（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
4．測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．設(shè)集合，，則（ ）
A．A=BB．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)?，?br>所以且，所以A錯(cuò)，B錯(cuò)，
，C錯(cuò)，
，D對(duì)，
故選：D.
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（為虛數(shù)單位）的最大值為（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【解析】由可設(shè)：，
，
（其中），
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
.
故選：C.
3．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)椋?br>所以
.
故選：C
4．傳說(shuō)國(guó)際象棋發(fā)明于古印度，為了獎(jiǎng)賞發(fā)明者，古印度國(guó)王讓發(fā)明者自己提出要求，發(fā)明者希望國(guó)王讓人在他發(fā)明的國(guó)際象棋棋盤(pán)上放些麥粒，規(guī)則為：第一個(gè)格子放一粒，第二個(gè)格子放兩粒，第三個(gè)格子放四粒，第四個(gè)格子放八?！来艘?guī)律，放滿棋盤(pán)的64個(gè)格子所需小麥的總重量大約為（ ）噸.（1kg麥子大約20000粒，lg2=0.3）
A．105B．107C．1012D．1015
【答案】C
【解析】64個(gè)格子放滿麥粒共需，
麥子大約20000粒，1噸麥子大約粒，
，
故選：C.
5．已知，則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】令，其在R上單調(diào)遞減，
又，
由零點(diǎn)存在性定理得，
則在上單調(diào)遞減，
畫(huà)出與的函數(shù)圖象，

可以得到，
又在R上單調(diào)遞減，畫(huà)出與的函數(shù)圖象，

可以看出，
因?yàn)?，故，故?br>因?yàn)?，故?br>由得，．
綜上，．
故選：D．
6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足：過(guò)點(diǎn)作圓C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．1B．C．3D．7
【答案】C
【解析】由可知圓心，半徑為，
因?yàn)樗倪呅蜳MCN為正方形，且邊長(zhǎng)為圓的半徑，所以，
所以直線：上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，即，
所以圓心到直線的距離為，
所以，解得或（舍）.
故選：C
7．在等比數(shù)列中，，若，且的前項(xiàng)和為，則滿足的最小正整數(shù)的值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】由可得，
故，設(shè)的公比為，則，即，
故，
則．
由于時(shí)，，
故隨著的增大而增大，而，，
故滿足的最小正整數(shù)的值為6．
故選：B.
8．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則（ ）
A．0B．1C．675D．2023
【答案】B
【解析】的定義域?yàn)?，且?br>故為上的奇函數(shù).
而，
因在上為增函數(shù)，在為增函數(shù)，
故為上的增函數(shù).
又即為，故，
因?yàn)?，故為周期?shù)列且周期為3.
因?yàn)椋?br>所以.
故選：B.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．下列結(jié)論正確的有（ ）
A．若隨機(jī)變量，滿足，則
B．若隨機(jī)變量，且，則
C．若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)
D．按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，30，37，m，40，50；乙組：24，n，33，44．48，52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則
【答案】BC
【解析】對(duì)于A，由方差的性質(zhì)可得，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由正態(tài)分布的圖象的對(duì)稱(chēng)性可得，故B正確；
對(duì)于C，由相關(guān)系數(shù)知識(shí)可得：線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故C正確；
對(duì)于D，甲組：第30百分位數(shù)為30，第50百分位數(shù)為，
乙組：第30百分位數(shù)為，第50百分位數(shù)為，則，
解得，故，故D錯(cuò)誤；
故選：BC
10．已知雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為的直線l與E的右支交于點(diǎn)P，若，則（ ）
A．E的離心率為B．E的漸近線方程為
C．P到直線x＝1的距離為D．以實(shí)軸為直徑的圓與l相切
【答案】ACD
【解析】由雙曲線方程可知，，
設(shè)，則，那么，，
作軸，垂足為點(diǎn)，設(shè)，，則，
所以，，
兩式解得：，即，，
中，根據(jù)余弦定理，
可得，
，得，
所以雙曲線的離心率，故A正確；
，所以雙曲線的漸近線方程為，故B錯(cuò)誤；
直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，
得，解得：，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，P到直線x＝1的距離為，故C正確；
以實(shí)軸為直徑的圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為
原點(diǎn)到直線的距離，故D正確.
故選：ACD
11．在數(shù)列中，對(duì)于任意的都有，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．對(duì)于任意的，都有
B．對(duì)于任意的，數(shù)列不可能為常數(shù)列
C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列
D．若，則當(dāng)時(shí)，
【答案】ACD
【解析】A：由，對(duì)有，則，即任意都有，正確；
B：由，若為常數(shù)列且，則滿足，錯(cuò)誤；
C：由且，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)且，數(shù)列遞增；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，數(shù)列遞減；
所以時(shí)數(shù)列為遞增數(shù)列，正確；
D：由C分析知：時(shí)且數(shù)列遞減，即時(shí)，正確.
故選：ACD
12．如圖，在矩形中，，，為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿、將、翻折，使點(diǎn)、重合，記為點(diǎn)，翻折后得到三棱錐，則（ ）

A．
B．三棱錐的體積為
C．三棱錐外接球的半徑為
D．直線與所成角的余弦值為
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，翻折前，，
翻折后，則有，，
因?yàn)?，、平面?br>所以平面，故A對(duì)；
對(duì)于B選項(xiàng)，在中，，邊上的高為，
所以，故B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋?br>由余弦定理，可得，
則，
所以的外接圓的半徑，
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，
因?yàn)槠矫?，所以，所以?br>即三棱錐外接球的半徑為，故C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，在中，，
，
則
，
所以直線與直線所成角的余弦值為，故D對(duì).
故選：ACD.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．某大型聯(lián)歡會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的6個(gè)節(jié)目中選取4個(gè)進(jìn)行演出，要求甲、乙2個(gè)節(jié)目中至少有一個(gè)參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為
【答案】
【解析】若甲、乙兩節(jié)目只有一個(gè)參加，則演出順序的種數(shù)為：，
若甲、乙兩節(jié)目都參加，則演出順序的種數(shù)為：；
因此不同的演出順序的種數(shù)為.
故答案為：.
14．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，橢圓C在第一象限存在點(diǎn)M，使得，直線與y軸交于點(diǎn)A，且是的角平分線，則橢圓C的離心率為 .
【答案】
【解析】由題意得，
又由橢圓的定義得，
記，則，，
則，所以，
故，
則，則，即
等價(jià)于，得：或（舍）
故答案為：
15．已知函數(shù)，若存在四個(gè)不相等的實(shí)根，，，，則的最小值是 ．
【答案】3
【解析】作函數(shù)與圖象如下：

由圖可得，
存在四個(gè)不相等的實(shí)根，可得，
可得，，即，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)即且等號(hào)成立，
則的最小值是.
故答案為：.
16．歐拉是瑞士數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家，近代數(shù)學(xué)先驅(qū)之一，在許多數(shù)學(xué)的分支中經(jīng)?？梢砸?jiàn)到以他的名字命名的重要函數(shù)、公式和定理．如著名的歐拉函數(shù)：對(duì)于正整數(shù)n，表示小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，如，．那么，數(shù)列的前n項(xiàng)和為 ．
【答案】
【解析】在中，與不互質(zhì)的數(shù)有，共有個(gè)，
所以，
所以，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以，
，
兩式相減可得,
所以,
即,
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知．
(1)求角；
(2)若為邊上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），且滿足，求的取值范圍．
【解析】（1）解：由結(jié)合正弦定理可得：
，則，
因?yàn)?、，則，所以，，
可得，故.
（2）解：由可得，所以，，
所以，，故，

在中，，，
由正弦定理可得，
所以，，
因?yàn)?，則，所以，.
所以，的取值范圍是.
18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足，且．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【解析】（1），數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，
，解得：，，
；
，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，.
（2）由（1）得：，即，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；
綜上所述：.
19．如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，D，E分別為，的中點(diǎn)，，，.
(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面與平面的夾角為，若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【解析】（1）為等邊三角形，D為中點(diǎn)，
，
又，，，平面，
平面，
平面，
，
取中點(diǎn)G，連接，
為等邊三角形，
，
平面平面，平面平面，平面.
平面，
，
與相交，，平面，
平面；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線為x軸，y軸，過(guò)C且與平行的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
，，，，，
設(shè)，則
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，所以，
取，可得，
為平面的一個(gè)法向量，
取平面的一個(gè)法向量為，
則，
解得，此時(shí)，
在線段上存在點(diǎn)F使得平面與平面的夾角為，且.
20．某高?！爸参餇I(yíng)養(yǎng)學(xué)專(zhuān)業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.
假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.
(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為厘米的概率；
(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有株的株高增量為厘米，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)用“”表示第組雞冠花的株高增量為，“”表示第組雞冠花的株高增量為厘米，，直接寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）
【解析】（1）設(shè)事件為“從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，第1組所有雞冠花中，有20株雞冠花增量為厘米,
所以估計(jì)為；
（2）設(shè)事件為“從第2組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
設(shè)事件為“從第3組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，株高增量為厘米”，
根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)為， 估計(jì)為，
根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.3，且
；
；
；
，
則的分布列為：
所以.
（3）
理由如下：
，所以；
，所以；
，所以；
所以.
21．已知橢圓E：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，由E的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為2.
(1)求E的方程；
(2)記E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，垂直于x軸的直線PQ交E于點(diǎn)M（點(diǎn)M在第一象限），P為線段QM的中點(diǎn)，設(shè)直線AQ與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn).
【解析】（1）由題意可知，
E的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形要么是短軸的一個(gè)頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形，面積為；
要么是短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)和長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形，面積為，
所以，
故E的方程為.
（2）由于軸，所以不可能垂直于軸，故直線的斜率存在，故設(shè)直線的方程為，,
聯(lián)立，
則 ，
直線的方程為，
當(dāng)時(shí)，，所以，是的中點(diǎn)，所以，
，即，所以，
則化簡(jiǎn)得 ，
代入得，
故，所以或，
故直線的方程為或，
由于不與重合，所以直線不經(jīng)過(guò)，故直線的方程為，此時(shí) ，故，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn).
22．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，存在，使得，求M的最大值；
(2)已知m，n是的兩個(gè)零點(diǎn)，記為的導(dǎo)函數(shù)，若，且，證明：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，
則的定義域?yàn)?，且?br>當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以在上的最大值為，最小值為，
由題意知，
故M的最大值為.
（2）證明：由題意知，，
所以，
所以.
因?yàn)椋?br>所以
，
所以要證，只要證，
因?yàn)?，所以只要證，
令，則，即證，
令，則，
因?yàn)椋裕?br>所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以.株高增量（單位：厘米）
第1組雞冠花株數(shù)
9
20
9
2
第2組雞冠花株數(shù)
4
16
16
4
第3組雞冠花株數(shù)
13
12
13
2
0
1
2
3

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