（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時，，求的最大值．
【解析】（Ⅰ），，，，，
函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．
（Ⅱ），．
若，則恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增．
若，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
由于，所以，．
故當(dāng)時，．①
令，則．
函數(shù)在上單調(diào)遞增，而（1），（2）．
所以在上存在唯一的零點，故在上存在唯一的零點．
設(shè)此零點為，則．當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以，在上的最小值為．由，可得，
所以，，．由于①式等價于．
故整數(shù)的最大值為2．
2．已知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)是的極值點，求，并討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)時，證明．
【解析】（Ⅰ），是的極值點，，解得．
所以函數(shù)，其定義域為．
．
設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，
又，所以當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，．
所以在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù)；
（Ⅱ）證明：當(dāng)，時，，故只需證明當(dāng)時．
當(dāng)時，函數(shù)在上為增函數(shù)，且，．
故在上有唯一實數(shù)根，且．
當(dāng)時，，當(dāng)，時，，
從而當(dāng)時，取得最小值．
由，得，．
故．
綜上，當(dāng)時，．
3．已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點，求并討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)為奇函數(shù)時，證明：恒成立．
【解析】（1），是的極值點，
，解得．
函數(shù)，其定義域為．
設(shè)，則，
在上為增函數(shù)，
又，
當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，．
在上為減函數(shù)；在上為增函數(shù)；
（2）證明：，
為奇函數(shù)，
，
即，
解得，
，
則在上單調(diào)遞增，
，，
在存在唯一實數(shù)根，且，
當(dāng)時，，，時，，
當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
，即，
，
．
4．已知函數(shù)．
（Ⅰ）設(shè)是的極值點，求的值，并討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：．
【解析】，
由題意可得，，解可得，
，
令，則，
故在上單調(diào)遞增且，
當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞減，
（Ⅱ）證明：（2）令，則在上單調(diào)遞增，
因為，，
所以在存在唯一實數(shù)根，且，
當(dāng)時，，，時，，
當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，
因為，即，
故，
所以．
5．已知函數(shù)
（Ⅰ）若是的極值點，求的值，并討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)時，證明：．
【解析】（Ⅰ）由函數(shù)的定義域，
因為，是的極值點，
所以（1），所以，
所以，
因為和，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，；時，，
此時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，
（Ⅱ）證明：當(dāng)時，，
設(shè)，則，
因為和，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
因為（1），（2），
所以存在使得，
所以在上使得，在，上，
所以在單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以，
因為，即，
所以，
所以，
因為，所以，
所以．
6．已知函數(shù)在上有兩個極值點，，且．
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）證明：當(dāng) 時，．
【解析】（1），
，由題意知方程在上有兩不等實根，
設(shè)，其圖象的對稱軸為直線，
故有，解得．
（2）證明：由題意知是方程的大根，從而，，
由于，，
．
設(shè)，，，
，
在，遞增，
，即成立．
7．已知函數(shù)，其中．
（Ⅰ）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，討論的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解．
【解析】（Ⅰ）由已知，函數(shù)的定義域為，
，
．
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）由，解得，
令，
則（1），（e）．
故存在，使得．
令，，
由知，函數(shù)在上單調(diào)遞增．
．
即，
當(dāng)時，有，．
由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，，從而；
當(dāng)，時，，從而．
當(dāng)時，．
綜上所述，存在，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立，且在區(qū)間內(nèi)有唯一解．
8．已知，函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，
（Ⅰ）當(dāng)時，求證：存在唯一的，，使得；
（Ⅱ）若存在實數(shù)，，使得恒成立，求的最小值．
【解析】（Ⅰ）證明：，，（1分）
當(dāng)時，，函數(shù)在上的單調(diào)遞增，（2分）
又，，（3分）
存在唯一的，，使得；（4分）
（Ⅱ）（1）當(dāng)時，則當(dāng)時，，
即函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，這與矛盾；（5分）
（2）當(dāng)，由，得，；（6分）
（3）當(dāng)，由（Ⅰ）知當(dāng)時，；當(dāng)，時，；
即在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，（7分）
的最小值為，（8分）
其中滿足，故且，
恒成立，，
即，于是，（9分）
記，，
則，（10分）
由得，即函數(shù)在上單調(diào)時遞減，
由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，
綜上得的最小值為，此時．

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