最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型專題15 三角形之“8”字模型-【壓軸必刷】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)典問題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費(fèi)馬點(diǎn)問題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實(shí)際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問題，也是經(jīng)典最值問題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題15三角形之“8”字模型
解題策略
模型1：角的8字模型
如圖所示，AC、BD相交于點(diǎn)O，連接AD、BC．結(jié)論：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
模型2 邊的“8”字模型
如圖所示，AC、BD相交于點(diǎn)O，連接AD、BC．結(jié)論AC+BD>AD+BC．

模型分析
∵OA+OD>AD①， OB+OC>BC②，由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD
即：AC+BD>AD+BC.
經(jīng)典例題
【例1】（2021?西湖區(qū)校級(jí)三模）如圖，D，E為△GCF中GF邊上兩點(diǎn)，過D作AB∥CF交CE的延長線于點(diǎn)A，AE＝CE．
（1）求證：△ADE≌△CFE；
（2）若GB＝4，BC＝6，BD＝2，求CF的長．
【例2】（2021秋?阜陽月考）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，BD與AC交于點(diǎn)F．
（1）求證：BD＝CE．
（2）若∠BAC＝48°，求∠COD的度數(shù)．
（3）若G為CE上一點(diǎn)，GE＝OD，AG＝OC，且AG∥BD，求證：BD⊥AC．
【例3】（2020秋?青島期末）閱讀材料，回答下列問題：
【材料提出】
“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．
【探索研究】
探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為；
探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數(shù)為；
探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為．
【模型應(yīng)用】
應(yīng)用一：如圖4，延長BM、CN，交于點(diǎn)A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠A＝（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）
應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P＝．（用含有α和β的代數(shù)式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如圖6，若設(shè)∠C＝x，∠B＝y(tǒng)，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為．（用x、y表示∠P）
拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫出結(jié)論．
【例4】（2021春?邗江區(qū)月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．
（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D．
利用以上結(jié)論解決下列問題：
（2）如圖2所示，∠1＝130°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．
（3）如圖3，若∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P，且與CD，AB分別相交于點(diǎn)M，N．
①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度數(shù)．
②若角平分線中角的關(guān)系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，試直接寫出∠P與∠B，∠C之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明理由．
培優(yōu)訓(xùn)練
一．選擇題
1．（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）
A．30°B．35°C．40°D．45°
2．（2022?包頭）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)均在格點(diǎn)上，AC與BD相交于點(diǎn)E，連接AB，CD，則△ABE與△CDE的周長比為（）
A．1：4B．4：1C．1：2D．2：1
3．（2021秋?市中區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，點(diǎn)D、E分別在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于點(diǎn)F，則△DEF面積的最大值是（）
A．1B．2C．D．
4．（2021春?自流井區(qū)校級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC上，且BE：EC＝1：2，AE交BD于點(diǎn)F，若AC＝4，菱形ABCD的面積為12，則AF的長為（）
A．1.4B．1.5C．2.4D．2.5
5．（2022?寶山區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，那么S△ABF：S四邊形CDFE的比值為．
6．（2022?沈陽模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，點(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且∠A＝2∠BDC，BD交AC所在的直線于點(diǎn)E，當(dāng)BE?DE＝20時(shí)，CE＝．
7．（2021秋?泉州期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，且DE＝2CE，BE⊥AC于F，連結(jié)DF，有下列四個(gè)結(jié)論：①△CEF∽△ACB；②AF＝2CF；③DF＝AF；④tan∠ACD＝．其中正確的結(jié)論有（填寫序號(hào)即可）．
8．（2021?延邊州模擬）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EF⊥AE交AD的延長線于點(diǎn)F，若AB＝4，則DF的長為．
9．（2021秋?福州期末）如圖，AB∥CD，AD與BC相交于點(diǎn)E，若AE＝3，ED＝5，則的值為．
10．（2019春?崇川區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)O，若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，∠A＝45°，∠BEC＝40°，則∠D的度數(shù)為．
11．（2022春?新野縣期末）在學(xué)習(xí)并掌握了平行線的性質(zhì)和判定內(nèi)容后，數(shù)學(xué)老師安排了自主探究內(nèi)容一利用平行線有關(guān)知識(shí)探究并證明：三角形的內(nèi)角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現(xiàn)：可以將三角形的三個(gè)內(nèi)角之和轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角來解決，也就是可以過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線來證明．請(qǐng)將下面（1）中的證明補(bǔ)充完整：
（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點(diǎn)A作EF∥BC．
（2）如圖2，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請(qǐng)利用小穎探究的結(jié)論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；
（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請(qǐng)判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
12．（2022春?靖江市校級(jí)月考）已知，如圖，線段AD、CB相交于點(diǎn)O，連結(jié)AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P．試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)說明理由．
13．（2022春?江陰市校級(jí)月考）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；
（2）如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請(qǐng)直接利用（1）中的結(jié)論，完成下列各題：
①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；
②若∠D＝40°，∠B＝50°，試求∠P的度數(shù)；
③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)寫出推理過程；若不存在，請(qǐng)說明理由；
④若∠D和∠B為任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，試問∠P與∠D、∠B之間是否存在一定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．
14．（2021秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠CBA＝90°．以斜邊AC為腰作等腰△CAD，使AC＝AD，點(diǎn)E為CD邊中點(diǎn)，連接AE．
（1）如圖1，當(dāng)A、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，若AE與BC相交于點(diǎn)F，求證：BF＝BD．
（2）如圖2，射線BM是∠ABC的外角∠CBG的角平分線，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在射線BM上時(shí)，請(qǐng)求出∠CAE的度數(shù)．
（3）如圖3，連接BD，以BD為斜邊作Rt△BQD，連接EQ，若AC＝8，請(qǐng)直接寫出線段EQ的最大值．
15．（2021秋?大興區(qū)期末）在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD并延長至點(diǎn)E，使ED＝BD．過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A和點(diǎn)C重合）時(shí)，此時(shí)DF與DC的數(shù)量關(guān)系是．
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC的延長線上時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形，并證明：2AD＝AF+EF．
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段CA的延長線上時(shí)，直接用等式表示線段AD，AF，EF之間的數(shù)量關(guān)系是．
16．（2021秋?營口期末）若△ABC，△ADE為等腰三角形，AC＝BC，AD＝DE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接BE，F(xiàn)為BE中點(diǎn)，連接CF，DF．
（1）若∠ACB＝∠ADE＝90°，如圖1，試探究DF與CF的關(guān)系并證明；
（2）若∠ACB＝60°，∠ADE＝120°，如圖2，請(qǐng)直接寫出CF與DF的關(guān)系．
17．（2021秋?正陽縣期末）圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：；
（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)；
（3）圖2中，當(dāng)∠D＝50度，∠B＝40度時(shí)，求∠P的度數(shù)．
（4）圖2中∠D和∠B為任意角時(shí)，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．
18．（2022春?茌平區(qū)期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB、AC上，AD＝AE，連結(jié)BE，P，Q，M分別為DE，BC，BE的中點(diǎn)．
（1）線段PM與QM有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由．
（2）如圖2，把圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)D、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，DE與AB交于點(diǎn)O，連結(jié)PQ，BD，CE，判斷△MPQ的形狀，并說明理由；
（3）已知AB＝7，AD＝3，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周的過程中，請(qǐng)直接寫出△MPQ面積的最大值．
19．（2022春?石家莊期中）如圖1至圖2，在△ABC中，∠BAC＝α°，點(diǎn)D在邊AC所在直線上，作DE垂直于直線BC，垂足為點(diǎn)E；BM為△ABC的角平分線，∠ADE的平分線交直線BC于點(diǎn)G．
特例感悟：
（1）如圖1，延長AB交DG于點(diǎn)F，若BM∥DG，∠F＝30°．
解決問題：
①∠ABC＝ °；
②求證：AC⊥AB；
深入探究；
（2）如圖2，當(dāng)α＜90，DG與BM反向延長線交于點(diǎn)H，用含α的代數(shù)式表示∠BHD＝；
拓展延伸：
（3）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上移動(dòng)時(shí)，若射線DG與射線BM相交，設(shè)交點(diǎn)為N，直接寫出∠BND與α的關(guān)系式．
20．（2021?新泰市模擬）（1）（教材呈現(xiàn)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，結(jié)論：DE∥BC．DE＝BC．
（2）（結(jié)論應(yīng)用）如圖1，四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分別是AB、DC、AC的中點(diǎn)，若∠ACB＝80°，∠DAC＝20°，求∠EFG的度數(shù)．
（3）如圖2，在△ABC外分別作正方形ACEF和BCGH．D是AB的中點(diǎn)，M，N分別是正方形的中心，AC＝3，BC＝2，則△DMN的面積最大值為多少？

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