今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)典問題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費(fèi)馬點(diǎn)問題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實(shí)際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問題，也是經(jīng)典最值問題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題8將軍飲馬模型
解題策略
模型1：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使PA＋PB最?。?br>
連接AB交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB.
模型2：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA＋PB最?。?br>
作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．PA＋PB的最小值為AB'
模型3：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．

連接AB并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，的最大值為AB
模型4：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l異側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最大．

作點(diǎn)B關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最大值為AB'
模型8：當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)時(shí)，在直線l上找一點(diǎn)P，使得最?。?br>連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．的最小值為0
模型6：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得△PCD周長(zhǎng)最?。?br>
分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連接P′P″，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求．△PCD周長(zhǎng)的最小值為P′P″
模型7：點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)部，在OB邊上找點(diǎn)D，OA邊上找點(diǎn)C，使得PD＋CD最?。?br>
作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，過P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值為P′C
經(jīng)典例題
【例1】．（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開學(xué)考試）如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．
(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；
(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最??？求此時(shí)PA+PC的長(zhǎng)度．
(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)AQ+5?14CQ取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．
【例2】．（2021·四川南充·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（0，4）、C．其對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；
(3)點(diǎn)N為直線AB上的一點(diǎn)（點(diǎn)N不與點(diǎn)F重合），在拋物線上是否存在一點(diǎn)M，使以點(diǎn)E、F、N、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【例3】（2022·浙江衢州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作射線AC的垂線，垂足為M，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求證：MD是⊙O的切線；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，說明理由；
(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到∠ACB的角平分線上，連接CE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)P，連接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的長(zhǎng)．
【例4】（2022·重慶巴蜀中學(xué)七年級(jí)期末）在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∠ECH＝90°，連接AE．
(1)如圖1，若點(diǎn)E在CB延長(zhǎng)線上，連接AH，且AH＝6，求AE的長(zhǎng)；
(2)如圖2，若點(diǎn)E在AC上，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，連接BF、BH，當(dāng)BH＝2BF，∠EHB+12∠HBF＝45°時(shí)，求證：AE＝CE；
(3)如圖3，若點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)，取AE的中點(diǎn)F，作FH'∥BC交AB于H，連接BE并延長(zhǎng)到D，使得BE＝DE，連接AD、CD；在線段BC上取一點(diǎn)G，使得CG＝AF，并連接EG；若點(diǎn)E在線段AC上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)ACD的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，△AED的面積為25，請(qǐng)直接寫出GE+BH′的值．
【例5】（2022·江蘇·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，點(diǎn)Q為BC中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段AD邊上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQD是平行四邊形，請(qǐng)說明理由?
(2)在AD邊上是否存在一點(diǎn)R，使得B、Q、R、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值：若不存在，請(qǐng)說明理由．
(3)在線段PD上有一點(diǎn)M，且PM＝10，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A向右運(yùn)動(dòng)_________秒時(shí)，四邊形BCMP的周長(zhǎng)最小，其最小值為_________．
培優(yōu)訓(xùn)練
一、解答題
1．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底邊BC上的中線，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)．
（1）在AD上找一點(diǎn)E，使得PE+EB的值最?。?br>（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，當(dāng)∠BPE滿足什么條件時(shí)，△ABC是等邊三角形，并說明理由．
2．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=12x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，以AB為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．
（1）求邊AB的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)M，使△MDB的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知Rt△ABC中∠C＝90°，且BC＝9，∠B＝30°．
（1）如圖1、2，若點(diǎn)D是CB上一點(diǎn)，且CD＝3，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，將△DBE沿DE對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′（點(diǎn)B′和點(diǎn)C在直線AB的異側(cè)），DB′與AB交于點(diǎn)H．
①當(dāng)∠B′EA＝20°時(shí)，求∠EDB的度數(shù)．
②當(dāng)△B′HE是等腰三角形時(shí)，求∠DEB的度數(shù)．
（2）如圖2，若點(diǎn)D是CB上一點(diǎn)，且CD＝3，M是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，以∠MDN為直角構(gòu)造等腰直角△DMN（D，M，N三點(diǎn)順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出CN+NB的最小值．
4．（2021·湖北武漢·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)P、Q分別為CE、CD上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：△ADC為等邊三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
5．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE．
（1）若∠ABC=68°，求∠AED的度數(shù)；
（2）若點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，AB=8,BC=6，求△PBC周長(zhǎng)的最小值．
6．（2021·江蘇·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l平行于x軸，l上有兩點(diǎn)A、B，且點(diǎn)A坐標(biāo)為（－14，8），點(diǎn)B位于A點(diǎn)右側(cè)，兩點(diǎn)相距8個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B出發(fā)，沿直線l向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P速度為2個(gè)單位/秒，點(diǎn)Q速度為6個(gè)單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）用含t的代數(shù)式表示P、Q的坐標(biāo)：P（ _________ ），Q（ _________ ）；
（2）在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，取線段PQ的中點(diǎn)D，當(dāng)△OBD為直角三角形時(shí)，求出t的值及相應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）取滿足（2）中條件最右側(cè)的D點(diǎn)，若坐標(biāo)系中存在另一點(diǎn)E（?133，－4），請(qǐng)問x軸上是否存在一點(diǎn)F，使FD－FE的值最大，若存在，求出最大值；若不存在，說明理由．
7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝33x2﹣233x﹣3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E（4，n）在拋物線上．
（1）求直線AE的解析式；
（2）點(diǎn)P為直線CE下方拋物線上的一點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，連接CD，CB，點(diǎn)K是線段CB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是CP上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是CD上的一點(diǎn)，求KM＋MN＋NK的最小值；
（3）點(diǎn)G是線段CE的中點(diǎn)，將拋物線y＝33x2﹣233x﹣3沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)D，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)F．在新拋物線y′的對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
8．（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級(jí)開學(xué)考試）以BC為斜邊在它的同側(cè)作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，BP平分∠ABC，求證：BC＝AB+AP；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作AE⊥BP，分別交BP、BC于點(diǎn)E、點(diǎn)F，連接AD，過A作AG⊥AD，交BD于點(diǎn)G，連接CG，交AF于點(diǎn)H，
①求證：△ABG≌△ADC；
②求證：GH＝CH；
（3）如圖3，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接MQ，將線段MQ繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MK，連接PK、CK，當(dāng)∠DBC＝15°，AP＝2時(shí)，請(qǐng)直接寫出PK+CK的最小值．
9．（2021·廣東·嶺南畫派紀(jì)念中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣12x﹣2分別與x、y軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0）在x軸上．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C′，問在AB的垂直平分線上是否存在一點(diǎn)G，使得△GBC′的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)和最小周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）設(shè)點(diǎn)P是直線BC上異于點(diǎn)B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥x軸交直線AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QM⊥x軸于點(diǎn)M，再過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，得到矩形PQMN，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形PQMN為正方形時(shí)，求該正方形的邊長(zhǎng)．
10．（2021·陜西寶雞·九年級(jí)期中）問題提出
（1）在圖1中作出點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B'
問題探究
（2）如圖2，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，D為AC的中點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，求AP+DP的最小值.
問題解決
（3）如圖3，四邊形ABCD為小區(qū)綠化區(qū)，DA=DC，∠ADC=90°，AB=6+63，BC=12，∠B=30°，AC是以D為圓心，DA為半徑的圓弧.現(xiàn)在規(guī)劃在AC，邊BC和邊AC上分別取一點(diǎn)P，E，F(xiàn)，使得DP+PE+EF+PF為這一區(qū)域小路，求小路長(zhǎng)度的最小值.
11．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△ODC，點(diǎn)D在BO上，連接BC．

（1）如圖①，求線段BC的長(zhǎng)；
（2）如圖②，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長(zhǎng)度；
（3）如圖③，點(diǎn)M是線段OC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段OB上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），求△CMN周長(zhǎng)的最小值．
12．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A0,2、B?2,0、C2,2，點(diǎn)E、F分別是直線AB和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，求△CEF周長(zhǎng)的最小值．
13．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A?1,0、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0,?3．

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，連接BC，點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一點(diǎn)，連接PB，PC，求△BCP面積的最大值；
（3）如圖②，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，連接DE．將拋物線沿x軸向右平移t個(gè)單位，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，連接A′D、B′E，當(dāng)四邊形A′DEB′的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，求t的值．
14．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，連接AE，AF，EF．
（1）如圖①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求證：EF=BE+DF；

（2）如圖②，∠BAD=120°，當(dāng)△AEF周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠AEF+∠AFE的度數(shù)；
（3）如圖③，若四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，請(qǐng)求出線段EF的長(zhǎng)度．
15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接BE．
（1）如圖①，求點(diǎn)D到線段BE的最短距離；

（2）點(diǎn)P，N分別是BE，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PN、PD．
①如圖②，當(dāng)PN+PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求BP的長(zhǎng)度；
②如圖③，點(diǎn)Q在BE上，若BQ=1，連接QN，求QN+NP+PD的最小值．
16．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)P23,?3為圓心的圓與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)C，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，連接DM，MP，是否存在點(diǎn)M使得△DMP的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及△DMP的周長(zhǎng)最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=4，⊙O是△ABC的外接圓，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=2，連接DA，點(diǎn)P是射線DA上的動(dòng)點(diǎn)

（1）求證：DA是⊙O的切線；
（2）DP的長(zhǎng)度為多少時(shí)，∠BPC的度數(shù)最大，最大度數(shù)是多少？請(qǐng)說明理由；
（3）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，PB+PC的值能否達(dá)到最小，若能，求出這個(gè)最小值；若不能，請(qǐng)說明理由．
18．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于F，連接CF．
（1）求證：△AEF≌△DEB；
（2）若∠BAC=90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的情況下，點(diǎn)M在AC線段上移動(dòng)，請(qǐng)直接回答，當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)到什么位置時(shí)，MB+MD有最小值．
19．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）【問題解決】已知點(diǎn)P在∠AOB內(nèi)，過點(diǎn)P分別作關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、P2.
①如圖1，若∠AOB=25°，請(qǐng)直接寫出∠P1OP2=______；
②如圖2，連接P1P2分別交OA、OB于C、D，若∠CPD=98°，求∠AOB的度數(shù)；
③在②的條件下，若∠CPD=α度（90

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