最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型專題18 中點(diǎn)四大模型-【壓軸必刷】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)典問題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費(fèi)馬點(diǎn)問題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實(shí)際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問題，也是經(jīng)典最值問題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題18中點(diǎn)四大模型
解題策略
經(jīng)典例題
【例1】（2022·江蘇·南通市通州區(qū)育才中學(xué)八年級階段練習(xí)）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D，E．
(1)如圖1，求證：AD=CE；
(2)如圖2，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接OD，OE．請判斷△ODE的形狀？并說明理由．
【例2】（2022·重慶市合川中學(xué)九年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠ABC=45°，D為BC上一動點(diǎn)．
(1)如圖1，當(dāng)∠ADC=75°時，若AB=3+3，求AD的長；
(2)如圖2，當(dāng)AC=AD時，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，且AB=2CD，求證：AC=PC；
(3)如圖3，在（2）的條件下，將△BCP繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°，得到△AC′P，連接DC′，直接寫出CC′C′D的值．
【例3】（2022·河南·嵩縣教育局基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室一模）如圖，Rt△ABC的中，∠BAC=90°，AB=4cm，AC=3cm，點(diǎn)G是邊AB上一動點(diǎn)，以AG為直徑的⊙O交CG于點(diǎn)D，E是邊AC的中點(diǎn)，連接DE．
(1)求證：DE與⊙O相切；
(2)填空：
①當(dāng)AG=___________cm時，⊙O與直線BC相切；
②當(dāng)點(diǎn)G在邊AB上移動時，△CDE面積的最大值是___________cm2
【例4】（2021·廣西·南寧二中八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中有一等腰三角形ABC，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上．
(1)如圖1，點(diǎn)C在第一象限，若∠BAC=90°，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(0,4)，B(?2,0)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖2，點(diǎn)C在x正半軸上，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AB上的點(diǎn)，若∠AEF=∠ACB=2∠OAE．求證：BF=CE；
(3)如圖3，點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時點(diǎn)E在第三象限，BE⊥AE，連接OE，求∠BEO的度數(shù)．
培優(yōu)訓(xùn)練
一、解答題
1．（2021·湖北武漢·九年級階段練習(xí)）△ABC中，BC=4，AC=6，∠ACB=m°，將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)n°得到△AEF，E與B是對應(yīng)點(diǎn)，如圖1．
（1）延長BC、EF，交于點(diǎn)K，求證：∠BKE=n°；
（2）當(dāng)m=150，n=60時，求四邊形CEFA的面積；
（3）如圖3．當(dāng)n=150時，取BE的中點(diǎn)P和CF的中點(diǎn)Q，直接寫出PQ2的值．
2．（2022·四川·石室中學(xué)八年級期中）已知：△ABC是等腰直角三角形，動點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上，以PC為直角邊作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解決下列問題：
(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且AC=6+2，PA=2，求PB的長度；
(2)在（1）的條件下，猜想PA、PB、PQ三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
(3)如圖2，若點(diǎn)P在AB的延長線上，求證：PA2+PB2=PQ2．
3．（2022·廣東·惠州市惠陽區(qū)朝暉學(xué)校九年級階段練習(xí)）閱讀理解：如圖，等腰直角 △ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn) A，B 分別在坐標(biāo)軸上．
(1)如圖①，過點(diǎn) C 作 CG⊥y 軸于點(diǎn) G，若點(diǎn) C 的橫坐標(biāo)為 5，求點(diǎn) B 的坐標(biāo)．
(2)如圖②，將△ABC擺放至x軸恰好平分 ∠BAC，BC交x軸于點(diǎn) M，過點(diǎn) C 作 CD⊥x 軸于點(diǎn) D，求 CDAM 的值．
(3)如圖③，若點(diǎn)A坐標(biāo)為 (?4,0)，分別以 OB，AB 為直角邊在第一、第二象限作等腰 Rt△OBF 與等腰 Rt△ABE，連接 EF 交 y 軸于點(diǎn) P．當(dāng) B 點(diǎn)在 y 軸正半軸上移動時，PB的長度是否會發(fā)生改變？若改變，請說明理由，若不改變，請直接寫出PB的長度．
4．（2022·河北·八年級期中）如圖，在△ABC中，已知AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AH是△ABC的高，BC=10cm，射線CM⊥BC，動點(diǎn)D從點(diǎn)C開始沿射線CB的方向以每秒2厘米的速度運(yùn)動，動點(diǎn)E也同時從點(diǎn)C開始在射線CM上以每秒1厘米的速度運(yùn)動，連接AD、AE，設(shè)運(yùn)動時間為tt>0s．
(1)請直接寫出CD、CE的長度（用含有t的式子表示）：CD=______cm，CE=______cm；
(2)當(dāng)點(diǎn)D到點(diǎn)H的距離為2cm時，求t的值；
(3)請直接寫出當(dāng)t=103s時，△ABD與△ACE是否全等？
5．（2022·江蘇徐州·八年級期中）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上，且DE⊥DF，垂足為D．
(1)如圖1，當(dāng)DE⊥AC時，DE、DF的大小關(guān)系是______；
(2)如圖2，將∠EDF繞點(diǎn)D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，（1）中的關(guān)系還成立嗎？請說明理由；
(3)如圖3，連接EF，試探究AE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
6．（2022·湖北·武漢市黃陂區(qū)教學(xué)研究室八年級期中）如圖，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，AD=AE．
(1)如圖1，求證：BD=CE；
(2)如圖2，當(dāng)AD=CD時，過點(diǎn)C作CM⊥AD于點(diǎn)M，如果DM=2，求CD?BD的值．
7．（2022·浙江·杭州市大關(guān)中學(xué)九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°,AB=10，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接DE，過點(diǎn)B作BP平行于DE，交⊙O于點(diǎn)P，連接CP,OP．
(1)求證：點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)；
(2)求AP的長度．
8．（2022·湖北黃石·九年級期中）如圖，△ABC中，AB=AC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，AH，BD相交于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心、OD為半徑的⊙O交BC于點(diǎn)E、F，已知AD=6，BD=8．
(1)求證：AB是⊙O的切線；
(2)求⊙O的半徑；
(3)求弦EF的長．
9．（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中八年級階段練習(xí)）按要求作圖．
(1)如圖（1），在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，AC=BC,AE是△ABC的中線．
①在AD取一點(diǎn)F使得EF∥CD；（僅使用無刻度的直尺畫圖）．
②畫出△ABC的高CH．（僅使用無刻度的直尺畫圖）．
(2)如圖（2），四邊形ABCD是平行四邊形，在線段CD找一點(diǎn)E，使得BE平分∠AEC．（僅使用圓規(guī)畫圖）
10．（2022·湖南長沙·九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O，與AB邊相交于點(diǎn)D，與BC邊相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．
(1)求證：EF是⊙O的切線；
(2)求證：點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)；
(3)若⊙O的直徑為18，BC=12，求AD的長．
11．（2022·廣東·廣州市白云區(qū)白云實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．
(1)如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；
(2)點(diǎn)M是AC邊上一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交射線DE于點(diǎn)G．請畫出完整圖形，探究MD，DG與AD數(shù)量之間的關(guān)系，并說明理由．
12．（2022·福建·上杭縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級期中）數(shù)學(xué)活動課上老師出示如下問題，供同學(xué)們探究討論：如圖，在△DEF中，DE=DF，點(diǎn)B在EF邊上，且∠EBD=60°，C是線段BD上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合，且BC≠BE），在線段BE上截取BA=BC，連接AC ．試探究線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系．
小敏與同桌小聰經(jīng)過深入的思考討論后，進(jìn)行了如下探究：
特殊入手，探索結(jié)論：
(1)①如圖，若點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，即線段CD=0，觀察此時線段AE,BF之間的數(shù)量關(guān)系是AE=BF，即有：AE=BF+CD，請你說明AE=BF的理由；
特例啟發(fā)，猜測結(jié)論：
②若點(diǎn)C不與點(diǎn)D重合，猜測線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系是___________，并給予證明；
完成上面的問題后，老師繼續(xù)提出下列問題，請同學(xué)們探究討論：
深入探究，拓展結(jié)論：
(2)在上面的問題中，若把“點(diǎn)C是線段BD上的一個動點(diǎn)”改為“點(diǎn)C是射線BD上的一個動點(diǎn)，其它條件都不變．”，則當(dāng)點(diǎn)C在線段BD的延長線上時，請你用等式表示線段AE,BF,CD之間的數(shù)量關(guān)系（自行畫圖探究，直接寫出結(jié)果，不需要證明）．
13．（2022·江蘇常州·八年級期中）如圖，△ABC中，AB=AC, AD、CE是高，連接DE．
(1)求證：DE=BD；
(2)若∠BAC=50°，求∠BED的度數(shù)．
14．（2022·廣東·豐順縣第一中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，D為BC上任一點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為E，M，N分別為AD，CE的中點(diǎn)．求證：MN⊥CE．
15．（2021·廣西大學(xué)附屬中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，與AC、BC分別交于點(diǎn)M、N，與AB的另一個交點(diǎn)為E，過點(diǎn)N作NF⊥AB，垂足為F．
(1)求證：NF是⊙O的切線；
(2)若NF=2，DF=1，求⊙O的半徑和弦ED的長．
16．（2022·四川省成都市七中育才學(xué)校八年級期中）如圖，四邊形OABC是一張長方形紙片，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，使得點(diǎn)O與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,4，D的坐標(biāo)為2,4，現(xiàn)將紙片沿過D點(diǎn)的直線折疊，使頂點(diǎn)C落在線段AB上的點(diǎn)F處，折痕與y軸的交點(diǎn)記為E．
(1)求點(diǎn)F的坐標(biāo)和∠FDB的大??；
(2)在x軸正半軸上是否存在點(diǎn)Q，滿足S△QDE=S△CDE，若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請說明理由；
(3)點(diǎn)P在直線DE上，且△PEF為等腰三角形，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
17．（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）八年級期中）如圖1，△ACB和△DCE均為等腰三角形，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，連結(jié)BE．
(1)求證：AD=BE．
(2)如圖2，若∠ACB=60°，求∠AEB的度數(shù)．
(3)若∠CEB=135°，CM為△DCE中DE邊上的高．猜想線段CM,AE,BE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明．
18．（2022·吉林白城·九年級期中）[操作]如圖1．△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，D是其內(nèi)部的一點(diǎn)，連接CD．將CD繞點(diǎn)（順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，作直線AD交BE于點(diǎn)F．
(1)求證：△ADC≌△BEC；
(2)求∠AFE的度數(shù)；
(3)[探究]如圖2，連接圖1中的AE，分別取AB、DE、AE的中點(diǎn)M、N、P，作△MNP．若BE=8，則△MNP的周長為
19．（2022·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校九年級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D在⊙O上，∠A=2∠BCD,DE與⊙O相切交AB的延長線于點(diǎn)E．
(1)求證：∠AED=∠ABC；
(2)點(diǎn)G是弧AB的中點(diǎn)，連接CG，過點(diǎn)B作BH⊥CG于點(diǎn)H，延長BH交AC于點(diǎn)P，求證：AP=2OH；
(3)在（2）的條件下，若BF=2,DF=10，求線段OH的長度．
20．（2022·浙江·杭州市采荷中學(xué)八年級期中）如圖，△ABC中，BA=BC，CO⊥AB于點(diǎn)O，AO=6，BO=9．
(1)求BC，AC的長；
(2)若點(diǎn)D是射線OB上的一個動點(diǎn)，作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接OE．
①當(dāng)點(diǎn)D在線段OB上時，若△AOE是以AO為腰的等腰三角形，請求出所有符合條件的OD的長；
②設(shè)直線DE交直線BC于點(diǎn)F，連接OF，CD，若S△OBF:S△OCF=1:4，則CD的長為______（直接寫出結(jié)果）．

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