
1.利用勾股定理及直角三角形的判定求最值2.勾股定理及直角三角形的判定的實(shí)際應(yīng)用
有一個圓柱體,它的高等于12厘米,底面半徑等于3厘米,在圓柱體的地面A點(diǎn)有一只螞蟻,它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對的B點(diǎn)處的事物,需要爬行的最短路程是多少?
想一想:螞蟻?zhàn)吣囊粭l路線最近?
我們知道,圓柱的側(cè)面展開圖是一長方形,如下圖:
我們用剪刀沿線AA' 將圓柱的側(cè)面展開
可以發(fā)現(xiàn)如下幾種走法:
若已知圓柱體高為12cm,底面半徑為3cm,π取3,則:
確定圓柱上的最短路線: 求圓柱上兩點(diǎn)之間的最短距離,可轉(zhuǎn)化為求一個平面圖形上對應(yīng)線段的長. 其一般步驟: (1)將圓柱的側(cè)面展開為一個長方形; (2)確定相應(yīng)點(diǎn)的位置; (3)連接相應(yīng)點(diǎn),構(gòu)造直角三角形; (4)利用勾股定理求解.
例1.如圖,有一個圓柱狀的玻璃杯,高為12cm,底面周長為18cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜,此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處,則螞蟻到蜂蜜的最短路線長為________.
解:如圖,作CD⊥ FA 于D, 作A 關(guān)于EF 的對稱點(diǎn)A′, 連接A′ C,與EF 交于B,連接AB,則A → B → C 為最短路線. 由題意知DC=9 cm,F(xiàn)D=8 cm,F(xiàn)A′=4 cm, 在Rt △ A′DC 中,A′C2=A′D2+DC2=(FA′ +FD)2+DC2=(4+ 8)2+92=225=152故A′C=15 cm. 因?yàn)锳B+BC=A′B+BC=A′C,所以最短路線的長為15 cm.
李叔叔想要檢測雕塑(如圖)底座正面的邊AD和邊BC是否分別垂直于底邊AB,但他隨身只帶了卷尺.(1)你能替他想辦法完成任務(wù)嗎?(2)李叔叔量得邊AD長是30cm,邊AB長是40cm,點(diǎn)B,D之間的距離是50cm,邊AD垂直于邊AB嗎?(3)小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺,他能有辦法檢驗(yàn)邊AD是否垂直于邊AB嗎?邊BC與邊AB呢?
(1)在要判斷的角的兩邊上分別取兩點(diǎn),比如在∠C的兩邊上分別取點(diǎn)A,B; (2)測量出AC,BC,AB 的長度,比如AC=b,BC=a,AB=c; (3)驗(yàn)證a2+b2 與c2 是否具有相等關(guān)系,若c2=a2+b2,則△ ABC 是直角三角形,且∠ C=90°;若c2 ≠ a2+b2,則∠ C ≠ 90° .
例2.下圖是一個滑梯示意圖,若將滑道AC水平放置,則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,試求滑道AC的長.
解:設(shè)滑道AC的長度為xm,則AB的長度為xm,AE的長度為(x-1)m.
在Rt△ACE中,∠AEC=90°,由勾股定理得AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5.故滑道AC的長度為5m.
1.如圖,長方體的高為3 cm,底面是正方形,其邊長為2 cm.現(xiàn)有一只螞蟻從A處出發(fā),沿長方體表面到達(dá)C處,則螞蟻爬行的最短路線的長為( )A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
2.如圖,陰影長方形的面積是多少?
3.如圖,在一棵樹的10 m高的B處有兩只猴子.一只猴子爬下樹走到離樹20 m的池塘的A處.另一只爬到樹頂D后直接躍到A處.距離以直線計(jì)算.若兩只猴子所經(jīng)過的距離相等,則這棵樹高多少米?
1.運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題的方法是什么?
(2)注意:運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題,關(guān)鍵在于“找”到合適的直角三角形.
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