第19講 導(dǎo)數(shù)解答題之凹凸反轉(zhuǎn)問題1．設(shè)函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）記，討論的單調(diào)性；（3）若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）由題意得：，，故在遞增；又（1），（e），故函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；（2），，當(dāng)時(shí)，，在遞減，當(dāng)時(shí)，由，解得：（舍取負(fù)值），時(shí)，，遞減，，時(shí)，，遞增，綜上，時(shí)，在遞減，時(shí)，在遞減，在，遞增；（3）由題意得：，問題等價(jià)于在恒成立，設(shè)，若記，則，時(shí)，，在遞增，（1），即，若，由于，故，故，即當(dāng)在恒成立時(shí)，必有，當(dāng)時(shí)，設(shè)，①若，即時(shí)，由（2）得，遞減，，，遞增，故（1），而，即存在，使得，故時(shí)，不恒成立；②若，即時(shí)，設(shè)，，由于，且，即，故，因此，故在遞增，故（1），即時(shí)，在恒成立，綜上，，時(shí)，在恒成立．2．設(shè)函數(shù)，證明．【解析】證明： ，從而等價(jià)于 ．設(shè)函數(shù) ，則 ，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為．設(shè)函數(shù)，則．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最大值為（1）；因?yàn)?/span>（1），所以當(dāng)時(shí)，，即．3．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；在處取得極大值（2），無極小值；（2）當(dāng)時(shí)，，下面證，即證，設(shè)，則，在上，，是減函數(shù)；在上，，是增函數(shù)．所以，設(shè)，則，在上，，是增函數(shù)；在上，，是減函數(shù)，所以，所以，即，所以，即，即在上恒成立．4．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】解：（Ⅰ）時(shí)，，，注意到與都是增函數(shù)，于是在上遞增，又，故時(shí)，；故時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得極小值1，無極大值．（6分）（Ⅱ）方法一：當(dāng)，時(shí)，，，，，故只需證明當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，在上單增，又，，故在上有唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．從而時(shí)，取得最小值．由得：，，故，綜上，當(dāng)時(shí)，．（12分）方法二：先證不等式與，設(shè)，則，可得在上單減，在上單增，，即；設(shè)，則，可得在上單增，在上單減，（1），即．于是，當(dāng)時(shí)，，注意到以上三個(gè)不等號(hào)的取等條件分別為：、、，它們無法同時(shí)取等，所以，當(dāng)時(shí)，，即．（12分）5．設(shè)函數(shù)，，其中，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）證明：當(dāng)，時(shí)，總存在兩條直線與曲線與都相切；（3）當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】解：（1），，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故時(shí)，取得最小值；（2），在處的切線方程為，，在點(diǎn)處的切線方程為，由題意得，則，令，則，由（1）得時(shí)，單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又（1），時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由（1）得，又，（1），所以函數(shù)在和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)時(shí)，總存在兩條直線與曲線與都相切；（3）證明：，令，以下證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0，求導(dǎo)的，①當(dāng)時(shí)，，（1），②當(dāng)時(shí)，，令，，又（2），，又（2）取且使，即，則，（2），故存在唯一零點(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)，又，且，即，故，，故是上的減函數(shù)，（2），所以，綜上所求，當(dāng)時(shí)，．6．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立．【解析】解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)；所以是的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)（2）證明：令，則，令，則因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)?/span>，（1），所以存在唯一的使得（c），且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而（c），由（c）得即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，所以（c），（c），從而證得． 

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