（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
4．測試范圍：高考全部內(nèi)容
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．已知，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】A
【解析】因?yàn)椋詚在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故選:A.
2．已知集合，集合，若，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，，
且，解得：，即的取值范圍為，故選：D.
3．若，則cs2α的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，則，
則，故選：B.
4．在等比數(shù)列中，，則（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，且，
則，故選：D
5．要從10名女護(hù)工和5名男護(hù)工中選出6名護(hù)工組成抗擊疫情醫(yī)療支援小組，如果按性別依比例分層隨機(jī)抽樣，試問組成此醫(yī)療支援小組的方法總數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】一共15人，選出6人，根據(jù)分層抽樣方法，女生、男生各抽?。海ㄈ耍?，（人）．所以組成此小組的方法總數(shù)為，故選：A
6．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)?，則（ ）
A．，b＝0B．
C． D．，
【答案】B
【解析】因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，解得，所以，
由偶函數(shù)定義得，所以，即，
所以，故，故選：B.
7．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，
所以，在上恒成立，設(shè)函數(shù)，則，
所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.
8．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則的面積等于（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】橢圓的半焦距，則，設(shè)點(diǎn)，
于是，消去得，
所以的面積，故選C
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．如圖所示的圓錐的底面半徑為3，高為4，且AB＝BC，則（ ）

A．三棱錐S-ABC的體積為12B．該圓錐的體積為12π
C．該圓錐的表面積為14πD．該圓錐的母線長為5
【答案】ABD
【解析】對于A項(xiàng)，由題意可得是等腰直角三角形，由AC=6可得，即，故A正確；
對于B項(xiàng)，由圓錐體積公式可得，故B正確；
由勾股定理及圓錐性質(zhì)可得其母線SA=，故D正確；
則C項(xiàng)，由圓錐的表面積公式可得，故C錯誤.
故選：ABD
10．若拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上且在第一象限，直線的斜率為，在直線上的射影為，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．到直線的距離為B．的面積為
C．的垂直平分線過點(diǎn)D．以為直徑的圓過點(diǎn)
【答案】BC
【解析】對A，易知拋物線的焦點(diǎn)，直線即為，
故到直線的距離為，故A錯誤；
對B，設(shè)直線方程為，代入，
得，解得，則直線方程為
聯(lián)立拋物線方程，解得或，
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，故取，即，
則，故B正確，
對C，根據(jù)拋物線定義得，則的垂直平分線過點(diǎn)，故C正確，
對D，，，故以為直徑的方程為，
將點(diǎn)代入左邊得，故D錯誤.
故選：BC.
11．已知函數(shù)在處取得極值10，則下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．一定有兩個極值點(diǎn)D．一定存在單調(diào)遞減區(qū)間
【答案】BCD
【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，
依題意，，即，解得或，
當(dāng)時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，
當(dāng)時，，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，
因此函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極小值，符合題意，
則，A不正確，B正確；函數(shù)在處取得極大值，一定有兩個極值點(diǎn)，C正確；
一定存在單調(diào)遞減區(qū)間，D正確.
故選：BCD
12．某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為0.6．0.5．0.4，則（ ）
A．該棋手三盤三勝的概率為0.12
B．若比賽順序?yàn)榧滓冶?，則該棋手在贏得第一盤比賽的前提下連贏三盤的概率為0.4
C．若比賽順序?yàn)榧滓冶?，則該棋手連贏2盤的概率為0.26
D．記該棋手連贏2盤為事件A，則當(dāng)該棋手在第二盤與甲比賽最大
【答案】ACD
【解析】對于A，棋手勝三盤的概率為，故A正確；
對于B，棋手在勝甲的前提下連勝3盤的事件就是余下兩盤連勝乙，丙的事件，
其概率為，故B錯誤；
對于C，連勝兩盤事件的概率為，故C正確；
對于D，第2盤與甲比賽連勝兩盤的概率，
第2盤與乙比賽連勝兩盤的概率，
第2盤與丙比賽連勝兩盤的概率，
因此，故D正確.
故選：ACD.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．已知，為兩個互相垂直的單位向量，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)?，為兩個互相垂直的單位向量，
所以
所以，
14．已知正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為，用一個平行于棱錐底面且距離底面長度為3的平面去截棱錐，所得棱臺的體積為 .
【答案】28
【解析】如圖，由題意可得.
因?yàn)椋裕?br>解得，
則，，，
所以.
15．在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓交于兩點(diǎn).當(dāng)?shù)拿娣e最大時，實(shí)數(shù)的值為 ．
【答案】或
【解析】由，
則圓心，，
點(diǎn)到直線的距離，
由弦長公式，
，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，
此時，即，
，解得或.
16．如圖是函數(shù)的部分圖像，A是圖像的一個最高點(diǎn)，D是圖像與y軸的交點(diǎn)，B，C是圖象與x軸的交點(diǎn)，且，的面積等于．則的解析式為 ．
【答案】
【解析】由圖像可知，的最大值為，又，所以，
因?yàn)榈拿娣e等于，所以，則，
所以，即，得，又，故，
將代入，得，即，
因?yàn)?，所以?br>所以.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。
17．（本小題滿分10分）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答．
問題：銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若，為AB的中點(diǎn)，求CD的取值范圍．
【解析】（1）若選①，
，
∵；
若選②，，
∵；
若選③
∵，
而.
（2）
如圖所示，設(shè)，則，，，
∵是銳角三角形，∴，
，當(dāng)時取得最小值，故.
18．（本小題滿分12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，
即
解得，所以；
（2）由（1）可知，，
對于任意，有，
所以，
故數(shù)列的前2023項(xiàng)和為
.
19．（本小題滿分12分）隨著經(jīng)濟(jì)模式的改變，微商和電商已成為當(dāng)今城鄉(xiāng)一種新型的購銷平臺.已知經(jīng)銷某種商品的電商在任何一個銷售季度內(nèi)，每售出噸該商品可獲利潤萬元，未售出的商品，每噸虧損萬元.根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗(yàn)，得到一個銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖如圖所示.已知電商為下一個銷售季度籌備了噸該商品.現(xiàn)以（單位：噸，）表示下一個銷售季度的市場需求量，（單位：萬元）表示該電商下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該商品獲得的利潤.
（1）將表示為的函數(shù)，求出該函數(shù)表達(dá)式；
（2）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤不少于57萬元的概率；
（3）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)一個銷售季度內(nèi)市場需求量的平均數(shù)與中位數(shù)的大?。ūＡ舻叫?shù)點(diǎn)后一位）.
【解析】（1）當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
所以，；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖及（1）知，
當(dāng)時，由，得，
當(dāng)時，由
所以，利潤不少于57萬元當(dāng)且僅當(dāng)，
于是由頻率分布直方圖可知市場需求量的頻率為
，
所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤不少于57萬元的概率的估計(jì)值為0.7；
（3）估計(jì)一個銷售季度內(nèi)市場需求量的平均數(shù)為
（噸）
由頻率分布直方圖易知，
由于時，對應(yīng)的頻率為，
而時，對應(yīng)的頻率為，
因此一個銷售季度內(nèi)市場需求量的中位數(shù)應(yīng)屬于區(qū)間，于是估計(jì)中位數(shù)應(yīng)為（噸）.
20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面底面，且.
(1)證明：.
(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.
因?yàn)?，所?
又，所以.
又，所以為正三角形，所以.
因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)相交，所以平面.
又平面，所以.
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則.
設(shè)平面的法向量為，
則令，得.
由題可知，平面的一個法向量為.
設(shè)平面和平面所成的銳二面角為，
則.
21．（本小題滿分12分）已知雙曲線C：，直線l在x軸上方與x軸平行，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，直線l交y軸于點(diǎn)D.當(dāng)l經(jīng)過C的焦點(diǎn)時，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)OD的中點(diǎn)為M，是否存在定直線l，使得經(jīng)過M的直線與C交于P，Q，與線段AB交于點(diǎn)N，，均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）由已知C：，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，得，
焦點(diǎn)，，.
所以，，故C：.
（2）設(shè)l的方程為，則，故，
由已知直線PQ斜率存在，設(shè)直線PQ的方程為，故.
與雙曲線方程聯(lián)立得：，
由已知得，，設(shè)，，
則，①
由，得：，，
消去得：，
即②
由①②得：，由已知，
故存在定直線l：滿足條件.
22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)為函數(shù)的極值點(diǎn)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
(2)當(dāng)時，求證：．
【解析】（1）的定義域?yàn)椋?br>，
若為函數(shù)的極值點(diǎn)，則，解得，
當(dāng)時，，，
令，則，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∵，
∴當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)時，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，滿足題意，
即當(dāng)為函數(shù)的極值點(diǎn)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時，
設(shè)，，
則，易知在上單調(diào)遞增，
又∵，，
∴，使，（即），
∴當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
在處取得極小值，也是最小值，，
當(dāng)時，，∴，
∴，，
∴當(dāng)且時，，原命題得證.

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