（考試時(shí)間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項(xiàng)：
1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．
2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
4．測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容
5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
第I卷（選擇題）
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。
1．已知集合，集合，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題設(shè)，或，
所以，故選：B
2．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【答案】B
【解析】復(fù)數(shù),
故，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選：B
3．已知向量，，若，則（ ）
A．2B．3C．4D．
【答案】D
【解析】依題意，，解得，則，
所以，故，故選：D．
4．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，且在恒成立，
所以，，解得
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為。故選：D
5．已知圓：，過(guò)直線：上的一點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圓：中，圓心，半徑
設(shè)，則，即
則
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），故選：A
6．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則“”是“數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】已知，所以，當(dāng)時(shí)，
，
所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列時(shí)，因?yàn)椴恢醉?xiàng)，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和不確定，所以是充分不必要條件，故選A
7．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
所以，
所以
故選:B.
8．已知雙曲線的離心率為，則C的漸近線方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，
所以，又因?yàn)榈臐u近線方程為，且，
所以漸近線方程為，故選A.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。
9．某校有名同學(xué)參加國(guó)家安全知識(shí)競(jìng)賽，甲同學(xué)得知其他名同學(xué)的成績(jī)單位：分分別為，若這名同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．甲同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?br>B．這名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的方差為
C．這名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的第百分位數(shù)是
D．從這名同學(xué)中任取一人，其競(jìng)賽成績(jī)高于平均成績(jī)的概率為
【答案】AB
【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對(duì)于A中，設(shè)甲的成績(jī)?yōu)椋?br>則有，解可得，所以A正確；
對(duì)于B中，甲的成績(jī)?yōu)?，則這名同學(xué)競(jìng)賽成績(jī)的方差 ，所以B正確；
對(duì)于C中，五人的成績(jī)從小到大排列，依次為：、、、、，
因?yàn)?，則其第百分位數(shù)是，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，五人的成績(jī)中，高于平均分的有人，
則從這名同學(xué)中任取一人，其競(jìng)賽成績(jī)高于平均成績(jī)的概率為，所以D錯(cuò)誤．
故選：AB．
10．牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（ ）（參考數(shù)值）
A．若，則
B．若，則紅茶下降到所需時(shí)間大約為6分鐘
C．5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22
D．紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間比從下降到所需的時(shí)間多
【答案】AC
【解析】由題知，
A選項(xiàng)：若，即，所以，則，A正確；
B選項(xiàng)：若，則，則，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，所以，所以紅茶下降到所需時(shí)間大約為7分鐘，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：5分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，故C正確；
D選項(xiàng)：為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間（）比從下降到所需的時(shí)間（）少，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立，則（ ）
A．函數(shù)是R上的減函數(shù)B．函數(shù)是奇函數(shù)
C．若，則的解集為D．函數(shù)()+為偶函數(shù)
【答案】ABC
【解析】設(shè)，且，，則，
而
，
又當(dāng)時(shí)，恒成立，即，，
函數(shù)是R上的減函數(shù)，A正確；
由，
令可得，解得，
令可得，即，而，
，而函數(shù)的定義域?yàn)镽，
故函數(shù)是奇函數(shù)，B正確；
令可得，解得，
因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，
由，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)是R上的減函數(shù)，所以，C正確；
令，易知定義域?yàn)镽，
因?yàn)椋@然不恒成立，所以不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
12．已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．圓錐底面圓的半徑為2cm
B．該圓錐的內(nèi)接圓柱（圓柱的下底面在圓錐的底面上，上底面在圓錐的側(cè)面上）的側(cè)面積的最大值為
C．該圓錐的內(nèi)接圓柱的體積的最大值時(shí)，圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為
D．該圓錐的內(nèi)切球的表面積為
【答案】ABC
【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，母線長(zhǎng)為，
依題意得，所以，
根據(jù)圓錐的表面積為，解得cm,
所以A正確;
如圖為圓錐和內(nèi)接圓柱體的軸截面，由題可知，
，
設(shè)
由相似關(guān)系得,即，解得，
則內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于，
當(dāng)時(shí)側(cè)面積最大，等于，所以B正確;
內(nèi)接圓柱的體積等于，
，
令，解得，令，解得，
所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí)圓柱體積最大，此時(shí)圓柱的高為，
圓柱的底面圓的半徑與圓柱的高的比為，
所以C正確;
設(shè)內(nèi)切圓的圓心為 半徑為，
因?yàn)?
即
所以
因?yàn)閳A錐的內(nèi)切球的半徑等于 ，
所以?xún)?nèi)切球的體積等于，所以D錯(cuò)誤.
故選:ABC.
第II卷（非選擇題）
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.陀螺是我國(guó)民間最早的娛樂(lè)工具之一（如圖），一個(gè)倒置的陀螺，上半部分為圓錐，下半部分為同底圓柱，其中總高度為10cm，圓柱部分高度為7cm，該陀螺由密度為0.8g/cm3的木質(zhì)材料做成，其總質(zhì)量為96g，則此陀螺圓柱底面的面積 ．

【答案】15
【解析】依題意，該陀螺的總體積為，
設(shè)圓柱底面圓半徑為r，則，解得，
所以此陀螺圓柱底面的面積為.
14．中國(guó)空間站的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙．假設(shè)中國(guó)空間站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，其中天和核心艙安排3人，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙與夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙各安排1人．若甲、乙兩人不能同時(shí)在一個(gè)艙內(nèi)做實(shí)驗(yàn)，則不同的安排方案共有 種
【答案】14
【解析】按照甲是否在天和核心艙劃分，
①若甲在天和核心艙，天和核心艙需要從除了甲乙之外的三人中選取兩人，
剩下兩人去剩下兩個(gè)艙位，
則有種可能；
②若甲不在天和核心艙，需要從問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙中挑選一個(gè)，
剩下四人中選取三人進(jìn)入天和核心艙即可，
則有種可能；
根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有6+8=14種可能.
15．已知函數(shù),若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)到最值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)距離的最小值為,則的值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)橄噜彽淖钪迭c(diǎn)與零點(diǎn)之間的區(qū)間長(zhǎng)度為,也是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)到最值點(diǎn)距離的最小值,從而,所以,.
16．已知Q為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)F（F是C的焦點(diǎn)）的距離之比為則的最小值是 .
【答案】
【解析】
由題意得，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，
過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，整理得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，
所以，所以當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，最小，
故.
四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。
17．（本小題滿分10分）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，.
(1)求及；
(2)若，求邊上的高.
【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得?br>所以，又，
所以，又，則.
因?yàn)?，即，又，所以?br>因?yàn)?，所?
（2）由（1）及余弦定理，得.
將，代入，得，
解得或（舍去），則.
因?yàn)椋裕?br>設(shè)邊上的高為，則.
18．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)分別是中點(diǎn)，平面平面．
(1)證明：；
(2)若，平面平面，求直線與平面所成角的余弦值．
【解析】（1）證明：取中點(diǎn)G，連接，，∵分別是，中點(diǎn)
∴且
又∵且，∴
∴四邊形為平行四邊形
∴平面平面
∴平面，
∵平面，平面平面，
∴
（2）解：由三棱柱為直棱柱得平面，平面，
∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，平面，
∴，
∴，即，
取棱中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接,
∵由三棱柱為直棱柱得平面，平面，
∴，
∵，
∵，
∵，平面,
∴平面，
∵點(diǎn)分別是中點(diǎn),
∴，
∴平面．
由（1）可知，
∴為所求線面角記為，．在中．
在中，
∴，
∴直線l與平面所成角的余弦值為
19．（本小題滿分12分）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，證明: .
【解析】（1），
若，，即，此時(shí)在R上單調(diào)遞減．
若，解得，
解得，
∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）∵，
設(shè)， ，
設(shè) ，
∴在上單調(diào)遞增，，．
∴，在上單調(diào)遞增．
∴．
∴．
20．（本小題滿分12分）在數(shù)列中，，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)，點(diǎn)在直線上．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知，試比較與的大?。?br>【解析】（1）在數(shù)列中，，且對(duì)任意大于1的正整數(shù)，點(diǎn) 在直線 上，
，即，，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，
.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)闈M足，所以.，
.
21．（本小題滿分12分）已知有一道有四個(gè)選項(xiàng)的單項(xiàng)選擇題和一道有四個(gè)選項(xiàng)的多項(xiàng)選擇題，小明知道每道多項(xiàng)選擇題均有兩個(gè)或三個(gè)正確選項(xiàng).但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.這樣，小明在做多項(xiàng)選擇題時(shí)，可能選擇一個(gè)選項(xiàng)，也可能選擇兩個(gè)或三個(gè)選項(xiàng)，但不會(huì)選擇四個(gè)選項(xiàng).
(1)如果小明不知道單項(xiàng)選擇題的正確答案，就作隨機(jī)猜測(cè).已知小明知道單項(xiàng)選擇題的正確答案和隨機(jī)猜測(cè)概率都是，在他做完單項(xiàng)選擇題后，從卷面上看，在題答對(duì)的情況下，求他知道單項(xiàng)選擇題正確答案的概率；
(2)假設(shè)小明在做該道多項(xiàng)選擇題時(shí)，基于已有的解題經(jīng)驗(yàn)，他選擇一個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇兩個(gè)選項(xiàng)的概率為，選擇三個(gè)選項(xiàng)的概率為.已知該道多項(xiàng)選擇題只有兩個(gè)正確選項(xiàng)，小明完全不知道四個(gè)選項(xiàng)的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)隨機(jī)選擇.記表示小明做完該道多項(xiàng)選擇題后所得的分?jǐn)?shù).求的分布列.
【解析】（1）記事件A為“題目答對(duì)了”，事件B為“知道正確答案”，
則，，，
由全概率公式：，
所求概率為.
（2）設(shè)事件表示小明選擇了i個(gè)選項(xiàng)，，表示選到的選項(xiàng)都是正確的.
可能取值為0，2，5，
，
，
.
隨機(jī)變量的分布列為
22．（本小題滿分12分）已知橢圓方程為（），離心率為且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓方程；
(2)動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于A，兩點(diǎn)，證明：直線、的斜率乘積為定值；
(3)過(guò)左焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使恒成立？若存在，求此時(shí)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【解析】（1）由題，，，所以，
橢圓的方程為.
（2）
證明：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以，，
同理設(shè)點(diǎn)，則，，
因?yàn)橹本€AB過(guò)原點(diǎn)，所以關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)，
.
（3）
，當(dāng)直線MN斜率為零時(shí)，不妨設(shè)，，
則，，，，
存在，使成立，
當(dāng)直線MN斜率不為零時(shí)，設(shè)直線方程為，，，
聯(lián)立方程組，消去x得，易知，
所以，，，
，
又因?yàn)?，?br>所以，，
又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，最小為3，
綜上，存在，使成立，最小為3.
0
2
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