2024年高考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷02，2024新題型）（全解全析）

這是一份2024年高考第二次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷02，2024新題型）（全解全析），共19頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
全解全析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1.若集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合，然后再逐個分析判斷即可.
【詳解】由，得，
解得或，
所以或，
因為，
所以，
對于A，因為，所以，所以A錯誤，
對于B，因為或，，
所以，所以B正確，
對于C，因為，所以C錯誤，
對于D，因為或，所以，
因，所以，所以D錯誤，
故選：B
2.已知，是關(guān)于x的方程的兩個根.若，則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由，是關(guān)于x的方程的兩個根，由韋達(dá)定理求出，再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.
【詳解】法一：由，是關(guān)于x的方程的兩個根，得，
所以，所以.
法二：由，是關(guān)于x的方程的兩個根，得，
所以，所以.
故選：C.
3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點D在線段BC上，且，則的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)確定，從而可得，從而用向量數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，
因為，所以，
所以,所以，
所以
.
故選:B.
4. 已知向量，，則是向量，夾角為鈍角的（ ）
A. 充要條件B. 既不充分也不必要條件
C. 必要不充分條件D. 充分不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】若向量，夾角為鈍角，則滿足，求出的范圍，然后驗證充分性與必要性.
【詳解】
又因為向量，夾角為鈍角
所以滿足
所以且
因為推不出且，所以充分性不成立
又因為且能推出，所以必要性成立
所以是向量，夾角為鈍角的必要不充分條件
故選：C
5.一般地，聲音大小用聲強級（單位： dB）表示，其計算公式為：，其中I為聲強，單位，若某種物體發(fā)出的聲強為，其聲強級約為（） （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】將聲強代入中，結(jié)合對數(shù)的運算化簡求值，可得答案.
【詳解】由已知得
().
故選：A．
6.“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多.現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從“太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚州瘦西湖”這6個景點中隨機選擇1個景點游玩.記事件A為“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件B為“兩位游客選擇的景點不同”，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)古典概型概率公式求出，然后利用條件概率公式即得.
【詳解】由題可得，,
所以.故選D.
7.已知函數(shù)，若函數(shù)在上恰有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)零點的定義，列不等式組結(jié)合整數(shù)限制條件即可求解.
【詳解】令，則，
解得或，
即或，
因函數(shù)在上恰有3個零點，
所以，
第一個不等式組解得，
第二個不等式組解得
所以所求取值范圍為.
故選：D.
8. 已知雙曲線的左右焦點分別為、，過的直線與曲線的左右兩支分別交于點，且，則曲線C的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，進而結(jié)合雙曲線的定義得，，，，進而在，結(jié)合余弦定理求得，進而得，再求離心率即可.
【詳解】解：如圖，設(shè)，因為,
所以，
由雙曲線的定義得：，
所以， ，，，，
所以，在中，，
在中，
因為，
所以，即，
所以
故選：B
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9.為慶祝江西籍航天員鄧清明順利從太空返航，鄧清明家鄉(xiāng)的某所中學(xué)舉辦了一場“我愛星辰大?！焙教熘R競賽，滿分100分，該校高一（1）班代表隊6位參賽學(xué)生的成績（單位：分）分別為：84，100，91，95，95，98，則關(guān)于這6位參賽學(xué)生的成績.下列說法正確的是（ ）
A．眾數(shù)為95B．中位數(shù)為93
C．平均成績超過93分D．第分位數(shù)是91
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意將成績排序，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)相關(guān)知識求解即可.
【詳解】將成績按從小到大的順序排序為：，
對于A，95出現(xiàn)兩次，其他數(shù)據(jù)只出現(xiàn)一次，所以眾數(shù)為95，故A正確；
對于B，中位數(shù)為第3,4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為，故B錯誤；
對于C，平均數(shù)為，故C正確；
對于D，，所以第分位數(shù)是第二個數(shù)，為91，故D正確.
故選：ACD
10.數(shù)列的通項為，它的前項和為，前項積為，則下列說法正確的是（ ）
A. 數(shù)列是遞減數(shù)列B. 當(dāng)或者時，有最大值
C. 當(dāng)或者時，有最大值D. 和都沒有最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的通項得出數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的特征分別對每個選項進行分析即可求解.
【詳解】因為數(shù)列的通項為，則，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，因為公差，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故選項正確；
因為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，所以當(dāng)或者時，有最大值，故選項正確；
由可知： ，，，所以當(dāng)或者時，有最大值，故選項正確；
根據(jù)數(shù)列前30項為正數(shù)，從第31項開始為負(fù)數(shù)可知：無最小值，
因為，當(dāng)時，，但零乘任何數(shù)仍得零，所以有最小值，故選項錯誤，
故選：.
11.設(shè)為拋物線的焦點，點在上且在軸上方，點，，若，則（ ）
A. 拋物線的方程為
B. 點到軸的距離為8
C. 直線與拋物線相切
D. 三點在同一條直線上
【答案】ACD
【解析】
【分析】由，先求設(shè)點坐標(biāo)，得拋物線方程，再驗證每個選項.
【詳解】拋物線的焦點，由，有，解得，
所以拋物線的方程為，A選項正確；
，點在拋物線上且在軸上方，到焦點距離為8，到準(zhǔn)線距離也為8，所以點到軸的距離為6，B選項錯誤；
點在拋物線上且在軸上方，到軸的距離為6，有點橫坐標(biāo)為6，代入拋物線方程，可得，則直線的方程為，
由消去得，，所以直線與拋物線相切，C選項正確；
由，，，得，則三點在同一條直線上，D選項正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12.已知直線與圓交于兩點，則__________；若P是圓C上的一點，則面積的最大值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先求圓心到直線的距離，然后結(jié)合垂徑定理算出弦長即可；
（2）結(jié)合上一空，三角形底邊長一定，求出圓上一點到直線的距離的最大值，即可得到三角形面積的最大值．
【詳解】由題意可知圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，
則圓心到直線的距離，故；
因為是圓上的一點，所以點到直線距離的最大值為，
所以面積的最大值是．
故答案為：；．
13.《九章算術(shù)》是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，內(nèi)容十分豐富，在數(shù)學(xué)史上有其獨到的成就．在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱之為“鱉臑”，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．如圖，幾何體P－ABCD為一個陽馬，其中平面ABCD，若，，，且PD＝AD＝2AB＝4，則幾何體EFGABCD的外接球表面積為______．
【答案】
【解析】
【分析】判斷出幾何體外接球球心的位置，求得外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.
【詳解】設(shè)，連接.
依題意，四邊形是矩形，所以，
由于平面，平面，
所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于，平面，所以面，
由于平面，所以.
同理可證得，
由于，所以都是以為斜邊的直角三角形，
所以幾何體外接球球心是，且半徑，
所以外接球的表面積為.
故答案為：
14.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為，且，則面積的最大值是________；若分別為的內(nèi)切圓和外接圓半徑，則的范圍為_________________．
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】對于第一空，利用余弦定理表示出，再表示出，再利用可得答案；
對于第二空，利用可得答案.
【詳解】因在三角形中，則由三角形三邊關(guān)系可得，又利用余弦定理有：
，又，
則.
得，當(dāng)且僅當(dāng)
，即時取等號.則面積的最大值是；
對于第二空，因，
則，
又，
則，因，
則.令，其中，因，
則在上單調(diào)遞增，故，得.
故答案為：；.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分） 如圖，三棱柱 的側(cè)棱長為，底面是邊長為2的等邊三角形， 分別是的中點， ．
（1）求證：側(cè)面 是矩形；
（2）若 ，求直線與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，證明平面,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明，結(jié)合三棱柱性質(zhì)，可證明結(jié)論；
（2）取中點O，連接，證明⊥平面，即可建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求得平面的法向量，根據(jù)線面角的向量求法，即可求得答案.
【小問1詳解】
由題意是的中點，連接 ，
由已知為等邊三角形，所以．
由已知,平面,
所以平面又平面ADE，故，
因為，所以，
又側(cè)面為平行四邊形，所以側(cè)面是矩形 6分
【小問2詳解】
取中點O，連接，
由已知得，底面是邊長為2的等邊三角形，則，
因為，E為的中點，
所以，是等邊三角形．
故，由（1）知平面，平面,
所以是，平面 ,
所以⊥平面． 9分
以O(shè)為原點，過點O作的平行線作為x軸，以所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如上圖，
故，
所以，
設(shè)平面的法向量為，則，
故 ，取，則， 10分
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故，
所以直線與平面所成角的余弦值為. 分
16．（15分） 已知，為橢圓：的左、右焦點.點為橢圓上一點，當(dāng)取最大值時，.
（1）求橢圓的方程；
（2）點為直線上一點（且不在軸上），過點作橢圓的兩條切線，，切點分別為，，點關(guān)于軸的對稱點為，連接交軸于點.設(shè)，的面積分別為， ，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由已知結(jié)合橢圓定義，可求與的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合向量相關(guān)條件以及橢圓中，即可求得與，也就得出橢圓方程.
(2)利用過橢圓一點的切線方程的推導(dǎo)過程，得出切線方程，進而得出直線的定點坐標(biāo)，然后解設(shè)的方程，并與橢圓聯(lián)立，然后利用韋達(dá)定理化簡整理出點的坐標(biāo)，由此求出的關(guān)系式，利用基本不等式即可求解.
【小問1詳解】
依題意有當(dāng)為橢圓短軸端點時
最大，此時，則
為正三角形，則 分
且
，又，，，
故橢圓方程為. 分
【小問2詳解】
設(shè)，，，
若，則切線方程為，
若，則在處的切線的斜率必定存在， 分
設(shè)該切線的方程為，
由可得，
整理得， 8分
故，
整理得到：，故，
故切線方程為：，
故：，
綜上，：，同理： 9分
因，都過點，則，
則方程為，即過定點.
故設(shè)方程為，，
聯(lián)立，
，，又 11分
直線方程為：，令得

， 分
當(dāng)且僅當(dāng)即，時取等號
故最大值為. 分
17．（15分） 現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨立．已知射擊訓(xùn)練有A，B兩種型號的炮彈，對于A型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為p（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.6，擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段；對子B型號炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為q（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.4，擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8，擊中三彈目標(biāo)飛行物必墜毀．
（1）在一次訓(xùn)練中，使用B型號炮彈，求q滿足什么條件時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于；
（2）若，試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號炮彈還是B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大？并說明理由．
【答案】（1）
（2）使用B型號炮彈，理由見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，利用間接法與二項分布的概率公式得到關(guān)于的不等式，解之即可；
（2）先利用二項分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標(biāo)飛行物的概率，再利用作差法與構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)比較得兩概率的大小，從而得到結(jié)論.
【小問1詳解】
因為每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，
每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨立，
所以在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)B型號炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，
則（服從二項分布），
則， 分
即，則，即，則，
又，故，
所以當(dāng)時，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于. 分
【小問2詳解】
在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)A型號炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，
則（服從二項分布），，
記事件為“使用A型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，
事件為“使用B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，
則
， 分
，
因為，所以，
則
， 10分
令，則，
令，即，則，得，
又，所以恒成立， 13分
所以在上單調(diào)遞增，
又，則，
故，即，
所以使用B型號炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大. 15分
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題的關(guān)鍵點有兩次，一次是理解A、B型炮彈擊中飛行物的次數(shù)服從二項分布，進而利用二項分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標(biāo)飛行物的概率；二次是利用導(dǎo)數(shù)比較兩者概率的大小.
18．（17分） 已知函數(shù).
（1）若，求實數(shù)的取值范圍.
（2）求證：.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件得，進而得出，利用不等式的性質(zhì)及構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及已知條件，只需證當(dāng)時，成立即可，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值，利用不等式的性質(zhì)構(gòu)造函數(shù)及法求函數(shù)的最值即可求解.
【小問1詳解】
因為，則，即，
反之當(dāng)時，， 分
令，則，
設(shè)，由于在單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，即，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以，即，所以. 分
【小問2詳解】
由（1）可知：①
下面證明當(dāng)時，②
等價于，設(shè)，分
當(dāng)時，
當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,
所以，所以②式成立，
由①?②可得：，當(dāng)時取到“”，
取有，，
所以，不等式成立. 分
【點睛】解決此題的關(guān)鍵第一問根據(jù)條件得出，進而構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可，第二問的關(guān)鍵根據(jù)第一問得，進而問題轉(zhuǎn)化為只需證當(dāng)時，即可，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，轉(zhuǎn)而構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值即可.
19．（17分）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個正約數(shù)，即為.
(1)當(dāng)時，若正整數(shù)的個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請寫出一個的值；
(2)當(dāng)時，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；
(3)記，求證：.
【答案】(1)8.
(2).
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意即可寫出a的一個值；
（2）由題意可知，，，，結(jié)合構(gòu)成等比數(shù)列，可推出是完全平方數(shù)，繼而可得，由此可知為，即可求得a；
（3）由題意知，，從而可得，采用放縮法以及裂項求和的方法，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）當(dāng)時正整數(shù)的4個正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，
比如為8的所有正約數(shù),即. 4分
（2）由題意可知，，，，
因為，依題意可知，所以，
化簡可得，所以， 9分
因為，所以，
因此可知是完全平方數(shù).
由于是整數(shù)的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以為，
所以,. 11分
（3）證明：由題意知，，
所以，
因為，
所以 分
，
因為，，所以，
所以，
即. 17 分
【點睛】關(guān)鍵點點睛：在第二問的解答中，在得到后，要能根據(jù)，推得，繼而得出，這是解決問題的關(guān)鍵.第三問的證明中，難點在于要能注意到，，從而可得，然后采用裂項求和的方法進行化簡進而