第17講函數(shù)中的兩邊逼近思想和最大值中的最小值問(wèn)題-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題突破精練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

第17講函數(shù)中的兩邊逼近思想和最大值中的最小值問(wèn)題參考答案與試題解析一．選擇題（共5小題）1．（2021春?湖州期末）若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則　　A． B． C． D．【解答】解：記，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．記，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．由題意，又因?yàn)?/span>，所以，故．另解：正實(shí)數(shù)，，，令，當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以（1），于是，于是，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)不等式取等號(hào)，又，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)不等式取等號(hào)，，所以且，解得，所以．故選：．2．（2021?上饒二模）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為　　A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：不等式，化為，即，所以；設(shè)，，；則，所以時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，所以的最大值為（1）；又，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，所以的最小值為；此時(shí)滿足，即；令，解得，所以．故選：．3．（2021?杭州期末）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，總存在，，使得，，．令，，函數(shù)在，單調(diào)遞減，（1），（4）．①時(shí)，，則．②時(shí)，，，則．③時(shí)，，，則．④時(shí)，，則．綜上①②③④可得：．實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．4．設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：設(shè)的最大值為（b），令，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，．，．由，解得．①由，時(shí)，（b）；時(shí)，（b）．當(dāng)時(shí)，（b）．②由，（b），（b）．③由時(shí)，，（b），（b）．綜上可得：（b），．故選：．5．（2021?濟(jì)南模擬）已知函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　A． B．， C．， D．，【解答】解：存在，，使得成立，，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，，；可看作橫坐標(biāo)相同時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離，則問(wèn)題等價(jià)于求函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離的最大值中的最小值；如圖，記，，連接，則圖中直線的斜率為，直線的方程為，設(shè)直線與直線平行，且與函數(shù)相切于點(diǎn)，，又，令，解得，切點(diǎn)，則切線的方程為，當(dāng)直線與直線，平行且與兩直線距離相等時(shí)，即恰好處于兩直線正中間的位置時(shí)，函數(shù)與函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱向距離能取得最大值中的最小值，此時(shí)，此時(shí)，，．故選：．法二：記函數(shù)的最大值為，由題意可知，對(duì)任意，恒成立，所以，依題意，，，，，分別令，0，2，可得，，，，（2），所以，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：．二．填空題（共15小題）6．（2021春?長(zhǎng)沙期末）設(shè)，若時(shí)，均有，則　　．【解答】解：當(dāng)時(shí)，均有，（1）時(shí)，代入題中不等式，明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過(guò)定點(diǎn)．考查函數(shù)：令，得，，．考查函數(shù)，時(shí)均有，故的圖象經(jīng)過(guò)，代入得，，解之得：，或（舍去）．故答案為：．7．設(shè)，若時(shí)均有，則　　．【解答】解：（1）時(shí)，代入不等式，不等式明顯不成立．（2），構(gòu)造函數(shù)，，它們都過(guò)定點(diǎn)．考查函數(shù)，令，得，，因?yàn)?/span>，不等式成立；；考查函數(shù)，因?yàn)?/span>時(shí)均有，顯然此函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，代入得：，解之得：，或（舍去）．故答案為：．8．（2015秋?江陰市期中）已知為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為3，則　1或3　．【解答】解：函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象縱向?qū)φ圩儞Q得到的，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)的最大值只能在或處取得，若時(shí)，函數(shù)取得最大值3，則，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，不滿足條件；若時(shí)，函數(shù)取得最大值3，則，，或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，不滿足條件；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，滿足條件；綜上所述：值為1或3；故答案為：1或3．9．（2021?南通模擬）已知，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是2，則　3或　．【解答】解：，函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是2，可得，即，解得，即有，，由的最大值在頂點(diǎn)或端點(diǎn)處取得，即，即，解得或（舍去）；（1），即，解得或；，即，解得或（舍去）．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不符題意；當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值4，不符題意；當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值2，符合題意；當(dāng)時(shí)，，（1），，，符合題意．故答案為：3或．10．（2021?下城區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，，，當(dāng)，時(shí)，，且的最大值為2，則　2　．【解答】解：由已知得在，上是增函數(shù)，則（1），由，可得，解得；再由，可得，結(jié)合，，，，時(shí)，，恒成立．設(shè)，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，，，解得，，，故答案為：211．（2021春?西湖區(qū)校級(jí)期中）若，是實(shí)數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，則　　．【解答】解：，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，，此時(shí)時(shí)取等號(hào)，，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，此時(shí)取等號(hào)，又，，故有且同時(shí)成立，解可得，，，此時(shí)．故答案為：12．（2021?北侖區(qū)校級(jí)期中）已知，為實(shí)數(shù)．不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則　5　．【解答】解：不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，可得，由，當(dāng)或4時(shí)，取得等號(hào)，即最小值為0，所以，但，所以，則，，即，，所以，故答案為：5．13．函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，且的最小值為2，則　　．【解答】解：；在，上單調(diào)遞增；的最小值為；．故答案為：．14．（2021?浙江二模）設(shè)，若對(duì)于，，都成立，則　　．【解答】解：，設(shè)，，，，，則函數(shù)等價(jià)，，，若于，，都成立，即于，，都成立，即恒成立，設(shè)，要使，不等式恒成立，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，即，即，此時(shí)，則拋物線開(kāi)口向上，要使恒成立，則函數(shù)，且，當(dāng)或2時(shí)，（1），即，當(dāng)時(shí)，，即，即，故答案為：．15．（2021?浦東新區(qū)校級(jí)月考）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．【解答】解：設(shè)的最大值為（a），令，，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，可得，由，可得．①當(dāng)時(shí)，，（a）；②當(dāng)時(shí)，，可得（a）；③當(dāng)時(shí)，，可得（a）；綜上可得，當(dāng)時(shí)，（a），所以．故答案為：，．16．設(shè)函數(shù)，，，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值是　　．【解答】解：設(shè)的最大值為（b），令，則在，上，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，（b），當(dāng)時(shí)，（b），從而當(dāng)時(shí)，時(shí)，（b）取最小值，（b），當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（b），在，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（b），對(duì)任意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立等價(jià)于恒成立，，故的最大值為，故答案為：17．（2021?諸暨市二模）已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的最大值為，，為常數(shù)）且存在實(shí)數(shù)，，使得取最小值2，則　2　．【解答】解：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)的最大值為在端點(diǎn)處或處取得．若在處取得，則，若在處取得，則，若在處取得，則．若，則頂點(diǎn)處的函數(shù)值不為2，應(yīng)為0，符合要求，若則頂點(diǎn)處的函數(shù)值的絕對(duì)值大于2，不成立．由此推斷，即有，則，可得．故答案為：2．18．（2021春?溫州期中）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)，，總存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．【解答】解：函數(shù)可理解為函數(shù)與函數(shù)橫坐標(biāo)相等時(shí)，縱坐標(biāo)的豎直距離，作出的圖象如圖所示，由圖象可知，當(dāng)位于直線與直線正中間時(shí)，函數(shù)取得最大值中的最小值，直線的方程為（2），因?yàn)?/span>是對(duì)勾函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得直線的方程為（1），所以，因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，，總存在使得成立，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：．19．（2021?包河區(qū)校級(jí)期末）設(shè)函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．【解答】解：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，，總存在，，使得成立，設(shè)的最大值為，可得，（2），（4），即有①，②，③，②可得，④①③可得，即有，⑤④⑤可得，由，可得，可得，故答案為：．20．（2021?臺(tái)州期末）已知函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，設(shè)的最大值為，則的最小值為　　．【解答】解：函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，設(shè)的最大值為，可得，，，可得，，，，即，即有，則的最小值為，故答案為：．三．解答題（共4小題）21．已知函數(shù)，，．若對(duì)任意，，總有成立，求，的值．【解答】解：由題意，若對(duì)任意，，總有成立，若對(duì)任意，，總有成立，若對(duì)任意，，總有成立，若對(duì)任意，，總有成立，可得函數(shù)夾在函數(shù)和之間，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，設(shè)經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線，解得，，此時(shí)直線，且它與相切，所以，是被和夾死的唯一直線，所以，．22．（2021?湖州模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）若在，上的最大值和最小值分別記為（a），（a），求（a）（a）；（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)，恒成立，求的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ），①當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞減，則（a），（a）（1），此時(shí)（a）（a）；②當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，則（a）（1），（a），此時(shí)（a）（a）；③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在，單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，則（a）（a），（a），（1），，此時(shí)（a）（a）；因此（a）（a），（Ⅱ）原問(wèn)題等價(jià)于，由（Ⅰ）知①當(dāng)時(shí)，則，即，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，則，即，此時(shí)，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，則（a）（a），，即，此時(shí)；由得和，此時(shí)，因此．23．（2015?浙江校級(jí)模擬）設(shè)函數(shù)，，．（1）當(dāng)，時(shí)，寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，記函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為（b），當(dāng)變化時(shí)，求（b）的最小值；（3）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1），，，，由基本初等函數(shù)的單調(diào)性易知，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．（2）當(dāng)時(shí)，，令，則，由，即時(shí)，單調(diào)遞增；，即時(shí)，單調(diào)遞減可知，在區(qū)間，上，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為（b），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為（b）當(dāng)時(shí)，（b）取最小值，最小值為．（3）設(shè)的最大值為（b），令，則在，上，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，（b），當(dāng)時(shí)，（b），從而當(dāng)時(shí)，時(shí)（b）取最小值，（b），當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（b），在時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（b），綜上所述，（b），對(duì)任意實(shí)數(shù)，，總存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立等價(jià)于恒成立，．24．（2021春?金東區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)．（1）若在區(qū)間，上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間，上的最大值；（3）若對(duì)于任意的，存在，，使得，求的取值范圍．【解答】解：（1）：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，由于已知在區(qū)間，上不單調(diào)，則，解得，故的范圍為；（2），（1），當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最大值為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最大值為（1），（3）解法一當(dāng)時(shí)，即時(shí)，（2），（2），，所以；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，，，綜上，，故，所以，解法二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，

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