最新中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型專題11 四點(diǎn)共圓模型-【壓軸必刷】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

今天整理了初三中考總復(fù)習(xí)階段在教學(xué)過程中收集的經(jīng)典題目，一共有31講，包括原卷版和解析版，供大家學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)參考。
經(jīng)典題目1：這是一道非常經(jīng)典的最值問題，最值模型將軍飲馬和一箭穿心。
經(jīng)典題目2：上面三道題是費(fèi)馬點(diǎn)經(jīng)典問題，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化是費(fèi)馬點(diǎn)問題的關(guān)鍵。
經(jīng)典題目3：阿氏圓經(jīng)典題目，這道題目實(shí)際包括了隱圓模型，一箭穿心模型等常見幾何模型。
經(jīng)典題目4：這是中考出現(xiàn)頻率比較高的胡不歸問題，也是經(jīng)典最值問題。
【壓軸必刷】2023年中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案
專題11四點(diǎn)共圓模型
解題策略
模型1：定點(diǎn)定長共圓模型
若四個(gè)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等，則這四個(gè)點(diǎn)共圓．如圖，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓上．
模型2：對角互補(bǔ)共圓模型
2．若一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ)，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．
如圖，在四邊形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°（或∠B＋∠D＝180°）則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．

拓展：若一個(gè)四邊形的外角等于它的內(nèi)對角，則這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．
如圖，在四邊形ABCD中，∠CDE為外角，若∠B＝∠CDE，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
模型3：定弦定角共圓模型
若兩個(gè)點(diǎn)在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個(gè)點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)共圓
如圖，點(diǎn)A，D在線段BC的同側(cè)，若∠A＝∠D，則A，B，C，D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
經(jīng)典例題
【例1】．（2021·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在邊長為12cm的正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，沿邊DC以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿邊CB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E達(dá)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接AE、DF交于點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)E． F運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．回答下列問題：
(1)如圖1，當(dāng)t為多少時(shí)，EF的長等于45cm?
(2)如圖2，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中，
①求證：點(diǎn)A、B、F、P在同一個(gè)圓(⊙O)上；
②是否存在這樣的t值，使得問題①中的⊙O與正方形ABCD的一邊相切?若存在，求出t值；若不存在，請說明理由；
③請直接寫出問題①中，圓心O的運(yùn)動(dòng)的路徑長為_________．
【例2】（2022·吉林白山·八年級(jí)期末）（1）如圖①，△OAB、△OCD的頂點(diǎn)O重合，且∠A+∠B+∠C+∠D=180°，則∠AOB+∠COD=______°；（直接寫出結(jié)果）
（2）連接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分別是四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線.
①如圖②，如果∠AOB=110°，那么∠COD的度數(shù)為_______；（直接寫出結(jié)果）
②如圖③，若∠AOD=∠BOC，AB與CD平行嗎？為什么？
【例3】（2020·四川眉山·一模）問題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，作AD⊥BC于點(diǎn)D，則D為BC的中點(diǎn)，∠BAD=12∠BAC=60°，于是BCAB=2BDAB=3；
遷移應(yīng)用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD．
①求證：△ADB≌△AEC；
②請直接寫出線段AD,BD,CD之間的等量關(guān)系式；
拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點(diǎn)C關(guān)于BM的對稱點(diǎn)E，連接AE并延長交BM于點(diǎn)F，連接CE，CF．
①證明△CEF是等邊三角形；
②若AE=5,CE=2，求BF的長．
【例4】（2022·全國·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：有一個(gè)角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形，其中這個(gè)角叫做美角．已知四邊形ABCD是圓美四邊形．

（1）求美角∠A的度數(shù)；
（2）如圖1，若⊙O的半徑為5，求BD的長；
（3）如圖2，若CA平分∠BCD，求證：BC+CD=AC．
培優(yōu)訓(xùn)練
一、解答題
1．（2022·遼寧葫蘆島·一模）射線AB與直線CD交于點(diǎn)E，∠AED＝60°，點(diǎn)F在直線CD上運(yùn)動(dòng)，連接AF，線段AF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AG，連接FG，EG，過點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．
(1)如圖1，點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)時(shí)，EG與GH的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)如圖2，點(diǎn)F和點(diǎn)G在射線AB的兩側(cè)時(shí)，線段EF，AE，GH之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
(3)若點(diǎn)F和點(diǎn)G都在射線AB的同側(cè)，AE=1，EF=2，請直接寫出HG的長．
2．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°(0

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