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易錯點1 忽視不等式隱含條件致誤

設(shè)，若1≤≤2,2≤≤4，則的取值范圍是________．
【錯解】由得，①＋②得：， ②?①得：.
由此得4≤=4a?2b≤11，所以的取值范圍是[4,11]．
【錯因分析】錯誤的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而導(dǎo)致了的范圍擴(kuò)大．
【試題解析】解法一：設(shè)=m＋n(m、n為待定系數(shù))，則4a?2b=m(a?b)＋n(a＋b)，即4a?2b=(m＋n)a＋(n?m)b，于是得，解得.∴=3＋．
又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.
解法二：由，得，∴=4a?2b=3＋．
又∵1≤≤2,2≤≤4，∴5≤3＋≤10，即5≤≤10.
解法三：由題意，得，確定的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.

當(dāng)=4a?2b過點時，取得最小值；
當(dāng)=4a?2b過點B(3,1)時，取得最大值4×3?2×1=10，∴5≤≤10.
【答案】

（1）此類問題的一般解法：先建立待求整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后通過“一次性”使用不等式的運(yùn)算求得整體范圍；
（2）求范圍問題如果多次利用不等式的性質(zhì)有可能擴(kuò)大變量取值范圍．

1．已知，滿足，則的取值范圍是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)=λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．
比較α、β的系數(shù)，得，從而解出λ=﹣1，v=2．
由得，兩式相加，得1≤≤7．
故的取值范圍是[1，7]．故選A.
【名師點睛】本題考查待定系數(shù)法，考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．該問題是已知不等關(guān)系求范圍的問題，可以用待定系數(shù)法來解決．
易錯點2 忽略不等式性質(zhì)成立的條件


給出下列命題：
①若,則； ②若，則；
③若且,則； ④若,則.
其中正確命題的序號是 .
【錯解】①,又,則，故①正確；②當(dāng)時，,故②不正確；
③正確；④由知,∴，故,故④不正確.故填①③.
【錯因分析】①③忽略了不等式性質(zhì)成立的條件；④中的推論顯然不正確.
【試題解析】①當(dāng)abb>0?a0?an>bn(n∈N*，n>1)”成立的條件是“n為大于1的自然數(shù)，a>b>0”，假如去掉“n為大于1的自然數(shù)”這個條件，取n＝－1，a＝3，b＝2，那么就會出現(xiàn)“3－1>2－1”的錯誤結(jié)論；假如去掉“b>0”這個條件，取a＝3，b＝－4，n＝2，那么就會出現(xiàn)“32>(－4)2”的錯誤結(jié)論．

2．下列不等式中，正確的是
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】A
【解析】若，則,故B錯；
設(shè),則，，所以C、D錯.
故選A.
【名師點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，注意正、負(fù)號的應(yīng)用.根據(jù)不等式的性質(zhì)和代特殊值逐一排除即可.
錯點3 忽略對二次項系數(shù)的討論導(dǎo)致錯誤


已知關(guān)于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0恒成立，則m的取值范圍為______________．
【錯解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0對一切實數(shù)x都成立，
所以m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，
解得m＜0．故實數(shù)m的取值范圍為(－∞，0)．
【錯因分析】由于本題中x2的系數(shù)含有參數(shù)，且當(dāng)m＝0時不等式不是一元二次不等式，因此必須討論m的值是否為0．而錯解中直接默認(rèn)不等式為一元二次不等式，從而采用判別式法處理導(dǎo)致漏解．
【試題解析】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0對一切實數(shù)x都成立，
當(dāng)m＝0時，－1＜0恒成立；當(dāng)m≠0時，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0．
綜上，實數(shù)m的取值范圍為(－∞，0]．
【答案】(－∞，0]

解一元二次不等式的一般步驟
一化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．
二判：計算對應(yīng)方程的判別式．
三求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根．
四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．

3．已知命題“”為真命題,則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】由題意得不等式對恒成立．
①當(dāng)時，不等式在上恒成立，符合題意．
②當(dāng)時，若不等式對恒成立，則，解得．
綜上可得，所以實數(shù)的取值范圍是．
【名師點睛】不等式的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)時，或當(dāng)時，；不等式的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)時，或當(dāng)時，．

解不等式恒成立問題的技巧
(1)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．
(2)解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
易錯點4 解含參不等式時不能正確分類導(dǎo)致錯誤

解不等式．
【錯解】原不等式可化為，即，
等價于，即，
因為，所以
當(dāng)，即或時，；
當(dāng)，即時，；
當(dāng)，即時，．
綜上，當(dāng)或時，原不等式的解集為或；
當(dāng)時，原不等式的解集為；
當(dāng)時，原不等式的解集為或．
【錯因分析】顯然當(dāng)a＝0時，原不等式是不成立的，故上述求解過程是錯誤的．實際上錯解中的變形非同解變形，因為a－1的符號是不確定的，錯解中僅考慮了當(dāng)a－1＞0時的情況．
【試題解析】顯然當(dāng)時，原不等式是不成立的．
當(dāng)a≠0時原不等式可化為，即，
等價于(*)，
當(dāng)時，(*)式可轉(zhuǎn)化為，即，即．
當(dāng)時，(*)式可轉(zhuǎn)化為．
當(dāng)時，(*)式可轉(zhuǎn)化為．
又當(dāng)時，，
所以當(dāng)或時，；
當(dāng)時，．
綜上，當(dāng)時，原不等式的解集為或；
當(dāng)時，原不等式的解集為；
當(dāng)時，原不等式的解集為；
當(dāng)時，原不等式的解集為；
當(dāng)時，原不等式的解集為．

在求解此類問題時，既要討論不等式中相關(guān)系數(shù)的符號，也要討論相應(yīng)方程兩個根的大小．在不等式轉(zhuǎn)化的過程中，要特別注意等價性；在比較兩根的大小時，也要注意等價性，否則將導(dǎo)致分類討論不完全而出錯．

4．已知，其中.
（1）解關(guān)于的不等式；
（2）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的范圍.
【答案】（1）見解析；（2）.
【解析】（1），.
當(dāng)時，不等式為，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為；
當(dāng)時，不等式的解集為.
綜上得：當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，不等式的解集為.
（2）時,不等式恒成立即為恒成立,
∴，
∴，
∴.
【名師點睛】（1）本題主要考查一元二次不等式的解法和不等式的恒成立問題，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理轉(zhuǎn)化能力.
（2）解答第2問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，先轉(zhuǎn)化為恒成立，再轉(zhuǎn)化為恒成立，即得m的取值范圍.

解含有參數(shù)的一元二次不等式的步驟：
(1)二次項系數(shù)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式．
(2)判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．
(3)確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.
易錯點5 不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)的幾何意義致誤

設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=3x?2y的最小值為
A．?5 B．?4
C．?2 D．3
【錯解】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，由圖可知，當(dāng)直線z=3x?2y平移到過點(1,0)時取得最小值，即zmin=3×1?2×0=3.故選D.

【錯因分析】本題易出現(xiàn)以下兩個錯誤：一是理所當(dāng)然地把目標(biāo)函數(shù)“z”跟“截距”畫上等號，沒有正確理解目標(biāo)函數(shù)的意義致錯；二是不能正確區(qū)分直線斜率的“陡峭”程度，導(dǎo)致最優(yōu)解不正確，相應(yīng)地導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的最小值求解錯誤．
【試題解析】不等式組表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分，結(jié)合圖形，可知當(dāng)直線3x?2y=z平移到過點(0,2)時，z=3x?2y的值最小，最小值為?4，故選B.


形如z=Ax＋By(B≠0)，即，為該直線在y軸上的截距，z的幾何意義就是該直線在y軸上截距的B倍，至于z與截距能否同時取到最值，還要看B的符號．

5．若實數(shù)，滿足約束條件則的最大值是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由實數(shù)，滿足約束條件作出可行域，如圖.

，，聯(lián)立解得，
的幾何意義為可行域內(nèi)動點與原點距離的平方，其最大值為.
故選D.
【名師點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃和二元一次不等式組，在求目標(biāo)函數(shù)的最值時根據(jù)的幾何意義，將其轉(zhuǎn)化為點到點距離的平方，從而得到結(jié)果
易錯點6 忽略等號成立的一致性導(dǎo)致錯誤

若x＞0，y＞0，且x＋2y＝1，則的最小值為_______________．
【錯解】因為x＞0，y＞0，所以1＝x＋2y≥，即8xy≤1，即xy≤，故≥8．
因為≥，所以≥．故的最小值為．
【錯因分析】在求解過程中使用了兩次基本不等式：x＋2y≥，≥，但這兩次取“＝”需滿足x＝2y與x＝y(tǒng)，互相矛盾，所以“＝”不能同時取到，從而導(dǎo)致錯誤．
【試題解析】因為x＋2y＝1，x＞0，y＞0，所以＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時取等號．故的最小值為．

連續(xù)應(yīng)用基本不等式求最值時，要注意各不等式取等號時的條件是否一致，若不能同時取等號，則連續(xù)用基本不等式是求不出最值的，此時要對原式進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟鸱只蚝喜ⅲ钡饺〉忍柕臈l件成立．

6．若正數(shù)滿足，則的最大值為
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因為，化簡可得，左右兩邊同時除以xy得.求的最大值，可先求的最小值.
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.所以的最大值為.
故選A.
【名師點睛】本題考查了基本不等式的簡單應(yīng)用，關(guān)鍵要注意“1”的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

一、不等關(guān)系與不等式
1．比較大小的常用方法
（1）作差法的一般步驟是：作差，變形，定號，得出結(jié)論．
注意：只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是什么無關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個因式的積的形式.
（2）作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結(jié)論．
注意：作商時各式的符號為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反.
（3）介值比較法：
①介值比較法的理論根據(jù)是：若a>b,b>c,則a>c，其中b是a與c的中介值.
②介值比較法的關(guān)鍵是通過不等式的恰當(dāng)放縮，找出一個比較合適的中介值.
2．不等式的性質(zhì)及應(yīng)用
（1）應(yīng)用不等式性質(zhì)解題的指導(dǎo)思想：理解不等式的性質(zhì)時，首先要把握不等式性質(zhì)成立的條件，特別是實數(shù)的正負(fù)和不等式的可逆性；其次，要關(guān)注常見函數(shù)的單調(diào)性對于理解不等式性質(zhì)的指導(dǎo)性.
（2）解決此類問題常用的兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個驗證；二是利用特殊值法排除錯誤答案．利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．
3．求代數(shù)式的取值范圍的一般思路
（1）借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；
（2）借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；
（3）結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解；
（4）要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運(yùn)用.
二、一元二次不等式及其解法
1．解一元二次不等式的一般步驟
（1）一化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．
（2）二判：計算對應(yīng)方程的判別式．
（3）三求：求出對應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程有沒有實根．
（4）四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．
2．解含有參數(shù)的一元二次不等式的步驟
（1）二次項系數(shù)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項系數(shù)為正的形式．
（2）判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．
（3）確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式.
3．解不等式恒成立問題的技巧
（1）對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方．另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．即
①若在定義域內(nèi)存在最大值，則(或)恒成立(或);
②若在定義域內(nèi)存在最小值，則(或)恒成立(或);
③若在其定義域內(nèi)不存在最值，只需找到在定義域內(nèi)的最大上界(或最小下界)，即在定義域內(nèi)增大(或減小)時無限接近但永遠(yuǎn)取不到的那個值，來代替上述兩種情況下的，只是等號均可以取到.
（2）解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù)．一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數(shù).
4．已知不等式的解集求參數(shù)的解題方法
已知不等式的解集求參數(shù)問題的實質(zhì)是考查三個“二次”間的關(guān)系.其解題的一般思路為:
（1）根據(jù)所給解集確定相應(yīng)方程的根和二次項系數(shù)的符號;
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，或直接代入方程，求出參數(shù)值或參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求解.
5．簡單分式不等式的解法
若與是關(guān)于的多項式，則不等式(或

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