常見考點(diǎn)
考點(diǎn)一 獨(dú)立性檢驗(yàn)
典例1．在2021年的一次車展上，某國產(chǎn)汽車廠家的一個(gè)品牌推出了1.5升混動(dòng)版和純電動(dòng)版兩款車型，自這兩款車型上市后，便獲得了不錯(cuò)的口碑，汽車測(cè)評(píng)人老李通過自媒體平臺(tái)，分8個(gè)指標(biāo)對(duì)這兩款車型進(jìn)行了綜合評(píng)測(cè)打分（滿分：5分），如圖所示：
(1)求綜合評(píng)測(cè)分?jǐn)?shù)的平均值；從上圖8個(gè)指標(biāo)中任選1個(gè)，求指標(biāo)分?jǐn)?shù)為4.93的概率；
(2)老李對(duì)兩款車型的車主的性別作了統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下2×2列聯(lián)表：
請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為喜歡哪款車型和性別有關(guān)．
附：，其中．
變式1-1．?dāng)?shù)字人民幣是由中國人民銀行發(fā)行的數(shù)字形式的法定貨幣，由指定運(yùn)營機(jī)構(gòu)參與運(yùn)營并向公眾兌換，與紙鈔和硬幣等價(jià)．為了進(jìn)一步了解普通大眾對(duì)數(shù)字人民幣的認(rèn)知情況，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了一次問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
(1)如果將高中及以下學(xué)歷稱為“低學(xué)歷”，大學(xué)?？萍耙陨蠈W(xué)歷稱為“高學(xué)歷”，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表；
(2)根據(jù)（1）中所得列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為“是否了解數(shù)字人民幣”與“學(xué)歷高低”有關(guān)？
附：，其中．
變式1-2．某校開展黨史知識(shí)競(jìng)賽.現(xiàn)從參加競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生，將他們的比賽成績(jī)（滿分為100分）分為6組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求a的值；
(2)估計(jì)這n名學(xué)生的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(3)活動(dòng)規(guī)定：競(jìng)賽成績(jī)位于60分以下為不及格，不低于80分為“優(yōu)秀”，若抽取的學(xué)生中成績(jī)不及格的有15人.請(qǐng)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”？
參考公式及數(shù)據(jù)：，.
變式1-3．某科研機(jī)構(gòu)為了研究喝酒與糖尿病是否有關(guān)，對(duì)該市名成年男性進(jìn)行了問卷調(diào)查，并得到了如下列聯(lián)表，規(guī)定“”平均每天喝以上的”為常喝.已知在所有的人中隨機(jī)抽取人，患糖尿病的概率為.
(1)請(qǐng)將上表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為糖尿病與喝酒有關(guān)？請(qǐng)說明理由；
(2)已知常喝酒且有糖尿病的人中恰有兩名老年人，其余為中年人，現(xiàn)從常喝酒且有糖尿病的這人中隨機(jī)抽取人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.
參考公式及數(shù)據(jù)：，.
典例2．2021年9月3日，教育部召開第五場(chǎng)金秋新聞發(fā)布會(huì)，會(huì)上發(fā)布了第八次全國學(xué)生體質(zhì)與健康調(diào)研結(jié)果.根絕調(diào)研結(jié)果數(shù)據(jù)顯示，我國大中小中學(xué)的健康情況有了明顯改善，學(xué)生總體身高水平也有所增加.但同時(shí)在超重和肥胖率上，中小學(xué)生卻有一定程度上升，大學(xué)生整體身體素質(zhì)也有所下滑.某市為調(diào)研本市學(xué)生體質(zhì)情況，采用按性別分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，得到體質(zhì)測(cè)試樣本的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：人）如下：
附：.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷：能否有95%的把握認(rèn)為該市學(xué)生體質(zhì)測(cè)試是否達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（注：體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀、良好或及格則體質(zhì)達(dá)標(biāo)，否則不達(dá)標(biāo)）
(2)體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀或良好則稱體質(zhì)測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)良，以樣本數(shù)據(jù)中男、女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的頻率視為該市男、女生體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良的概率，在該市學(xué)生中隨機(jī)選取2名男生，2名女生，設(shè)所選4人中體質(zhì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)良人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
變式2-1．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月4日至20日在北京舉行.踐行“綠色奧運(yùn)?科技奧運(yùn)?人文奧運(yùn)”理念，舉辦一屆“有特色?高水平”的奧運(yùn)會(huì)，是中國向世界的莊嚴(yán)承諾.為宣傳北京冬奧會(huì)，某市開展了冬奧知識(shí)競(jìng)答活動(dòng).從參與的市民中隨機(jī)抽取100人，統(tǒng)計(jì)他們的競(jìng)答成績(jī)得到下面的列聯(lián)表（單位：人）.
(1)完成列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為該市參與此次冬奧知識(shí)競(jìng)答的市民的成績(jī)與性別有關(guān)？
(2)將頻率視為概率，從該市所有參與冬奧知識(shí)競(jìng)答的市民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品，記其中成績(jī)合格的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式：
變式2-2．從某地區(qū)高中二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)得分在120分以下和120分以上（含120分）的學(xué)生各250名作為樣本（全體高二學(xué)生均參加監(jiān)測(cè)），分別測(cè)出他們的注意力集中水平得分，統(tǒng)計(jì)如下表.
(1)若將學(xué)生在質(zhì)量監(jiān)測(cè)中數(shù)學(xué)得分在120分以上（含120分）定義為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，將學(xué)生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）稱為注意力集中水平高；試問：能否有99%以上的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與注意力集中水平高有關(guān)？
(2)若將上述樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從該地區(qū)所有高二學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，設(shè)抽取到的數(shù)學(xué)得分在120分以上（含120分）且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的數(shù)學(xué)期望.
參考公式：，其中
變式2-3．在2021年的一次車展上，某國產(chǎn)汽車廠家的一個(gè)品牌推出了1.5升混動(dòng)版和純電動(dòng)版兩款車型，自這兩款車型上市后，便獲得了不錯(cuò)的口碑，汽車測(cè)評(píng)人老李通過自媒體平臺(tái)，對(duì)市場(chǎng)上這個(gè)品牌汽車車主的性別情況進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì).
(1)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：
請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9％的把握認(rèn)為喜歡哪款車型和性別有關(guān)；
(2)若兩款汽車的操控性能優(yōu)秀率均為，動(dòng)力性能優(yōu)秀率均為，老李又對(duì)這兩款車型進(jìn)行操控性能和動(dòng)力性能測(cè)試（假設(shè)進(jìn)行的各項(xiàng)測(cè)試之間互相不影響），求兩款車型的這兩項(xiàng)測(cè)試中恰有2項(xiàng)指標(biāo)優(yōu)秀的概率.
附：，其中.
鞏固練習(xí)
練習(xí)一 獨(dú)立性檢驗(yàn)
1．每年的六、七月份，我國長(zhǎng)江中下游地區(qū)進(jìn)入梅雨季節(jié)，如圖是江南某鎮(zhèn)2012~2021年梅雨季節(jié)的降雨量（單位：mm）的頻率分布直方圖．
(1)請(qǐng)用樣本平均數(shù)估計(jì)該鎮(zhèn)明年梅雨季節(jié)的降雨量；
(2)該鎮(zhèn)某楊梅種植戶統(tǒng)計(jì)了他種植的某品種楊梅在2012~2021年的畝產(chǎn)量（單位：kg），得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失），依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該品種楊梅的畝產(chǎn)量與降雨量有關(guān)？（完善列聯(lián)表，并說明理由）
單位：年
2．某航空公司規(guī)定：國內(nèi)航班（不構(gòu)成國際運(yùn)輸?shù)膰鴥?nèi)航段）托運(yùn)行李每件重量上限為50kg，每件尺寸限制為40cm×60cm×100cm，其中頭等艙乘客免費(fèi)行李額為40kg，經(jīng)濟(jì)艙乘客免費(fèi)行李額為20kg．某調(diào)研小組隨機(jī)抽取了100位國內(nèi)航班旅客進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)請(qǐng)完成如下的2×2列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為托運(yùn)行李重量與乘客乘坐的機(jī)艙等級(jí)有關(guān)？
單位：人
(2)調(diào)研小組為感謝參與調(diào)查的旅客，決定從托運(yùn)行李重量超出免費(fèi)行李額且不超出10kg的旅客中（其中女性旅客4人）隨機(jī)抽取4人，對(duì)其中的女性旅客贈(zèng)送“100元超額行李補(bǔ)助券”，記贈(zèng)送的補(bǔ)助券總金額為X元，求X的分布列與均值．
附：
參考公式：，．
3． “雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購狂歡節(jié)，某電子商務(wù)平臺(tái)對(duì)某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購情況進(jìn)行摸底調(diào)查，用隨機(jī)抽樣的方法抽取了100人，其消費(fèi)金額（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：
(1)利用圖1，求網(wǎng)民消費(fèi)金額的平均值和中位數(shù)；
(2)把下表中空格里的數(shù)填上，能否有的把握認(rèn)為網(wǎng)購消費(fèi)與性別有關(guān).
附表：
參考公式：χ2＝.
4．網(wǎng)課是一種新興的學(xué)習(xí)方式，它以互聯(lián)網(wǎng)為平臺(tái)，為學(xué)習(xí)者提供包含視頻、圖片、文字等多種形式的系列學(xué)習(xí)課程，由于具有方式多樣，靈活便捷等優(yōu)點(diǎn)，成為許多學(xué)生在假期實(shí)現(xiàn)自主學(xué)習(xí)的重要手段．為了調(diào)查A地區(qū)高中生一周網(wǎng)課學(xué)習(xí)的時(shí)間，隨機(jī)抽取了500名上網(wǎng)課的學(xué)生，將他們一周上網(wǎng)課的時(shí)間（單位：h）按分組，得到頻率分布直方圖如圖所示．
(1)求a的值，并估計(jì)這500名學(xué)生一周上網(wǎng)課時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
(2)為了了解學(xué)生與家長(zhǎng)對(duì)網(wǎng)課的態(tài)度是否具有差異性，研究人員隨機(jī)抽取了200人調(diào)查，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示，判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生與家長(zhǎng)對(duì)網(wǎng)課的態(tài)度具有差異性．
附：，其中．
5．2022年2月1日是春節(jié)，百節(jié)年為首，春節(jié)是中華民族最隆重的傳統(tǒng)佳節(jié)，它不僅集中體現(xiàn)了中華民族的思想信仰、理想愿望、生活?yuàn)蕵泛臀幕睦?，而且還是祈福攮災(zāi)、飲食和娛樂活動(dòng)的狂歡式展示．為調(diào)查某地從外地工作回來過年的市民（以下稱為“返贛人員”）人數(shù)情況，現(xiàn)對(duì)某一區(qū)域的居民進(jìn)行抽樣調(diào)查，并按年齡（單位：歲）分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中年齡在內(nèi)的人數(shù)為10．
(1)請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)補(bǔ)充完成列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為是否是從外地回來過年與性別相關(guān)；
(2)據(jù)了解，該地區(qū)今年返贛人員占．現(xiàn)從該社區(qū)居民中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行調(diào)查，記X為這3人中今年是返贛人員的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：
6．受新冠肺炎疫情的影響，各地推出務(wù)工人員就地過年的鼓勵(lì)政策．某市隨機(jī)抽選了100名男務(wù)工人員和100名女務(wù)工人員，調(diào)查他們是否有就地過年的意愿，結(jié)果如下：
(1)能否有99.9%的把握認(rèn)為務(wù)工人員就地過年的意愿與性別有關(guān)?
(2)若用頻率估計(jì)概率，從該市所有女務(wù)工人員中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行深入調(diào)查，表示抽取的女務(wù)工人員無就地過年的意愿的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
附：，其中．
7．2021年1月以來，教育部相繼出臺(tái)文件，對(duì)中小學(xué)生手機(jī)、睡眠、讀物、作業(yè)、體質(zhì)管理作出規(guī)定．為了在“控量”的同時(shí)力求“增效”，提高作業(yè)質(zhì)量，某學(xué)校計(jì)劃設(shè)計(jì)差異化作業(yè)．因此該校對(duì)初三年級(jí)的400名學(xué)生每天完成作業(yè)所需時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：
單位：人
(1)求x，y，z的值，并根據(jù)題中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷是否可以認(rèn)為完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上與性別有關(guān)；
(2)學(xué)校從完成作業(yè)所需時(shí)間在90分鐘以上的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取9人了解情況，甲老師再從這9人中選取3人進(jìn)行訪談，求甲老師選取的3人中男生人數(shù)大于女生人數(shù)的概率．
附：
參考公式：，．
8．2022年是奧運(yùn)會(huì)，我國北京和張家口聯(lián)合承辦第二十四屆冬季奧運(yùn)會(huì)，本屆冬奧會(huì)共設(shè)7個(gè)大項(xiàng)（滑雪、滑冰、冰球、冰壺、雪車、雪橇、冬季兩項(xiàng)）、15個(gè)分項(xiàng)（高山滑雪、自由式滑雪、單板滑雪、跳臺(tái)滑雪、越野滑雪、北歐兩項(xiàng)、短道速滑、速度滑冰、花樣滑冰、冰球、冰壺、雪車、鋼架雪車、雪橇、冬季兩項(xiàng)）共計(jì)109個(gè)小項(xiàng).某校為了調(diào)查學(xué)生是否喜歡冬季冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)，在高三年級(jí)特選取了200名學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表：
已知從這200名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，這個(gè)人喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的概率為0.8，表格中，.
(1)完成列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)；
(2)從上述喜歡冰雪運(yùn)動(dòng)的學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取8名學(xué)生，再從這8人中抽取3人調(diào)查其喜歡的運(yùn)動(dòng)，用表示3人中女生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.
混動(dòng)版
純電動(dòng)版
合計(jì)
男
25
女
15
60
合計(jì)
70
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
小學(xué)及以下
初中
高中
大學(xué)?？?br>大學(xué)本科
碩士研究生及以上
不了解數(shù)字人民幣
35
35
80
55
64
6
了解數(shù)字人民幣
40
60
150
110
140
25
低學(xué)歷
高學(xué)歷
合計(jì)
不了解數(shù)字人民幣
了解數(shù)字人民幣
合計(jì)
800
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
優(yōu)秀
不優(yōu)秀
合計(jì)
男生
40
女生
50
合計(jì)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
常喝
不常喝
合計(jì)
有糖尿病
無糖尿病
合計(jì)
優(yōu)秀
良好
及格
不及格
男生
100
200
780
120
女生
120
200
520
120
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
達(dá)標(biāo)
不達(dá)標(biāo)
合計(jì)
男生
女生
合計(jì)
成績(jī)合格
成績(jī)不合格
合計(jì)
男性
40
50
女性
20
合計(jì)
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
數(shù)學(xué)得分
注意力集中水平得分
120分以下
120分以上（含120分）
500分以上（含500分）
100
180
500分以下
150
70
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
混動(dòng)版
純電動(dòng)版
合計(jì)
男
25
女
15
60
合計(jì)
70
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
畝產(chǎn)量
降雨量
合計(jì)

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專題08 解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用-備戰(zhàn)2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之大題核心考點(diǎn)專題訓(xùn)練(新高考地區(qū))(原卷版)

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