今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過(guò)程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問(wèn)題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)典問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實(shí)際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見(jiàn)幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問(wèn)題，也是經(jīng)典最值問(wèn)題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題13平行線之豬腳模型
解題策略
經(jīng)典例題
【例1】（2022春?桐城市期末）【問(wèn)題背景】同學(xué)們，觀察小豬的豬蹄，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)熟悉的幾何圖形，我們就把這個(gè)圖形的形象稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊(yùn)含著角的數(shù)量關(guān)系．
【問(wèn)題解決】（1）如圖1，AB∥CD，E為AB、CD之間一點(diǎn)，連接AE、CE．若∠A＝42°，∠C＝28°．則∠AEC＝ 70° ．
【問(wèn)題探究】（2）如圖2，AB∥CD，線段AD與線段BC交于點(diǎn)E，∠A＝36°，∠C＝54°，EF平分∠BED，求∠BEF的度數(shù)．
【問(wèn)題拓展】（3）如圖3．AB∥CD，線段AD與線段BC相交于點(diǎn)G，∠BCD＝56°，∠GDE＝20°，過(guò)點(diǎn)D作DF∥CB交直線AB于點(diǎn)F，AE平分∠BAD，DG平分∠CDF，求∠AED的度數(shù)．
【分析】（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，利用平行線的性質(zhì)可得∠AFC＝28°，然后再利用三角形的外角可得∠AEC＝∠A+∠C，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）利用豬蹄模型可得：∠AEC＝∠A+∠C＝90°，再利用對(duì)頂角相等可得∠BED＝90°，然后利用角平分線的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（3）利用平行線的性質(zhì)可求出∠CDF的度數(shù)，從而利用角平分線的定義求出∠CDG的度數(shù)，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)可求出∠BAD的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出∠BAE的度數(shù)，再利用平角定義求出∠EDH的度數(shù)，最后根據(jù)豬蹄模型可得∠AED＝∠BAE+∠EDH，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠C＝28°，
∵∠AEC是△AEF的一個(gè)外角，
∴∠AEC＝∠A+∠AFC＝∠A+∠C＝70°，
故答案為：70°；
（2）利用（1）的結(jié)論可得：
∠AEC＝∠A+∠C＝36°+54°＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∵EF平分∠BED，
∴∠BEF＝∠BED＝45°，
∴∠BEF的度數(shù)為45°；
（3）∵BC∥DF，
∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝124°，
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠CDF＝62°，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠CDG＝62°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠BAD＝31°，
∵∠GDE＝20°，
∴∠EDH＝180°﹣∠CDG﹣∠GDE＝98°，
利用（1）的結(jié)論可得：
∠AED＝∠BAE+∠EDH＝31°+98°＝129°，
∴∠AED的度數(shù)為129°．
【例2】（2022春?南京期中）已知直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，O是平面內(nèi)一點(diǎn)（不在直線AB、CD、EF上），OG平分∠EOF，射線OH∥AB，交EF于點(diǎn)H．
（1）如圖①，若∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，則∠HOG＝ 15° ，
（2）如圖②，若∠AEO＝150°，∠HOG＝20°，則∠CFO＝ 110° ；
（3）直接寫出點(diǎn)O在不同位置時(shí)∠AEO、∠CFO和∠HOG三個(gè)角之間滿足的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）由AB∥CD，OH∥AB可得AB∥OH∥CD，利用平行線的性質(zhì)可得∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，由∠EOF＝∠EOH+∠FOH，等量代換可得∠AEO+∠CFO＝∠EOF，根據(jù)已知條件和角平分線的定義求出∠EOG＝60°，即可得到∠HOG的度數(shù)；
（2）同（1）類似，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義計(jì)算可以得出∠CFO的度數(shù)；
（3）由（1）和（2）的計(jì)算方法可以得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，OH∥AB，
∴AB∥OH∥CD，
∴∠AEO＝∠EOH，∠CFO＝∠FOH，
∴∠AEO+∠CFO＝∠EOH+∠FOH，
即∠AEO+∠CFO＝∠EOF，
∵∠AEO＝45°，∠CFO＝75°，
∴∠EOF＝120°，
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝60°，
∴∠HOG＝∠EOG﹣∠EOH＝15°，
故答案為：15°；
（2）∵AB∥CD，OH∥AB，
∴AB∥OH∥CD，
∴∠AEO+∠EOH＝180°，∠CFO+∠FOH＝180°，
∴∠AEO+∠CFO+∠EOH+∠FOH＝360°，
即∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，
∵AB∥OH，
∴∠AEO+∠EOH＝180°，
∵∠AEO＝150°，
∴∠EOH＝30°，
∵∠HOG＝20°，
∴∠EOG＝∠EOH+∠HOG＝30°+20°＝50°，
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOF＝2∠EOG＝100°，
∵∠AEO+∠CFO+∠EOF＝360°，∠AEO＝150°，
∴∠CFO＝360°﹣150°﹣100°＝110°，
故答案為：110°；
（3）①若點(diǎn)O在直線AB與CD之間，則有|∠AEO﹣∠CFO|＝2∠HOG；
②若點(diǎn)O在直線AB與CD之外，且在直線EF的左側(cè)，則有∠AEO+∠CFO＝2∠HOG；
若點(diǎn)O在直線AB與CD之外，且在直線EF的右側(cè)，則有360°﹣∠AEO﹣∠CFO＝2∠HOG．
【例3】（2022春?上城區(qū)校級(jí)期中）如圖，一副三角板，其中∠EDF＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝30°．
（1）若這副三角板如圖擺放，EF∥CD，求∠ABF的度數(shù)．
（2）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN，保持三角板ABC不動(dòng)，現(xiàn)將三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，且0≤t≤180，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時(shí)，求所有滿足條件的t的值．
（3）將一副三角板如圖3所示擺放，直線GH∥MN，現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒1°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)何為t秒，如圖4，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若邊BC與三角板的一條直角邊（邊DE，DF）平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出滿足條件的t的值．
【分析】（1）由題意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，利用平行線的性質(zhì)可得∠CDE＝∠E＝45°，即可求得答案；
（2）①當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，分兩種情況：當(dāng)DE在MN上方時(shí)或當(dāng)DE在MN下方時(shí)，分別運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可；②當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)T，分兩種情況：當(dāng)DF在MN上方時(shí)或當(dāng)DF在MN下方時(shí)，分別運(yùn)用平行線的性質(zhì)即可；
（3）當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，分兩種情況討論：①DE在MN上方時(shí)，②DE在MN下方時(shí)，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)I，①DF在MN上方時(shí)，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方時(shí)，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【解答】解：（1）如圖，由題意得，∠EBF＝90°，∠E＝45°，∠ABC＝60°，
∵EF∥CD，
∴∠CDE＝∠E＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠CDE＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ABF＝∠EBF﹣∠ABE＝90°﹣15°＝75°；
（2）如圖，①當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，
當(dāng)DE在MN上方時(shí)，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵M(jìn)N∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝30°，
∴t＝15；
當(dāng)DE在MN下方時(shí)，∠F′DP＝2t°﹣180°，
∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，
∴AP∥DF′，
∴∠F′DP＝∠MPA，
∵M(jìn)N∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝30°，
∴t＝105；
②當(dāng)BC∥DF時(shí)，
當(dāng)DF在MN上方時(shí)，BC∥DF，如圖，延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)T，
根據(jù)題意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN＝∠BTN，
∵GH∥MN，
∴∠BTN＝∠ABC＝60°，
∴∠FDN＝60°，
即180°﹣2t°＝60°，
∴t＝60；
當(dāng)DF在MN下方時(shí)，如圖，延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)T，
根據(jù)題意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠FDN＝∠BTM，
∵GH∥MN，
∴∠BTN＝∠ABC＝60°，
∴∠BTM＝180°﹣∠BTN＝120°，
∴∠NDF＝120°，
即2t°﹣180°＝120°，
∴t＝150，
綜上所述：所有滿足條件的t的值為15或60或105或150；
（3）由題意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
①如圖，當(dāng)DE∥BC時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)P，
當(dāng)DE在MN上方時(shí)，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵M(jìn)N∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
當(dāng)DE′在MN下方時(shí)，∠F′DP＝2t°﹣180°，
∵DE′∥BC，DE′⊥DF′，AC⊥BC，
∴AP∥DF′，
∴∠F′DP＝∠MPA，
∵M(jìn)N∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠F′DP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合題意，舍去），
②當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)I，
當(dāng)DF在MN上方時(shí)，BC∥DF，如圖，
根據(jù)題意得：∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴CI⊥DF，
∴∠FDN+∠MIC＝90°，
即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
∴2t＝240°＞180°，此時(shí)DF應(yīng)該在MN下方，不符合題意，舍去；
當(dāng)DF在MN下方時(shí)，如圖，
根據(jù)題意可知：∠FDN＝2t°﹣180°，
∵DF∥BC，
∴∠MIC＝∠NDF，
∴∠NDF＝∠AQI＝t+30°﹣90°＝t﹣60°，
即2t°﹣180°＝t°﹣60°，
∴t＝120，
綜上所述：所有滿足條件的t的值為30或120．
【例4】（2021春?梅江區(qū)期末）如圖（1），AB∥CD，點(diǎn)E在AB、CD之間，連接EA、EC；如圖（2），AB∥CD．點(diǎn)M、N分別在AB、CD上，連接MN．
（1）在圖（1）中，若∠A＝30°，∠C＝50°，則∠AEC＝ 80° ；若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝ 65° ．
（2）圖（1）的條件下，猜想∠EAB、∠ECD、∠AEC的關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論．
（3）如圖（2），點(diǎn)E是四邊形ACDB內(nèi)（不含邊界和MN）任意一點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明∠EMB、∠END、∠MEN的關(guān)系．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AEG＝∠A，∠CEG＝∠C，由∠AEC＝∠AEG+∠CEG，可得∠AEC＝∠A+∠C，代入計(jì)算即可得出答案；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖1，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，∠AEG＝∠EAB，∠CEG＝∠ECD．由∠AEC＝∠AEG+∠CEG，即可得出答案；
（3）根據(jù)題意畫圖，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得，∠EMB+∠MEF＝180°，∠NEF+∠END＝180°，由∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END＝360°，根據(jù)∠MEN＝∠MEF+∠NEF，即可得出答案．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖1，
∵AB∥CD，
∴GF∥CD，
∴∠AEG＝∠A，∠CEG＝∠C，
∴∠AEC＝∠AEG+∠CEG，
∴∠AEC＝∠A+∠C，
若∠A＝30°，∠C＝50°，則∠AEC＝30°+50°＝80°，
若∠A＝25°，∠C＝40°，則∠AEC＝25°+40°＝65°；
故答案為：80°，65°；
（2）∠AEC＝∠EAB+∠ECD．
理由如下：
過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，如圖1，
∵AB∥CD，
∴GF∥CD，
∴∠AEG＝∠EAB，∠CEG＝∠ECD．
∵∠AEC＝∠AEG+∠CEG，
∴∠AEC＝∠EAB+∠ECD；
（3）∠ENB+∠NEN+∠END＝360°．理由如下：
根據(jù)題意畫圖，如圖2，
過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，
∴∠EMB+∠MEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴GF∥CD，
∴∠NEF+∠END＝180°，
∴∠EMB+∠MEF+∠NEF+∠END＝360°，
∵∠MEN＝∠MEF+∠NEF，
∴∠ENB+∠NEN+∠END＝360°．
培優(yōu)訓(xùn)練
一．選擇題
1．（2022?黔東南州）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長(zhǎng)方形紙條上，若∠1＝28°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．28°B．56°C．36°D．62°
【分析】過(guò)直角的頂點(diǎn)E作MN∥AB，利用平行線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：如下圖所示，
過(guò)直角的頂點(diǎn)E作MN∥AB，交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，
則∠2＝∠3．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵AB∥MN，
∴MN∥CD，
∴∠4＝∠1＝28°，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．
∴∠2＝∠3＝62°．
故選：D．
2．（2022?臨清市二模）如圖，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝（ ）
A．180°﹣∠2+∠1B．180°﹣∠1﹣∠2C．∠2＝2∠1D．∠1+∠2
【分析】先利用平行線的性質(zhì)說(shuō)明∠3、∠1、∠4、∠2間關(guān)系，再利用角的和差關(guān)系求出∠BCE．
【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，
∴∠1＝∠3，∠2+∠4＝180°．
∴∠BCE＝∠3+∠4
＝∠1+180°﹣∠2．
故選：A．
3．（2021春?硚口區(qū)月考）如圖，AB與HN交于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直線CD上，GF交AB于點(diǎn)M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
【分析】過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB，HQ∥AB，設(shè)∠NEB＝x，∠HGC＝y(tǒng)，利用豬腳模型、鋸齒模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．
【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正確；
過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
設(shè)∠NEB＝x，∠HGC＝y(tǒng)，則∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②錯(cuò)誤；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③錯(cuò)誤；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正確．
綜上所述，正確答案為①④．
故選：D．
4．（2018春?南昌期中）如圖，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝90°，則∠3的度數(shù)是（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【分析】作輔助線，過(guò)點(diǎn)O做OP∥AB∥CD，再結(jié)合兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，即可得出∠3的度數(shù)．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)O做OP∥AB∥CD，
∴∠A＝∠AOP＝30°，∠D＝∠POC，
∵∠2＝90°，
即∠AOC＝90°，
∴∠POC＝60°，
∴∠3＝60°．
故選：D．
5．（2018春?沂源縣期末）如圖，AB∥CD，∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，則∠E：∠F＝（ ）
A．2：1B．3：1C．3：2D．4：3
【分析】本題主要利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等作答．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)E、F分別作AB的平行線EG、FH，由平行線的傳遞性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，
∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF＝（∠ABE+∠CDE）＝∠BED，
∴∠BED：∠BFD＝3：2．
故選：C．
6．（2022春?諸暨市期末）從汽車燈的點(diǎn)O處發(fā)出的一束光線經(jīng)燈的反光罩反射后沿CO方向平行射出，已知入射光線OA的反射光線為AB，∠OAB＝∠COA＝72°．在如圖中所示的截面內(nèi)，若入射光線OD經(jīng)反光罩反射后沿DE射出，且∠ODE＝27°．則∠AOD的度數(shù)是 45°或99° ．
【分析】分兩種情況：如果∠AOD是銳角，∠AOD＝∠COA﹣∠COD；如果∠AOD是鈍角，∠AOD＝∠COA+∠COD，由平行線的性質(zhì)求出∠COA，∠COD，從而求出∠AOD的度數(shù)．
【解答】解：∵DE∥CF，
∴∠COD＝∠ODE．（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠ODE＝22°，
∴∠COD＝22°．
在圖1的情況下，∠AOD＝∠COA﹣∠COD＝72°﹣27°＝45°．
在圖2的情況下，∠AOD＝∠COA+∠COD＝72°+27°＝99°．
∴∠AOD的度數(shù)為45°或99°．
故答案為：45°或99°．
7．（2022春?潛山市月考）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M位于AB與CD之間且在EF的右側(cè)．
（1）若∠M＝90°，則∠AEM+∠CFM＝ 270° ；
（2）若∠M＝n°，∠BEM與∠DFM的角平分線交于點(diǎn)N，則∠N的度數(shù)為 n° ．（用含n的式子表示）
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，則AB∥CD∥MP，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得答案；
（2）過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，則AB∥CD∥NQ，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等和角平分線的定義可得答案．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MP，
∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，
∵∠M＝∠1+∠2＝90°，
∴∠MEB+∠MFD＝90°，
∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，
∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．
故答案為：270°；
（2）過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NQ，
∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，
∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，
∵∠BEM與∠DFM的角平分找交于點(diǎn)N，
∵∠NEB＝∠MEB，∠DFN＝MFD，
∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN＝（∠MEB+∠MFD），
由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，
∴∠ENF＝∠EMF＝n°．
故答案為：n°．
8．（2019?大豐區(qū)一模）如圖，已知：AB∥CD，∠1＝50°，∠2＝113°，則∠3＝ 63 度．
【分析】如圖，作EF∥AB．證明基本結(jié)論；∠AEC＝∠1+∠3即可解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，作EF∥AB．
∵AB∥CD，AB∥EF，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF，
∴∠AEC＝∠1+∠3，
∴113°＝50°+∠3，
∴∠3＝63°．
故答案為63；
9．（2019秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，則∠BFD＝ 125° ．
【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根據(jù)角平分線的定義，即可求得∠ABF+∠CDF的度數(shù)，又由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得∠BFD的度數(shù)．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，過(guò)點(diǎn)F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥FN，
∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵∠BED＝110°，
∴∠ABE+∠CDE＝250°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF＝∠ABE，∠CDF＝∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝125°，
∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．
故答案為125°
10．（2022春?交城縣期中）如圖，已知AB∥CD，AE和CF分別平分∠BAF和∠DCE，若∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，則∠BAF的度數(shù)為 46° ．
【分析】延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，設(shè)∠BAE＝x，∠FCG＝y(tǒng)，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAF＝2x，∠ECG＝2y，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠AGC＝2x，∠AHC＝x，，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠AEC＝x+2y，∠AFC＝2x+y，最后列出關(guān)于x，y的方程組，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G，
設(shè)∠BAE＝x，∠FCG＝y(tǒng)，
∵AE和CF分別平分∠BAF和∠DCE，
∴∠BAF＝2∠BAE＝2x，∠ECG＝2∠FCG＝2y，
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AGC＝2x，∠BAH＝∠AHC＝x，
∵∠AEC是△EHC的一個(gè)外角，
∴∠AEC＝∠AHC+∠ECG＝x+2y，
∵∠AFC是△GCF的一個(gè)外角，
∴∠AFC＝∠AGC+∠FCG＝2x+y，
∵∠AEC＝57°，∠AFC＝63°，
∴，
解得：，
∴∠BAF＝46°，
故答案為：46°．
11．（2022春?濠江區(qū)期末）已知直線AB∥CD，直線EF分別截AB、CD于點(diǎn)G、H，點(diǎn)M在直線AB、CD之間，連接MG，MH．
（1）如圖1，求證：∠M＝∠AGM+∠MHC；
（2）如圖2，若HM平分∠GHC，在HM上取點(diǎn)Q，使得∠HGQ＝∠AGM，求證：∠M+∠GQH＝180°；
（3）如圖3，若GH平分∠MGB，N在為HD上一點(diǎn)，連接GN，且∠GNH＝∠M，∠HGN＝2∠MHC，求∠MHG的度數(shù)．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，利用平行線的豬腳模型，即可解答；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠MHG＝∠CHM，再利用（1）的結(jié)論可得∠GMH＝∠AGM+∠MHC，從而可得∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，然后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（3）設(shè)∠AGM＝2α，∠CHM＝β，從而可得∠HGN＝2β，再利用（1）的結(jié)論可得∠GMH＝2α+β，從而可得∠GNH＝2α+β，然后利用角平分線的定義可得∠MGH＝90°﹣α，再利用三角形的外角可得∠CHG＝3β+2α，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠AGH+∠CHG＝180°，從而可得α+β＝30°，再利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】（1）證明：過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB，
∴∠AGM＝∠GMN，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠NMH＝∠CHM，
∵∠GMH＝∠GMN+∠NMH，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC；
（2）證明：∵HM平分∠GHC，
∴∠MHG＝∠CHM，
由（1）得：
∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠HGQ＝∠AGM，
∴∠GMH＝∠HGQ+∠MHG，
∵∠GQH+∠HGQ+∠MHG＝180°，
∴∠GMH+∠GQH＝180°；
（3）解：設(shè)∠AGM＝2α，∠CHM＝β，
由（1）可得：
∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∴∠GMH＝2α+β，
∵∠GNH＝∠M，
∴∠GNH＝2α+β，
∵∠HGN＝2∠MHC，
∴∠HGN＝2β，
∵GH平分∠MGB，
∴∠MGH＝∠BGM＝（180°﹣∠AGM）＝90°﹣α，
∵∠CHG是△GHN的一個(gè)外角，
∴∠CHG＝∠HGN+∠GNH＝2β+2α+β＝3β+2α，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴∠AGM+∠MGH+∠CHG＝180°，
∴2α+90°﹣α+3β+2α＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠MHG＝∠CHG﹣∠CHM
＝3β+2α﹣β
＝2β+2α
＝60°，
∴∠MHG的度數(shù)為60°．
12．（2022春?沂源縣期末）在綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“一個(gè)含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)如圖，已知兩直線a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．
操作發(fā)現(xiàn)：
（1）在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數(shù)．
（2）某同學(xué)把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，如圖2，發(fā)現(xiàn)∠2﹣∠1＝120°，說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠3，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BD∥a，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD＝180°﹣∠2，∠DBC＝∠1，結(jié)合圖形計(jì)算，證明結(jié)論．
【解答】解：（1）∵∠BCA＝90°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝44°，
∵a∥b，
∴∠2＝∠3＝44°．
（2）理由如下：過(guò)點(diǎn)B作BD∥a，
則∠ABD＝180°﹣∠2，
∵a∥b，BD∥a，
∴BD∥b，
∴∠DBC＝∠1，
∵∠ABC＝60°
∴180°﹣∠2+∠1＝60°，
∴∠2﹣∠1＝120°．
13．（2022春?無(wú)棣縣期末）如圖1，已知∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，點(diǎn)E在直線AB，CD之間．
（1）求證：AB∥CD；
（2）若AH平分∠BAE，F(xiàn)G∥CE．
①如圖2，若∠AEC＝84°，F(xiàn)H平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；
②如圖3，若FH平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
【分析】（1）過(guò)E作EN∥AB，可得∠BAE＝∠AEN，∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，證得∠ECD＝∠CEN，故EF∥CD∥AB；
（2）①HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到∠AHF的度數(shù)；
②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得到∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線EN∥AB，
∴∠BAE＝∠AEN，
∵∠BAE＝∠AEC﹣∠ECD，
∴∠BAE+∠ECD＝∠AEC，
∵∠AEN+∠CEN＝∠AEC，
∴∠ECD＝∠CEN，
∴EN∥CD，
∴CD∥AB；
（2）∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH＝∠EAH，
①∵HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，
又CE∥FG，
∴∠ECD＝∠GFD＝2x，
又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝84°，
∴∠BAH＝∠EAH＝42°﹣x，
如圖2，過(guò)點(diǎn)H作HM∥AB，
∴∠BAH＝∠AHM，
∵HM∥AB，
∴HM∥CD，
∴∠DFH＝∠MHF，
∴∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝42°﹣x+x＝42°；
②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng)，
∵HF平分∠CFG，
∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，
由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，
如圖3，過(guò)點(diǎn)H作HK∥AB，
∴∠BAH＝∠AHK，
∵HK∥AB，
∴HK∥CD，
∴∠KHF+∠CFH＝180°，
∴∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，
即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），
∴∠AHF＝90°+∠AEC．
14．（2022春?墨玉縣期末）問(wèn)題情景：
（1）如圖①，已知AB∥DE．試∠B、∠E、∠BCE有什么關(guān)系？小明添加了一條輔助線．解決了這道題．得到的結(jié)果是∠B+∠E＝∠BCE．
請(qǐng)你幫他完善證明過(guò)程：
如圖②，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB
∴ ∠B ＝ ∠1 （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∵AB∥DE，AB∥CF
∴ DE ∥ CF ．
∴∠E＝ ∠2 （ 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ）
∴∠B+∠E＝∠1+∠2
即∠B+∠E＝∠BCE．
（2）在圖①中．若BC⊥CE，且∠B＝52°，請(qǐng)你計(jì)算∠E的度數(shù)等于 38° ．
（3）問(wèn)題遷移：如圖③．AD∥BC．當(dāng)點(diǎn)P在射線AM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β
請(qǐng)你猜想∠α、∠β與∠CPD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可求解；
（2）由（1）可知∠B+∠E＝90°，即可求解；
（3）由三角形外角性質(zhì)可得∠CPD+∠CDP＝∠OCP，從而可得∠CPD+∠α+∠ADO＝∠β+∠BCO，由AD∥BC可得∠ADO＝∠BCO，即可得出∠CPD+∠α＝∠β．
【解答】解：（1）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，
∴∠B＝∠1（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵AB∥DE，AB∥CF，
∴DE∥CF，
∴∠E＝∠2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∴∠B+∠E＝∠1+∠2，
即∠B+∠E＝∠BCE，
故答案為：∠B＝∠1；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；DE；CF；∠2；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；
（2）由（1）可知∠B+∠E＝∠BCE，
∵∠BCE＝90°，∠B＝52°，
∴∠E＝∠BCE﹣∠B＝38°，
故答案為：38°；
（3）∠CPD+∠α＝∠β，理由如下：
∵∠CPD+∠CDP＝∠OCP，
∴∠CPD+∠α+∠ADO＝∠β+∠BCO，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠BCO，
∴∠CPD+∠α＝∠β．
15．（2022春?撫遠(yuǎn)市期末）如圖，已知AD∥BC，AB∥CD，點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，AE平分∠BAD，連接DE，∠ADC＝2∠CDE，∠AED＝60°．
（1）求證∠ABC＝∠ADC；
（2）求∠CDE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到答案．
（2）根據(jù)∠ADE＝3∠CDE，設(shè)∠CDE＝x，∠ADE＝3x，∠ADC＝2x，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出方程90°﹣x+60°+3x＝180°，求出x即可．
【解答】（1）證明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠DCE，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCE，
∴∠ABC＝∠ADC．
（2）解：設(shè)∠CDE＝x，則∠ADC＝2x，
∵AB∥CD，
∴∠BAD＝180°﹣2x，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠BAD＝90°﹣x，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EAD＝90°﹣x，
∴∠BED+∠ADE＝180°，
∴90°﹣x+60°+3x＝180°，
∴x＝15°，
∴∠CDE＝15°．
16．（2022春?來(lái)賓期末）如圖，直線PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．
（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則∠MAC+∠PBC＝ 90 °；
（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；
（3）如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．
【分析】（1）延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)D，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PBC＝∠ADC，再利用三角形的外角可得∠ACB＝∠ADC+∠MAC，然后利用等量代換即可解答；
（2）根據(jù)已知可得∠AEN＝∠A＝30°，再利用對(duì)頂角相等可得∠CEM＝30°，然后利用（1）的結(jié)論可得：∠PDC＝60°，最后利用對(duì)頂角相等即可解答；
（3）利用角平分線的定義設(shè)∠CEM＝∠CEG＝x，從而利用平角定義可得∠GEN＝180°﹣2x，再利用（1）的結(jié)論可得：∠PDC＝90°﹣x，然后利用對(duì)頂角相等可得∠BDF＝90°﹣x，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)D，
∵PQ∥MN，
∴∠PBC＝∠ADC，
∵∠ACB是△ACD的一個(gè)外角，
∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，
∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，
故答案為：90；
（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，
∴∠AEN＝∠A＝30°，
∴∠CEM＝∠AEN＝30°，
利用（1）的結(jié)論可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，
∴∠BDF＝∠PDC＝60°，
∴∠BDF的度數(shù)為60°；
（3）∵CE平分∠MEG，
∴∠CEM＝∠CEG，
設(shè)∠CEM＝∠CEG＝x，
∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，
利用（1）的結(jié)論可得：
∠ACB＝∠PDC+∠MEC，
∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，
∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，
∴＝＝2，
∴的值為2．
17．（2022春?咸安區(qū)期末）（1）如圖1，已知AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝110°，求∠EPF的度數(shù)．
（2）如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在AB的上方，問(wèn)∠PEA，∠PFC，∠EPF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，在（2）的條件下，已知∠EPF＝60°，∠PEA的平分線和∠PFC的平分線交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)．
【分析】（1）延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，利用平行線的性質(zhì)可得∠PGF＝40°，再利用平角定義可得∠PFG＝70°，然后利用三角形的外角進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）設(shè)AB與PF交于點(diǎn)M，先利用三角形的外角可得∠PMA＝∠PEA+∠EPF，再利用平行線的性質(zhì)可得∠PMA＝∠PFC，然后利用等量代換可得∠PFC＝∠PEA+∠EPF，即可解答；
（3）利用（2）的結(jié)論可得∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，再利用角平分線的性質(zhì)可得∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，然后利用（2）的結(jié)論可得∠G＝∠GFC﹣∠GEA＝（∠PFC﹣∠AEP），進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）延長(zhǎng)EP交CD于點(diǎn)G，
∵AB∥CD，
∴∠AEG＝∠PGF＝40°，
∵∠PFD＝110°，
∴∠PFG＝180°﹣∠PFD＝70°，
∵∠EPF是△PFG的一個(gè)外角，
∴∠EPF＝∠PGF+∠PFG＝110°，
∴∠EPF的度數(shù)為110°；
（2）∠PFC＝∠PEA+∠EPF，
理由：如圖：設(shè)AB與PF交于點(diǎn)M，
∵∠PMA是△PME的一個(gè)外角，
∴∠PMA＝∠PEA+∠EPF，
∵AB∥CD，
∴∠PMA＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF；
（3）由（2）可得：
∠PFC＝∠PEA+∠EPF，
∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝60°，
∵EG平分∠AEP，F(xiàn)G平分∠PFC，
∴∠GEA＝∠AEP，∠GFC＝∠PFC，
由（2）得：
∠GFC＝∠G+∠GEA，
∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA
＝∠PFC﹣∠AEP
＝（∠PFC﹣∠AEP）
＝×60°
＝30°，
∴∠G的度數(shù)為30°．
18．（2022春?上虞區(qū)期末）如圖1，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB與CD之間，且AB∥CD．
（1）若∠EMF＝80°，則∠AEM+∠CFM＝ 80° ．
（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作射線EN，F(xiàn)N交于點(diǎn)N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，設(shè)∠EMF＝α，猜想∠ENF的度數(shù)（用α表示），并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上，分別作射線EP，F(xiàn)P交于點(diǎn)P，作射線EQ，F(xiàn)Q交于點(diǎn)Q，若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，請(qǐng)直接寫出∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，利用平行線的性質(zhì)，把∠AEM+∠CFM轉(zhuǎn)化為∠EMF，從而求得度數(shù)．
（2）過(guò)點(diǎn)M作MP∥AB，過(guò)點(diǎn)N作NQ∥AB，利用平行線的性質(zhì)，把∠EMF轉(zhuǎn)化為∠AEM+∠CFM，把∠ENF轉(zhuǎn)化為∠AEN+∠CFN，得出∠ENF＝∠EMF，從而用α表示出∠ENF的度數(shù)．
（3）利用（2）的結(jié)論，同時(shí)利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，進(jìn)而找到∠P與∠Q間的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）
過(guò)點(diǎn)M作MG∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MG，
∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠CFM，
∴∠AEM+∠CFM＝∠EMG+∠GMF＝∠EMF＝80°．
故答案為：80°．
（2）∠ENF＝α．理由如下：
過(guò)點(diǎn)M作MG∥AB，
由（1）知，∠EMF＝∠AEM+∠CFM，
過(guò)點(diǎn)N作NH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥NH，
∴∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN，
∴∠ENF＝∠ENH+∠HNF＝∠AEN+∠CFN，
∵∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，
∴∠ENF＝∠AEM+∠CFM
＝（∠AEM+∠CFM）
＝∠EMF，
∵∠EMF＝α，
∴∠ENF＝α．
（3）n∠Q+m∠P＝360°．理由如下：
由（2）的結(jié)論可知，∠P＝∠M，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ，∠BEM+∠DFM+∠M＝360°，
∵∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，
∴∠Q＝∠BEM+∠DFM，
＝（∠BEM+∠DFM）
＝（360°﹣∠M），
∴∠M＝360°﹣n∠Q，
∵∠M＝m∠P，
∴360°﹣n∠Q＝m∠P，即n∠Q+m∠P＝360°．
19．（2022春?西崗區(qū)期末）如圖1，AB∥CD，點(diǎn)P，Q分別在AB，CD上，點(diǎn)E在AB，CD之間．連接PE，QE，PE⊥QE．
（1）直接寫出∠BPE與∠DQE的數(shù)量關(guān)系為 ∠BPE+∠DQE＝90° ；
（2）如圖2，∠APE的平分線PG和∠CQE的平分線QH的反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)；
（3）如圖3，M為線段PE上一點(diǎn)，連接QM，∠BPE和∠MQD的平分線相交于點(diǎn)N，直接寫出∠PNQ和∠MQE的數(shù)量關(guān)系為 2∠PNQ﹣∠MQE＝90° ．
【分析】（1）延長(zhǎng)PE交CD于點(diǎn)F，根據(jù)垂直定義可得∠PEQ＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BPE＝∠PFC，然后再利用三角形的外角可得∠DQE+∠PFC＝90°，即可解答；
（2）過(guò)點(diǎn)G作GF∥CD，從而可得∠HQC＝∠HGF，再利用平行線的性質(zhì)可得∠PGF＝180°﹣∠APG，利用（1）的結(jié)論可得∠APE+∠CQE＝270°，然后利用角平分線的定義可得∠APG+∠CQH＝135°，最后根據(jù)∠HGP＝∠PGF﹣∠HGF＝180°﹣∠APG﹣∠HQC，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠BPE＝2∠BPN，∠MQN＝∠DQN，再利用豬腳模型可得∠BPE+∠DQE＝90°，∠BPN+∠DQN＝∠PNQ，再利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）延長(zhǎng)PE交CD于點(diǎn)F，
∵PE⊥QE，
∴∠PEQ＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BPE＝∠PFC，
∵∠PEQ是△QEF的一個(gè)外角，
∴∠PEQ＝∠DQE+∠PFC＝90°，
∴∠BPE+∠DQE＝90°，
故答案為：∠BPE+∠DQE＝90°，
（2）過(guò)點(diǎn)G作GF∥CD，
∴∠HQC＝∠HGF，
∵AB∥CD，
∴AB∥FG，
∴∠PGF＝180°﹣∠APG，
由（1）得：∠BPE+∠DQE＝90°，
∴∠APE+∠CQE＝360°﹣（∠BPE+∠DQE）＝270°，
∵PG平分∠APE，QH平分∠CQE，
∴∠APG＝∠APE，∠CQH＝∠CQE，
∴∠APG+∠CQH＝（∠APE+∠CQE）＝135°，
∵∠HGP＝∠PGF﹣∠HGF
＝180°﹣∠APG﹣∠HQC
＝45°，
∴∠HGP的度數(shù)為45°；
（3）2∠PNQ﹣∠MQE＝90°，
理由：∵PN平分∠BPE，QN平分∠MQD，
∴∠BPE＝2∠BPN，∠MQN＝∠DQN，
由（1）可得：
∠BPE+∠DQE＝90°，
∴2∠BPN+∠DQN+∠EQN＝90°，
由（1）可得：
∠BPN+∠DQN＝∠PNQ，
∴∠PNQ+∠BPN+∠MQN﹣∠MQE＝90°，
∴∠PNQ+∠BPN+∠DQN﹣∠MQE＝90°，
∴∠PNQ+∠PNQ﹣∠MQE＝90°，
∴2∠PNQ﹣∠MQE＝90°，
故答案為：2∠PNQ﹣∠MQE＝90°．
20．（2022春?宜春期末）問(wèn)題：已知線段AB∥CD，在AB、CD間取一點(diǎn)P（點(diǎn)P不在直線AC上），連接PA、PC，試探索∠APC與∠A、∠C之間的關(guān)系．
（1）端點(diǎn)A、C同向：
如圖1，點(diǎn)P在直線AC右側(cè)時(shí)，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 0 度；
如圖2，點(diǎn)P在直線AC左側(cè)時(shí)，∠APC+（∠A+∠C）＝ 360 度；
（2）端點(diǎn)A、C反向：
如圖3，點(diǎn)P在直線AC右側(cè)時(shí)，∠APC與∠A﹣∠C有怎樣的等量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；
如圖4，點(diǎn)P在直線AC左側(cè)時(shí)，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 180 度．
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，分別利用豬腳模型，鉛筆模型即可解答；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD，利用平行線的性質(zhì)，以及角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：（1）如圖：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C，
∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，
故答案為：0；
如圖：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°，
∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，
故答案為：360；
（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，
證明：過(guò)點(diǎn)P作PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，
∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；
如圖：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，
∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，
故答案為：180．

相關(guān)試卷

最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題08 將軍飲馬模型-【壓軸必刷】：

這是一份最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題08 將軍飲馬模型-【壓軸必刷】，文件包含專題8將軍飲馬模型-壓軸必刷2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案全國(guó)通用原卷版docx、專題8將軍飲馬模型-壓軸必刷2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案全國(guó)通用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共90頁(yè)， 歡迎下載使用。

最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題06 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型-【壓軸必刷】：

這是一份最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題06 截長(zhǎng)補(bǔ)短模型-【壓軸必刷】，文件包含專題6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型-壓軸必刷2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案全國(guó)通用原卷版docx、專題6截長(zhǎng)補(bǔ)短模型-壓軸必刷2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案全國(guó)通用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共101頁(yè)， 歡迎下載使用。

最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題03 對(duì)角互補(bǔ)模型-【壓軸必刷】：

這是一份最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題03 對(duì)角互補(bǔ)模型-【壓軸必刷】，文件包含專題3對(duì)角互補(bǔ)模型-壓軸必刷2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案全國(guó)通用原卷版docx、專題3對(duì)角互補(bǔ)模型-壓軸必刷2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案全國(guó)通用解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共69頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題02 半角模型-【壓軸必刷】

最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題02 半角模型-【壓軸必刷】
最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題01 共頂點(diǎn)模型-【壓軸必刷】

最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型 專題01 共頂點(diǎn)模型-【壓軸必刷】
專題13 平行線之豬腳模型（M模型）-中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（全國(guó)通用）

專題13 平行線之豬腳模型（M模型）-中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（全國(guó)通用）
專題13 平行線之豬腳模型（M模型）-中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（全國(guó)通用）

專題13 平行線之豬腳模型（M模型）-中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案（全國(guó)通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部