（1）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
【解析】（1）由，得恒成立，令，則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，
所以，即，故的取值范圍是；
（2）有（1）知時(shí)，有，所以.
＝ 1 \* GB3 ①要證，可證，只需證，
易證，所以；
＝ 2 \* GB3 ②要證，可證，
易證，由于，所以，所以，
綜上所述，當(dāng)時(shí)，證明：.
2．已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．
（1）求證：時(shí)，；
（2）求證：．
【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>又，，所以該切線方程為．
設(shè)，則，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，即在上單調(diào)遞增，
所以，故時(shí)，；
（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，.
令，則，
所以，
所以，
化簡(jiǎn)可得，得證.
3．設(shè)函數(shù)，．
（1）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（2）記，討論的單調(diào)性；
（3）若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】解：（1）由題意得：，，故在遞增；
又（1），（e），故函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，
的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；
（2），，
當(dāng)時(shí)，，在遞減，
當(dāng)時(shí)，由，解得：（舍取負(fù)值），
時(shí)，，遞減，，時(shí)，，遞增，
綜上，時(shí)，在遞減，時(shí)，在遞減，在，遞增；
（3）由題意得：，問(wèn)題等價(jià)于在恒成立，
設(shè)，若記，則，
時(shí)，，在遞增，（1），即，
若，由于，故，故，
即當(dāng)在恒成立時(shí)，必有，當(dāng)時(shí)，設(shè)，
①若，即時(shí)，由（2）得，遞減，，，遞增，
故（1），而，即存在，使得，
故時(shí)，不恒成立；
②若，即時(shí)，設(shè)，，
由于，且，即，故，
因此，故在遞增，
故（1），即時(shí)，在恒成立，
綜上，，時(shí)，在恒成立．
4．已知函數(shù)，.
（1）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）求證：.
【解析】（1）等價(jià)于，即，
記，則，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，由，，
所以，即不恒成立；
當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，不恒成立；
當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，，
所以，即恒成立；
故在上恒成立，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
（2）當(dāng)時(shí)，在上成立，即，
令，則，
所以
，
所以
5．設(shè)函數(shù)，證明．
【解析】證明： ，從而等價(jià)于 ．
設(shè)函數(shù)，則，所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)，時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
從而在上的最小值為．設(shè)函數(shù)，則．
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而在上的最大值為（1）；因?yàn)椋?），
所以當(dāng)時(shí)，，即．
6．設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立．
【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
在處取得極大值（2），無(wú)極小值；
（2）當(dāng)時(shí)，，下面證，即證，
設(shè)，則，
在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．
所以，設(shè)，則，
在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，
所以，
所以，即，所以，即，
即在上恒成立．
7．已知函數(shù)在處的切線方程為.
（1）求；
（2）若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，證明：.
【解析】（1）；
（2）由（1）可知， ，，
設(shè)在處的切線方程為，易得，
令， ， 則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
故，即，所以，
設(shè)的根為，則，
又函數(shù)單調(diào)遞減，故，故，
再者，設(shè)在處的切線方程為，易得，
令，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，令，則，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，即，所以，設(shè)的根為，則，
又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，
又，所.
8．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：．
【解析】解：（1）時(shí)，，，
注意到與都是增函數(shù)，于是在上遞增，
又，故時(shí)，；故時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，取得極小值1，無(wú)極大值．（6分）
（2）方法一：當(dāng)，時(shí)，，，
，，
故只需證明當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，在上單增，
又，，故在上有唯一零點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．
從而時(shí)，取得最小值．由得：，，
故，
綜上，當(dāng)時(shí)，．
方法二：先證不等式與，
設(shè)，則，可得在上單減，在上單增，
，即；設(shè)，則，
可得在上單增，在上單減，（1），即．
于是，當(dāng)時(shí)，，
注意到以上三個(gè)不等號(hào)的取等條件分別為：、、，它們無(wú)法同時(shí)取等，
所以，當(dāng)時(shí)，，即．
9．設(shè)函數(shù)，，其中，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的最小值；
（2）證明：當(dāng)，時(shí)，總存在兩條直線與曲線與都相切；
（3）當(dāng)時(shí)，證明：．
【解析】解：（1），，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故時(shí)，取得最小值；
（2），在處的切線方程為，
，在點(diǎn)處的切線方程為，
由題意得，則，
令，則，
由（1）得時(shí)，單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又（1），時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
由（1）得，
又，
（1），所以函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，
故當(dāng)時(shí)，總存在兩條直線與曲線與都相切；
（3）證明：，
令，以下證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0，
求導(dǎo)的，
①當(dāng)時(shí)，，（1），
②當(dāng)時(shí)，，令，
，又（2），
，又（2）
取且使，即，則，
（2），故存在唯一零點(diǎn)，
即有唯一的極值點(diǎn)，又，
且，即，故，
，故是上的減函數(shù)，（2），所以，
綜上所求，當(dāng)時(shí)，．
10．設(shè)函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立．
【解析】解：（1）由題意得，
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；
所以是的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)
（2）證明：令，則，
令，則因?yàn)椋?br>所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，
又因?yàn)?，?），所以存在唯一的使得（c），
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而（c），
由（c）得即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，
所以（c），（c），從而證得．
11．函數(shù)的圖像與直線相切．
（1）求的值；
（2）證明：對(duì)于任意正整數(shù)，.
【解析】（1）．設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)．依題意得：
，整理得，，……（*）
令，．
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以，即.
故方程（*）的解為，此時(shí)．
（2） ＝ 1 \* GB3 ①要證明，即證，
只需證.
由（1）知，，即，
因此，，…，．
上式累加得：，得證；
＝ 2 \* GB3 ②要證明，即證，
只需證.
令，則．
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，取得最大值，即，．
由得：，，…，．
上式累加得：，得證；
綜上，.

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