點(diǎn)睛】
本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，將，轉(zhuǎn)化為，可大大簡(jiǎn)化計(jì)算，考查分析理解，求值計(jì)算的能力，屬基礎(chǔ)題.
29．已知直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，且滿足，則的值是______.
【答案】
【分析】
設(shè)點(diǎn)、，設(shè)，可得出直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由可知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得，結(jié)合韋達(dá)定理可求得正數(shù)的值，即可得出的值.
【詳解】
設(shè)點(diǎn)、，設(shè)，則直線的方程為，則點(diǎn)，
將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，
，，解得.
由韋達(dá)定理得，，
，則，，即，
，，，解得，
所以，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用拋物線中向量共線求參數(shù)，考查韋達(dá)定理設(shè)而不求思想的應(yīng)用，屬于中等題.
30．已知點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)A，B，存在異于P，A，B的點(diǎn)E，滿足，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍為_(kāi)_______.
【答案】
【分析】
由題意結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則可得，設(shè)，，由平面向量基本定理可得，代入橢圓方程可得，進(jìn)而可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】
由可得即，
∴.
設(shè)，，則，，
∴即，
又點(diǎn)A，B均在橢圓上，
則即，解得，
而，
又，∴，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用及向量的線性運(yùn)算，考查了運(yùn)算求解能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題.
31．已知直線經(jīng)過(guò)拋物線:的焦點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第四象限，若，則直線的斜率為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】
根據(jù)題中所給條件，設(shè)出直線方程為，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，依據(jù)條件，得出交點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，然后再根據(jù)韋達(dá)定理，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而求得結(jié)果．
【詳解】
依題意，拋物線的焦點(diǎn)
設(shè)直線的方程為
由得，設(shè)，
，，
，且，
即
，，
解得或
或
又，所以，，得
解得：，結(jié)合圖象得.

故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

四、雙空題
32．已知拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，則______；過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩個(gè)不同點(diǎn)，．若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．
【答案】4
【分析】
（1）解方程，即得的值；
（2）由題可知，設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線的方程得到韋達(dá)定理，由可得，即可求出的值.
【詳解】
由題得拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，
則，解得．
由題可知，設(shè)，，
直線的方程為，
與聯(lián)立，消去可得，
則，．
由可得，即，即，
因此，，整理得，即．
所以實(shí)數(shù)的值為．
故答案為： 4；.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查拋物線和雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

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專(zhuān)題07 圓錐曲線中的向量問(wèn)題(解析版)

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（新高考專(zhuān)用）2021年新高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)：專(zhuān)題07 圓錐曲線中的向量共線問(wèn)題

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