最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型專題12 費馬點問題-【壓軸必刷】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費馬點經(jīng)典問題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費馬點問題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問題，也是經(jīng)典最值問題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題12費馬點問題-
解題策略
費馬（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法國南部圖盧茲（Tuluse）附近的波蒙?德?羅曼，被譽為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王．1643年，費馬曾提出了一個著名的幾何問題：給定不在一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置．另一位數(shù)學(xué)家托里拆利成功地解決了這個問題：如圖1，△ABC（三個內(nèi)角均小于120°）的三條邊的張角都等于120°，即滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的點P，就是到點A，B，C的距離之和最小的點，后來人們把這個點P稱為“費馬點”．
下面是“費馬點”的證明過程：如圖2，將△APB繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，則△A′AB為等邊三角形，∴P′B＝PB＝PP′，于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，
∴當(dāng)A'，P'，P，C四點在同一直線上時PA+PB+PC有最小值為A'C的長度，
∵P′B＝PB，∠P'BP＝60°，
∴△P'BP為等邊三角形，
則當(dāng)A'，P'，P，C四點在同一直線上時，
∠BPC＝180°﹣∠P'PB＝180°﹣60°＝120°，
∠APB＝∠A'PB＝180°﹣∠BP'P＝180°﹣60°＝120°，
∠APC＝360°﹣∠BPC﹣∠APC＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴滿足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的點P，就是到點A，B，C的距離之和最小的點；
經(jīng)典例題
【例1】如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．
（1）如點P為銳角△ABC的費馬點．且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，求PB的長．
（2）如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′＝PA+PB+PC．
（3）已知銳角△ABC，∠ACB＝60°，分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD，BCE，ACF，請找出△ABC的費馬點，并探究S△ABC與S△ABD的和，S△BCE與S△ACF的和是否相等．
【例2】探究問題：
（1）閱讀理解：
①如圖（A），在已知△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離；
②如圖（B），若四邊形ABCD的四個頂點在同一圓上，則有AB?CD+BC?DA＝AC?BD．此為托勒密定理；
（2）知識遷移：
①請你利用托勒密定理，解決如下問題：
如圖（C），已知點P為等邊△ABC外接圓的上任意一點．求證：PB+PC＝PA；
②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
第一步：如圖（D），在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在上任取一點P′，連接P′A、P′B、P′C、P′D．易知P′A+P′B+P′C＝P′A+（P′B+P′C）＝P′A+ ；
第三步：請你根據(jù)（1）①中定義，在圖（D）中找出△ABC的費馬點P，并請指出線段的長度即為△ABC的費馬距離．
（3）知識應(yīng)用：
2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水．
已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．
【例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點B的坐標(biāo)為（0，2），點D在x軸的正半軸上，∠ODB＝30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線與x軸相交于A、F兩點（A在F的左側(cè)）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；
（3）點P為△ABO內(nèi)的一個動點，設(shè)m＝PA+PB+PO，請直接寫出m的最小值，以及m取得最小值時，線段AP的長．
培優(yōu)訓(xùn)練
1．已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB＝AC＝，BC＝2，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC＝．
2．在△ABC中，若其內(nèi)部的點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則稱P為△ABC的費馬點．如圖所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，設(shè)P為△ABC的費馬點，且滿足∠PBA＝45°，PA＝4，則△PAC的面積為．
3．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，點M，N分別為AB、BC上的動點，且始終保持BM＝CN．連接MN，以MN為斜邊在矩形內(nèi)作等腰Rt△MNQ，若在正方形內(nèi)還存在一點P，則點P到點A、點D、點Q的距離之和的最小值為．
4．如果點P是△ABC內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫△ABC的費馬點．已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，P就是△ABC的費馬點．若點P是腰長為的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF＝．
5．法國數(shù)學(xué)家費馬提出：在△ABC內(nèi)存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最?。藗兎Q這個點為費馬點，此時PA+PB+PC的值為費馬距離．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費馬點P滿足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA＝3，PC＝4，∠ABC＝60°，則費馬距離為．
6．定義：在一個等腰三角形底邊的高線上所有點中，到三角形三個頂點距離之和最小的點叫做這個等腰三角形的“近點”，“近點”到三個頂點距離之和叫做這個等腰三角形的“最近值”．
【基礎(chǔ)鞏固】
（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD為BC邊上的高，已知AD上一點E滿足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝；
【嘗試應(yīng)用】
（2）如圖2，等邊三角形ABC邊長為，E為高線AD上的點，將三角形AEC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到三角形AFG，連接EF，請你在此基礎(chǔ)上繼續(xù)探究求出等邊三角形ABC的“最近值”；
【拓展提高】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，過AB的中點E作AB垂線交CD的延長線于點F，連接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．
7．如圖①，P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．
（1）如果點P為銳角三角形ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．
①求證：△ABP∽△BCP；
②若PA＝3，PC＝4，求PB的長．
（2）已知銳角三角形ABC，分別以AB、AC為邊向外作正三角形ABE和正三角形ACD，CE和BD相交于P點，連結(jié)AP，如圖②．
①求∠CPD的度數(shù)；
②求證：P點為△ABC的費馬點．
8．如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF＝BD，∠EDF＝60°．
（1）證明：EF＝DF；
（2）如圖2，點M是ED上一點，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG＝EC+EM，CM＝GM，∠GMC＝∠GEC，證明：CG＝CM．
（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)點M與點D重合時，若CD⊥AD，GD＝4，請問在△ACD內(nèi)部是否存在點P使得P到△ACD三個頂點距離之和最小，若存在請直接寫出距離之和的最小值；若不存在，試說明理由．
9．【問題情境】
如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，BC＝5，則△ABC的外接圓的半徑值為．
【問題解決】
如圖2，點P為正方形ABCD內(nèi)一點，且∠BPC＝90°，若AB＝4，求AP的最小值．
【問題解決】
如圖3，正方形ABCD是一個邊長為3cm的隔離區(qū)域設(shè)計圖，CE為大門，點E在邊BC上，CE＝cm，點P是正方形ABCD內(nèi)設(shè)立的一個活動崗哨，到B、E的張角為120°，即∠BPE＝120°，點A、D為另兩個固定崗哨．現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設(shè)置一個補水供給點Q，使得Q到A、D、P三個崗哨的距離和最小，試求QA+QD+QP的最小值．（保留根號或結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)≈1.7，10.52＝110.25）．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣8的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，直線y＝kx+（k≠0）經(jīng)過點A，與拋物線交于另一點R，已知OC＝2OA，OB＝3OA．
（1）求拋物線與直線的解析式；
（2）如圖1，若點P是x軸下方拋物線上一點，過點P做PH⊥AR于點H，過點P做PQ∥x軸交拋物線于點Q，過點P做PH′⊥x軸于點H′，K為直線PH′上一點，且PK＝2PQ，點I為第四象限內(nèi)一點，且在直線PQ上方，連接IP、IQ、IK，記l＝PQ，m＝IP+IQ+IK，當(dāng)l取得最大值時，求出點P的坐標(biāo)，并求出此時m的最小值．
（3）如圖2，將點A沿直線AR方向平移13個長度單位到點M，過點M做MN⊥x軸，交拋物線于點N，動點D為x軸上一點，連接MD、DN，再將△MDN沿直線MD翻折為△MDN′（點M、N、D、N′在同一平面內(nèi)），連接AN、AN′、NN′，當(dāng)△ANN′為等腰三角形時，請直接寫出點D的坐標(biāo)．
11．（1）知識儲備
①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的BC上任意一點．求證：PB+PC＝PA．
②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．
（2）知識遷移
①我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)（1）的結(jié)論，易知線段的長度即為△ABC的費馬距離．
②在圖3中，用不同于圖2的方法作出△ABC的費馬點P（要求尺規(guī)作圖）．
（3）知識應(yīng)用
①判斷題（正確的打√，錯誤的打×）：
?。我馊切蔚馁M馬點有且只有一個；
ⅱ．任意三角形的費馬點一定在三角形的內(nèi)部．
②已知正方形ABCD，P是正方形內(nèi)部一點，且PA+PB+PC的最小值為，求正方形ABCD的
邊長．
12．皮埃爾?德?費馬，17世紀法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”．1638年勒?笛卡兒邀請費馬思考關(guān)于三個頂點距離為定值的函數(shù)問題，費馬經(jīng)過思考并由此提出費馬點的相關(guān)結(jié)論．
定義：若一個三角形的最大內(nèi)角小于120°，則在其內(nèi)部有一點，可使該點所對三角形三邊的張角均為120°，此時該點叫做這個三角形的費馬點．例如，如圖1，點P是△ABC的費馬點．
請結(jié)合閱讀材料，解決下列問題：
已知：如圖2，銳角△DEF．
（1）尺規(guī)作圖，并標(biāo)明字母．
①在△DEF外，以DF為一邊作等邊△DFG．
②作△DFG的外接圓⊙O．
③連接EG交⊙O于點M．
（2）求證：（1）中的點M是△DEF的費馬點．
13．背景資料：
在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最?。?br>這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．
如圖①，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，此時∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此時，PA+PB+PC的值最?。?br>解決問題：
（1）如圖②，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．
為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，PB，PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出∠APB＝；
基本運用：
（2）請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：
如圖③，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F(xiàn)為BC上的點，且∠EAF＝45°，判斷BE，EF，F(xiàn)C之間的數(shù)量關(guān)系并證明；
能力提升：
（3）如圖④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點P為Rt△ABC的費馬點，連接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值．
14．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．
（1）如果點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．
①求證：△ABP∽△BCP；
②若PA＝3，PC＝4，則PB＝．
（2）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點．如圖（2）
①求∠CPD的度數(shù)；
②求證：P點為△ABC的費馬點．
15．如圖①，點M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點M為△ABC的費馬點．若點M為△ABC的費馬點，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；
（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費馬點的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點為M，則點M即為△ABC的費馬點．試說明這種作法的依據(jù)．
16．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．
（1）若點P是等邊三角形三條中線的交點，點P （填是或不是）該三角形的費馬點．
（2）如果點P為銳角△ABC的費馬點，且∠ABC＝60°．求證：△ABP∽△BCP；
（3）已知銳角△ABC，分別以AB、AC為邊向外作正△ABE和正△ACD，CE和BD相交于P點．如圖（2）
①求∠CPD的度數(shù)；
②求證：P點為△ABC的費馬點．
17．如圖（1），P為△ABC所在平面上一點，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P叫做△ABC的費馬點．
如圖（2），在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′連接BB′．
求證：BB′過△ABC的費馬點P，且BB′＝PA+PB+PC．
18．已知拋物線y＝﹣x2+bx+4的對稱軸為x＝1，與y交于點A，與x軸負半軸交于點C，作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到平行四邊形A′B′O′C′．
（1）求拋物線的解析式和點A、C的坐標(biāo)；
（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形A′B′O′C′重疊部分△OC′D的周長；
（3）若點P為△AOC內(nèi)一點，直接寫出PA+PC+PO的最小值（結(jié)果可以不化簡）以及直線CP的解析式．
19．（1）閱讀證明
①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．
②如圖2，已知點P為等邊△ABC外接圓的上任意一點．求證：PB+PC＝PA．
（2）知識遷移
根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在上取一點P0，連接P0A，P0B，P0C，P0D．易知P0A+P0B+P0C＝P0A+（P0B+P0C）＝P0A+ ；
第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費馬點P，線段的長度即為△ABC的費馬距離．
（3）知識應(yīng)用
已知三村莊A，B，C構(gòu)成了如圖4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點P打水井，使水井P到三村莊A，B，C所鋪設(shè)的輸水管總長度最小．求輸水管總長度的最小值．
20．如圖1，P是銳角△ABC所在平面上一點．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，則點P就叫做△ABC費馬點．
（1）當(dāng)△ABC是邊長為4的等邊三角形時，費馬點P到BC邊的距離為．
（2）若點P是△ABC的費馬點，∠ABC＝60°，PA＝2，PC＝3，則PB的值為．
（3）如圖2，在銳角△ABC外側(cè)作等邊△ACB′，連接BB′．求證：BB′過△ABC的費馬點P．
21．?dāng)?shù)學(xué)上稱“費馬點”是位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最短的點．現(xiàn)定義：菱形對角線上一點到該對角線同側(cè)兩條邊上的兩點距離最小的點稱為類費馬點．例如：菱形ABCD，P是對角線BD上一點，E、F是邊BC和CD上的兩點，若點P滿足PE與PF之和最小，則稱點P為類費馬點．
（1）如圖1，在菱形ABCD中，AB＝4，點P是BD上的類費馬點
①E為BC的中點，F(xiàn)為CD的中點，則PE+PF＝．
②E為BC上一動點，F(xiàn)為CD上一動點，且∠ABC＝60°，則PE+PF＝．
（2）如圖2，在菱形ABCD中，AB＝4，連接AC，點P是△ABC的費馬點，（即PA，PB，PC之和最?。佼?dāng)∠ABC＝60°時，BP＝．
②當(dāng)∠ABC＝30°時，你能找到△ABC的費馬點P嗎？畫圖做簡要說明，并求此時PA+PB+PC的值．

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