（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．
3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．
4．測試范圍：高考全部內(nèi)容
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．已知全集，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題首先可以根據(jù)題意求出，然后根據(jù)補(bǔ)集的概念得出結(jié)果.
【詳解】由題意得，
所以，，
故選：C．
2．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)純虛數(shù)的概念得到答案.
【詳解】，所以且，解得.
故選：B
3．已知向量，，若不超過3，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示和幾何意義可得，解之即可求解.
【詳解】由題意知，，
所以，得，
即，解得，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故選：B
4．執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】閱讀程序框圖，程序運(yùn)行如下：
首先初始化數(shù)值：，然后進(jìn)入循環(huán)體：
此時應(yīng)滿足，執(zhí)行循環(huán)語句：；
此時應(yīng)滿足，執(zhí)行循環(huán)語句：；
此時滿足，可以跳出循環(huán)，則輸入的正整數(shù)N的最小值為2.
故選D.
5．若是等差數(shù)列，表示的前n項(xiàng)和，，則中最小的項(xiàng)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得，再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)判斷處的符號，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)?，所以?br>所以公差，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，取得最小值，
即中最小的項(xiàng)是.
故選：B.
6．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，設(shè)．設(shè)甲：是增函數(shù)，乙：是增函數(shù)，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】D
【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別求出與為增函數(shù)的條件并結(jié)合充分必要條件進(jìn)行判斷即可求解.
【詳解】由題意得的定義域?yàn)?，的定義域也為；
充分性：若是增函數(shù)，則恒成立，，
因?yàn)?，但的正?fù)不能確定，所以的單調(diào)性不確定，故充分性不滿足；
必要性：若是增函數(shù)，則恒成立，
因?yàn)?，所以恒成立，但的正?fù)不能確定，所以的單調(diào)性不確定，故必要性不滿足；
所以甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件，故D正確.
故選：D.
7．已知點(diǎn)為橢圓：的一點(diǎn)，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，的平分線交軸于點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】結(jié)合光學(xué)性質(zhì)，列出直線方程，即可求解答案.
【詳解】設(shè)點(diǎn)且不為頂點(diǎn)，因?yàn)闄E圓方程為，
所以過的切線方程即直線為，
即，
由光學(xué)幾何性質(zhì)知，，
所以，
則直線的方程為．
令，得，所以．
所以.
故選：C
8．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先將對數(shù)式和指數(shù)式與臨界值比較，再判斷大小關(guān)系.
【詳解】，即，，即，
因?yàn)椋?，即?br>且，則，
所以.
故選：D
9．已知雙曲線的一條漸近線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，（是橢圓的兩個焦點(diǎn)），則E的離心率為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由題意求出雙曲線的漸近線，則可得，由已知條件可得四邊形為矩形，則，，再根據(jù)橢圓的定義列方程化簡可求出離心率.
【詳解】由已知，則雙曲線的一條漸近線，即，
又，即，且四邊形為矩形，
所以，則，
又根據(jù)橢圓定義可知，
所以離心率．
故選：A
10．已知四棱錐中，側(cè)面底面，，底面是邊長為的正方形，是四邊形及其內(nèi)部的動點(diǎn)，且滿足，則動點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取線段的中點(diǎn)，連接、，推導(dǎo)出平面，可知點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，結(jié)合圓的面積公式可求得結(jié)果.
【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接、，
因?yàn)?，為的中點(diǎn)，則，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以，平面，
因?yàn)槠矫?，則，
因?yàn)樗倪呅问沁呴L為的正方形，則，
所以，，，
所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，
因此，動點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域面積為.
故選：B.
11．已知等比數(shù)列的公比為，為其前n項(xiàng)和，且，則當(dāng)取得最大值時，對應(yīng)的為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及已知得，應(yīng)用基本不等式求最大值，并確定取值條件即可.
【詳解】由題設(shè)，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以當(dāng)取得最大值時，對應(yīng)的為3.
故選：B
12．已知函數(shù)，，若函數(shù)在上存在最大值，但不存在最小值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意分類討論和兩種情況，結(jié)合題目中所給區(qū)間的開和閉以及三角函數(shù)圖象相關(guān)知識求解答案即可.
【詳解】若，則，
又因?yàn)?，函?shù)在上存在最大值，但不存在最小值，
所以當(dāng)，即時，
只需滿足，此時，
當(dāng)，即時，
函數(shù)一定存在最大值，要讓函數(shù)無最小值，則，
此時，
綜上，，即的取值范圍是.
故選：D
第Ⅱ卷
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分
13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且．則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，所以即
因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，所以，即，
所以.
故答案為：.
14．已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則關(guān)于的不等式的解集 .
【答案】
【分析】由求出，由奇函數(shù)的性質(zhì)求出在上的解析式，再令，即可求出答案.
【詳解】當(dāng)時，，
因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時，，
則當(dāng)時，，所以，
因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時，，
所以，
令，解得：或，
故關(guān)于的不等式的解集為.
故答案為：.
15．已知數(shù)列滿足，若對恒成立，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】先由條件得到，再將問題轉(zhuǎn)化為或，從而得解.
【詳解】法一：
由，得，兩式相減得，
則數(shù)列，都是以2為公差的單調(diào)遞增數(shù)列.
要使對恒成立，只需，
而，，則，解得.
法二：
由，得，兩式相減得，
又，則，，
要使對恒成立，即，
即，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將恒成立，轉(zhuǎn)化為或，從而得解.
16．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，且平面是邊上一動點(diǎn)，直線與平面所成角的正切值的最大值為，則球的表面積為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面角的定義求得的最小值，從而確定的形狀，再利用直三棱柱的外接球的性質(zhì)即可得解.
【詳解】將三棱錐放入直三棱柱，則兩者外接球相同，
取底面的外心為，連接，取其中點(diǎn)為，連接，如圖所示，

平面，則為直線與平面的所成角，
又直線與平面所成角的正切值的最大值為，
所以，則，此時，
在中，，
，
是邊長為的等邊三角形，
，又，
則球的表面積為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
三、解答題：本大題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．
（一）必考題：共60分．
17．(12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.
(1)求角A；
(2)作角A的平分線與交于點(diǎn)，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理邊角互化，化簡后利用正切值求角即得；
（2）充分利用三角形的角平分線將三角形面積進(jìn)行分割化簡得，再運(yùn)用余弦定理解方程即得.
【詳解】（1）因，由正弦定理可得：，
即.
因，故，則有，即，
因，故分
（2）因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，
所以.
因，，，則，
即，所以分
又由余弦定理可得：，
把，分別代入化簡得：，
解得：或（舍去），所以分
18．(12分）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.
（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；
（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；
（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.
附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.
【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析
【解析】
【分析】
（1）利用野生動物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；
（2）利用公式計(jì)算即可；
（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.
【詳解】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為，
地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計(jì)值為分
（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為
分
（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，
由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，
采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，
從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)分
19．(12分）在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，，，如圖.
（1）若交平面于點(diǎn)，證明：、、三點(diǎn)共線；
（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面平面，若存在確定的位置，若不存在說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，且.
【解析】
【分析】
（1）先得出為平面與平面的交線，然后說明點(diǎn)是平面與平面的公共點(diǎn)，即可得出、、三點(diǎn)共線；
（2）設(shè)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，然后證明出平面平面，再確定出點(diǎn)在上的位置即可.
【詳解】
（1），平面，平面，所以，點(diǎn)是平面和平面的一個公共點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)也是平面和平面的公共點(diǎn)，則平面和平面的交線為，
平面，平面，所以，點(diǎn)也是平面和平面的公共點(diǎn)，由公理三可知，，因此，、、三點(diǎn)共線；分
（2）如下圖所示：
設(shè)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
下面證明平面平面.
、分別為、的中點(diǎn)，，
平面，平面，平面.
又，平面，平面，平面，
，、平面，因此，平面平面.
下面來確定點(diǎn)的位置：
、分別為、的中點(diǎn)，所以，，且，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，
易知，即，又，所以，四邊形為平行四邊形，，
四邊形為正方形，且，則為的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
因此，線段上是否存在點(diǎn)，且時，平面平面分
20．(12分）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線；
(2)討論的單調(diào)性；
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程；
（2）求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)因式分解，分，和三種情況，進(jìn)行求解函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，則，切點(diǎn)坐標(biāo)為，
，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，
所求切線方程為，即分
（2），函數(shù)定義域?yàn)镽，
，
①，解得或，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
②，解得或，解得，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
③，恒成立，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增分
21．(12分）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1時，點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線的方程；
(2)設(shè)直線，與的另一個交點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，記直線，的傾斜角分別為，.求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）關(guān)鍵拋物線的定義可得，求出p即可求解；
（2）設(shè)，將直線和直線BD，分別聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理表示，，進(jìn)而可得、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率公式可得和，則，當(dāng)時最大，由兩角差的正切公式和換元法可得，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，
由拋物線的定義知，，又，所以，
所以拋物線C的方程為；分
（2）由（1）知，，
設(shè)，
則，設(shè)直線，
由可得，
，
則，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
由斜率公式可得，，
又因?yàn)橹本€OP、OQ的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，需使最大，則，設(shè)，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，
所以的最大值為分
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題求解過程中，需要熟練運(yùn)用斜率公式以及類比的思想方法，在得到兩條直線的關(guān)系后，設(shè)，利用換元法，化簡式子，求最值是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵點(diǎn)，屬于難題.
（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線過點(diǎn)．
(1)求曲線的普通方程；
(2)若直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角．
【答案】(1).
(2)或.
【分析】（1）利用參數(shù)方程轉(zhuǎn)普通方程即可求解.
（2）寫出直線的參數(shù)方程，參數(shù)方程代入，設(shè)，兩點(diǎn)所對的參數(shù)為，利用韋達(dá)定理代入中，化簡即可求解.
【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得，
，，即（為焦點(diǎn)在軸上的橢圓）分
（2）設(shè)直線的傾斜角為，直線過點(diǎn)
直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），
將直線的參數(shù)方程代入，可得，
，
設(shè)，兩點(diǎn)所對的參數(shù)為，，
曲線與軸交于兩點(diǎn)，
在曲線的內(nèi)部，一正一負(fù)，
，而，，
，，，
解得，為直線的傾斜角，，
，，或，
直線的傾斜角為或分
選修4-5：不等式選講
23．（10分）已知函數(shù)．
(1)求不等式的解集；
(2)設(shè)函數(shù)的最小值為，若且，求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）解絕對值不等式時，一般考慮分類討論法求解，最后再合并；
（2）分類討論的單調(diào)性，判斷其在不同區(qū)間上的最小值，最后確定的值，利用基本不等式即可證明.
【詳解】（1）不等式可化為或，
由，可得，解得或；
由，可得，解得，
所以不等式的解集為．分
（2）由題意，知，
當(dāng)時，，
因在上單調(diào)遞減，則；
當(dāng)時，，
因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在無最小值，但是；
當(dāng)時，，
因在上單調(diào)遞增，則.
綜上，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值2，即，所以，
因，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故．分

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2023年高考政治第二次模擬考試卷—數(shù)學(xué)（北京A卷）（全解全析）
數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷A卷）2023年高考第二次模擬考試卷（全解全析）

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