最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型專題16 三角形之飛鏢模型-【壓軸必刷】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)典問題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費(fèi)馬點(diǎn)問題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實(shí)際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問題，也是經(jīng)典最值問題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題16三角形之飛鏢模型
解題策略
模型1：角的飛鏢模型
如圖所示，有結(jié)論：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．

模型2：邊的飛鏢模型
如圖所示有結(jié)論：AB+AC> BD+CD.
模型分析
如圖，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E。
∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.① ，∵BE+EC=BD+DE+EC，
DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ② ，由①②可得：AB+AC>BD+CD.
經(jīng)典例題
【例1】平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB，CD內(nèi)部，則∠BPD，∠B，∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明你的結(jié)論．
（2）在圖1中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖2，則∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之間的關(guān)系為 ∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD ；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖3中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù)．
【分析】（1）過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求得∠BPD＝∠B+∠D；
（2）過B作BF∥CD，結(jié)合（1）的結(jié)論和平行線的性質(zhì)可得到∠BPD＝∠ABP+∠D+∠BQD；
（3）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠A+∠F＝∠1，∠B+∠G＝∠2，進(jìn)而可得∠A+∠F+∠B+∠G＝∠1+∠2，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和可得答案．
【解答】解：（1）∠BPD＝∠B+∠D；
過P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1＝∠ABP，∠2＝∠CDP，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）延長(zhǎng)BP交CD于E，
∵∠B+∠BQD＝∠BED，∠D+∠BED＝∠BPD，
∴∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD；
故答案為：∠B+∠D+∠BQD＝∠BPD．
（3）∵∠A+∠F＝∠1，∠B+∠G＝∠2，
∴∠A+∠F+∠B+∠G＝∠1+∠2，
∵∠1+∠2+∠C+∠D+∠E＝540°，
∴∠A+∠F+∠B+∠G+∠C+∠D+∠E＝540°．
【例2】（2019秋?吉州區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，
（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：
①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝ 50 °；
②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；
③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．
【分析】（1）首先連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據(jù)∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據(jù)∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據(jù)∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數(shù)是多少即可．
③根據(jù)∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設(shè)∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數(shù)是多少．
【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，
，
根據(jù)外角的性質(zhì)，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案為：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴設(shè)∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度數(shù)為63°．
【例3】（2022春?樂平市期末）在△ABC中，兩條高BD、CE所在的直線相交于點(diǎn)O．
（1）當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如圖1，求證：∠BOC+∠BAC＝180°．
（2）當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖2，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形（用三角尺），并回答（1）中結(jié)論是否成立？不需證明．
【分析】（1）利用直角三角形的兩個(gè)余角相等、同角的余角相等，得出∠BAC＝∠BOE，把∠BOC+∠BAC轉(zhuǎn)化為平角∠COE．
（2）根據(jù)題意，分別作出AB、AC邊上的高，根據(jù)（1）的證明思路得出（1）的結(jié)論在∠BAC為鈍角時(shí)依舊成立．
【解答】解：（1）證明：∵BD、CE是△ABC的兩條高，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°
∴∠BAC+∠ABD＝90°，
∠BOE+∠ABD＝90°，
∴∠BAC＝∠BOE（同角的余角相等），
∴∠BOC+∠BAC＝∠BOC+∠BOE（等量代換），
∵∠BOC+∠BOE＝180°（平角的定義），
∴∠BOC+∠BAC＝180°．
（2）
成立．
理由：
∵BD、CE是△ABC的兩條高，
∴∠OEB＝∠BDC＝90°
∴∠BOC+∠OBE＝90°，
∠DAB+∠OBE＝90°
∴∠BOC＝∠DAB（同角的余角相等），
∴∠BOC+∠BAC＝∠DAB+∠BAC（等量代換），
∵∠DAB+∠BAC＝180°（平角的定義），
∴∠BOC+∠BAC＝180°．
【例4】（2022春?衡山縣期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝α．
（1）若點(diǎn)P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α＝60°，則∠1+∠2＝ 150° ；
（2）若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間的關(guān)系為 90°+α ；
（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由；
（4）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到△ABC形外，如圖（4）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關(guān)系？猜想并說明理由．
【分析】（1）由平角的定義得出，∠CDP＝180﹣∠1，∠CEP＝180﹣∠2，最后用四邊形CDPE的內(nèi)角和是360°即可求得∠1+∠2．
（2）同（1）的方法．
（3）利用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
（4）利用外角的性質(zhì)和對(duì)頂角相等即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）由平角的定義知，
∠1+∠CDP＝180°，∠2+∠CEP＝180°，
在四邊形CDPE中，∠CDP+∠α+∠PEC+∠C＝360°，
即（180°﹣∠1）+∠α+（180°﹣∠2）+∠C＝360°，
180°﹣∠1+∠α+180°﹣∠2+90°＝360°，
∴∠1+∠2＝90°+α．
當(dāng)α＝60°時(shí)，∠1+∠2＝150°．
故答案為：150°．
（2）由（1）知，∠1+∠2＝90°+α．
故答案為：90°+α．
（3）∠1＝90°+∠2+∠α．理由如下：
由三角形的外角的性質(zhì)知，
∠DMC＝∠2+∠α，
∠1＝∠C+∠DMC，
∴∠1＝∠C+（∠2+∠α），
即∠1＝90°+∠2+∠α．
（4）∠2＝90°+∠1﹣∠α．理由如下：
由三角形的外角的性質(zhì)知，
∠2＝∠CFE+∠C，
∠1＝∠PFD+∠α，
∵∠CFE＝∠PFD，
∴∠2﹣∠C＝∠1﹣∠α，
∴∠2＝∠C+∠1﹣∠α，
即∠2＝90°+∠1﹣∠α．
培優(yōu)訓(xùn)練
一．選擇題（共3小題）
1．（2020春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，△ABC中，∠A＝30°，D為CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，∠D＝40°，則∠C為（）
A．20°B．15°C．30°D．25°
【分析】由DE⊥AB于點(diǎn)E，∠D＝40°，由三角形內(nèi)角和定理可求出∠ABD＝50°，再由三角形外角定理可得∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，
∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，
∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．
故選：A．
2．（2010?武漢）如圖，△ABC內(nèi)有一點(diǎn)D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，則∠BDC的大小是（）
A．100°B．80°C．70°D．50°
【分析】如果延長(zhǎng)BD交AC于E，由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，所以∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA＝DB＝DC，根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得出∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°，進(jìn)而得出結(jié)果．
【解答】解：延長(zhǎng)BD交AC于E．
∵DA＝DB＝DC，
∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．
又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，
∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，
∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．
故選：A．
3．（2010?南昌）如圖，⊙O中，AB、AC是弦，O在∠BAC的內(nèi)部，∠ABO＝α，∠ACO＝β，∠BOC＝θ，則下列關(guān)系式中，正確的是（）
A．θ＝α+βB．θ＝2α+2βC．θ+α+β＝180°D．θ+α+β＝360°
【分析】過A、O作⊙O的直徑AD，分別在等腰△OAB、等腰△OAC中，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出θ＝2α+2β．
【解答】解：過A作⊙O的直徑，交⊙O于D；
△OAB中，OA＝OB，則∠BOD＝∠OBA+∠OAB＝2α；
同理可得：∠COD＝∠OCA+∠OAC＝2β；
∵∠BOC＝∠BOD+∠COD，
∴θ＝2α+2β；
故選：B．
4．（2022?雁塔區(qū)模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE＝BC，∠F＝∠ABD，EF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：FB＝DB．
【分析】要證明FB＝DB，轉(zhuǎn)化證明△BCD≌△BEF便可．
【解答】證明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠F＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠F，
在△BCD和△BEF中，
，
∴△BCD≌△BEF（AAS），
∴FB＝DB．
5．（2020春?如東縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，
（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說明理由；
（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：
①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過
點(diǎn)B、C，∠A＝54°，則∠ABX+∠ACX＝ 36 °；
②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，請(qǐng)直接寫出∠DCE的度數(shù) （用含α和β的式子表示）；
③如圖4，∠ABD，∠ACD的12等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G11，若∠BDC＝115°，∠BG1C＝60°，求∠A的度數(shù)．
【分析】（1）結(jié)論：∠BDC＝∠A+∠B+∠C．連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可．
（2）①利用（1）中結(jié)論計(jì)算即可．
②圖3中，設(shè)∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y(tǒng)，構(gòu)建方程組解決問題即可．
③設(shè)∠ABD＝x°，∠ACD＝y(tǒng)°，構(gòu)建方程組解決問題即可．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
理由：連接AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E．
∵∠BDE＝∠BAD+∠B，∠CDE＝∠CAD+∠C，
∴∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠B+∠CAD+∠C，
∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．
（2）①∵∠BXC＝∠ABX+∠ACX+∠A＝90°，∠A＝54°，
∴∠ABX+∠ACX＝36°．
故答案為36．
②如圖3中，設(shè)∠ADC＝∠CDB＝x，∠AEC＝∠CEB＝y(tǒng)，
則有∠DCE＝x+y+α，β＝2x+2y+α，
∴∠DCE＝．
故答案為．
③設(shè)∠ABD＝x°，∠ACD＝y(tǒng)°．
由題意可得，
解得∠A＝55°．
6．（2019秋?建平縣期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖（1）所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品一圓規(guī)，我們，不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖
（1）觀察“規(guī)形圖（1）”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下問題：
①如圖（2），把一塊三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C，若∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝ 50 °．
②如圖（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)．
【分析】（1）作射線AF，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①先根據(jù)三角尺可知：∠X＝90°，根據(jù)（1）的結(jié)論可得：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，從而得結(jié)論；
②先根據(jù)第1題的結(jié)論可得：∠ADE+∠AEB的度數(shù)，由角平分線可得：∠ADC+∠AEC＝＝45°，從而得結(jié)論．
【解答】解：（1）如圖（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：
過點(diǎn)A、D作射線AF，
∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，
∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，
即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如圖（2），∵∠X＝90°，
由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠ABX+∠ACX＝50°，
故答案為：50；
②如圖（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，
∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，
∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，
∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，
∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，
∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．
7．（2019秋?陳倉區(qū)期末）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，∠B＝50°，∠D＝30°，求∠BPD．
（2）如圖2，將點(diǎn)P移到AB、CD外部，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，寫出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間的數(shù)量關(guān)系？（不需證明）
（4）如圖4，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．
【分析】（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠B＝∠1，∠D＝∠2，再根據(jù)∠BPD＝∠1+∠2代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BOD＝∠B，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式整理即可得解；
（3）連接QP并延長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答；
（4）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠A+∠E＝∠1，∠B+∠F＝∠2，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．
【解答】解：（1）過點(diǎn)P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EP∥CD，
∴∠B＝∠1＝50°，∠D＝∠2＝30°，
∴∠BPD＝80°；
（2）∠B＝∠BPD+∠D．
理由如下：設(shè)BP與CD相交于點(diǎn)O，
∵AB∥CD，
∴∠BOD＝∠B，
在△POD中，∠BOD＝∠BPD+∠D，
∴∠B＝∠BPD+∠D．
（3）如圖，連接QP并延長(zhǎng)，
結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
（4）如圖，由三角形的外角性質(zhì)，∠A+∠E＝∠1，∠B+∠F＝∠2，
∵∠1+∠2+∠C+∠D＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
8．（2019?錦江區(qū)模擬）在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF并延長(zhǎng)，分別交DA，BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，G．
（1）如圖1，若四邊形ABCD是菱形，∠ECF＝∠BCD，求證：AC2＝AH?AG；
（2）如圖2，若四邊形ABCD是正方形，∠ECF＝45°，BC＝4，設(shè)AE＝x，AG＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖3，若四邊形ABCD是矩形，AB：AD＝1：2，CG＝CH，∠GCH＝45°，請(qǐng)求tan∠AHG的值．
【分析】（1）通過證明△ACG∽△AHC，可得，可得結(jié)論；
（2）通過證明△ACG∽△AHC，可得，可得AC2＝AH?AG，通過證明△EAH∽△EBC，可得，即AH＝，即可求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）取BC中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BG，交AD于點(diǎn)P，交CG于點(diǎn)N，連接CP，可證四邊形CDPM是正方形，由（2）可知△CPN∽△HPC，由相似三角形的性質(zhì)可得PH＝2CP＝2a，PN＝a，可求AH，AG的長(zhǎng)，即可求tan∠AHG的值．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD，
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH，
∵∠ECF＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF，
∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG，
∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG，
∴△ACG∽△AHC，
∴，
∴AC2＝AH?AG；
（2）連接AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠BCD＝45°，
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴∠G＝∠DCG，∠H＝∠BCH，
∵∠ECF＝45°＝∠BCD，
∴∠ACD＝∠ACB＝∠ECF，
∴∠DCG＝∠ACH，∠BCE＝∠ACG，
∴∠G＝∠ACH，∠H＝∠ACG，
∴△ACG∽△AHC，
∴，
∴AC2＝AH?AG，
∵BC＝AB＝4，
∴AC＝4，
∴y＝，
∵BC∥AD，
∴△EAH∽△EBC，
∴，
∴，
∴AH＝，
∴y＝；
（3）如圖，取BC中點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥BG，交AD于點(diǎn)P，交CG于點(diǎn)N，連接CP，
∵M(jìn)N∥BG，
∴，且M是BC中點(diǎn)，
∴＝，
∴BC＝2CM，CG＝2CN，BG＝2MN，
∵CG＝CH，
∴CG＝CH＝2CN，
∵CD∥BA，MN∥BG，
∴CD∥MN∥BG，
∴，
∴DP＝PA，
∵AB：AD＝1：2，
∴設(shè)AB＝a＝CD，AD＝2a＝BC，
∴CM＝a＝DP，且BC∥AD，
∴四邊形CDPM是平行四邊形，且CD＝DP＝a，∠D＝90°，
∴四邊形CDPM是正方形，
∴CP＝a，
∵四邊形CDPM是正方形，且∠GCH＝90°，由（2）可得：△CPN∽△HPC，
∴，
∴PH＝2CP＝2a，PN＝a，
∴MN＝a+a，AH＝PH﹣PA＝a﹣a，
∴BG＝2MN＝2a+a，
∴AG＝BG﹣AB＝a+a，
∴tan∠AHG＝＝．
9．（2017春?郫都區(qū)期中）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖①，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是∠POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D得∠BPD＝∠B﹣∠D，將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖②，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）在圖②中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖③，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．
【分析】（1）延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，根據(jù)AB∥CD得出∠B＝∠BED，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接QP并延長(zhǎng)，由三角形外角的性質(zhì)得出∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，由此可得出結(jié)論；
（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．再根據(jù)∠A+∠AFG+∠AGF＝180°即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D．
延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
連接QP并延長(zhǎng)，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；
（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
10．（2017春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
嘗試探究：
（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間的數(shù)量關(guān)系．
初步應(yīng)用：
（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2﹣∠C＝ 45° ．
（3）解決問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案．
（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請(qǐng)利用上面的結(jié)論探究∠P與∠A、∠D的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，兩式相加可得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，將∠1＝135°代入可得結(jié)論；
（3）根據(jù)角平分線的定義得：，，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的結(jié)論：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：；
（4）根據(jù)平角的定義得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分線得：，，相加可得：，再由四邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°．
（2）∠2﹣∠C＝45°．
理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2﹣∠C+135°＝180°，
∴∠2﹣∠C＝45°．
故答案為：45°；
（3），
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴，，
∵△BPC中，，
∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∴，＝．
故答案為：，
（4）．
理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴，，
∴，
∵四邊形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝，
∴＝．
11．（2016春?門頭溝區(qū)期末）在一次空間與圖形的學(xué)習(xí)中，小明遇到了下面的問題：如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部，探究∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系．小明只完成了（1）的部分證明，請(qǐng)你根據(jù)學(xué)習(xí)《觀察猜想與證明》的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)完成（1）的證明并在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)睦碚撘罁?jù)同時(shí)完成（2）﹣（3）．
（1）過點(diǎn)P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD
∴ PE ∥ CD
∴∠D＝ ∠DPE
又∵PE∥AB
∴∠B＝∠BPE
∴∠BPD＝ ∠B+∠D ．
（2）如圖2，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，∠B，∠D，∠BPD的關(guān)系是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化請(qǐng)寫出它們的關(guān)系，并證明；若沒有發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖3，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（直接寫出結(jié)果）
【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠1＝∠B，∠2＝∠D，從而證得∠BPD＝∠B+∠D；
（2）由AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得∠BOD＝∠B，又由三角形外角的性質(zhì)可得∠BOD＝∠D+∠P，從而得到∠BPD＝∠B﹣∠D；
（3）首先連接QP，并延長(zhǎng)到E，利用三角形外角的性質(zhì)，可證得∠BPD＝∠1+∠2＝∠BQP+∠B+∠DQP+∠D＝∠B+∠D+∠BQD．
【解答】解：（1）如圖1，過點(diǎn)P作PE∥AB．
∵PE∥AB，AB∥CD，
∴PE∥CD （平行于同一條直線的兩條直線平行），
又∵PE∥AB，
∴∠B＝∠BPE，
∠D＝∠DPE （兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠BPD＝∠B+∠D．
（2）發(fā)生變化，應(yīng)是∠BPD＝∠B﹣∠D．
證明：如圖2，
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BOD，
∵∠BOD＝∠P+∠D，
∴∠BPD＝∠B﹣∠D；
（3）如圖3，連接QP，并延長(zhǎng)到E，
∵∠1＝∠B+∠BQP，∠2＝∠D+∠DQP，
∴∠BPD＝∠1+∠2＝∠BQP+∠B+∠DQP+∠D＝∠B+∠D+∠BQD．
12．（2016春?鹽都區(qū)期中）【課本拓展】
我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的連個(gè)內(nèi)角的和，那么，三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
【嘗試探究】
（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？
【初步應(yīng)用】
（2）如圖2，在△ABCA紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝130°，則∠2﹣∠C＝ 50° ；
（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．
【拓展提升】
（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB、∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可直接使用，不需說明理由）
【分析】（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠FDC＝∠A+∠ACD，∠ECD＝∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；
（2）利用（1）中的結(jié)論即可求出；
（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠PCE＝∠BCE，∠PBD＝∠CBD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（4）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（3）解答即可．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB
＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB
＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝360°﹣（180°﹣∠A）
＝180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2＝∠180°+∠C，
∴130°+∠2＝180°+∠C，
∴∠2﹣∠C＝50°．
故答案為50°．
（3）∵BP，CP分別是外角∠DBC，∠ECB的平分線，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°﹣∠A），
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
（4）如圖1，
延長(zhǎng)BA、CD于Q，
則∠P＝90°﹣∠Q，
∴∠Q＝180°﹣2∠P．
∴∠BAD+∠CDA
＝180°+∠Q
＝180°+180°﹣2∠P
＝360°﹣2∠P．
13．（2014春?蕭山區(qū)期中）同一平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，我們過點(diǎn)P作AB、CD的平行線PE，則有AB∥CD∥PE，故∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，故∠BPE＝∠BPD+∠DPE，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，利用（1）中的結(jié)論（可以直接套用）求∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？
（3）設(shè)BF交AC于點(diǎn)P，AE交DF于點(diǎn)Q．已知∠APB＝130°，∠AQF＝110°，利用（2）的結(jié)論直接寫出∠B+∠E+∠F的度數(shù)為 70 度，∠A比∠F大 60 度．
【分析】（1）依據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，三角形外角的性質(zhì)即可求得．
（2）依據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，三角形外角的性質(zhì)即可求得．
（3）依據(jù)（2）中的結(jié)論、三角形的內(nèi)角和及三角形的外角和即可求得．
【解答】（1）∠BPD＝∠B﹣∠D不成立，是∠BPD＝∠B+∠D，
證明：如圖b，延長(zhǎng)BP交DC于M，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BMD，
∵∠BPD＝∠BMD+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）∠BPD＝∠B+∠D+∠BQD；
∵A′B∥CD，
∴∠A′BQ＝∠BQD，
證明同（1）．
（3）解∵∠AQF＝110°，
∴∠EQF＝∠B+∠E+∠F＝180°﹣110°＝70°，
∵∠1＝∠APB﹣∠A＝130°﹣∠A，∠2＝180°﹣∠AQF﹣∠F＝180°﹣110°﹣∠F＝70°﹣∠F；
∵∠1＝∠2，
∴130°﹣∠A＝70°﹣∠F；
∴∠A﹣∠F＝60°．
14．（2012春?清浦區(qū)校級(jí)期中）同學(xué)們都知道，平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．
已知AB∥CD．如圖1，點(diǎn)P在AB、CD外部時(shí)，由AB∥CD，有∠B＝∠BOD，又因?yàn)椤螧OD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．
（1）已知AB∥CD．如圖2，點(diǎn)P在AB、CD內(nèi)部時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你說明你的結(jié)論；
（2）在圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？說明理由；
（3）利用第（2）小題的結(jié)論求圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．
【分析】（1）∠BPD＝∠B+∠D，延長(zhǎng)BP交CD于E，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠B＝∠BED，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BPD＝∠BED+∠D，代入即可；
（2）∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D，延長(zhǎng)BP交CD于F，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BFD＝∠B+∠BQD，∠BPD＝∠BFD+∠D，即可得出答案；
（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠CMN＝∠A+∠E，∠DNB＝∠B+∠F，代入∠C+∠D+CMN+∠DNM＝360°即可求出答案．
【解答】解：（1）不成立，∠BPD＝∠B+∠D，
理由是：延長(zhǎng)BP交CD于E，如圖2，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED，
∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）如圖3，∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D，
理由是：延長(zhǎng)BP交CD于F，
∵∠BFD＝∠B+∠BQD，∠BPD＝∠BFD+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠BQD+∠D；
（3）∵∠CMN＝∠A+∠E，∠DNB＝∠B+∠F，
又∵∠C+∠D+∠CMN+∠DNM＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
15．（2010春?中衛(wèi)校級(jí)期末）如圖1，在∠A內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接BP、CP，請(qǐng)回答下列問題：
①求證：∠P＝∠1+∠A+∠2；
②如圖2，利用上面的結(jié)論，你能求出五角星五個(gè)“角”的和嗎？
③如圖3，如果在∠BAC間有兩個(gè)向上突起的角，請(qǐng)你根據(jù)前面的結(jié)論猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之間有什么等量關(guān)系，并說明理由．
【分析】①連接AP并延長(zhǎng)，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)即可求出∠P＝∠1+∠A+∠2；
②先把五角星五個(gè)“角”歸結(jié)到一個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可；
③分別連接AP、AD、AG并延長(zhǎng)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：①連接AP并延長(zhǎng)，則∠3＝∠1+∠BAP，∠4＝∠2+∠PAC，
故∠P＝∠1+∠A+∠2；
②∵∠1是△DBF的外角，∴∠1＝∠B+∠D，
同理∠2是△ECG的外角，∴∠2＝∠C+∠E，
∵∠1、∠2、∠A是△AFG的內(nèi)角，
∴∠1+∠2+∠A＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
③連接AP、AD、AG并延長(zhǎng)，
同①由三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)可求出∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠A．
16．（2010?玉溪）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖a，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D，得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）在圖b中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖c，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．
【分析】（1）延長(zhǎng)BP交CD于E，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，求出∠PED＝∠B，再利用三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可說明不成立，應(yīng)為∠BPD＝∠B+∠D；
（2）作射線QP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得；
（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，把角轉(zhuǎn)化到四邊形中再求解．
【解答】解：（1）不成立．結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D
延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，
∵AB∥CD
∴∠B＝∠BED
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D．
（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
（3）連接EG并延長(zhǎng)，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠AGB＝∠A+∠B+∠E，
又∵∠AGB＝∠CGF，
在四邊形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
17．（2009春?無為縣校級(jí)期末）星期天，小明見爸爸愁眉苦臉在看一張圖紙，他便悄悄地來到爸爸身邊，想看爸爸為什么犯愁．爸爸見到他，高興地對(duì)他說：“來幫我一個(gè)忙，你看這是一個(gè)四邊形零件的平面圖，它要求∠BDC等于140°才算合格，小明通過測(cè)量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下結(jié)論說此零件不合格，于是爸爸讓小明解釋這是為什么，小明很輕松地說出了原因，并用如下的三種方法解出此題．請(qǐng)你代小明分別說出不合格的理由．
（1）如圖1，連接AD并延長(zhǎng)．
（2）如圖2，延長(zhǎng)CD交AB于E．
（3）如圖3，連接BC．
【分析】（1）（2）直接利用各個(gè)圖形中的外角和等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；
（3）用三角形內(nèi)角和求解即可．
【解答】解：（1）∠BDC＝∠1+∠2＝∠A+∠B+∠C＝90°+19°+40°＝149°≠140°，故不合格；
（2）∠BDC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B＝149°≠140°，故不合格；
（3）∵∠1+∠2＝180°﹣（90°+19°+40°），
∴∠BDC＝180°﹣（∠1+∠2）＝149°≠140°，故不合格．
18．（2008?莆田）平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)系．
（1）如圖1，若AB∥CD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則∠BPD、∠B、∠D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）在如圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求如圖4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)．
【分析】（1）延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，根據(jù)AB∥CD得出∠B＝∠BED，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）連接QP并延長(zhǎng)，由三角形外角的性質(zhì)得出∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，由此可得出結(jié)論；
（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．再根據(jù)∠A+∠AFG+∠AGF＝180°即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）不成立，結(jié)論是∠BPD＝∠B+∠D．
延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BED，
又∵∠BPD＝∠BED+∠D，
∴∠BPD＝∠B+∠D；
（2）結(jié)論：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D．
連接QP并延長(zhǎng)，
∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角，
∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，
∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D；
（3）由（2）的結(jié)論得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．
又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180°
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
（或由（2）的結(jié)論得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
19．（2008春?三明期末）探究與思考：
（1）如圖①，∠BPC是△ABP的一個(gè)外角，則有結(jié)論：∠BPC＝∠A+∠B成立．若點(diǎn)P沿著線段PB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），連接PC形成圖形②，我們稱之為“飛鏢”圖形，那么請(qǐng)你猜想“飛鏢”圖形中∠BPC與∠A、∠B、∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；
（2）利用（1）的結(jié)論，請(qǐng)你求出五角星（如圖③）中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值，說明你的理由；
（3）若五角星中的點(diǎn)B向右運(yùn)動(dòng)，形成如圖④⑤形狀，（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)從圖④⑤中任選一個(gè)圖形說明理由．
【分析】（1）連接AP并延長(zhǎng)至F，將“飛鏢”圖形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行解答；
（2）兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)得到∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，相加即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°；
（3）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝180°．
【解答】解：（1）如圖②，∠BPC＝∠A+∠B+∠C，
連接AP并延長(zhǎng)至F，
則有∠B+∠BAP＝∠BPF，∠C+∠CAP＝∠CPF，
所以∠B+∠C+∠CAP+∠BAP＝∠BPF+∠CPF＝∠BPC，
即∠B+∠C+∠A＝∠BPC，
（2）如圖③，∠C+∠E＝∠1，∠B+∠D＝∠2，
則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠A+∠1+∠2＝180°．
（3）如圖④，在△ACG中，∠AGE＝∠A+∠C，
在△BDF中，∠DFE＝∠DBF+∠D，
所以，∠A+∠C+∠DBF+∠D+∠E＝∠AGE+∠DFE+∠E＝180°．

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