等腰三角形的判定定理：
有兩個角相等的三角形是等腰三角形.(簡稱“等角對等邊”).
用反證法證題的一般步驟:1. 假設(shè): 先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;2. 歸謬: 從這個假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;3. 結(jié)論: 由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.
1.能用所學(xué)的知識證明等邊三角形的判定定理.(重點(diǎn))2.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關(guān)問題.(難點(diǎn))
探究一：等邊三角形的判定
由等腰三角形的判定定理，可得等邊三角形的兩個判定定理：
1.三個角都相等的三角形是等邊三角形；2.有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.
∵ ∠A= ∠ B,∴ AC=BC.∵ ∠ B=∠C,∴ AB=AC.∴AB=AC=BC.
定理2：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.求證： AB=AC=BC.
證明完整嗎？是不是還有另一種情形呢？
證明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等邊對等角)，∴∠A=60°(三角形內(nèi)角和定理)．∴∠A=∠B =∠C=60°． ∴△ABC是等邊三角形(三個角都相等的三角形是等邊三角形).
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等邊三角形.
變式：上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE, △ADE還是等邊三角形嗎?試說明理由.
如圖,在等邊三角形ABC中，AD=AE, 求證：△ADE是等邊三角形.
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
∴ △ADE是等腰三角形
∴ △ADE是等邊三角形.
又∵ ∠A=60°.
“三線合一”,即等腰三角形頂角平分線，底邊上的中線、高線互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形
等邊三角形三個內(nèi)角都相等，且每個角都是60°
三個角都相等的三角形是等邊三角形
探究二：含30°角的直角三角形的性質(zhì)
你能說出所拼成的三角形的形狀嗎？
結(jié)論:在直角三角形中, 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.
分析：突破如何證明“線段的倍、分”問題
∵ ∠ACB=90°, ∠BAC=30°，∴∠ACD=90°，∠B=60°，∵AC=AC， ∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AB=AD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）. ∴△ABD是等邊三角形(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)，
證明: 延長BC至D,使CD=BC,連接AD.
定理:在直角三角形中, 如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
證明:在直角三角形中, 如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．
1.下列說法不正確的是(　　)A.三邊相等的三角形是等邊三角形B.三個角相等的三角形是等邊三角形C.有一個角為60°的三角形是等邊三角形D.頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形
∴△ABC是等邊三角形.
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴ ∠FDC=∠ABC=60°，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠EDF=∠FDC=60°，
解：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°，∴在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm，即AB的長度是12 cm.
1.等邊三角形的判定:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．三個角都相等的三角形是等邊三角形．
2.特殊的直角三角形的性質(zhì):在直角三角形中, 如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．
3.數(shù)學(xué)方法：分類的思想．
3.在等邊三角形中，兩條中線所夾的鈍角的度數(shù)為 .
6.已知a，b，c是△ABC的三邊，且滿足關(guān)系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，試說明△ABC是等邊三角形．
證明：由a2+c2=2ab+2bc-2b2，得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，∴ a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0， ∴ (a－b)2＋(b－c)2＝0，∴ a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，∴ a＝b＝c，∴ △ABC是等邊三角形．

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1 等腰三角形

版本： 北師大版

年級： 八年級下冊

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