專題09  數(shù)列中不等式恒成立問題【壓軸綜述】縱觀近幾年的高考命題，考查常以數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)以及關(guān)系式，或數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系入手，結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系式與等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義展開，求解數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，有時(shí)與參數(shù)的求解、數(shù)列不等式的證明等加以綜合．數(shù)列中不等式恒成立問題，是數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用問題的命題形式之一. 主要有兩類：一是證明不等式恒成立，二是由不等式恒成立確定參數(shù)的值（范圍）. 以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題,或不等式的證明問題,多與數(shù)列求和相聯(lián)系,最后利用函數(shù)的單調(diào)性求解,或利用放縮法證明.本專題通過例題說明此類問題解答規(guī)律與方法.(1)數(shù)列與不等式的綜合問題，如果是證明題，要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式，往往采用因式分解法或穿根法等．(2)如用放縮法證明與數(shù)列求和有關(guān)的不等式，一般有兩種方法：一種是求和后再放縮；一種是放縮后再求和．放縮時(shí)，一要注意放縮的尺度，二要注意從哪一項(xiàng)開始放縮．【壓軸典例】例1．（2021·新疆高三其他模擬）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，，設(shè)，記表示不超過的最大整數(shù).設(shè)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，∴，即有，∴是以2為首項(xiàng)3為公比的等比數(shù)列，∴，∴∴，又為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，若恒成立，則的最大值為1010.例2．（2020·全國高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列中，，，.若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)可能為（      ）A．－4 B．－2 C．0 D．2【答案】AB【詳解】，，則，，，，上述式子累加可得：，，對(duì)于任意的恒成立，整理得對(duì)于任意的恒成立，對(duì)A，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故A正確；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，包含，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，不等式，解集，不包含，故D錯(cuò)誤，例3．（2020·嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高三）設(shè)，若數(shù)列是無窮數(shù)列，且滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（    ）A．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．存在數(shù)列為單調(diào)遞增的等比數(shù)列C．恒成立 D．【答案】D【詳解】因?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，解得。當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，解得。因?yàn)闊o窮數(shù)列，對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，所以。對(duì)選項(xiàng)A，若為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，設(shè)，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B，若為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，設(shè)，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)?/span>，設(shè)，取，則，，顯然不成立；故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由，顯然恒成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，故恒成立，故D正確.例4．（2021·江蘇高三一模）已知等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，(為偶數(shù))，求的值.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?/span>，所以即解得，所以.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題設(shè)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，，所以.，∴，因?yàn)?/span>，，所以，即.因?yàn)?/span>為偶數(shù)，所以.例5．（2021·天津?yàn)I海新區(qū)·高三）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和；（3）若對(duì)恒成立，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，又，所以，所以，數(shù)列的公比，所以.（2）由（1）知，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.（3），，令，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，且遞減，可得的最大值為，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，且遞增，可得的最小值為，所以的最小值為，最大值為，因?yàn)?/span>對(duì)恒成立，所以，所以，所以的最小值為.例6.（2019·浙江高考真題）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：對(duì)每成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記 證明：【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】 (1)由題意可得：，解得：，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為 .其前n項(xiàng)和.則成等比數(shù)列，即：，據(jù)此有：，故.(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式可得：，則.例7.(2019·江蘇高考·T20)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M-數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列{an}(n∈N*)滿足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求證:數(shù)列{an}為“M-數(shù)列”.(2)已知數(shù)列{bn}(n∈N*)滿足:b1=1,=-,其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.①求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.②設(shè)m為正整數(shù),若存在“M-數(shù)列”{cn}(n∈N*),對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)k≤m時(shí),都有ck≤bk≤ck+1成立,求m的最大值.【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,所以a1≠0,q≠0.由得解得，因此數(shù)列{an}為“M—數(shù)列”.(2)①因?yàn)?/span>=-,所以bn≠0.由b1=1,S1=b1,得=-,則b2=2.由=-,得Sn=,當(dāng)n≥2時(shí),由bn=Sn-Sn-1,得bn=-,整理得bn+1+bn-1=2bn.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.因此,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=n(n∈N*).②由①知,bk=k,k∈N*.因?yàn)閿?shù)列{cn}為“M-數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c1=1,q>0.因?yàn)?/span>ck≤bk≤ck+1,所以qk-1≤k≤qk,其中k=1,2,3,…,m.當(dāng)k=1時(shí),有q≥1;當(dāng)k=2,3,…,m時(shí),有≤ln q≤.設(shè)f(x)=(x>1),則f'(x)=.令f'(x)=0,得x=e.列表如下:x(1,e)e(e,+∞)f'(x)+0-f(x)↗極大值↘因?yàn)?/span>=<=,所以f(k)max=f(3)=.取q=,當(dāng)k=1,2,3,4,5時(shí),≤ln q,即k≤qk,經(jīng)檢驗(yàn)知qk-1≤k也成立.因此所求m的最大值不小于5.若m≥6,分別取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,從而q15≥243,且q15≤216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.綜上,所求m的最大值為5.例8.（2020·河北石家莊高考模擬）已知等比數(shù)列滿足，且是的等差中項(xiàng).求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若 ，對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，試求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為.依題意，有，代入，得.因此，即有，解得或又數(shù)列單調(diào)遞增，則故. ， ，，，得 .，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，對(duì)任意正整數(shù)恒成立，即恒成立.，，即的取值范圍是.例9.（2020·江蘇鎮(zhèn)江高考模擬）已知在數(shù)列{an}中，設(shè)a1為首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)m，n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，且2S6＜S3．（1）設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且公差為d，求的取值范圍；（2）設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比為q（q＞0且q≠1），求a1q的取值范圍．【答案】(1)＜﹣3；（2）a1q＞0【解析】在數(shù)列{an}中，設(shè)a1為首項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)m、n都有不等式S2m+S2n＜2Sm+n（m≠n）恒成立，（1）設(shè){an}為等差數(shù)列，且公差為d，則：2ma1+d+2na1+d＜2[（m+n）a1+d]，整理得：（m﹣n）2d＜0，則d＜0，由2S6＞S3，整理得：9a1+27d＞0，則a1＞﹣3d，所以d＜0，＜﹣3；（2）設(shè){an}為等比數(shù)列，且公比為q（q＞0且q≠1），則，整理得（2qm+n﹣q2m﹣q2n）＜0，則：﹣（qm﹣qn）2＜0，所以＞0，由2S6＞S3，則：2q6﹣q3﹣1＜0解得：﹣＜q3＜1，由于q＞0，所以：0＜q＜1，則：a1＞0．即有a1q＞0．例10.（2020·山東高考模擬）已知單調(diào)等比數(shù)列中，首項(xiàng)為 ，其前n項(xiàng)和是，且成等差數(shù)列,數(shù)列滿足條件(Ⅰ) 求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；(Ⅱ) 設(shè) ,記數(shù)列的前項(xiàng)和 .①求 ;②求正整數(shù)，使得對(duì)任意，均有 .【答案】(Ⅰ) ；；(Ⅱ)①見解析；②見解析.【解析】 (Ⅰ)設(shè). 由已知得   即 進(jìn)而有.  所以，即  ，則，由已知數(shù)列是單調(diào)等比數(shù)列，且 所以取，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.∵ ，  ∴ 則.數(shù)列的通項(xiàng)公式為.  (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ①設(shè)，的前項(xiàng)和為.則.又設(shè)，的前項(xiàng)和為.則.所以 ②令 .由于比變化快，所以令得.即遞增，而遞減.所以，最大.即當(dāng)時(shí)，.【壓軸訓(xùn)練】1．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，則整數(shù)的最大值為(    )A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】由題意，數(shù)列滿足，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，所以，又由，所以，即，所以數(shù)列表示首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，所以，因?yàn)?/span>，所以，即，則對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，又，所以對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，最大,此時(shí)最大值為，所以，即，所以的最大整數(shù)為4，故選B.2．（2020·江西高三其他模擬）已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【詳解】時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以時(shí)，，兩式相減得到，故時(shí)不適合此式，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；所以t的最小值；3．（2020·全國高三月考）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”.已知數(shù)列是數(shù)列的“均值數(shù)列”且通項(xiàng)公式為，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和為，由“均值數(shù)列”的定義可得，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，也滿足，所以，所以，所以，又對(duì)一切恒成立，所以，整理得，解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.4．（2020·湖南常德市一中）（多選）設(shè)是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)k，使得對(duì)任意，均有，則稱是間隔遞增數(shù)列，k是的間隔數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列B．已知，則是間隔遞增數(shù)列C．已知，則是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2D．已知，若是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則【答案】BCD【詳解】A. ，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；B. ，令，t在單調(diào)遞增，則，解得，故正確； C. ，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，存在成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，存在成立，綜上：是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2，故正確；D. 若是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3，則，成立，則，對(duì)于成立，且，對(duì)于成立，即，對(duì)于成立，且，對(duì)于成立所以，且，解得，故正確.5．（2021·浙江麗水市·高三）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是，時(shí)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：對(duì)任意的，不等式成立．【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）解：由題可知：當(dāng)時(shí)，，，則，又，∴，即，則，當(dāng)時(shí)，，即（2）由（1）可知：時(shí)，，則，即，即．6．（2021·浙江溫州市·溫州中學(xué)高三）已知數(shù)列的前項(xiàng)之積滿足條件：①是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列：②．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為．求證：對(duì)任意正整數(shù)，都有．【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為． 由已知得，所以，所以，， 因?yàn)?/span>，所以，解得，所以，即．又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)也符合上式，所以．（2）由（1）知，所以,,，所以．又，所以,．綜上可知，對(duì)任意正整數(shù)，都有．7. （2020·臨川一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知對(duì)于，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，，作差整理得：，因?yàn)?/span>，故，所以，故數(shù)列為等差數(shù)列，所以．                （2）由（1）知，所以，從而．所以，故的最小值為．8．（2019·重慶一中高三）設(shè)函數(shù)，對(duì)于，都有成立.（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）證明：（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明【解析】（Ⅰ），當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. ，都成立，.又，所以由得.；的取值范圍是.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，即..當(dāng)時(shí)，.令，則.且時(shí)，.，.；即恒成立.9.（2020年陜西高三）已知數(shù)列{ }的首項(xiàng)為1， 為數(shù)列的前n項(xiàng)和， ，其中q>0， .（Ⅰ）若 成等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)雙曲線 的離心率為 ，且 ，證明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】（Ⅰ）由已知， 兩式相減得到.又由得到，故對(duì)所有都成立.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列.從而.由成等比數(shù)列，可得，即，則，由已知,，故 .所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以雙曲線的離心率 ．由解得.因?yàn)?/span>，所以.于是，故.10. 設(shè)函數(shù) （1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍；（3）證明：【答案】（1）；（2）；（3）見解析.【解析】（1）∵ ，∴的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，，在上無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，在處卻極大值，此極大值也是最大值，要使恒成立，只需，解得，故的取值范圍為；（3）令，由（2）可知，，即，       ==.11.（2020·浙江杭州高三）已知無窮數(shù)列的首項(xiàng)， .（Ⅰ）證明： ；（Ⅱ） 記， 為數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：對(duì)任意正整數(shù)， .【答案】(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.【解析】（Ⅰ）證明：①當(dāng)時(shí)顯然成立；②假設(shè)當(dāng) 時(shí)不等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)， ，所以，即時(shí)不等式也成立.綜合①②可知， 對(duì)任意成立. （Ⅱ），即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列.又 ，易知為遞減數(shù)列，所以也為遞減數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， ，成立；當(dāng)時(shí)， 綜上，對(duì)任意正整數(shù)， 12.（2020·河南高考模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，等差數(shù)列滿足，（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：.【答案】（Ⅰ）,；（Ⅱ）詳見解析.【解析】（Ⅰ）    當(dāng)時(shí)，    當(dāng)時(shí)，，整理得：數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列    設(shè)等差數(shù)列的公差為,，, ，解得：（Ⅱ）證明：設(shè)兩式相減可得：， ，即    13．（2020·浙江高三月考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足且對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，則，即，，因?yàn)?/span>，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，，因?yàn)?/span>，所以，即，則.（2），令，則，因?yàn)?/span>對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，即，令，，則，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)取到最小值，故，實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．（2020·湖北武漢市·華中師大一附中高三）已知數(shù)列的各項(xiàng)為正，且，是公比為的等比數(shù)列.再從：①數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：②數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，，，，成等比數(shù)列．這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，解答下列問題.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)的前項(xiàng)和為若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；；（2）.【詳解】（1）若選①，時(shí)，，∴，時(shí)，，，兩式相減得：，∴（舍）或，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴；若選②，因?yàn)?/span>，∴，又，∴，得或0（舍去），∴，∴，，，又的公比為，.（2）由（1）得當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，對(duì)恒成立，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，即恒成立，因?yàn)?/span>為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，即恒成立，因?yàn)?/span>為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.15．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶八中高三）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足：，，數(shù)列為等差數(shù)列．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為．若對(duì)于任意均有，求正整數(shù)的值．【答案】（1）；；（2）1.【詳解】（1）由題意知，，時(shí)，；顯然也滿足上式，故；因?yàn)?/span>，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，由，解得，所以等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，因此，所以；（2）由（1）可得：，所以；①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又隨增加而增加，此時(shí)．②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，則，∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒有．綜合①②可知，∴滿足題意的．

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09數(shù)列不等式恒成立問題-【數(shù)列專題】2024屆高考數(shù)學(xué)重要模型專練（全國通用）：

這是一份09數(shù)列不等式恒成立問題-【數(shù)列專題】2024屆高考數(shù)學(xué)重要模型專練（全國通用），共20頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

專題06 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合應(yīng)用-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)沖破壓軸題講與練：

這是一份專題06 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列、不等式的綜合應(yīng)用-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)沖破壓軸題講與練，文件包含專題06函數(shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用解析版doc、專題06函數(shù)導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式的綜合應(yīng)用原卷版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共33頁， 歡迎下載使用。

專題10 數(shù)列與不等式的綜合問題-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)沖破壓軸題講與練：

這是一份專題10 數(shù)列與不等式的綜合問題-備戰(zhàn)2022高考數(shù)學(xué)沖破壓軸題講與練，文件包含專題10數(shù)列與不等式的綜合問題解析版doc、專題10數(shù)列與不等式的綜合問題原卷版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共22頁， 歡迎下載使用。

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