問(wèn)題1：等腰三角形有哪些性質(zhì)定理及推論？
等腰三角形的兩底角相等(簡(jiǎn)寫成 ‘‘等邊對(duì)等角”)．
等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)寫成 ‘‘三線合一”)
問(wèn)題2：等腰三角形的“等邊對(duì)等角”的條件和結(jié)論分別是什么？
條件：一個(gè)三角形是等腰三角形.
結(jié)論：相等的兩邊所對(duì)應(yīng)的角相等.
1.學(xué)會(huì)證明等角對(duì)等邊進(jìn)行等腰三角形的判定;(重點(diǎn)) 2.體會(huì)反證法的含義并會(huì)用反證法進(jìn)行證明.（難點(diǎn)）
探究一：等腰三角形的判定
分析：比如作角A的平分線，或作BC上的高，都可以把△ABC分成兩個(gè)全等的三角形．
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
等腰三角形的判定定理：
有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.(簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”).
證明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）,
∴AE=DE(等角對(duì)等邊）,
∴ △AED是等腰三角形.
想一想：小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等．你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎?如果成立，你能證明它嗎?
在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與已知或公理或已證明過(guò)的定理相矛盾，從而證明命題的結(jié)論一定成立．這種證明方法稱為反證法．
用反證法證題的一般步驟:1. 假設(shè): 先假設(shè)命題的結(jié)論不成立;2. 歸謬: 從這個(gè)假設(shè)出發(fā),應(yīng)用正確的推論方法,得出與定義，公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果;3. 結(jié)論: 由矛盾的結(jié)果判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.
例2 用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.
證明：假設(shè)∠A,∠B,∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A=∠B=90°，則∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角．
已知：△ABC．求證：∠A,∠B,∠C中不能有兩個(gè)角是直角．
1.用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中(　　)A．有一個(gè)內(nèi)角大于60° B．有一個(gè)內(nèi)角小于60°C．每一個(gè)內(nèi)角都大于60° D．每一個(gè)內(nèi)角都小于60°
4.用反證法證明命題“一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，至多有一個(gè)銳角”的第一步是假設(shè) ．
三角形的三個(gè)外角中，有兩個(gè)銳角
證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC.又∵∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴ CE＝CF，∴ △CEF是等腰三角形．
證明：假設(shè)△ABC中能有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，這與三角形的內(nèi)角和等于180°矛盾，所以假設(shè)不成立.因此原命題正確，即△ABC中不能有兩個(gè)鈍角．
7.求證：△ABC中不能有兩個(gè)鈍角．
2.在△ABC中,已知a,b,c分別是∠A,∠B,∠C的對(duì)邊,則下列條件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)A.a=3,b=3,c=4 B.a∶b∶c=2∶3∶4C.∠B=50°,∠C=80° D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
30°或75°或120°
BD=CA(答案不唯一)
解: (1)證明:在△ABD和△ACE中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS).
6.用反證法證明:在一個(gè)三角形中,至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.
證明: 假設(shè)∠A ,∠B, ∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,且都大于60°,則∠A> 60°,∠B > 60°, ∠C> 60°,∴ ∠A+∠B+∠C>180°，這與三角形的內(nèi)角和是180定理矛盾，∴假設(shè)不成立，∴在一個(gè)三角形中,至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°.

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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

1 等腰三角形

版本： 北師大版

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