?北師大版 數(shù)學(xué) 八上 第一章 2.3勾股定理的應(yīng)用
一， 選擇題（共30分）
1，圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.若AC＝6，BC＝5，將四個直角三角形中的邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長是（　　）

A．51 B．49 C．76 D．無法確定
【答案】C
【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，則
x2＝122+52＝169
所以x＝13
所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車”的周長是：（13+6）×4＝76.
故答案為：C.

2.勾股定理是我國的偉大數(shù)學(xué)發(fā)明之一.如圖，以Rt△ABC的各邊為邊向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，三個陰影部分的面積分別為S1=1，S2=2，S3=3，則較小兩個正方形重疊部分（四邊形DEFG）的面積為（　?。?br />
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】D
【知識點】勾股定理的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)
【解析】【解答】解：設(shè)直角三角形的斜邊長為c，較長直角邊為a，較短直角邊為b，
由勾股定理得，c2=a2+b2，
∴c2?a2?b2=0，
∴S陰影=c2?a2?(b2?S四邊形DEFG)=c2?a2?b2+S四邊形DEFG=S四邊形DEFG，
∴S四邊形DEFG=S1+S2+S3，
∵S1=1，S2=2，S3=3，
∴兩個正方形重疊部分（四邊形DEFG）的面積=1+2+3=6.
故答案為：D.

3.如圖，在直線l上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1+S4=(　　)

A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知識點】勾股定理的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如圖：

∵∠ACB＝∠BDE＝∠ABE=90°，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∠ABC＋∠EBD＝90°，
∴∠BAC＝∠EBD，
在△ABC與△BDE中，
∠ACB＝∠BDE，∠BAC＝∠EBD，AB＝BE，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴BC＝ED，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB2＝AC2＋ED2＝S1＋S2，
即S1＋S2＝1，
同理S2＋S3＝2，S3＋S4＝3，
則S1＋S2＋S3＋S4＝1＋3＝4，
則S1＋S4＝4-2=2．
故答案為：A.
4?！毒耪滤阈g(shù)》中記錄了這樣一則“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）如果我們假設(shè)折斷后的竹子高度為x尺，根據(jù)題意，可列方程為（　?。?br />
A．x2+42=102 B．(10?x)2+42=102
C．(10?x)2+42=x2 D．x2+42=(10?x)2
【答案】D
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】解：如圖所示：

由題意得：∠AOB=90°，
設(shè)折斷處離地面的高度OA是x尺，
由勾股定理得：x2+42=(10?x)2．
故答案為：D．

5.如圖，長為12cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升8cm至D點，則橡皮筋被拉長了（　?。?br />
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】C
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】解：根據(jù)題意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm，
∵點C為AB的中點，
∴CD⊥AB，AC=6cm，
∴AD=AC2+CD2=10cm，
∴橡皮筋被拉長了2×10?12=8cm．
故答案為：C

6.如圖所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2﹣MB2等于（　?。?

A．9 B．35 C．45 D．無法計算
【答案】C
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝45.
故答案為：C.

7.如圖，在“慶國慶，手拉手”活動中，某小組從營地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了1200m到達(dá)B點，然后再沿北偏西37°方向走了500m到達(dá)目的地C點，此時A，C兩點之間的距離為（　?。?br />
A．1000m B．1100m C．1200m D．1300m
【答案】D
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】解：如圖，

由題意得：AB=1200m，BC=500m，∠CBD=37°，∠BAF=53°，DE∥AF，
∴∠ABE=∠BAF=53°，
∴∠ABC=180°?∠CBD?∠ABE=180°?37°?53°=90°，
∴AC=AB2+BC2=12002+5002=1300(m)，
即A，C兩點之間的距離為1300m，
故答案為：D．
8.如圖，已知ABCD是長方形紙片，，在CD上存在一點E，沿直線AE將折疊，D恰好落在BC邊上的點F處，且，則的面積是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)面積求出BF、AF、CF，設(shè)DE為x，列方程求出即可．
【詳解】
解：ABCD是長方形紙片，
∴AB=CD=3，
，
∴，
∴BF=4，
∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，
設(shè)DE為x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，
解得，x= ，
∴，
故選：B．
9．如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的A處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相對方向有一小蟲P，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是（ ）

A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【答案】B
【分析】
把圓柱沿著點A所在母線展開，把圓柱上最短距離轉(zhuǎn)化為將軍飲馬河型最短問題求解即可.
【詳解】
把圓柱沿著點A所在母線展開，如圖所示，
作點A的對稱點B，
連接PB，
則PB為所求，
根據(jù)題意，得PC=8，BC=6，
根據(jù)勾股定理，得PB=10，
故選B.

10．如圖，是一種飲料的包裝盒，長、寬、高分別為、、，現(xiàn)有一長為的吸管插入到盒的底部，則吸管漏在盒外面的部分的取值范圍為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)題中已知條件，首先要考慮吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時露在杯口外的最長長度；最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，用勾股定理解答，進(jìn)而求出露在杯口外的最短長度．
【詳解】
①當(dāng)吸管放進(jìn)杯里垂直于底面時露在杯口外的長度最長，最長為16?12＝4（cm）；
②露出部分最短時與底面對角線和高正好組成直角三角形，
底面對角線長==5cm，高為12cm，
由勾股定理可得：杯里面管長=＝13cm，則露在杯口外的長度最短為16?13＝3（cm），
∴
故選：B．
二．填空題（共24分）
11.如圖，一架秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.5m，將它往前推送1.5m（水平距離BC＝1.5m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1m，秋千的繩索始終拉直，則繩索AD的長是 　 　m．

【答案】2.5
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
∴∠CEF=∠EFB=∠FBC=∠BCE=∠ACB=90°，
∴BC∥EF，CE∥BF，
由平行線間距離處處相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而BC=1.5，
設(shè)繩索AD的長為x m， 則AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即繩索AD的長是2.5m，
故答案為：2.5．

12.如圖，校園內(nèi)有一塊長方形草地，為了滿足人們的多樣化品求，在草地內(nèi)拐角位置開出了一條路，走此路可以省　 　m的路．

【答案】2
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】如圖，

∵四邊形是長方形，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=AC2+CB2=32+42=5，
∴AC+BC-AB=3+4-5=2（m），
故答案為：2．
13.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭生其中，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何？”（丈、尺是長度單位，1丈＝10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦AB，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處．問水的深度是多少？則水深DE為　 　尺．

【答案】12
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】設(shè)水池里水的深度是x尺，則DE=AC=x，BA=AD=x+1，
由題意得：AC2+CD2=AD2，
∴x2+52=(x+1)2，
解得：x=12，
故答案為：12．

14.一艘輪船以16km/? 的速度離開港口向東北方向航行，另一艘輪船同時離開港口以12km/?的速度向東南方向航行，它們離開港口1 小時后相距　 　．
【答案】20km
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】解：作出圖形，因為東北和東南的夾角為90°，所以△ABC為直角三角形．

在Rt△ABC中，AC=16×1=16km，
BC=12×1=12km．
則AB=AC2+BC2=162+122=20km，
故答案為：20km．

15.如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)，點A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點，那么_____°．

【答案】90
【分析】
由題意設(shè)出網(wǎng)格邊長，根據(jù)勾股定理分別表示出，再利用勾股定理逆定理可得結(jié)論．
【詳解】
解：設(shè)正方形網(wǎng)格邊長為a，
由勾股定理求得，
∴
∴為直角三角形，
即
故答案為：90．

16.一幢高層住宅樓發(fā)生火災(zāi)，消防車立即趕到，在距住宅樓9米的B處升起云梯搭在火災(zāi)窗口(如圖)，已知云梯長15米，云梯底部距地面2米，發(fā)生火災(zāi)的住戶窗口A離地面有　 　米.

【答案】14
【知識點】勾股定理的應(yīng)用
【解析】【解答】由勾股定理得AC=AB2?BC2=152?92=12
AF=AC+FC=12+2=14
【分析】把住戶離地面的高度分割成兩部分，在三角形中根據(jù)勾股定理求出AC加上梯底離地面的高度，則火災(zāi)窗口離地高度可求。
三． 解答題（共46分）
17.（8分）如圖某海濱浴場的岸邊4C可近似地看成直線，位于岸邊A處的救生員發(fā)現(xiàn)海中B處有人求救，救生員沒有從A處游向B處，而是沿岸邊自A處跑到距離B處最近的C處，然后從C處游向B處．已知∠BAC=45°，AC=300米，救生員在岸邊行進(jìn)速度為6米/秒，在海中行進(jìn)的速度為2米/秒．請分析救生員的路線選擇是否正確．

【答案】解：正確∵在Rt△ABC中，AC=300，∠BAC=45°，
∴BC=AC=300米，AB=2AC=3002(米)；
∵救生員在岸邊行進(jìn)速度為6米/秒，在海中行進(jìn)的速度為2米/秒．
∴從A到B所用時間為：3002÷2=1502(秒)，
從A到C到B所用時間為：300÷6+300÷2=200(秒)，
∵200＜1502．
∴救生員選擇的路線正確．

18.（8分）如圖，一個直徑為12cm（即BC＝12cm）的圓柱形杯子，在杯子底面的正中間點E處豎直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），當(dāng)筷子GE倒向杯壁時（筷子底端不動），筷子頂端正好觸到杯D，求筷子GE的長度．

【答案】解：設(shè)筷子GE的長度是x cm，那么杯子的高度EF是（x-2）cm，
∵杯子的直徑為12cm，
∴杯子半徑DF為6cm，
在Rt△DFE中，（x-2）2+62=x2，
即x2-4x+4+36=x2，
解得：x=10，
答：筷子GE的長度是10cm．

19.（10分）在一條東西走向的河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB=AC，由于某種原由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB=1.5千米，CH=1.2千米，HB=0.9千米．

（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．
（2）求原來的路線AC的長．
【答案】（1）解：是， 理由是：在△CHB中，

∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25， BC2=2.25，
∴CH2+BH2=BC2，
∴△CHB是直角三角形，
∴CH是從村莊C到河邊的最近路；
（2）解：設(shè)AC=x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，
由勾股定理得：AC2=AH2+CH2
∴x2=（x-0.9）2+1.22，
解這個方程，得x=1.25，
答：原來的路線AC的長為1.25千米．

20.（10分）如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13米，此人以0.5米每秒的速度收繩，10秒后船移動到點D的位置，問船向岸邊移動了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）

【答案】解：在Rt△ABC中：
∵∠CAB=90°，BC=13米，AC=5米，
∴AB=132?52=12 （米），
∵此人以0.5米每秒的速度收繩，10秒后船移動到點D的位置，
∴CD=13-0.5×10=8（米），
∴AD=CD2?AC2=64?25=39 （米），
∴BD=AB-AD=12- 39 （米），
答：船向岸邊移動了（12- 39 ）米．

21.（10分）如圖，紅星村A和幸福村B在一條小河的同側(cè)，它們到河岸的距離，分別為1和3，又知道的長為3，現(xiàn)要在河岸上建一水廠向兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元．

（1）請在上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最?。ㄗ鲌D工具不限，保留作圖痕跡）；
（2）求鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用．
【答案】（1）見解析；（2）100000元．
【分析】
（1）延長AC到F，使CF＝AC，連接BF，交CD于E，則E為所求；
（2）過B作BN⊥CA，交CA的延長線于N，求出BN，NC長，根據(jù)勾股定理求出BF，即可得出答案．
【詳解】
解：（1）延長AC到F，使CF＝AC，連接BF，交CD于E，
∵AC⊥CD，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝FE＋BE＝BF，
則在CD上選擇水廠位置是E時，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最省；

（2）如上圖，過B作BN⊥CA，交CA的延長線于N，
∴BN＝CD＝3km，CN＝BD＝3km，
∵AC＝CF＝1km，
∴NF＝4km，
在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝km，
∵AC⊥CD，AC＝CF，
∴AE＝FE，
∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝5km，
∴鋪設(shè)水管的最最省總費(fèi)用是：20000×5＝100000（元）．

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3 勾股定理的應(yīng)用

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