最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型專題14 平行線之子彈模型-【壓軸必刷】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費馬點經(jīng)典問題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費馬點問題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問題，也是經(jīng)典最值問題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題14平行線之子彈模型
解題策略
經(jīng)典例題
【例1】（2022春?長沙期中）問題情境
我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補”，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．
已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．
問題初探
（1）如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N，求∠EMC的度數(shù)．
分析：過點C作CH∥GF．則有CH∥DE，從而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數(shù)．
由分析得，請你直接寫出：∠CAF的度數(shù)為 30° ，∠EMC的度數(shù)為 60° ．
類比再探
（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想寫∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（3）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【分析】（1）過點C作CH∥GF，則CH∥DE，這樣就將∠CAF轉(zhuǎn)化為∠HCA，∠EMC轉(zhuǎn)化為∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數(shù)；
（2）過C作CH∥GF，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到內(nèi)錯角相等，進而得出∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）過B作BK∥GF，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到內(nèi)錯角相等，進而得出∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【解答】解：（1）由題可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；
故答案為：30°，60°；
（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：
證明：如圖，
過C作CH∥GF，則∠CAF＝∠ACH，
∵DE∥GF，CH∥GF，
∴CH∥DE，
∴∠EMC＝∠HCM，
∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；
（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：
證明：如圖，
過B作BK∥GF，則∠BAG＝∠KBA，
∵BK∥GF，DE∥GF，
∴BK∥DE，
∴∠BMD＝∠KBM，
∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．
【例2】（2022春?莆田期末）李想是一位善于思考的學(xué)生，在一次數(shù)學(xué)活動課上，他將一塊含有60°的直角三角板擺放在一組平行線上展開探究．已知直線EF∥GH，直角三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，點C為直線EF上一定點．將直角三角板ABC繞點C轉(zhuǎn)動，當(dāng)點A在直線GH上時，點B也恰好在直線GH上．
（1）如圖1，求∠ECB的度數(shù)；
（2）如圖2，若點A在直線EF上方，點B在GH下方，BC與GH交于點Q，作∠ACE的角平分線并反向延長與∠CQH的角平分線交于點O．在直角三角板ABC繞點C轉(zhuǎn)動的過程中，∠O的度數(shù)是否保持不變？若不變，求出∠O的度數(shù)；否則，請說明理由；
（3）如圖3，直角三角板ABC繞點C轉(zhuǎn)動，若點A在直線EF，GH之間（不含EF，GH上），點B在GH下方，AB，BC分別與GH交于點P，Q．設(shè)∠FCB＝n°，是否存在正整數(shù)m和n，使得∠APH＝m∠FCB，若存在，請求出m和n的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，求得∠ECA，然后求得∠ECB．
（2）過點O作EF的平行線，利用平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，得出∠O始終為∠ACB的一半，即45°，從而得出∠O的度數(shù)始終不變．
（3）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和360°及平行線的性質(zhì)得出關(guān)于m和n的關(guān)系式，根據(jù)題意得出m的范圍，在范圍內(nèi)找到m和n都是正整數(shù)的所有可能的情況．
【解答】解：（1）∵EF∥GH，
∴∠ECA＝∠CAB＝60°，
∴∠ECB＝∠ACB+∠ECA＝90°+60°＝150°．
（2）∠O 的度數(shù)保持不變．理由如下：
過點O作OP∥EF，
∵EF∥GH，
∴EF∥OP∥GH，
∴∠COP＝∠FCO，∠POQ＝∠OQH，∠ECQ＝∠CQH，
∵CD 平分∠ACE，OQ平分∠CQH，
∴∠DCE＝∠ACE，
∠OQH＝∠CQH＝∠ECB，
∴∠POQ＝∠ECB，
∵∠DCE＝∠FCO，
∴∠COP＝∠DCE＝∠ACE，
∴∠COQ＝∠COP+∠POQ
＝∠ACE+∠ECB
＝（∠ACE+∠ECB）
＝∠ACB
＝×90°
＝45°．
∴∠O的度數(shù)保持不變，始終是45°．
（3）存在．理由如下：
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠APQ+∠CQP＝360°﹣∠ACB﹣∠A
＝360°﹣90°﹣60°
＝210°，
∵EF∥GH，
∴∠FCB＝∠CQP＝n°，
∴∠APQ+∠CQP＝∠APQ+n°＝210°，
∵∠APH＝m∠FCB，
∴∠APH＝mn°，
∴mn°+n°＝210°，
由此得出，n＝，
∵點A在直線EF，GH之間（不含EF，GH上），點B在GH下方，
∴30°＜n°＜90°，即mn°＜180°，m，n是正整數(shù)，
∴當(dāng)m＝1時，n＝＝105，不符合題意，舍去；
當(dāng)m＝2時，n＝＝70，符合題意；
當(dāng)m＝3時，n＝不是正整數(shù)，舍去；
當(dāng)m＝4時，n＝＝42，符合題意；
當(dāng)m＝5時，n＝35，符合題意；
當(dāng)m＝6時，n＝＝30，不符合題意，舍去．
綜上所得，m＝2，n＝70，或m＝4，n＝42，或m＝5，n＝35．
【例3】（2022春?宜春期末）問題：已知線段AB∥CD，在AB、CD間取一點P（點P不在直線AC上），連接PA、PC，試探索∠APC與∠A、∠C之間的關(guān)系．
（1）端點A、C同向：
如圖1，點P在直線AC右側(cè)時，∠APC﹣（∠A+∠C）＝ 0 度；
如圖2，點P在直線AC左側(cè)時，∠APC+（∠A+∠C）＝ 360 度；
（2）端點A、C反向：
如圖3，點P在直線AC右側(cè)時，∠APC與∠A﹣∠C有怎樣的等量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；
如圖4，點P在直線AC左側(cè)時，∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝ 180 度．
【分析】（1）過點P作PE∥AB，分別利用豬腳模型，鉛筆模型即可解答；
（2）過點P作PE∥CD，利用平行線的性質(zhì)，以及角的和差關(guān)系進行計算即可解答．
【解答】解：（1）如圖：過點P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵∠APC＝∠APE+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C，
∴∠APC﹣（∠A+∠C）＝0度，
故答案為：0；
如圖：過點P作PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°，
∴∠APC+∠A+∠C＝360°，
∴∠APC+（∠A+∠C）＝360度，
故答案為：360；
（2）∠APC+∠A﹣∠C＝180°，
證明：過點P作PE∥CD，
∴∠C＝∠EPC，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°，
∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°，
∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°；
如圖：過點P作PE∥AB，
∴∠A＝∠APE，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠C+∠EPC＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°，
∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°，
∴∠APC﹣（∠A﹣∠C）＝180°，
故答案為：180．
【例4】（2022春?佛山月考）問題情境：
（1）如圖1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．
（提示：如圖2，過P作PE∥AB）問題遷移：
（2）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝α，∠PCB＝β，α、β、∠DPC之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出α、β、∠DPC之間的數(shù)量關(guān)系．（提示：三角形內(nèi)角和為180°）
【分析】（1）過P作作PE∥AB，然后利用平行線的性質(zhì)可以解決問題；
（2）過P作作PE∥AB，然后利用平行線的性質(zhì)可以解決問題；
（3）有兩種情況：當(dāng)P在AB延長線和當(dāng)P在OA延長線，都是通過作平行線利用平行線的性質(zhì)解決問題．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠EPC+∠C＝180°，
∴∠APE＝180°﹣120°＝60°，∠EPC＝180°﹣130°＝50°，
∴∠APC＝∠APE+∠EPC＝60°+50°＝110°；
（2）∠CPD＝∠α+∠β，
理由如下：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（3）①當(dāng)P在OA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；
②當(dāng)P在AB延長線時，∠CPD＝∠α﹣∠β，
①當(dāng)P在OA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；
理由：如圖4，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
②當(dāng)P在AB延長線時，∠CPD＝∠α﹣∠β，
理由：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
培優(yōu)訓(xùn)練
一．選擇題
1．（2022春?交口縣期末）某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”（如圖）可抽象為如右圖所示模型．已知AB垂直于水平地面AE．當(dāng)車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的BC段將繞點B緩慢向上抬高，CD段則一直保持水平狀態(tài)上升（即CD與AE始終平行），在該運動過程中∠ABC+∠BCD的度數(shù)始終等于（）度
A．360B．180C．250D．270
【分析】過點B作BG∥AE，利用平行線的性質(zhì)可得∠BAE+∠ABG＝180°，∠C+∠CBG＝180°，從而可得∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，然后根據(jù)垂直定義可得∠BAE＝90°，最后進行計算即可解答．
【解答】解：過點B作BG∥AE，
∴∠BAE+∠ABG＝180°，
∵AE∥CD，
∴BG∥CD，
∴∠C+∠CBG＝180°，
∴∠BAE+∠ABG+∠CBG+∠C＝360°，
∴∠BAE+∠ABC+∠BCD＝360°，
∵BA⊥AE，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣∠BAE＝270°，
故選：D．
2．（2022春?陸河縣期末）①如圖1，AB∥CD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，AB∥CD，則∠A＝∠P+∠C；③如圖3，AB∥CD，則∠A+∠E＝180°+∠1；④如圖4，AB∥CD∥EF，則∠α+∠r＝180°+∠β以上結(jié)論正確的是（）
A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③
【分析】①過點E作EF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，從而可得∠A+∠AEC+∠C＝360°，即可判斷；
②設(shè)CD與AP交于點G，先利用三角形的外角可得∠DGP＝∠C+∠P，再利用平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠DGP，然后根據(jù)等量代換即可判斷；
③延長AE交CD于點H，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A+∠EHC＝180°，然后利用三角形的外角可得∠EHC＝∠AEC﹣∠1，然后進行計算即可判斷；
④利用平行線的性質(zhì)可得∠COE＝∠γ，從而可得∠BOE＝∠γ﹣∠β，再利用平行線的性質(zhì)可得∠α+∠BOE＝180°，然后進行計算即可解答．
【解答】解：①如圖：過點E作EF∥AB，
∴∠A+∠AEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝360°，
故①不正確；
②如圖：設(shè)CD與AP交于點G，
∵∠DGP是△CPG的一個外角，
∴∠DGP＝∠C+∠P，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠DGP，
∴∠A＝∠C+∠P，
故②正確；
③如圖：延長AE交CD于點H，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠EHC＝180°，
∵∠AEC是△EHC的一個外角，
∴∠EHC＝∠AEC﹣∠1，
∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，
∴∠A+∠AEC＝180°+∠1，
故③正確；
④∵CD∥EF，
∴∠COE＝∠γ，
∵∠BOE＝∠COE﹣∠β，
∴∠BOE＝∠γ﹣∠β，
∵AB∥EF，
∴∠α+∠BOE＝180°，
∴∠α+∠γ﹣∠β＝180°，
∴∠α+∠r＝180°+∠β，
故④正確；
所以，以上結(jié)論正確的是②③④，
故選：C．
3．（2022春?西湖區(qū)校級期中）如圖，AB∥CD，點E為AB上方一點，F(xiàn)B、CG分別為∠EFG、∠ECD的角平分線，若∠E+2∠G＝210°，則∠EFG的度數(shù)為（）
A．140°B．150°C．130°D．160°
【分析】過G作GM∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2＝∠5，∠6＝∠4，進而可得∠FGH＝∠2+∠4，再利用平行線的性質(zhì)進行等量代換可得3∠1＝210°，求出∠1的度數(shù)，然后可得答案．
【解答】解：過G作GM∥AB，
∴∠2＝∠5，
∵AB∥CD，
∴MG∥CD，
∴∠6＝∠4，
∴∠G＝∠5+∠6＝∠2+∠4，
∵FB、CG分別為∠EFG，∠ECD的角平分線，
∴∠1＝∠2＝∠EFG，∠3＝∠4＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ECD＝210°，
∵AB∥CD，
∴∠ENB＝∠ECD，
∴∠E+∠EFG+∠ENB＝210°，
∵∠1＝∠E+∠ENB，
∴∠1+∠EFG＝∠1+∠1+∠2＝210°，
∴3∠1＝210°，
∴∠1＝70°，
∴∠EFG＝2×70°＝140°．
故選：A．
4．（2022春?林州市期末）如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β和γ的關(guān)系是（）
A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°
【分析】此題可以構(gòu)造輔助線，利用三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系．
【解答】解：延長DC交AB與G，延長CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故選：C．
5．（2021春?硚口區(qū)月考）如圖，AB與HN交于點E，點G在直線CD上，GF交AB于點M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（）
A．①②③B．②④C．①②④D．①④
【分析】過點F作FP∥AB，HQ∥AB，設(shè)∠NEB＝x，∠HGC＝y(tǒng)，利用豬腳模型、鋸齒模型表示出∠EHG、∠EFM，即可分析出答案．
【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC
∴AB∥CD
∴①正確；
過點F作FP∥AB，HQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴FP∥AB∥HQ∥CD，
設(shè)∠NEB＝x，∠HGC＝y(tǒng)，則∠FEN＝2x，∠FGH＝2y
∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，
∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，
∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，
∴∠EHG≠2∠EFM
∴②錯誤；
∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，
∴③錯誤；
∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，
∴④正確．
綜上所述，正確答案為①④．
故選：D．
6．（2022春?左權(quán)縣期中）為了落實“雙減”政策，促進學(xué)生健康成長，各學(xué)校積極推行“5+2”模式，立足學(xué)生的認知成長規(guī)律，滿足學(xué)生多樣化的需求，打造特色突出、切實可行的體育鍛煉內(nèi)容．晉中市的某學(xué)校將“抖空竹”引入陽光體育一小時活動，如圖1是一位同學(xué)抖空竹時的一個瞬間，小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，則∠E的度數(shù)是 30° ．
【分析】延長DC交AE于點F，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EFC＝80°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠E的度數(shù)．
【解答】解：延長DC交AE于點F，
∵AB∥CD，
∴∠EFC＝∠A＝80°，
由外角的性質(zhì)得，∠DCE＝∠E+∠EFC，
∴∠E＝110°﹣80°＝30°．
故答案為：30°．
7．（2022春?九江期末）為了提醒司機不要疲勞駕駛，高速公路上安裝了如圖1所示的激光燈，圖2是激光位于初始位置時的平面示意圖，其中P，Q是直線MN上的兩個發(fā)射點，∠APQ＝∠BQP＝60°，現(xiàn)激光PA繞點P以每秒3度的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，同時激光QB繞點Q以每秒2度的速度順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒（0≤t≤40），當(dāng)PA∥QB時，t的值為 12 ．
【分析】根據(jù)當(dāng)PA∥QB時，∠APQ+∠BQP＝180°建立等式即可求解．
【解答】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒后，PA∥QB，
由題意得：60°+3°×t+60°+2°×t＝180°，
5°×t＝60°，
解得：t＝12．
故答案為：12．
8．（2017春?南岸區(qū)期末）如圖，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，則∠4＝ 140° ．
【分析】過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，求出AB∥EM∥FN∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：過E作EM∥AB，過F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，
∵∠1＝30°，∠AEF＝50°，∠EFC＝60°，
∴∠AEM＝30°，
∴∠EFN＝∠MEF＝50°﹣30°＝20°，
∴∠NFC＝60°﹣20°＝40°，
∴∠4＝180°﹣40°＝140°，
故答案為：140°．
9．（2022?南京模擬）如圖，AB∥CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．
（1）∠B+∠E+∠D＝ 360° ；
（2）∠AFC＝ 90° ．
【分析】（1）由兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得：∠CAB+∠ACD＝180°，再由五邊形內(nèi)角和540°，進行計算即可解答；
（2）由角平分線的性質(zhì)，解得，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補解得∠CAB+∠ACD＝180°，最后由三角形內(nèi)角和180°解答．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠B+∠E+∠D＝540°﹣（∠CAB+∠ACD）＝360°，
故答案為：360°；
（2）∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵AF平分∠CAB，CF平分∠ACD，
∴，
∴，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝90°，
故答案為：90°．
10．（2022春?臨沭縣期中）如圖，AB∥CD，將一副直角三角板作如下擺放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列結(jié)論：①GE∥MP；②∠EFN＝150°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正確的是 ①②③④ ．
【分析】①由題意得∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定GE∥MP；
②由題意得∠EFG＝30°，利用鄰補角即可求出∠EFN的度數(shù)；
③過點F作FH⊥AB，可得FH∥CD，從而得到∠HFN＝∠MNP＝45°，可求得∠EFN＝105°，再利用平行線的性質(zhì)即可求出∠BEF；
④利用角的計算可求出∠AEG＝45°，從而可判斷．
【解答】解：①∵∠G＝∠MPN＝∠MPG＝90°，
∴GE∥MP，
故①正確；
②∵∠EFG＝30°，
∴∠EFN＝180°﹣30°＝150°，
故②正確；
③過點F作FH∥AB，如圖，
∵AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠HFN＝∠MNP＝45°，
∴∠EFN＝150°﹣45°＝105°，
∵FH∥AB，
∴∠BEF＝180°﹣105°＝75°；
故③正確；
④∵∠GEF＝60°，∠BEF＝75°，
∴∠AEG＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴∠AEG＝∠PMN＝45°，
故④正確．
故答案為：①②③④．
11．（2022春?大安市期末）如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2．求證：AF∥BC．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠C，求出∠C＝∠2，根據(jù)平行線的判定得出即可．
【解答】證明：∵DE∥AC，
∴∠1＝∠C，
∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠2，
∴AF∥BC．
12．（2022春?隨州期末）已知AB∥CD，點M在射線AB，CD之間．
（1）如圖1，若∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，小聰同學(xué)過點M作MH∥AB，利用平行線的性質(zhì)，求得∠MCD＝ 120 度；
（2）如圖2，請寫出你發(fā)現(xiàn)的∠BAM，∠AMC，∠MCD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，MN平分∠AMC交AB于點N，CE平分∠MCD交AB于點E，MF∥CE交AB于點F，試猜想∠FMN與∠BAM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A+∠AMH＝180°，∠C+∠CMH＝180°，從而可得∠A+∠C+∠AMC＝360°，然后進行計算即可解答；
（2）過點M作MH∥AB，然后利用平行線中的鉛筆模型，即可解答．
（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，再利用平行線的性質(zhì)可得∠FMC180°﹣∠MCD，然后利用（2）的結(jié)論可得∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，最后根據(jù)角的和差關(guān)系，進行計算即可解答．
【解答】解：（1）∵MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠A+∠C+∠AMC＝360°，
∵∠BAM＝150°，∠AMC＝90°，
∴∠MCD＝360°﹣∠BAM﹣∠AMC＝120°，
故答案為：120；
（2）∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
證明：過點M作MH∥AB，
MH∥AB，
∴∠A+∠AMH＝180°，
∵AB∥CD，
∴MH∥CD，
∴∠C+∠CMH＝180°，
∴∠A+∠AMH+∠C+∠CMH＝360°，
∴∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°；
（3）∠FMN＝∠BAM，
理由：∵MN平分∠AMC，CE平分∠MCD，
∴∠NMC＝∠AMC，∠MCE＝∠MCD，
∵MF∥CE，
∴∠FMC＝180°﹣∠MCE＝180°﹣∠MCD，
由（2）得：
∠BAM+∠AMC+∠MCD＝360°，
∴∠AMC+∠MCD＝360°﹣∠A，
∵∠FMN＝∠FMC﹣∠NMC，
∴∠FMN＝180°﹣∠MCD﹣∠AMC
＝180°﹣（∠MCD+∠AMC）
＝180°﹣（360°﹣∠A）
＝180°﹣180°+∠A，
＝∠A，
∴∠FMN＝∠BAM．
13．（2022春?甘井子區(qū)期末）已知直線EF分別與直線AB，CD相交于點G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．
（1）如圖1，求證：AB∥CD；
（2）如圖2，點M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若射線GH恰好是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點N，連接GN，若∠N＝∠AGM，則∠M、∠N、∠FGN的數(shù)量關(guān)系是 ∠M＝∠N+∠FGN （直接寫答案）．
【分析】（1）根據(jù)已知條件和對頂角相等即可證明；
（2）過點M作MR∥AB，可得AB∥CD∥MR．進而可以求解；
（3）令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，可得∠FGN＝2β，進而可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，
又∠AGE+∠CHF＝180°，
∴∠BGF+∠EHD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）證明：過點M作MK∥CD，
則∠KMH＝∠CHM，
又AB∥CD；
∴AB∥MK；
∴∠AGM＝∠GMK，
∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH
∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射線GF是∠BGM的平分線，
∴∠FGM＝∠BGM＝（180°?∠AGM）＝90°?α，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠GMH＝∠N+∠FGN，
∴2α+β＝2α+∠FGN，
∴∠FGN＝2β，
∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，
即：∠M＝∠N+∠FGN．
14．（2022春?賓陽縣期末）如圖，已知點E、F在直線AB上，點G在線段CD上，ED與FG交于點H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求證：AB∥CD；
（2）若∠EHF＝70°，∠D＝50°，求∠AEM的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證CE∥GF，進而利用平行線的性質(zhì)和判定證明；
（2）根據(jù)對頂角相等可求∠DHG，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求∠CGF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠C，∠AEC，再根據(jù)鄰補角的定義可求∠AEM的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF，
∴∠CEF+∠EFG＝180°，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠CEF+∠C＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵∠DHG＝∠EHF＝70°，∠D＝50°，
∴∠CGF＝70°+50°＝120°，
∵CE∥GF，
∴∠C+∠CGF＝180°，
∴∠C＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝60°，
∴∠AEM＝180°﹣∠AEC＝180°﹣60°＝120°．
15．（2022春?江岸區(qū)期中）如圖1，直線GH分別交直線AB、CD于點E、F（點F在點E左側(cè)），動點M、N不在AB、CD、GH上，若∠1＝∠2，EM平分∠AEF，∠HFN＝2∠DFN，連MN．
（1）求證：AB∥CD；
（2）如圖2所示，點M、N停在圖2位置，且∠M＝∠N+70°，求∠AEM度數(shù)；
（3）如圖3，點M在GH左側(cè)，點N在CD下方運動，請直接寫出∠M、∠N、∠AEF三個角之間存在的數(shù)量關(guān)系 ∠M﹣∠N＝∠AEF+60°或∠M+∠N＝∠AEF+60° ．（M、F、N三點不共線）
【分析】（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行，即可證明．
（2）設(shè)MN與GH交于點K，在△FNK和□EMK中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可得∠M+∠MEK＝∠N+∠NFK，令∠AEM＝a，由已知條件及平行線的性質(zhì)，可得∠M+a＝∠N+60°﹣+2a，進而可得a的值．
（3）根據(jù)點M在直線CD上方與下方進行分類討論，再利用角的和差關(guān)系以及三角形的外角即可得出三個角之間的數(shù)量關(guān)系．
【解答】解：（1）證明：∵AB與GH相交，
∴∠1＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠3，
∴AB∥CD．
（2）設(shè)MN與GH交于點K，
在△FNK和△EMK中，
∵∠M+∠MEK+∠MKE＝180°，∠N+∠NFK+∠NKF＝180°，∠MKE＝∠NKF，
∴∠M+∠MEK＝∠N+∠NFK，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEM＝∠MEF，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠DFG，
令∠AEM＝a，則∠DFG＝2a，
∴∠HFD＝180°﹣2a，即∠HFN+∠DFN＝180°﹣2a，
∵∠HFN＝2∠DFN，
∴∠DFN＝60°﹣，
∴∠M+a＝∠N+60°﹣+2a，
∵∠M＝∠N+70°，
∴可得a＝30°，
∴∠AEM＝30°．
（3）①如圖2，∠AEF＝2a，∠M＝a+60°+∠N，
∴∠M﹣∠N＝∠AEF+60°．
②如圖3．
∵∠AEF＝∠EFD＝2a，∠MEF＝∠AEM＝a，∠DFN＝60°﹣，
根據(jù)三角形外角的定義，可得∠EFD+∠DFN＝∠M+∠N+∠MEF，
即2a+60°﹣＝∠M+∠N+a，
∴∠M+∠N＝a+60°，
∴∠M+∠N＝∠AEF+60°．
故答案為：∠M﹣∠N＝∠AEF+60°或∠M+∠N＝∠AEF+60°．
16．（2022春?寧陽縣期末）如圖，AB∥CD，點E為兩直線之間的一點．
（1）如圖1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，則∠AEC＝ 55° ；
（2）如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖4，若設(shè)∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，請直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù)．
【分析】（1）過點E作平行線，利用平行的性質(zhì)求解；
（2）過點E作平行線，利用平行的性質(zhì)求解；
（3）利用（1）（2）中的結(jié)論進行等量代換求解．
【解答】解：
（1）55°
如圖所示，過點E作EF∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，
∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，
故答案為55°．
（2）如圖所示，過點E作EG∥AB，
∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，
∵∠BAF＝
∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，
∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），
∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，
∴∠F+∠E+n∠F＝360°，
∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，
∴∠F＝．
17．（2021秋?香坊區(qū)期末）已知：直線AB、CR被直線UV所截，直線UV交直線AB于點B，交直線CR于點D，∠ABU+∠CDV＝180°．
（1）如圖1，求證：AB∥CD；
（2）如圖2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度數(shù)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點N在直線AB上，分別連接EN、ED，MG∥EN，連接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于點H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度數(shù)．
【分析】（1）利用平行線的判定定理即可證得結(jié)論；
（2）利用平行線的性質(zhì)及角的和差關(guān)系即可得出答案；
（3）設(shè)∠MEN＝α，可得出：∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，∠EBD＝2∠NEG＝4α，∠ABD＝35°+4α，由EB平分∠DEN，可得：∠BED＝∠BEN＝α+40°，∠DEM＝α+80°，再根據(jù)AB∥CD，∠EDC＝∠CDB，可得：∠BDE＝（145°﹣4α），再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理建立方程可求得：α＝10°，進而可得出答案．
【解答】（1）證明：如圖1，∵∠ABU+∠CDV＝180°，∠ABU+∠ABV＝180°，
∴∠ABV＝∠CDV，
∴AB∥CD；
（2）解：如圖2，由（1）知：AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDR，
∵BE∥DF，
∴∠EBD＝∠DBF，
∴∠ABD﹣∠EBD＝∠BDR﹣∠DBF，
∴∠ABE＝∠FDR＝35°，
∴∠MEB＝∠ABE+5°＝40°；
（3）如圖3，設(shè)∠MEN＝α，
∵MG∥EN，
∴∠GME＝∠MEN＝α，
∵∠GME＝∠GEM＝α，
∴∠NEG＝2α，∠BEN＝2α+40°，
∴∠EBD＝2∠NEG＝4α，
∴∠ABD＝∠ABE+∠EBD＝35°+4α，
∵EB平分∠DEN，
∴∠BED＝∠BEN＝α+40°，
∴∠DEM＝α+80°，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（35°+4α）＝145°﹣4α，
∵∠EDC＝∠CDB，
∴∠BDE＝∠CDB＝（145°﹣4α），
∵∠EBD+∠BED+∠BDE＝180°，
∴4α+（α+40°）+（145°﹣4α）＝180°，
解得：α＝10°，
∴∠BDE＝（145°﹣4α）＝（145°﹣4×10°）＝90°，
∠DEM＝α+80°＝10°+80°＝90°，
∵MH⊥UV，
∴∠MHD＝90°，
∴∠EMH＝360°﹣∠MHD﹣∠BDE﹣∠DEM＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠GMH＝∠EMH﹣∠GME＝90°﹣10°＝80°．
18．（2021春?白云區(qū)期末）在四邊形ABCD中，AB∥CD，CF平分∠DCE．
（1）如圖1，點E在四邊形ABCD內(nèi)部，BF平分∠ABE，若∠BEC＝150°，求∠BFC的度數(shù)；
（2）如圖2，點E在四邊形ABCD外部，BF平分∠ABE，∠BEC和∠BFC有怎樣的等量關(guān)系？請證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，點E在四邊形ABCD內(nèi)部，點M在AB的延長線上，∠MBE的平分線交CF反向延長線于點N，∠BEC和∠BNC有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．
【分析】本題需要平行線的性質(zhì)及對頂角相等，還要有多邊形的內(nèi)角和定理．
（1）屬于平行線里的鋸齒模型：∠BFC＝∠ABF+∠DCF．
（2）屬于平行線里的外凸模型：∠ABE+∠DCE+∠BEC＝360°．
（3）利用平行線的性質(zhì)和三角形的外角定理求解．
【解答】解：（1）由平行線的性質(zhì)可知：∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝150°①
①÷2及角平分線的定義得：∠ABF+∠DCF＝75°
∴∠BFC＝∠ABF+∠DCF＝75°．
（2）由平行線的性質(zhì)可知：∠ABE+∠DCE+∠BEC＝360°①
①÷2及角平分線的性質(zhì)得：∠ABF+∠DCF+∠BEC＝180°．
∵∠ABF+∠DCF＝∠BFC．
∴∠BFC+∠BEC＝180°．
（3）延長DC交BN于G，則∠BEC＝180°﹣2∠MBN+2∠FCD①
而∠MBN＝∠BGC＝∠BNC+∠FCD②
由①②及角平分線的定義可得：
2∠BNC+∠BEC＝180°．
19．（2022春?鳳泉區(qū)校級期末）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．
（1）當(dāng)∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG時：
①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數(shù)為 45° ；
②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，F(xiàn)D平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數(shù)；
（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當(dāng)∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）①②根據(jù)平行線的性質(zhì)，以及角平分線的定義即可求解；
（2）過點O作OT∥AB，則OT∥CD，設(shè)∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根據(jù)平行線的性質(zhì)求得α+β＝80°，進而根據(jù)3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．
【解答】解：（1）①如圖，分別過點G，P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN，
∵AB∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∵EP平分∠BEG，F(xiàn)P平分∠DFG；
∴∠BEP＝BEG，∠PFD＝GFD，
∴∠EPF＝（∠BEG+∠GFD）＝EGF＝45°，
故答案為：45°；
②如圖，過點Q作QR∥CD，
∵∠BEG＝40°，
∵EG恰好平分∠BEQ，F(xiàn)D恰好平分∠GFQ，
∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
設(shè)∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
∵CD∥QR，
∴∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQR＝180°，
∴α+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；
（2）3∠OEA﹣∠OFC＝160°．
∵在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC，線段GE的延長線平分∠OEA，設(shè)H為線段GE的延長線上一點，
∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
設(shè)∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如圖，過點O作OT∥AB，則OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，
∴∠EOF＝β﹣2α，
∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
∵∠EOF+∠EGF＝100°，
∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，
∴α+β＝80°，
∵∠óFC＝β﹣2a，∠OEA＝β，
∴3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2α）＝2β+2α＝160°，
即3∠OEA﹣∠OFC＝160°．
20．（2022?南京模擬）已知AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點E、F，點G為落在直線AB和直線CD之間的一個動點．
（1）如圖1，點G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點，則∠EGF＝ 90° ；
（2）若點G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點，有如下結(jié)論：①∠EGF一定為鈍角；②∠EGF可能為60°；③若∠EGF為直角，則EF⊥CD．其中正確結(jié)論的序號為 ②③ ．
（3）進一步探索，若EF⊥CD，且點G不在線段EF上，記∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2）．直線EM、FN交于點Pn，是否存在某一正整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°？說明理由．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，以及三角形內(nèi)角和定理來完成．
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，以及三角形內(nèi)角和定理，另外角的等分來判斷．
（3）按題意添加輔助線，畫出相應(yīng)的EM、FN、點Pn，再根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，以及三角形內(nèi)角和定理、角的n等分，通過分類別討論推測出n是否存在，存在的值．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∵點G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°＝90°，
∴∠EGF＝180°﹣90°＝90°．
故答案為：90°．
（2）若點G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點，
∴∠FEG+∠EFG＝×180°或者∠FEG+∠EFG＝×180°，
∠FEG+∠EFG＝60°或∠FEG+∠EFG＝120°，
∴∠EGF＝180°﹣60°＝120°或∠EGF＝180°﹣120°＝60°，
∴①錯誤，②正確，
當(dāng)∠EGF為直角，只有∠BEF+∠DFE＝90°或∠BEF+∠DFE＝90°，
不妨假設(shè)∠BEF+∠DFE＝90°，
∴∠BEF+∠DFE＝90°，
∴（∠BEF﹣∠DFE）+（∠DFE﹣∠BEF）＝0，
∴∠BEF＝∠DFE，
∵∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠BEF＝∠DFE＝90°，
∴EF⊥CD，故③正確．
故答案為：②③．
（3）不存在某一整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°，理由如下：
∵EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2），
∴∠AEM＝α，∠CFM＝β．
①當(dāng)點G在EF的左側(cè)，此時α＜90°，β＜90°，Pn必在EF的左側(cè)，如圖2所示，過點Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ+∠FPnQ＝∠AEM+∠CFN＝α+β＜×90°+×90°＜90°，
②當(dāng)點G在右側(cè)，此時α＞90°，β＞90°．
若α＜90°，則Pn在EF的左側(cè)，如圖3中，
同理可得∠EPnF＝α+β＞90°．
若α＝90°，則Pn與F重合，不存在∠EPnF，舍棄．
若α＞90°，則Pn在EF的右側(cè)，如圖4中，
過點Pn作PnQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PnQ∥CD，
∴∠EPnF＝∠EPnQ﹣∠FPnQ＝∠BEM+∠CFN＝（180°﹣α）﹣β，
∵α＞90°，β＞0，
∴（180°﹣α）﹣β＜90°，
即∠EPnF＜90°，
綜上所述，不存在某一整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°．
21．（2022春?坪山區(qū)校級期中）【問題情境】：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度數(shù)．
小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線的性質(zhì)來求∠APC的度數(shù)．
（1）按小明的思路，求∠APC的度數(shù)；
（2）【問題遷移】如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
（3）【問題應(yīng)用】在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側(cè)運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關(guān)系．
【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，分別同得∠APE，∠CPE的度數(shù)，相加即可；
（2）利用平行線的性質(zhì)，和（1）輔導(dǎo)線的作法，推理即可；
（3）利用平行線的性質(zhì)，分情況直接寫出數(shù)量關(guān)系即可．
【解答】解：（1）過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+∠CPE＝180°，
∴∠BAP+∠APE+∠DCP+∠CPE＝360°，
即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°，
∵∠BAP＝130°，∠DCP＝120°，
∴∠APC＝360°﹣130°﹣120°＝110°；
故答案為：110°．
（2）如圖，過P點作PE∥CD∥AB，
∴∠CPE＝∠PCD，∠EPA＝∠PAB，
∴∠APC＝∠CPE+∠EPA＝∠PCD+∠PAB，
∵∠PAB＝α，∠PCD＝β
∴∠APC＝α+β
故答案為：∠APC＝α+β．
（3）如圖所示，①過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠PCD＝∠EPC，∠EPA＝∠PAB，
∴∠PCD＝∠EPC＝∠APC+∠EPA＝∠APC+∠PAB，
∵∠PAB＝α，∠PCD＝β，
∴∠APC＝β﹣α．
②如圖所示，過點P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB＝∠EPA，∠EPC＝∠PCD，
∴∠APC＝∠EPA﹣∠EPC＝∠PAB﹣∠PCD，
又∵∠PAB＝α，∠PCD＝β，
∴∠APC＝α﹣β
故答案為：①∠APC＝β﹣α，②∠APC＝α﹣β．

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多