高三數(shù)學(xué)高考高分突破之概率統(tǒng)計專題05 回歸分析（原卷版）66-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．﹣2B．1C．2D．5
例2．研究變量x，y得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，有以下結(jié)論
①殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好；
②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小說明擬合效果越好；
③在回歸直線方程y?=?0.2x+0.8中，當(dāng)解釋變量x每增加1個單位時，預(yù)報變量y?平均減少0.2個單位；
④若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r＝﹣0.9462，則變量y和x之間的負(fù)相關(guān)很強(qiáng)．
以上正確說法的是．
例3．下列命題中，正確的命題有．
①回歸直線y?=b?x+a?恒過樣本點中心（x，y），且至少過一個樣本點；
②用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，表示預(yù)報變量對解釋變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1說明模型的擬合效果越好；
③殘差圖中殘差點比較均勻的落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適；
④兩個模型中殘差平方和越大的模型的擬合效果越好．
例4．下列命題：
①相關(guān)指數(shù)R2越小，則殘差平方和越大，模型的擬合效果越好．
②對分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說，k越小，“X與Y有關(guān)系”可信程度越大．
③殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，帶狀區(qū)域越寬，說明模型擬合精度越高．
④兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近0．
其中錯誤命題的個數(shù)為．
例5．垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化、減量化處理．某市為調(diào)査產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，……，20），其中xi和yi分別表示第i個縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計算得i=120 xi=80，i=120 yi=4000，i=120 （xi?x）2＝80，i=120 （yi?y）2＝8000，i=120 （xi?x）（yi?y）＝7000．
（1）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；
（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程；
（3）某科研機(jī)構(gòu)研發(fā)了兩款垃圾處理機(jī)器，如表是以往兩款垃圾處理機(jī)器的使用年限（整年）統(tǒng)計表：
某環(huán)保機(jī)構(gòu)若考慮購買其中一款垃圾處理器，以使用年限的頻率估計概率．根據(jù)以往經(jīng)驗估計，該機(jī)構(gòu)選擇購買哪一款垃圾處理機(jī)器，才能使用更長久？
參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1n (xi?x)(yi?y)i=1n (xi?x)i=1n (yi?y)2．
對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，……，n），其回歸直線y?=b?x+a?的斜率和截距的最小二乘估計分別為：b?=i=1n (xi?x)(yi?y)i=1n (xi?x)2，a?=y?b?x．
例6．某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜．據(jù)統(tǒng)計該基地的西紅柿增加量y（百斤）與使用某種液體肥料x（千克）之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖．
（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖，請計算相關(guān)系數(shù)r（精確到0.01），并以此判定是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？若是請求出回歸直線方程，若不是請說明理由；
（2）過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時）都在30小時以上，其中不足50小時的周數(shù)有5周，不低于50小時且不超過70小時的周數(shù)有35周，超過70小時的周數(shù)有10周．蔬菜大棚對光照要求較大，某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀，但每周光照控制儀最多可運行臺數(shù)受周光照量X限制，并有如表關(guān)系：
若某臺光照控制儀運行，則該臺光照控制儀周利潤為3000元；若某臺光照控制儀未運行，則該臺光照控制儀周虧損1000元．若商家安裝了5臺光照控制儀，求商家在過去50周每周利潤的平均值．
附：對于一組數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），……，（xn，yn），其相關(guān)系數(shù)公式r=i=1n (xi?x)(yi?y)i=1n (xi?x)2i=1n (yi?y)2，回歸直線y?=b?x+a?的斜率和截距的最小二乘估計分別為：b?=i=1n (xi?x)(yi?y)i=1n (xi?x)2=i=1n xiyi?nxyi=1n (xi?x)2，a?=y?b?x，參考數(shù)據(jù)0.3≈0.55，0.9≈0.95．
例7．湖南省從2021年開始將全面推行“3+1+2”的新高考模式，新高考對化學(xué)、生物、地理和政治等四門選考科目，制定了計算轉(zhuǎn)換T分（即記入高考總分的分?jǐn)?shù)）的“等級轉(zhuǎn)換賦分規(guī)則”（詳見附1和附2），具體的轉(zhuǎn)換步驟為：①原始分Y等級轉(zhuǎn)換；②原始分等級內(nèi)等比例轉(zhuǎn)換賦分．
某校的一次年級統(tǒng)考中，政治、生物兩選考科目的原始分分布如表：
現(xiàn)從政治、生物兩學(xué)科中分別隨機(jī)抽取了20個原始分成績數(shù)據(jù)，作出莖葉圖：
（1）根據(jù)莖葉圖，分別求出政治成績的中位數(shù)和生物成績的眾數(shù)；
（2）該校的甲同學(xué)選考政治學(xué)科，其原始分為82分，乙同學(xué)選考生物學(xué)科，其原始分為91分，根據(jù)賦分轉(zhuǎn)換公式，分別求出這兩位同學(xué)的轉(zhuǎn)化分；
（3）根據(jù)生物成績在等級B的6個原始分和對應(yīng)的6個轉(zhuǎn)化分，得到樣本數(shù)據(jù)（Yi，Ti），請計算生物原始分Yi與生物轉(zhuǎn)換分Ti之間的相關(guān)系數(shù)，并根據(jù)這兩個變量的相關(guān)系數(shù)談?wù)勀銓π赂呖歼@種“等級轉(zhuǎn)換賦分法”的看法．
附1：等級轉(zhuǎn)換的等級人數(shù)占比與各等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間
附2：計算轉(zhuǎn)換分T的等比例轉(zhuǎn)換賦分公式：Y2?YY?Y1=T2?TT?T1．（其中：Y1，Y2別表示原始分Y對應(yīng)等級的原始分區(qū)間下限和上限；T1，T2分別表示原始分對應(yīng)等級的轉(zhuǎn)換分賦分區(qū)間下限和上限．T的計算結(jié)果按四舍五入取整）．
附3：i=16 （Yi?Y）（Ti?T）＝74，i=16 (Yi?Y)2i=16 (Ti?T)2=5494≈74.12，r=i=1n (Yi?Y)(Ti?T)i=1n (Yi?Y)2i=1n (Ti?T)2．
例8．某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間買二手房情況，首先隨機(jī)抽樣其中200名購房者，并對其購房面積m（單位：平方米，60≤m≤130）進(jìn)行了一次調(diào)查統(tǒng)計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調(diào)查了該市2018年1月至2019年1月期間當(dāng)月在售二手房均價y（單位：萬元/平方米），制成了如圖2所示的散點圖（圖中月份代碼1﹣13分別對應(yīng)2018年1月至2019年1月）．
（Ⅰ）試估計該市市民的購房面積的中位數(shù)m0；
（Ⅱ）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購房面積位于[110，130]的40位市民中隨機(jī)抽取4人，再從這4人中隨機(jī)抽取2人，求這2人的購房面積恰好有一人在[120，130]的概率；
（Ⅲ）根據(jù)散點圖選擇y?=a?+b?x和y?=c?+d?lnx兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程，分別為y?=0.9369+0.0285x和y?=0.9554+0.0306lnx，并得到一些統(tǒng)計量的值如表所示：
請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模型預(yù)測出2019年12月份的二手房購房均價（精確到0.001）．
【參考數(shù)據(jù)】ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln23≈3.14，ln25≈3.22，2≈141，3≈1.73，23≈4.80．
【參考公式】R2=1?i=1n (yi?y?i)2i=1n (yi?y)2．
例9．某汽車公司擬對“東方紅”款高端汽車發(fā)動機(jī)進(jìn)行科技改造，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到科技改造投入x（億元）與科技改造直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表：
當(dāng)0＜x≤16時，建立了y與x的兩個回歸模型：模型①：y?=4.1x+11.8；模型②：y?=21.3x?14.4；當(dāng)x＞16時，確定y與x滿足的線性回歸方程為：y?=?0.7x+a．
（Ⅰ）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0＜x≤16時模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測對“東方紅”款汽車發(fā)動機(jī)科技改造的投入為16億元時的直接收益．
（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2＝1?i=1n (yi?y?i)2i=1n (yi?y)2．）
（Ⅱ）為鼓勵科技創(chuàng)新，當(dāng)科技改造的投入不少于20億元時，國家給予公司補(bǔ)貼收益10億元，以回歸方程為預(yù)測依據(jù)，比較科技改造投入16元與20億元時公司實際收益的大??；
（附：用最小二乘法求線性回歸方程y?=b?x+a?的系數(shù)公式b?=i=1n xiyi?nx?yi=1n xi2?nx2=i=1n (xi?x)(yi?y)i=1n (xi?x)2；a?=y?b?x）
（Ⅲ）科技改造后，“東方紅”款汽車發(fā)動機(jī)的熱效率X大幅提高，X服從正態(tài)分布N（0.52，0.012），
公司對科技改造團(tuán)隊的獎勵方案如下：若發(fā)動機(jī)的熱效率不超過50%但不超過53%，不予獎勵；若發(fā)動機(jī)的熱效率超過50%但不超過53%，每臺發(fā)動機(jī)獎勵2萬元；若發(fā)動機(jī)的熱效率超過53%，每臺發(fā)動機(jī)獎勵4萬元．求每臺發(fā)動機(jī)獲得獎勵的數(shù)學(xué)期望．
（附：隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）＝0.9545．）
例10．某高中數(shù)學(xué)建模興趣小組的同學(xué)為了研究所在地區(qū)男高中生的身高與體重的關(guān)系，從若干個高中男學(xué)生中抽取了1000個樣本，得到如下數(shù)據(jù)．
數(shù)據(jù)二：身高所在的區(qū)間含樣本的個數(shù)及部分?jǐn)?shù)據(jù)
（Ⅰ）依據(jù)數(shù)據(jù)一將下面男高中生身高在[170﹣180）（單位：cm）體重的頻率分布直方圖補(bǔ)充完整，并利用頻率分布直方圖估計身高在[170﹣180）（單位：cm）的中學(xué)生的平均體重；（保留小數(shù)點后一位）
（Ⅱ）依據(jù)數(shù)據(jù)一、二，計算身高（取值為區(qū)間中點）和體重的相關(guān)系數(shù)約為0.99，能否用線性回歸直線來刻畫中學(xué)生身高與體重的相關(guān)關(guān)系，請說明理由；若能，求出該回歸直線方程；
（Ⅲ）說明殘差平方和或相關(guān)指數(shù)R2與線性回歸模型擬合效果之間關(guān)系．（只需寫出結(jié)論，不需要計算）
參考公式：b?=i=1n (xi?x)(yi?y)i=1n (xi?x)2=i=1n xiyi?nx?yi=1n xi2?nx2，a?=y?b?x．
參考數(shù)據(jù)：（1）145×45+155×53.6+165×60+185×75＝38608；
（2）1452+1552+1652+1752+1852﹣5×1652＝1000．
（3）663×175＝116025，664×175＝116200，665×175＝116375．
（4）728×165＝120120．
例11．2019年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，國各地房價“跳水”嚴(yán)重，但某地二手房交易卻“逆市”而行．如圖是該地某小區(qū)2018年11月至2019年1月間，當(dāng)月在售二手房均價（單位：萬元/平方米）的散點圖．（圖中月份代碼1～13分別對應(yīng)2018年11月～2019年11月）
根據(jù)散點圖選擇y=a+bx和y＝c+dlnx兩個模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到兩個回歸方程分別為y^=0.9369+0.0285x和y^=0.9554+0.0306lnx，并得到以下一些統(tǒng)計量的值：
（1）請利用相關(guān)指數(shù)R2判斷哪個模型的擬合效果更好；
（2）某位購房者擬于2020年4月購買這個小區(qū)m（70≤m≤160）平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）．
若購房時該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿2但未滿5年，請你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：
（i）估算該購房者應(yīng)支付的購房金額；（購房金額＝房款+稅費，房屋均價精確到0.001萬元/平方米）
（ii）若該購房者擬用不超過100萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積．（精確到1平方米）
附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項稅費，稅費是按房屋的計稅價格（計稅價格＝房款）進(jìn)行征收的．
房產(chǎn)證滿2年但未滿5年的征收方式如下：首套面積90平方米以內(nèi)（含90平方米）為1%；首套面積90平方米以上且140平方米以內(nèi)（含140平方米）1.5%；首套面積140平方米以上或非首套為3%．
參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，ln17≈2.83，ln19≈2.94，2≈1.41，3≈1.73，17≈4.12，19≈4.36．
參考公式：相關(guān)指數(shù)R2=1?i=1n (yi?y^i)2i=1n (yi?y)2．
例12．某新興科技公司為了確定新研發(fā)的產(chǎn)品下一季度的營銷計劃，需了解月宣傳費x（單位：萬元）對月銷售量y（單位：千件）的影響，收集了2020年3月至2020年8月共6個月的月宣傳費x和月銷售量y的數(shù)據(jù)如表：
現(xiàn)分別用模型①y?=b?x+a?和模型②y?=em?x+n?對以上數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到回歸模型，并計算出模型的殘差如表：
（模型①和模型②的殘差分別為e?1和e?2，殘差＝實際值﹣預(yù)報值）
（1）根據(jù)上表的殘差數(shù)據(jù)，應(yīng)選擇哪個模型來擬合月宣傳費x與月銷售量y的關(guān)系較為合適，簡要說明理由；
（2）為了優(yōu)化模型，將（1）中選擇的模型殘差絕對值最大所對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)（x，y）剔除，根據(jù)剩余的5組數(shù)據(jù)，求該模型的回歸方程，并預(yù)測月宣傳費為12萬元時，該公司的月銷售量．
（剔除數(shù)據(jù)前的參考數(shù)據(jù)：x=7.5，y=5.9，i=16 xiyi=299.8，i=16 xi2=355，z＝lny．z≈?1.41，i=16 xiyi=?73.10，ln10.7≈2.37，e4.034≈56.49．）
參考公式：b?=i=1n xiyi?nxyi=1n xi2?nx2，a?=y??b?x．
例13．新型冠狀病毒肺炎COVID﹣19疫情發(fā)生以來，在世界各地逐漸蔓延．在全國人民的共同努力和各級部門的嚴(yán)格管控下，我國的疫情已經(jīng)得到了很好的控制．然而，小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，每個國家在疫情發(fā)生的初期，由于認(rèn)識不足和措施不到位，感染人數(shù)都會出現(xiàn)快速的增長．如表是小王同學(xué)記錄的某國連續(xù)8天每日新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)．
為了分析該國累計感染人數(shù)的變化趨勢，小王同學(xué)分別用兩種模型：
①y?=bx2+a，
②y?=dx+c對變量x和y的關(guān)系進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差ei=yi?yi）：經(jīng)過計算得它i=18 (xi?x)(yi?y)=728，i=18 (xi?x)2=42，i=18 (zi?z)(yi?y)=6868，i=18 (zi?z)2=3570，其中zi=xi2，z=18i=18 zi.
（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)該選擇哪個模型？并簡要說明理由；
（2）根據(jù)（1）問選定的模型求出相應(yīng)的回歸方程（系數(shù)均保留兩位小數(shù)）；
（3）由于時差，該國截止第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)尚未公布．小王同學(xué)認(rèn)為，如果防疫形勢沒有得到明顯改善，在數(shù)據(jù)公布之前可以根據(jù)他在（2）問求出的回歸方程來對感染人數(shù)做出預(yù)測，那么估計該地區(qū)第9天新型冠狀病毒感染確診的累計人數(shù)是多少？
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b?=i=18 (xi?x)(yi?y)i=18 (xi?x)2，a?=y?b?x．
例14．H市某企業(yè)堅持以市場需求為導(dǎo)向，合理配置生產(chǎn)資源，不斷改革、探索銷售模式．下表是該企業(yè)每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)總成本y（萬元）的五組對照數(shù)據(jù)．
（Ⅰ）根據(jù)上達(dá)數(shù)據(jù)，若用最小二乘法進(jìn)行線性模擬，試求y關(guān)于x的線性回歸方程y?=b?x+a?；
參考公式：b?=i=1n xiyi?nxyi=1n xi2?nx2，a?=y?b?x．
（Ⅱ）記第（Ⅰ）問中所求y與x的線性回歸方程y?=b?x+a?為模型①，同時該企業(yè)科研人員利用計算機(jī)根據(jù)數(shù)據(jù)又建立了y與x的回歸模型②：y?=12x2+1．其中模型②的殘差圖（殘差＝實際值﹣預(yù)報值）如圖所示：
請完成模型①的殘差表與殘差圖，并根據(jù)殘差圖，判斷哪一個模型更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程？并說明理由；
（Ⅲ）根據(jù)模型①中y與x的線性回歸方程，預(yù)測產(chǎn)量為6噸時生產(chǎn)總成本為多少萬元？
例15．為了解某企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品的年利潤與年廣告投入的關(guān)系，該企業(yè)對最近一些相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計，得出相關(guān)數(shù)據(jù)見表：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，研究人員分別借助甲．乙兩種不同的回歸模型，得到兩個回歸方程，方程甲：
方程甲：y?（1）=b?（x﹣1）2+2.75，方程乙：y?（2）=c?x﹣1.6．
（1）求b?（結(jié)果精確到0.01）與c?的值．
（2）為了評價兩種模型的擬合效果，完成以下任務(wù)．
①完成下表（備注：ei=yi?yi，ei稱為相應(yīng)于點（xi，yi）的殘差；
②分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和Q1及Q2，并通過比較Q1，Q2的大小，判斷哪個模型擬合效果更好
使用年限
臺數(shù)
款式
1年
2年
3年
4年
5年
甲款
5
20
15
10
50
乙款
15
20
10
5
50
周光照量X（單位：小時）
30＜X＜50
50≤X≤70
n≥2
光照控制儀最多可運行臺數(shù)
5
4
2
等級
A
B
C
D
E
比例
約15%
約35%
約35%
約13%
約2%
政治學(xué)科
各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間
[81，98]
[72，80]
[66，71]
[63，65]
[60，62]
生物學(xué)科
各等級對應(yīng)的原始分區(qū)間
[90，100]
[77，89]
[69，76]
[66，68]
[63，65]
等級
A
B
C
D
E
原始分從高到低排序的等級人數(shù)占比
約15%
約35%
約35%
約13%
約2%
轉(zhuǎn)換分T的賦分區(qū)間
[86，100]
[71，85]
[56，70]
[41，55]
[30，40]
y?=0.9369+0.0285x
y?=0.9554+0.0306lnx
i=113 (yi?y?i)2
0.000591
0.000164
i=113 (yi?y)2
0.006050
x
2
3
4
6
8
10
13
21
22
23
24
25
y
13
22
31
42
50
56
58
68.5
68
67.5
66
66
回歸模型
模型①
模型②
回歸方程
y?=4.1x+11.8
y?=21.3x?14.4
i=17 (yi?y?i)2
182.4
79.2
數(shù)據(jù)一：身高在[170，180）（單位：cm）的體重頻數(shù)統(tǒng)計
體重（kg）
[50，55）
[55，60）
[60，65）
[65，70）
[70，75）
[75，80）
[80，85）
[85，90）
人數(shù)
20
60
100
100
80
20
10
10
身高x（cm）
[140，150）
[150，160）
[160﹣170）
[170﹣180）
[180﹣190）
平均體重y（kg）
45
53.6
60
75
y^=0.9369+0.0285x
y^=0.9554+0.0306lnx
i=113 (yi?y^i)2
0.000591
0.000164
i=113 (yi?y)2
0.006050
月份
3
4
5
6
7
8
宣傳費x
5
6
7
8
9
10
月銷售量y
0.4
3.5
5.2
7.0
8.6
10.7
x
5
6
7
8
9
10
y
0.4
3.5
5.3
7.0
8.6
10.7
e?1
﹣0.6
0.54
0.28
0.12
﹣0.24
﹣0.1
e?2
﹣0.63
1.71
2.10
1.63
﹣0.7
﹣5.42
日期代碼x
1
2
3
4
5
6
7
8
累計確診人數(shù)y
4
8
16
32
51
71
97
122
產(chǎn)量x（件）
1
2
3
4
5
生產(chǎn)總成本y（萬元）
3
7
8
10
12
年廣告投入x（萬元）
2
3
4
5
6
年利潤y（十萬元）
3
4
6
8
11
年廣告投入x（萬元）
2
3
4
5
6
年利潤y（十萬元）
3
4
6
8
11
模型甲
估計值yi（1）
殘差ei（1）
模型乙
估計值yi（2）
殘差ei（2）

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