1．能熟練運用勾股定理求最短距離；(難點)


2．能運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題．(重點)











一、情境導入





一個門框的寬為1.5m，高為2m，如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內通過？為什么？





二、合作探究


探究點一：求幾何體表面上兩點之間的最短距離


【類型一】 長方體上的最短線段


如圖①，長方體的高為3cm，底面是正方形，邊長為2cm，現(xiàn)有繩子從D出發(fā)，沿長方體表面到達B′點，問繩子最短是多少厘米？





解析：可把繩子經過的面展開在同一平面內，有兩種情況，分別計算并比較，得到的最短距離即為所求．


解：如圖②，在Rt△DD′B′中，由勾股定理得B′D2＝32＋42＝25；


如圖③，在Rt△DC′B′中，由勾股定理得B′D2＝22＋52＝29.


因為29>25，所以第一種情況繩子最短，最短為5cm.


方法總結：此類題可通過側面展開圖，將要求解的問題放在直角三角形中，問題便迎刃而解．





【類型二】 圓柱上的最短線段


為籌備迎接新生晚會，同學們設計了一個圓筒形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖①.已知圓筒的高為108cm，其橫截面周長為36cm，如果在表面均勻纏繞油紙4圈，應裁剪多長的油紙？





解析：將圓筒側面展開成平面圖形，利用平面上兩點之間線段最短求解，構造直角三角形，利用勾股定理來解決．


解：如圖②，在Rt△ABC中，因為AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm，所以整個油紙的長為45×4＝180(cm)．


方法總結：解決這類問題的關鍵就是轉化，即把曲面轉化為平面，曲線轉化成直線，構造直角三角形，利用勾股定理求出未知線段長．


探究點二：利用勾股定理解決實際問題








如圖，在一次夏令營活動中，小明從營地A出發(fā)，沿北偏東53°方向走了400m到達點B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到達目的地C.求A、C兩點之間的距離．


解析：把實際問題中的角度轉化為圖形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解．


解：如圖，過點B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，∴∠CBA＝90°，∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002，∴AC＝500m，即A、C兩點間的距離為500m.


方法總結：此類問題解題的關鍵是將實際問題轉化為數(shù)學問題；在數(shù)學模型(直角三角形)中，應用勾股定理或勾股定理的逆定理解題．





三、板書設計











通過觀察圖形，探索圖形間的關系，培養(yǎng)學生的空間觀念．在將實際問題抽象成數(shù)學問題的過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數(shù)學建模的思想．在利用勾股定理解決實際問題的過程中，感受數(shù)學學習的魅力．


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初中數(shù)學北師大版八年級上冊電子課本

3 勾股定理的應用

版本： 北師大版

年級： 八年級上冊

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