常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 存在性問題
典例1．已知橢圓：的右焦點(diǎn)在直線上，且離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)，，過點(diǎn)A的直線與橢圓交于另一點(diǎn)（異于點(diǎn)），與直線交于一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
變式1-1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，直線AM與交于點(diǎn)N，是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.
變式1-2．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的離心率等于，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).橢圓與軸交于，兩點(diǎn)，的橫坐標(biāo)小于的橫坐標(biāo)，是橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，的中點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在，使的縱坐標(biāo)為0？若存在，求出使的縱坐標(biāo)為0的所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
變式1-3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，.動(dòng)點(diǎn)與，的距離的和等于18，動(dòng)點(diǎn)滿足.動(dòng)點(diǎn)的軌跡與軸交于，兩點(diǎn)，的橫坐標(biāo)小于的橫坐標(biāo)，是動(dòng)點(diǎn)的軌跡上異于，的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，的中點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)是否存在，使的縱坐標(biāo)為0？若存在，求出使的縱坐標(biāo)為0的所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
考點(diǎn)二 探究性問題
典例2．已知直線，圓.
(1)證明：直線l與圓C相交；
(2)設(shè)l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，與的交點(diǎn)為Q.試探究：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
變式2-1．設(shè)拋物線C的方程為x2＝4y，M為直線l：y＝﹣m（m＞0）上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，﹣1）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；
(2)求證：直線AB恒過定點(diǎn)；
(3)當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為直角三角形，若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，說明理由．
變式2-2.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過定點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（異于點(diǎn)、），試探究直線、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
變式2-3．已知點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)，是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)設(shè)不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，記，的斜率分別是，．當(dāng)，都存在且不為時(shí)，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 存在性問題
1．如圖，橢圓C的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于y軸時(shí)，直線l被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為．
(1)求橢圓C的方程:
(2)已知D為橢圓的左端點(diǎn)，問: 是否存在直線l使得的面積為?若不存在，說明理由，若存在，求出直線l的方程．
2．已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之乘積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得的值為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
3．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F且和x軸垂直的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，，橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，問x軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)T，使得，若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
4．如圖，拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)為F，四邊形DFMN為正方形，點(diǎn)M在拋物線E上，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，交直線ND于點(diǎn)C.
(1)若B為線段AC的中點(diǎn)，求直線l的斜率；
(2)若正方形DFMN的邊長(zhǎng)為1，直線MA，MB，MC的斜率分別為k1，k2，k3，則是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，請(qǐng)說明理由．
練習(xí)二 探究性問題
5．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，若橢圓過點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓E的上頂點(diǎn)P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，試探究過C，D兩點(diǎn)的直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由.
6．如圖，已知拋物線與圓相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
(1)若，求拋物線C的方程；
(2)試探究直線AC是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
7．已知雙曲線的離心率，虛軸在軸上且長(zhǎng)為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，且直線與圓相切，求證：；
(3)已知橢圓，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，探究點(diǎn)到直線的距離是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
8．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)，（，均不與重合）是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線和的斜率之積為，試探究：直線是否過定點(diǎn)；若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由.
第五篇 解析幾何
專題07 解析幾何中的存在性與探究性問題
常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 存在性問題
典例1．已知橢圓：的右焦點(diǎn)在直線上，且離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)，，過點(diǎn)A的直線與橢圓交于另一點(diǎn)（異于點(diǎn)），與直線交于一點(diǎn)，的角平分線與直線交于點(diǎn)，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，，理由見解析
【解析】
【分析】
（1）先把代入直線方程，求出，根據(jù)離心率和求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表達(dá)出直線的斜率，再使用二倍角公式及直線NF的斜率表達(dá)出直線的斜率，從而得到等式，求出，得到的關(guān)系，得到的值.
(1)
因?yàn)橛医裹c(diǎn)在直線上，所以
所以橢圓的方程為
(2)
存在，，理由如下：
因?yàn)?，設(shè). 顯然.
可設(shè)直線的方程為，
因?yàn)辄c(diǎn)在這條直線上，則
聯(lián)立，得的兩根為，


設(shè) 則
，
因?yàn)?，所?
故存在常數(shù)，使得
【點(diǎn)睛】
對(duì)于圓錐曲線定值問題，一般要設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，進(jìn)行求解，本題中由于一點(diǎn)是已知得，所以可以通過韋達(dá)定理求出另外一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，通過兩種方法表達(dá)同一條直線的斜率得到等量關(guān)系，從而得到答案.
變式1-1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足直線AM與直線BM的斜率之積為，點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，直線AM與交于點(diǎn)N，是否存在常數(shù)λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)且；
(2)存在，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）利用斜率兩點(diǎn)式，結(jié)合直線斜率之積為定值列方程，即可求M的軌跡為曲線C，注意.
（2）設(shè)、直線AM為，聯(lián)立曲線C，應(yīng)用韋達(dá)定理求坐標(biāo)，進(jìn)而應(yīng)用表示、，結(jié)合二倍角正切公式判斷與的數(shù)量關(guān)系，即可得解.
(1)
設(shè)，則且，
所以M的軌跡為曲線C方程為且.
(2)
設(shè)，則直線AM為，
聯(lián)立曲線C得：，整理得：，
由題設(shè)知：，則，故，
又，，
所以，即，
所以存在，使.
變式1-2．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，橢圓的離心率等于，拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).橢圓與軸交于，兩點(diǎn)，的橫坐標(biāo)小于的橫坐標(biāo)，是橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，的中點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程；
(2)是否存在，使的縱坐標(biāo)為0？若存在，求出使的縱坐標(biāo)為0的所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)題意可求得c,再根據(jù)橢圓的離心率列出方程，即可求得答案;
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程求得M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得E,T點(diǎn)坐標(biāo)，由此可寫出向量，，的坐標(biāo)，利用向量的夾角公式可證明，從而證明結(jié)論.
(1)
設(shè)橢圓的方程為，由拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),得.
根據(jù)已知得，解方程組得,
∴橢圓的方程為.
(2)
存在，使的縱坐標(biāo)為0，且的取值范圍為.
由已知得，，，直線的方程為.
由,得,
∴.
由已知得，解得,
∴,∴.
解,得.∴,
由的中點(diǎn)為，得,
∴，，,
∵，
，
∴,
又∵，，∴,
∴，即平分.
∴直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱.
∴點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)在軸上，其縱坐標(biāo)為0，
∴，的縱坐標(biāo)為0.
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓的位置關(guān)系，涉及到點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)問題，綜合性較強(qiáng)，對(duì)計(jì)算能力有較高要求，解答的關(guān)鍵是第二問中通過向量的夾角公式證明角相等，從而證明點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)問題，有一定難度.
變式1-3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，.動(dòng)點(diǎn)與，的距離的和等于18，動(dòng)點(diǎn)滿足.動(dòng)點(diǎn)的軌跡與軸交于，兩點(diǎn)，的橫坐標(biāo)小于的橫坐標(biāo)，是動(dòng)點(diǎn)的軌跡上異于，的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，的中點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
(2)是否存在，使的縱坐標(biāo)為0？若存在，求出使的縱坐標(biāo)為0的所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)已知條件，計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)D的幾何關(guān)系即可；
(2)作圖，根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，一一列出所求點(diǎn)的坐標(biāo),再做分析即可.
(1)
∵，，∴，
又∵動(dòng)點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離之和為18，
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為18的橢圓，
設(shè)，則.
設(shè)，由得，
代入上述橢圓方程可得，
∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；
(2)
依題意以及（1）的結(jié)論作下圖：
由已知得，，
直線的方程為 ，
由得……①，
∴.
設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為： ，直線AM與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 ，
有①和韋達(dá)定理得：，解得，
∴，，
聯(lián)立 得 ，，
BE的中點(diǎn)坐標(biāo)為T(3，3k)，
，，，
∵，
，
∴，
∴，即平分，
∴直線與直線關(guān)于直線對(duì)稱，
∴點(diǎn)在直線上，即點(diǎn)在軸上，
∴，的縱坐標(biāo)為0，
若k=0，則M點(diǎn)與B點(diǎn)T點(diǎn)重合，求對(duì)稱點(diǎn)沒有意義；
故答案為：，存在， .
【點(diǎn)睛】
本題用角平分線的方式求解是一種思路，用M點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)P的連線的中點(diǎn)在直線FT上，并垂直于FT也是一種方法，就是要按照題目所給的條件作圖，數(shù)形結(jié)合分析，寫出每一步分析的結(jié)果.
考點(diǎn)二 探究性問題
典例2．已知直線，圓.
(1)證明：直線l與圓C相交；
(2)設(shè)l與C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，弦AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M的軌跡方程；
(3)在（2）的條件下，設(shè)圓C在點(diǎn)A處的切線為，在點(diǎn)B處的切線為，與的交點(diǎn)為Q.試探究：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)求出這條直線的方程；若不是，說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2)；
(3)點(diǎn)Q恒在直線上，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）求出直線過定點(diǎn)，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設(shè)出點(diǎn)，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點(diǎn)共圓，得到此圓的方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點(diǎn)，得到，從而得到點(diǎn)Q恒在直線上.
(1)
證明：直線過定點(diǎn)，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；
(2)
圓的圓心為，設(shè)點(diǎn)，由垂徑定理得：，即，化簡(jiǎn)得：，點(diǎn)M的軌跡方程為：
(3)
設(shè)點(diǎn)，由題意得：Q、A、B、C四點(diǎn)共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項(xiàng)得：，即為直線的方程，因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，所以，解得：，所以當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)Q恒在直線上.
【點(diǎn)睛】
本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據(jù)四點(diǎn)共圓，直徑的端點(diǎn)坐標(biāo)，求出此圓的方程，與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關(guān)鍵.
典例2-1．設(shè)拋物線C的方程為x2＝4y，M為直線l：y＝﹣m（m＞0）上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，﹣1）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程，并判斷直線l與此圓的位置關(guān)系；
(2)求證：直線AB恒過定點(diǎn)；
(3)當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為直角三角形，若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，說明理由．
【答案】(1)x2+（y﹣1）2＝4；圓與直線l相切
(2)證明見解析
(3)答案不唯一，具體見解析
【解析】
【分析】
（1）設(shè)過點(diǎn)的切線方程，代入，整理得，令△，可得，的坐標(biāo)，利用到的中點(diǎn)的距離為2，可得過，，三點(diǎn)的圓的方程，從而可判斷圓與直線相切；
（2）證法一：設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，過拋物線上點(diǎn)，的切線方程為，代入，消元，利用，即可確定，利用切線過點(diǎn)，，所以可得，同理可得，由此可得直線的方程，從而可得結(jié)論；
證法二：利用導(dǎo)數(shù)法，確定切線的斜率，得切線方程，由此可得直線的方程，從而可得結(jié)論；
（3）由（2）中①②兩式知，是方程的兩實(shí)根，故有，從而可得，分類討論，利用，，即可求得結(jié)論．
(1)
當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，代入，
整理得，
令，解得，
代入方程得，故得，，
因?yàn)榈降闹悬c(diǎn)的距離為2，
從而過，，三點(diǎn)的圓的方程為．
圓心坐標(biāo)為，半徑為2，
圓與直線相切.
(2)
證法一：設(shè)切點(diǎn)分別為，，，，過拋物線上點(diǎn)，的切線方程為，代入，整理得
△，又因?yàn)椋裕?br>從而過拋物線上點(diǎn)，的切線方程為即
又切線過點(diǎn)，，所以得①,即
同理可得過點(diǎn)，的切線為，
又切線過點(diǎn)，，所以得②,即,
即點(diǎn)，，，均滿足即，
故直線的方程為
又，為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，
所以，，從而直線恒過定點(diǎn).
證法二：由已知得，求導(dǎo)得，切點(diǎn)分別為，，，，故過點(diǎn)，的切線斜率為，從而切線方程為即
又切線過點(diǎn)，，所以得①即，
同理可得過點(diǎn)，的切線為，
又切線過點(diǎn)，，所以得②即，
即點(diǎn)，，，均滿足即，
故直線的方程為.
又，為直線上任意一點(diǎn)，故對(duì)任意成立，所以，，從而直線恒過定點(diǎn).
(3)
由（2）中①②兩式知，是方程的兩實(shí)根，故有
，，
，
①當(dāng)時(shí)，，直線上任意一點(diǎn)均有，為直角三角形；
②當(dāng)時(shí)，，，不可能為直角三角形；
③當(dāng)時(shí)，，，
因?yàn)椋?br>所以
若，則，整理得，
又因?yàn)?，所以?br>因?yàn)榉匠逃薪獾某湟獥l件是，所以當(dāng)時(shí)，有或，為直角三角形.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)，使為直角三角形，當(dāng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使為直角三角形；當(dāng)或時(shí)，不是直角三角形．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求拋物線的切線問題，可以先設(shè)出切線方程，再聯(lián)立方程利用判別式確定參數(shù)，也可以利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，直接點(diǎn)斜式求解，證明直線過定點(diǎn)問題，需要先找到符合條件的直線方程，且需要轉(zhuǎn)化為含一個(gè)參數(shù)的直線方程即可求出所過定點(diǎn)，屬于常規(guī)問題.
變式2-2.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上．
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，過定點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（異于點(diǎn)、），試探究直線、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．
【答案】(1)；
(2)直線、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.
【解析】
【分析】
（1）求出的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，求出的值，可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分析可知直線與軸不重合，可設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，求出兩直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將韋達(dá)定理代入即可求得結(jié)果.
(1)
解：由題意，得，
又在橢圓上，所以，解得，．
所以橢圓的方程為．
(2)
解：可得、，
若直線與軸重合，則與重合，不合乎題意，
設(shè)直線的直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，消整理得，
，
由韋達(dá)定理可得，．
直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立兩條直線方程，解得．①
將，代入①，
得．②
將，代入②，
得．
因此，直線、的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
變式2-3．已知點(diǎn)是圓：上任意一點(diǎn)，是圓內(nèi)一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；
(2)設(shè)不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，記，的斜率分別是，．當(dāng)，都存在且不為時(shí)，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)是定值，.
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)給定條件探求得，再借助橢圓定義直接求得軌跡的方程.
(2)設(shè)出直線的方程，再與軌跡的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.
(1)
圓：的圓心，半徑，
因線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，則，而，
于是得，
因此，點(diǎn)的軌跡是以C，A為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，短半軸長(zhǎng)有，
所以軌跡的方程為.
(2)
依題意，設(shè)直線的方程為：，，
由消去y并整理得：，
，則且，
設(shè)，則有，，
因直線，的斜率，都存在且不為，因此，且，，
，
所以直線，的斜率，都存在且不為時(shí)，是定值，這個(gè)定值是.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 存在性問題
1．如圖，橢圓C的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行于y軸時(shí)，直線l被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為．
(1)求橢圓C的方程:
(2)已知D為橢圓的左端點(diǎn)，問: 是否存在直線l使得的面積為?若不存在，說明理由，若存在，求出直線l的方程．
【答案】(1)
(2)存在方程使得
【解析】
【分析】
(1)借助題設(shè)條件建立方程組求解；
(2)依據(jù)題設(shè)運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行探求．
(1)
橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，
當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為，
點(diǎn)在橢圓上，
，解得：，
橢圓的方程為.
(2)
當(dāng)直線與軸平行時(shí)，不存在，
設(shè)直線的方程為，并設(shè)兩點(diǎn)，，
聯(lián)立，得，
其判別式，
，，
假設(shè)存在直線，則有，
解得或（舍去），，
故存在直線方程使得．
【點(diǎn)晴】
本題考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識(shí)與直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合性問題．解答本題的第一問時(shí)，直接依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)和橢圓的有關(guān)概念建立方程組，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；第二問的求解過程中，先設(shè)直線的方程為，再借助題設(shè)中的的面積為滿足的條件建立方程，求得，從而使得問題獲解．
2．已知圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之乘積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，則在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得的值為定值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)和該定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)，；
(2)存在點(diǎn)使得為定值，理由見解析；
【解析】
【分析】
（1）設(shè)出動(dòng)點(diǎn)，利用直接法求解軌跡方程；（2）先求出直線l斜率為0時(shí)不合題意，得到直線斜率不等于0，從而設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立第一問求出的軌跡方程，利用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，設(shè)出，求解，化簡(jiǎn)整理得到，從而得到存在點(diǎn)使得為定值.
(1)
令得：，不妨設(shè)，，則，整理得：，；動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E為，；
(2)
存在點(diǎn)，使得為定值，理由如下：
當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，則直線l為，此時(shí)與，無交點(diǎn)，故不合題意，舍去，即直線l斜率不為0
設(shè)，直線l設(shè)為，則與，聯(lián)立得：，設(shè)，則，所以
當(dāng)即時(shí)，為定值，即存在點(diǎn)使得為定值；
綜上：存在點(diǎn)使得為定值.
【點(diǎn)睛】
圓錐曲線上是否存在點(diǎn)使某些量為定值的題目，經(jīng)常考察，一般題目計(jì)算量大，且變量多，此時(shí)要抓住核心不變量，進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，主要方法是分離常數(shù)法，配方法等，本題中，將化簡(jiǎn)整理為是解題的關(guān)鍵所在.
3．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過F且和x軸垂直的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，，橢圓C的離心率為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，問x軸正半軸上是否存在一定點(diǎn)T，使得，若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，T（4，0）
【解析】
【分析】
（1）利用待定系數(shù)法求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）分MN的斜率不存在和存在兩種情況討論：當(dāng)MN的斜率不存在時(shí)，此時(shí)MN和x軸垂直，由橢圓的對(duì)稱性知有TF平分∠MTN；當(dāng)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)MN的直線方程為，設(shè)，，T（t，0），用“設(shè)而不求法”判斷出當(dāng)時(shí)，，即可證明.
(1)
設(shè)橢圓的焦距為2c.依題意，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，將c代入到橢圓方程中得P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（c，），
由橢圓的離心率為知，，，
于是P的坐標(biāo)為（c，c），
而由得，所以，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)
當(dāng)MN的斜率不存在時(shí)，此時(shí)MN和x軸垂直，由橢圓的對(duì)稱性知有TF平分∠MTN，
當(dāng)MN的斜率存在時(shí)，
設(shè)MN的直線方程為，
，，T（t，0），
得到直線TM和直線TN的斜率之和
將代入到橢圓方程中得，
所以
所以
當(dāng)時(shí)，，且與k無關(guān)，
即存在T（4，0），使得TF平分∠MTN.
【點(diǎn)睛】
（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）“設(shè)而不求法”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.
4．如圖，拋物線E：y2＝2px的焦點(diǎn)為F，四邊形DFMN為正方形，點(diǎn)M在拋物線E上，過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，交直線ND于點(diǎn)C.
(1)若B為線段AC的中點(diǎn)，求直線l的斜率；
(2)若正方形DFMN的邊長(zhǎng)為1，直線MA，MB，MC的斜率分別為k1，k2，k3，則是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，理由見解析.
【解析】
【分析】
（1）作出輔助線，利用拋物線定義及中位線得到AQ＝AB，從而得到傾斜角的余弦值及正切值，即直線l的斜率；（2）先求出p＝1，設(shè)出直線方程my＝x－，與拋物線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，得到等量關(guān)系，求出λ的值.
(1)
由已知可得DN為拋物線的準(zhǔn)線．
設(shè)直線l的傾斜角為α.
如圖所示，分別過點(diǎn)A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H為垂足．則BH＝BF，AG＝AF.
作BQ⊥AG，Q為垂足，則QG＝BH.
因?yàn)锽為線段AC的中點(diǎn)，所以BH為△ACG的中位線．所以BH＝AG＝AQ，所以AQ＝AB.
所以cs α＝cs ∠QAB＝，所以tan α＝，所以直線l的斜率為.
(2)
存在，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：
因?yàn)檎叫蜠FMN的邊長(zhǎng)為1，所以p＝1，因此拋物線的方程為：y2＝2x.可得.
設(shè)直線l的方程為my＝x－，A（x1，y1），B（x2，y2），.
聯(lián)立，化為：y2－2my－1＝0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－1.
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3，則，
左邊＝，所以，
解得：λ＝2.因此存在實(shí)數(shù)λ＝2，使得k1＋k2＝2k3.
練習(xí)二 探究性問題
5．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，若橢圓過點(diǎn)，且離心率為.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過橢圓E的上頂點(diǎn)P分別作斜率為，的兩條直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且，試探究過C，D兩點(diǎn)的直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，說明理由.
【答案】(1)；
(2)過定點(diǎn)，坐標(biāo)為.
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的離心率公式，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)直線斜率公式和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.
(1)
因?yàn)闄E圓的離心率為，
所以有.
橢圓過點(diǎn)，所以，由可解：
，所以該橢圓方程為：；
(2)
由（1）可知：，
設(shè)直線的方程為：，若，由橢圓的對(duì)稱性可知：，不符合題意，
當(dāng)時(shí)，
直線的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，
設(shè)， ，
，
因?yàn)?，所以，把代入得?br>，
所以有或，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，直線，直線恒過定點(diǎn)，
此時(shí)與點(diǎn)重合， 不符合題意，
當(dāng)時(shí)，，直線恒過點(diǎn)，
當(dāng)直線不存在斜率時(shí)，此時(shí)， ，因?yàn)椋?br>，兩點(diǎn)不在橢圓上，不符合題意，
綜上所述：過C，D兩點(diǎn)的直線過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
6．如圖，已知拋物線與圓相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
(1)若，求拋物線C的方程；
(2)試探究直線AC是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)直線AC恒過點(diǎn)
【解析】
【分析】
(1)將拋物線與圓聯(lián)立，再運(yùn)用韋達(dá)定理建立等式求解；
(2) 先求直線AC的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線AC的方程，然后化簡(jiǎn)可求解.
(1)
根據(jù)已知圓及拋物線的對(duì)稱性，可設(shè)，，，．
由，消去y，可得．
則，得或，
，，且．
顯然，，故．
由，知，即，則．
故拋物線C的方程為．
(2)
直線AC經(jīng)過定點(diǎn)．
由題意，直線AC的斜率存在，且為．
所以，直線AC的方程可以表示為：．
即，
所以，即．所以直線AC恒過點(diǎn)．
7．已知雙曲線的離心率，虛軸在軸上且長(zhǎng)為．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若斜率為的直線交于、兩點(diǎn)，且直線與圓相切，求證：；
(3)已知橢圓，若、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，且，探究點(diǎn)到直線的距離是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)點(diǎn)到直線的距離為定值，且定值為
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，由直線與圓相切可得出，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立；
（3）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，分軸與與軸不垂直兩種情況討論，求出、，利用等面積法求出的值，即可得出結(jié)論.
(1)
解：虛軸在軸上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
由題意得，解得a=22b=1c=62，
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
(2)
證明：設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
因?yàn)橹本€與圓相切，則，即．
聯(lián)立y=x+t2x2?y2=1可得，，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
因此，．
(3)
解：設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
當(dāng)直線軸時(shí)，，，
則點(diǎn)到直線的距離為；
當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，則直線的的方程為，
由得，則，同理．
，即，
∴，即．
綜上，點(diǎn)到直線的距離為定值，且定值為．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
8．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與，軸的正半軸分別交于，兩點(diǎn)，且的面積為，點(diǎn)，（，均不與重合）是橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線和的斜率之積為，試探究：直線是否過定點(diǎn)；若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不是，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)過定點(diǎn)，
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)三角形面積公式和題意可得、，聯(lián)立方程組，解方程組即可；
(2)由(1)知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達(dá)定理表示出，結(jié)合兩點(diǎn)坐標(biāo)表示直線斜率進(jìn)而得出關(guān)于m的方程，解方程即可.
(1)
由題意得，，則①，
∵，∴在橢圓上，代入可得②，
聯(lián)立①②，解得，，∴橢圓的方程為.
(2)
由（1）知，，若直線的斜率不存在，設(shè)，，
此時(shí)，
與題設(shè)矛盾，故直線的斜率必存在.
設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，
得，，
設(shè)，
∴，，（*）
∴
，
將（*）式代入上式，整理得，
解得或，當(dāng)時(shí)，直線過定點(diǎn)，不符題意.
所以直線過定點(diǎn).

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