在“平行線的證明”這一章中，我們給出了哪8條基本事實？
1.兩點確定一條直線；2.兩點之間線段最短；3.同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；4.同位角相等，兩直線平行；5.過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；6.兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等；7.兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等；8.三邊分別相等的兩個三角形全等.
我們從其中的幾條基本事實出發(fā)證明了有關(guān)平行線的一些結(jié)論.
運用這些基本事實和已經(jīng)學(xué)習(xí)過的定理，我們還可以證明有關(guān)三角形的一些結(jié)論.
1.回顧全等三角形的判定和性質(zhì);2.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì)及其推論，能運用等腰三角形的性質(zhì)及其推論解決基本的幾何問題.(重點)
定理　兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等 (AAS).
問題：你能運用基本事實及已經(jīng)學(xué)過的定理證明上面的推論嗎？
弄清楚證明一個命題的一般步驟是解題的關(guān)鍵
證明一個命題的一般步驟:(1)弄清題設(shè)和結(jié)論； (2)根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形；(3)根據(jù)題設(shè)和結(jié)論寫出已知和求證； (4)分析證明思路，寫出證明過程.
探究一：全等三角形的判定和性質(zhì)（指向目標1）
已知：如圖,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.
證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°），∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）， ∴∠C=∠F（等量代換）.∵BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）.
定理：兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（AAS）.
根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：
全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.
測試評價（指向目標1）
探究二：等腰三角形的性質(zhì)及其推論（指向目標2）
問題1：你還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎?
這一定理可以簡述為：等邊對等角.
定理:等腰三角形的兩個底角相等.
問題2：你能利用已有的公理和定理證明這個定理嗎?
作底邊的中線AD， 則BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共邊)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的對應(yīng)角相等).
在△BAD和△CAD中
作頂角的平分線AD，則∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共邊),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
方法二：作頂角的平分線
定理:等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性質(zhì)易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，即AD是等腰△ABC底邊BC上的中線、頂角∠BAC的角平分線、底邊BC上的高線 .
證明后的結(jié)論,以后可以直接運用.
推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三線合一）.
幾何語言：如圖,在△ABC中,
測試評價（指向目標2）
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝180°－∠ADC＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.
解析：(1)過A作AG⊥BC于G，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BG＝CG，DG＝EG即可證明；(2)先證BF＝CF，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明．
證明：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
1.若等腰三角形的頂角為50°,則它的底角的度數(shù)為　　　　.

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1 等腰三角形

版本： 北師大版

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