2023年高考數(shù)學(xué)第二次模擬考試卷（北京A卷）高三數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘  試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回 第Ⅰ卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（    ）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意， ；故選：C.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】，故在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A3．已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到直線距離的最大值為（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】由于半徑為1的圓（設(shè)為圓）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以圓的圓心的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，到直線距離為，所以圓的圓心到直線距離的最大值為.故選：C4．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（    ）A． B．C． D．【答案】B【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是奇函數(shù)，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，的定義域?yàn)?/span>R，且，故為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，為減函數(shù)，故為增函數(shù)，故B正確；C選項(xiàng)，為減函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，不是單調(diào)函數(shù)，在上單調(diào)遞減，D錯(cuò)誤.故選：B5．函數(shù)是（    ）A．最小正周期為的偶函數(shù)B．最小正周期為的奇函數(shù)C．最小正周期為的偶函數(shù)D．最小正周期為的奇函數(shù)【答案】C【詳解】，，即函數(shù)為偶函數(shù)，又，故函數(shù)為最小正周期為的偶函數(shù).故選：C.6．設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“函數(shù)滿足對(duì)恒成立”是“為遞增數(shù)列”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【詳解】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，因此對(duì)恒成立，為遞增數(shù)列，反之，為遞增數(shù)列，即對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，因此函數(shù)滿足對(duì)恒成立，所以“函數(shù)滿足對(duì)恒成立”是“為遞增數(shù)列”的充要條件.故選：C7．是無(wú)理數(shù)的近似值,被稱為黃金比值.我們把腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，是頂角為，底的第一個(gè)黃金三角形，是頂角為的第二個(gè)黃金三角形，是頂角為的第三個(gè)黃金三角形，是頂角為的第四個(gè)黃金三角形…,那么依次類推，第個(gè)黃金三角形的周長(zhǎng)大約為（    ）A．B．C．D．【答案】C【詳解】第一個(gè)黃金三角形：的底為，由可得腰長(zhǎng)；第二個(gè)黃金三角形：的底為，由可得腰長(zhǎng)；第三個(gè)黃金三角形：的底為，由可得腰長(zhǎng)；以此類推，第個(gè)黃金三角形的底為，腰長(zhǎng)為，所以周長(zhǎng)為因?yàn)?/span>，所以，所以原式故選：C8．若，則（    ）A．5 B． C．3 D．【答案】B【詳解】，則．故選：B.9．《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．已知鱉臑的四個(gè)頂點(diǎn)均在表面積為的球面上，則該鱉臑體積的最大值為（    ）．A． B． C．2 D．4【答案】B【詳解】把鱉臑放到長(zhǎng)方體中，如下圖所示：設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，顯然該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，所以有，顯然該鱉臑體積為，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：B10．已知是非零向量，且，設(shè)為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)與的夾角為時(shí)，的最小值為（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)極化恒等式:有．以O為起點(diǎn)，設(shè)的終點(diǎn)分別為A，B，C，M為的中點(diǎn)，則點(diǎn)C在以點(diǎn)M為圓心，半徑的圓上，的終點(diǎn)在與成的直線l上，如圖，因此的最小值為．故選：C.第Ⅱ卷二、填空題：本題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分．11．函數(shù)的定義域?yàn)?/span>__________.【答案】【詳解】由已知得，解得且，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故答案為：.12．已知雙曲線C的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且傾斜角為的直線與C的右支交于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則C的離心率為__________．【答案】##【詳解】由題意可知，所以，，因此由余弦定理可知：，設(shè)該雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?/span>，所以三角形是等邊三角形，因此，由雙曲線的定義可知：，所以C的離心率為，故答案為：13．對(duì)于數(shù)列，令，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③存在各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，使得對(duì)任意的都成立；④若對(duì)任意的，都有，則有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①②④【詳解】對(duì)于①：因?yàn)?/span>，且因?yàn)?/span>，所以，所以，故選項(xiàng)①正確；對(duì)于②：若，則所以，所以兩式相減得，所以，所以，所以，故選項(xiàng)②正確；對(duì)于③：，，所以若對(duì)任意的都成立，則有，所以，因?yàn)楦黜?xiàng)為整數(shù)，則不等式串中絕對(duì)值只能從越來(lái)越小，之后甚至?xí)霈F(xiàn)大于某數(shù)絕對(duì)值的情況，例如：，后續(xù)還會(huì)有絕對(duì)值，但是會(huì)有矛盾，故選項(xiàng)③錯(cuò)誤；對(duì)于④：若對(duì)任意的，都有，則有..故選項(xiàng)④正確；故答案為：①②④.14．已知函數(shù)，則______；若將的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則的一個(gè)對(duì)稱中心為______.【答案】          (答案不唯一)【詳解】，所以，將的圖象向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則，所以的對(duì)稱中心為.故的一個(gè)對(duì)稱中心為.故答案為：；(答案不唯一).15．若函數(shù)存在最小值，則的一個(gè)取值為______；的最大值為______.【答案】     0（答案不唯一）     4【詳解】對(duì)于，在上遞減，上遞增，在R上的最小值為0；對(duì)于，開(kāi)口向上且對(duì)稱軸為，所以，在上遞減，上遞增，在R上的最小值為；綜上，對(duì)于f(x)：當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增，此時(shí)恒成立，所以不存在最小值；當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增，此時(shí)最小值為0；當(dāng)時(shí)，在上遞減，,上遞增，且，又，若時(shí)，，此時(shí)最小值為0；若時(shí)，，此時(shí)最小值為0；若時(shí)，，此時(shí)最小值為0；若時(shí)，，此時(shí)最小值為0；若時(shí)，，此時(shí)不存在最小值；綜上，，故m的最大值為4.故答案為：0（答案不唯一），4三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．在中內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，若．(1)求角的大小(2)若，求的值【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，；整理得，；∴；由得，，又；∴；∴；∴；（2）∵，∴由正弦定理可得，可得為銳角，可得，∴．17．如圖在幾何體中，是等邊三角形，直線平面，平面平面，，．(1)證明：；(2)在“①平面；②平面”兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并解答．點(diǎn)M為線段上的一點(diǎn)，滿足__________，直線與平面所成角的大小為，求平面與平面的夾角的余弦值．（請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上注明你選擇的條件序號(hào)）【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）由題知：直線平面，∵平面，∴平面平面，平面平面， 平面，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以.（2）若選擇①:因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面所以，又,因此四邊形為平行四邊形，即為中點(diǎn)若選擇②:因?yàn)?/span>平面，平面，所以，又所以四邊形為平行四邊形，即為中點(diǎn)，（選擇①和選擇②都能證明為中點(diǎn)，以下的解析過(guò)程兩種選擇相同.）所以 ，，因?yàn)橹本€平面，所以直線與平面所成角為，有， 則，，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為 且 ，   ，令，則，解得 ， 平面的一個(gè)法向量為，，，，令，則，，設(shè)平面與平面所成銳二面角為， .所以平面與平面的夾角的余弦值為.18．地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖（如圖1），考慮到受市場(chǎng)影響，預(yù)測(cè)該地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格情況如表1（該預(yù)測(cè)價(jià)格與畝產(chǎn)量互不影響）.明年冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格（單位：元）概率表1假設(shè)圖1中同組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估算，并以頻率估計(jì)概率.(1)試估計(jì)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為元的概率；(2)設(shè)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入元的成本進(jìn)行某項(xiàng)技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平均增加.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良？并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，(3)建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由圖可知，畝產(chǎn)量是的概率約為，畝產(chǎn)量是的概率約為，畝產(chǎn)量是的概率約為，估計(jì)地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為元的概率為（2）解：由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有：、、、、，，，，，，所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示： .（3）解：建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良，設(shè)增產(chǎn)前每畝冬小麥產(chǎn)量為，增產(chǎn)后每畝冬小麥產(chǎn)量為，則，設(shè)增產(chǎn)后的每畝動(dòng)漫小麥總價(jià)格為元，分析可知，所以，增產(chǎn)的會(huì)產(chǎn)生增加的收益為，故建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良.19．已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形周長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，線段的垂直平分線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果，求的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設(shè)得，解得，，，所以橢圓的方程為.（2）由，得，由，得.設(shè)、，則，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，所以直線的方程為.令，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)、點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè).因?yàn)?/span>，所以，所以.又因?yàn)?/span>，，所以，解得，所以.20．設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線的切線，證明：切線有且僅有一條，且求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo).【答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為(2)(3)證明見(jiàn)解析，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【詳解】（1）時(shí)，，∴，∵當(dāng)，，為單調(diào)減函數(shù)．當(dāng)，，為單調(diào)增函數(shù)．∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）∵，在區(qū)間上是減函數(shù)，∴對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，∴；（3）設(shè)切點(diǎn)為，由題意得，∴,∴曲線在點(diǎn)切線方程為，即．又切線過(guò)原點(diǎn)，∴，整理得，設(shè)，則恒成立，在上單調(diào)遞增，又，∴在上只有一個(gè)零點(diǎn)，即，∴切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴切線有且僅有一條，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.21．若無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù).且對(duì)于，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質(zhì).(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)，并說(shuō)明理由.①；②.(2)若數(shù)列滿足性質(zhì)，且，求證：集合為無(wú)限集；(3)若周期數(shù)列滿足性質(zhì)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)①不滿足，②滿足(2)證明見(jiàn)詳解(3)或【詳解】（1）對(duì)①：取，對(duì)，則，可得，顯然不存在，使得，故數(shù)列不滿足性質(zhì)；對(duì)②：對(duì)于，則，故，∵，則，且，∴存在，使得，故數(shù)列滿足性質(zhì).（2）若數(shù)列滿足性質(zhì)，且，則有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故數(shù)列中存在，使得，即，反證：假設(shè)為有限集，其元素由小到大依次為，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即這與假設(shè)相矛盾，故集合為無(wú)限集.（3）設(shè)周期數(shù)列的周期為，則對(duì)，均有，設(shè)周期數(shù)列的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，即對(duì)，均有，若數(shù)列滿足性質(zhì)：反證：假設(shè)時(shí)，取，則，使得，則，即，這對(duì)，均有矛盾，假設(shè)不成立；則對(duì)，均有；反證：假設(shè)時(shí)，取，則，使得，這與對(duì)，均有矛盾，假設(shè)不成立，即對(duì)，均有；綜上所述：對(duì)，均有，反證：假設(shè)1為數(shù)列中的項(xiàng)，由（2）可得：為數(shù)列中的項(xiàng)，∵，即為數(shù)列中的項(xiàng)，這與對(duì)，均有相矛盾，即對(duì)，均有，同理可證：，∵，則，當(dāng)時(shí)，即數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，設(shè)，故對(duì)，都存在，使得，解得或，即或符合題意；當(dāng)時(shí)，即數(shù)列至少有兩個(gè)不同項(xiàng)，則有：①當(dāng)為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；②當(dāng)為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；③當(dāng)為數(shù)列中的項(xiàng)，則，即為數(shù)列中的項(xiàng)，但，不成立；綜上所述：或.
 

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