一、解答題
1．（2022九上·溫州月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝13，求AC，AB及sinB的值．
【答案】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝13，
∴sinA＝BCAB＝13，即2AB＝13，
∴AB＝6，
∴AC＝AB2?BC2=62?22=42，
∴sinB＝ACAB=426=223.
【解析】【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)的定義求出AB，再利用勾股定理求出AC，最后根據(jù)正弦函數(shù)的定義，即可求出sinB的值．
2．（2022九上·臨清期中）如圖，在△ABC中，∠C=30°，AC=12，sinB=35，求BC長．
【答案】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D
在Rt△ADC中，AC=12，∠C=30°
∴AD=12AC=6，CD=3AD=63
在Rt△ABD中，sinB=35
∴AB=10
∴BD=8
∴BC=BD+CD=8+63
∴BC長為8+63
【解析】【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，先利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AD=12AC=6，CD=3AD=63，再解直角三角形求出AB和BD，最后利用線段的和差求出BC的長即可。
3．（2022九上·牟平期中）如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠BCA=45°，AC=4，求AB的長．（sin75°=6+24，cs75°=6?24）
【答案】解：過C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D．
∵∠B=30°，∠BCA=45°，
∴∠CAD=∠B+∠BCA=75°，
在Rt△ACD中，AC=4，∠CAD=75°，
∴AD=AC?cs∠CAD=4cs75°=6?2
CD=AC?sin∠CAD=4sin75°=6+2
在Rt△BCD中，∠B=30°，
∴BD=CDtanB=6+2tan30°=32+6
∴AB=BD?AD=32+6?6+2=42．
【解析】【分析】
過C作CD⊥AB，交BA的延長線于點(diǎn)D ， 根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠CAD.在Rt△ACD中，求出AD， CD，在Rt△BCD中，求出BD，再利用AB= BD- AD即可求解。
4．（2022九上·齊齊哈爾月考）如圖，在△ABC中，AC=12，∠C=45°，∠B=120°，求BC的長．
【答案】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，則∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴AD=DC，
根據(jù)勾股定理可得：AD2+DC2=AC2，
即 2AD2=AC2=122，
解得AD=DC=62，
∵∠ABC=120° ，
∴∠ABD=60°，
在Rt△ABD中，
設(shè)BD=x，則AB=2x，
根據(jù)勾股定理可得：AD2+DB2=AB2，
即(62)2+x2=(2x)2，
解得x=26，
即BD=26，
∴BC=DC?DB=62?26．
【解析】【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長線于點(diǎn)D，則∠ADC=90°，設(shè)BD=x，則AB=2x，根據(jù)勾股定理可得(62)2+x2=(2x)2，求出x=26，再利用線段的和差求出BC=DC?DB=62?26即可。
5．（2022九上·蚌埠月考）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，csB=45，tanC=3，AB=5，求AC的長．
【答案】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵csB=45，AB=5，
∴BD=AB·csB=5×45=4，
∴AD=AB2?BD2=52?42=3，
∵tanC=3，
∴CD=ADtanC=33=3
∴AC=AD2+CD2=32+(3)2=23
【解析】【分析】根據(jù)csB=45，AB=5，求出BD=AB·csB=5×45=4，再利用tanC=3求出CD=ADtanC=33=3，最后利用勾股定理求出AC的長即可。
6．（2022九上·海陽期中）如圖，在△ABC中，BA=BC，點(diǎn)E在BC上，且AE⊥BC，cs∠B=45，EC=3，求BE的長及tan∠CAE的值．
【答案】解：∵AE⊥BC，cs∠B=45，
∴BEAB=45，設(shè)BE=4x，則AB=5x，
∵BA=BC，則BC=5x，
∵EC=3，EC=BC?BE，
∴5x?4x=3，即x=3，
∴BE=4x=12，BA=BC=5x=15，
∴AE=AB2?AE2=152?122=9，
∴tan∠CAE=CEAE=39=13.
【解析】【分析】由題意得出BEAB=45，設(shè)BE=4x，則AB=5x，根據(jù)EC=3，EC=BC?BE，列出方程得出x的值，利用勾股定理得出AE的值，再利用正切性質(zhì)即可得解。
7．（2022九上·曹縣期中）如圖，△ABC中，AB=AC=6，sinB=23，D為BC邊延長線上一點(diǎn)，CD=BC，求tanD的值．
【答案】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E．
∴sinB=AEAB=23．
∵AB=AC=6，
∴AE=4，
∴BE=AB2?AE2=25．
∵AE⊥BD，AB=AC=6，
∴CE=BE=25，
∴CD=BC=BE+CE=45，
∴DE=CD+CE=65，
∴tanD=AEDE=465=2515
【解析】【分析】過點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理得出BE的值，由AE⊥BD，AB=AC=6，得出CE的值，從而得出CD、DE的值，由此得出答案。
8．（2022九上·楊浦期中）如圖，已知△ABC中，AB=12，∠B=30°，tanC=247，邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E．求線段CE的長．
【答案】解：過A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，如圖所示：
在Rt△ABH中，∠B=30°，AB=12，
∴AH=6，BH=63，
在Rt△ACH中，tanC=AHCH=247，
∴CH=74，
∴BC=BH+CH=63+74，
∵DE垂直平分AB，
∴BD=12AB=6，DE⊥AB，
在Rt△BDE中，csB=BDBE=32，
∴BE=43，
∴CE=BC?BE=63+74?43=23+74．
【解析】【分析】過A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，在Rt△ABH中，∠B=30°，AB=12，得出AH=6，BH=63，在Rt△ACH中，tanC=AHCH=247，得出CH的值，代入得出BC，在Rt△BDE中，csB=BDBE=32，得出BE的值，代入求解即可。
9．（2021九上·文登期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝43，求四邊形ABCD的面積．
【答案】解：如圖，延長AD、BC相交于點(diǎn)E，
∵∠B=90°，
∴tanA=BEAB=43，
∴BE=43AB=4，
∴CE=BE-BC=2， AE=AB2+BE2=5，
∴sinE=ABAE=35，
又∵∠CDE=∠CDA=90°，
∴在Rt△CDE中，sinE=CDCE，
∴CD=CE?sinE=2×35=65，
∴DE=CE2?CE2=85，
∴S四邊形ABCD=S△ABE?S△EDC
=12AB?BE?12CD?BE
=12×3×4?12×65×85
=12625．
【解析】【分析】延長AD、BC相交于點(diǎn)E，先求出CD=CE?sinE=2×35=65，利用勾股定理求出DE的長，再利用割補(bǔ)法可得S四邊形ABCD=S△ABE?S△EDC，最后將數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可。
10．（2022九上·曹縣期中）如圖，某海岸線AM的方向?yàn)楸逼珫|75°，從港口A處測得海島C在北偏東45°方向，從港口B處測得海島C在北偏東30°方向，已知港口A與海島C的距離為36海里，求港口B與海島C的距離．
【答案】解：過點(diǎn)C作CD⊥AM，垂足為D，
由題意得，∠CAD=75°?45°=30°，∠CBD=75°?30°=45°，
∵港口A與海島C的距離為36海里，即AC=36(海里)，
∴CD=12AC=18(海里)，
∵∠CBD=75°?30°=45°，
∴CD=BD=18(海里)，
∴BC=182+182=182(海里)，
答：港口B與海島C的距離為182海里．
【解析】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AM，垂足為D，構(gòu)造直角三角形得出∠CAD=75°?45°=30°，∠CBD=75°?30°=45°，由港口A與海島C的距離為36海里，即AC=36(海里)，得出CD的值，利用勾股定理即可得解。
11．（2022九上·即墨期末）自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，某地政府決定對一段如圖（1）所示的坡路進(jìn)行改造．如圖（2）所示，改造前的斜坡的高度AE=100米，坡角∠ABE=30°；將斜坡AB的高度AE降低20米后，斜坡AB改造為斜坡CD，其坡度為1：4，改造后的斜坡多占多長一段地面？（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】解：∵∠AEB=90°，AE=100米，∠ABE=30°，
∴AB=AEsin30°=10012=200米，
∴BE=AB?cs30°=200×32=1003米，
∵AC=20米，
∴CE=100?20=80米，
∵斜坡CD的坡度為1∶4，即tan∠CDE=14，
∴CEED=14，即80ED=14，
∴DE=320米，
∴BD=DE?BE=320?1003（米），
答：改造后的斜坡多占的地面為(320?1003)米．
【解析】【分析】先利用解直角三角形的方法求出BE=AB?cs30°=200×32=1003，DE=320，再利用線段的和差求出BD=DE?BE=320?1003即可。
12．（2022九上·膠州期末）如圖是旗桿AB豎直放置在矩形平臺(tái)EFMC上的示意圖，在某一時(shí)刻旗桿AB形成的影子的頂端恰好落在斜坡CD的D處，點(diǎn)F，M，D在一條直線上，現(xiàn)測得BC=10m，CD=8m，∠CDF=30°，∠ADF=45°，求旗桿AB的高度．
【答案】解：如圖：延長AB交FM于點(diǎn) N，則∠BNM=90°
又∵∠CMN=∠BCM=90°
∴四邊形BNMC為矩形
∴NM=BC=10m，BN=CM
在Rt△CMD中，
∵sin∠CDM=CMCD，cs∠CDM=MDCD
∴CM=CD×sin∠CDM=8×12=4m
DM=DC×cs∠CDM=8×32=43m
∴ND=NM+MD=10+43m
在 Rt△ADN 中，
∵tan∠ADN=ANDN
∴AN=DN×tan∠ADN=10+43m
∴AB=AN?BN=10+43?4=6+43m
答：旗桿AB的高度為(6+43)m．
【解析】【分析】延長AB交FM于點(diǎn) N，先利用解直角三角形的方法求出AN=DN×tan∠ADN=10+43，再利用線段的和差求出AB=AN?BN=10+43?4=6+43即可。
13．（2022九上·棲霞期中）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AC，BD和AB的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）．
【答案】解：如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)E，
∴四邊形CDFE是矩形，
∴EF=CD=3.40m，CE=DF=5.00m，
在Rt△ACE中，cs∠ECA=CECA，
∴CA=5cs45°=52≈7.07m，
在Rt△BDF中，cs∠BDF=DFDB，
∴DB=5.00cs30°=1033≈5.77m，
∵∠FDB=30°，
∴BF=12DB=12×5.77=2.89m，
∵AB+AE=EF+BF，
∴AB=EF+BF?AE=3.4+2.89?5=1.29m，
∴AC≈7.07m，BD≈5.77m， AB≈1.29m．
【解析】【分析】在Rt?CEA中，利用45°的余弦可計(jì)算出CA，在Rt?BDF中利用30°的余弦可計(jì)算出DB進(jìn)而求出 BF的值，然后利用AB+AE=EF+BF計(jì)算AB的長．
14．（2022九上·柯城月考）一個(gè)長方體木箱沿斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖所示位置時(shí)，AB=2m.已知木箱高度BE=1m，斜面坡角∠BAC為30°，求木箱端點(diǎn)E距地面AC的高度.
【答案】解：過E作EH⊥AC交AC于H，交AB于G，如圖，
由題意可得，
∠BAC+∠AGH=90°，∠BEG+∠BGE=90°，∠AGH=∠BGE，且∠BAC為30°，
∴∠BAC=∠BEG=30°，
∵cs∠BEG=cs30°=BEEG ，tan∠BEG=tan30°=BGBE ，BE=1m，
∴GE=BEcs30°=233 ，BG=BE×tan30°=33 ，
∵AB=2m，
∴AG=AB?BG=2?33
∵cs∠BAC=cs30°=GHGA，
∴GH=AG×cs30°=(2?33)×32=3?12，
EH=EG+GH=233+3?12=533?12 .
【解析】【分析】 過E作EH⊥AC交AC于H，交AB于G， 根據(jù)等角的余角相等得∠BAC=∠BEG=30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值可得GE、BG的長，根據(jù)線段的和差得AG的長，最后再根據(jù)正切函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值算出GH的長，從而就不難求出EH的長了.
15．（2022九上·義烏月考）如圖，小明站在斜坡AB上的點(diǎn)A處，看到坡下一棵大樹頂端的影子剛好落在山腳下的B處（點(diǎn)A與大樹及其影子在同一平面內(nèi)），此時(shí)太陽光與地面成60°角，在點(diǎn)A處測得大樹頂端的俯角為15°.已知山坡AB的坡比為3：1，AB為10米，請幫助小明計(jì)算這棵大樹的高度.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.732）
【答案】解：過D作DM⊥AB于M，過A作AF⊥BC于F，
∵山坡AB的坡比為3：1，
∴tan∠ABF=AFBF=3，
∴∠ABF=60°，
∴∠ABD=180°-∠ABF-∠DBC=60°，
∴在Rt△MBD中，
tan∠MBD=MDBM=3，
設(shè)MB=x，則MD=3x，
∵AE∥CB，
∴∠EAB=∠ABF=60°，
∴∠DAM=∠EAM-∠EAD=45°，
在Rt△AMD中，
tan∠MAD=MDMA=1，
∴AM=MD=3x，
∴3x+x=10，
∴x=53-5，
在Rt△MBD中，cs∠MBD=MBBD=12，
∴BD=2x=103-10，
∵sin∠DBC=DCBD=32，
∴DC=15-53≈6.3(米)，
答：這棵大樹的高度約為6.3米.
【解析】【分析】 過D作DM⊥AB于M，過A作AF⊥BC于F， 根據(jù)坡比的定義及特殊銳角三角函數(shù)值可得∠ABF=60°，根據(jù)平角的定義得∠ABD=60°，在Rt△MBD及 Rt△AMD中，根據(jù)正切函數(shù)的定義及特殊銳角三角函數(shù)值可設(shè) MB=x，則MD=3x ， AM=MD=3x， 進(jìn)而根據(jù)AM+BM=AB=10建立方程，求解得出x的值， 在Rt△MBD中 ，根據(jù)余弦函數(shù)的定義可得 BD=2x=103-10， 最后根據(jù) sin∠DBC=DCBD=32， 即可算出DC的長得出答案.
16．（2022九上·閔行期中）如圖，在電線桿上的C處引拉線CE和CF固定電線桿．在離電線桿6米的B處安置測角儀（點(diǎn)B、E、D在同一直線上），在點(diǎn)A處測得電線桿上C處的仰角為30°．已知測角儀的高AB為3米，拉線CE的長為6米，求測角儀底端（點(diǎn)B）與拉線固定點(diǎn)（E）之間的距離．
【答案】解：如圖：
過A作AM垂直于CD，垂足為點(diǎn)M，
則AM=BD=6米，MD=AB=3米，∠AMC=90°，
∵∠CAM=30°，
∴CM=12AC，
∵AC2?CM2=AM2，
∴3CM2=36，
∴CM=23（米），
∴CD=33（米），
∵CE=6米，
利用勾股定理得DE=CE2?CD2=62?（33）2=9=3（米），
∴BE=6?3=3（米）．
答：測角儀底端（點(diǎn)B）與拉線固定點(diǎn)（E）之間的距離是3米．
【解析】【分析】過A作AM垂直于CD，垂足為點(diǎn)M，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得CM=12AC，再結(jié)合AC2?CM2=AM2，求出CM=23，利用勾股定理求出DE的長，再利用線段的和差求出BE的長即可。
17．（2022·淮安）如圖，湖邊A、B兩點(diǎn)由兩段筆直的觀景棧道AC和CB相連.為了計(jì)算A、B兩點(diǎn)之間的距離，經(jīng)測量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B兩點(diǎn)之間的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，
在Rt△ACD中，
∵∠DAC=37°，AC=80米，
∴sin∠DAC=CDAC，cs∠DAC=ADAC，
∴CD=AC?sin37°≈80×0.60=48（米），
AD=AC?cs37°≈80×0.80=64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD=58°，CD=48米，
∴tan∠CBD=CDBD，
∴BD=CDtan58°≈481.60=30（米），
∴AB=AD+BD=64+30=94（米）.
答：A、B兩點(diǎn)之間的距離約為94米.
【解析】【分析】 過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，用三角函數(shù)定義得CD=AC×sin37°，AD=AC×cs37°，在Rt△BCD中，用三角函數(shù)定義得 BD=CDtan58°，代入求值可分別算出CD、AD，BD的長，最后根據(jù)AB=AD+BD算出答案.
18．如圖，甲乙兩艘漁船從港口A同時(shí)出發(fā)前往某海域捕魚，甲船以16海里/時(shí)的速度向南偏東50°航行，乙船向北偏東40°航行，3小時(shí)后，甲船到達(dá)B島，乙船到達(dá)C島，若C、B兩島相距60海里，問乙船的航速是多少？
【答案】解：根據(jù)題意，得 ∠CAB=180°?40°?50°=90° ，
∵AC=16×3=48( 海里 ) ， BC=60 海里，
∴ 在直角三角形 ABC 中，根據(jù)勾股定理得： AB=602?482=36( 海里 ) .
則乙船的速度是 36÷3=12 海里 / 時(shí).
【解析】【分析】根據(jù)題意得 ∠CAB=90°，AC=16×3=48海里，BC=60海里，利用勾股定理求出AB，然后除以時(shí)間就可求出乙船的速度.
19．（2022九上·乳山期中）一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一條東西流向的河寬，如圖所示，小明在河北岸點(diǎn)A處觀測到河對岸有一點(diǎn)C在A的南偏西60°的方向上，沿河岸向西前行20m到達(dá)B處，又測得C在B的南偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明計(jì)算出這條河的寬度．（結(jié)果保留根號(hào)）
【答案】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D．
設(shè)CD=xm．
∵在Rt△BCD 中，∠CBD=45°，
∴BD=CD=xm．
在Rt△ACD中，∠ACD=60°，
AD=AB+BD=(20+x)m，CD=xm，
∴tan∠ACD=ADCD．
即20+xx=3．
解得x=103+10．
∴這條河的寬度為(103+10)m．
【解析】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，設(shè)CD=xm，則AD=AB+BD=(20+x)m，CD=xm，再根據(jù)tan∠ACD=ADCD，可得20+xx=3，求出x的值即可。
20．（2022九上·萊西期中）某學(xué)校升氣球慶祝黨的二十大勝利召開．如圖，一氣球到達(dá)離地面高度為12米的A處時(shí)，儀器顯示正前方一高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°．氣球要飛到樓頂，應(yīng)至少再上升多少米？（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73）
【答案】解：過A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，過A作AE⊥EC，垂足為點(diǎn)E，
根據(jù)題意，樓BC⊥EC，
∴四邊形AECD是矩形，
∴CD=AE，△ADC和△ADB都是直角三角形，
∵氣球到達(dá)離地面高度為12米的A處時(shí)，儀器顯示正前方高樓頂部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°，
∴CD=AE=12，∠CAD=60°，∠BAD=37°，
在Rt△ADC中，
∵CD=12，∠CAD=60°．
∴AD=CDtan60°=123≈6.94，
在Rt△ADB中，
∵AD≈6.94，∠BAD=37°．
∴BD=AD×tan37°≈6.94×0.75=5.205≈5.2（米）．
答：氣球應(yīng)至少再上升5.2米．
【解析】【分析】過A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，過A作AE⊥EC，垂足為點(diǎn)E，根據(jù)解直角三角形的方法可得AD=CDtan60°=123≈6.94，再求出BD=AD×tan37°≈6.94×0.75=5.205≈5.2即可。
21．（2022八上·寶雞月考）如圖，某港口O位于南北延伸的海岸線上，東面是大海．遠(yuǎn)洋號(hào)、長峰號(hào)兩艘輪船同時(shí)離開港O，“遠(yuǎn)洋”號(hào)沿著北偏東60°方向航行，“長峰”號(hào)沿著南偏東30°方向勻速航行，“遠(yuǎn)洋”號(hào)每小時(shí)航行12海里，“長峰”號(hào)每小時(shí)航行16海里，它們離開港口1小時(shí)后，分別到達(dá)A，B兩個(gè)位置，求1小時(shí)后遠(yuǎn)洋號(hào)、長峰號(hào)兩艘輪船相距多少海里．
【答案】解：∵“遠(yuǎn)洋”號(hào)沿著北偏東60°方向航行，“長峰”號(hào)沿著南偏東30°方向勻速航行，
∴∠AOB=180°?60°?30°=90°，
∵“遠(yuǎn)洋”號(hào)每小時(shí)航行12海里，“長峰”號(hào)每小時(shí)航行16海里，
∴OA=12海里，OB=16海里，
∴AB=OA2+OB2=122+162=20（海里），
答：1小時(shí)后遠(yuǎn)洋號(hào)、長峰號(hào)兩艘輪船相距20海里．
【解析】【分析】由題意可得∠AOB=90°，OA=12海里，OB=16海里，然后利用勾股定理計(jì)算即可.
22．（2022·西藏）某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測量校園內(nèi)一棵樹的高度．如圖，測量儀在A處測得樹頂D的仰角為45°，C處測得樹頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測量儀高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【答案】解：連接EF，交BD于點(diǎn)M，
則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，
在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，
∴EM＝DM，
設(shè)DM＝x米，則EM＝AB＝x米，F(xiàn)M＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，
在Rt△DFM中，tan37°＝DMFM，
即x28?x≈0.75，
解得x＝12，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原方程的根，
即DM＝12米，
∴DB＝12+1.6＝13.6（米），
答：樹BD的高度為13.6米．
【解析】【分析】連接EF，交BD于點(diǎn)M，則EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，EM＝DM，設(shè)DM＝x米，則EM＝AB＝x米，F(xiàn)M＝BC＝(28-x)米，根據(jù)正切三角函數(shù)的概念可得x的值，然后根據(jù)DB=DM+BM進(jìn)行計(jì)算.
23．（2021九上·牟平期中）某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點(diǎn)D在河的右側(cè)，人民路AB與橋BC垂直．某校數(shù)學(xué)小組進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)時(shí)，在C處測得點(diǎn)D位于西北方向，又在A處測得點(diǎn)D位于南偏東65°方向，另測得BC＝628m，AB＝400m，求出點(diǎn)D到AB的距離，（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)sin65°≈0.91，cs65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【答案】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，過D作DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形EBFD是矩形，
設(shè)DE＝x m，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠DAE＝DEAE，
∴AE＝DEtan∠DAE≈x2.14，
∴BE＝400－x2.14，
又BF＝DE＝x m，
∴CF＝(628?x)m，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝(628?x)m，
又BE＝DF，即400－x2.14＝628﹣x，
解得x＝428，
答：點(diǎn)D到AB的距離約是428m．
【解析】【分析】利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可。
24．（2021九上·福山期中）如圖，甲樓高40m，在甲樓樓頂D處、樓底A處分別測得乙樓樓頂B處的仰角為30°，60°．DE⊥BC，垂足為點(diǎn)E．求乙樓的高度BC．
【答案】解：設(shè)BE=x．
在Rt△BED中，
∵∠BDE=30°，
∴∠DBE=60°．
∴DE=BEtan60°=3x．
在Rt△ACB中，
∵∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°．
∴AC=BCtan30°=33(40+x)．
∵DE=AC，
∴3x=33(40+x)，
∴x=20．
∴BC=BE+CE=20+40=60(m)．
答：乙樓的高度BC為60米．
【解析】【分析】利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可。
25．（2022七下·新城期末）如圖，某天數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王婷想利用所學(xué)知識(shí)測量學(xué)校旗桿AB的高度，她在距離旗桿底端B處3米高的點(diǎn)C處做好標(biāo)記（即BC=3米），用測角儀在地面上的點(diǎn)E處測得點(diǎn)C的仰角∠1的度數(shù)，然后沿EB到達(dá)點(diǎn)D處，測得旗桿頂端A的仰角∠2的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)∠1+∠2=90°，經(jīng)測量BE=10米，BD=3米，已知點(diǎn)B、D、E在同一水平直線上，AB⊥ED，求旗桿AB的高度．
【答案】解：∵AB⊥ED，
∴∠CBE=∠ABD=90°，
∴∠2+∠A=90°，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠A，
∵BC=BD=3，
∴△EBC≌△ABD，
∴BE=AB，
∵BE=10，
∴AB=10，
答：旗桿的高度AB為10米．
【解析】【分析】 根據(jù)垂直的概念得∠CBE=∠ABD=90°，則∠2+∠A=90°，結(jié)合∠1+∠2=90°，得∠1=∠A，結(jié)合BC=BD可證明△EBC≌△ABD，得到BE=AB，據(jù)此解答.
26．（2022·菏澤）荷澤某超市計(jì)劃更換安全性更高的手扶電梯，如圖，把電梯坡面的坡角由原來的37°減至30°，已知原電梯坡面AB的長為8米，更換后的電梯坡面為AD，點(diǎn)B延伸至點(diǎn)D，求BD的長．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0，75，3≈1.73）
【答案】解：在Rt△ABC中，AB=8米，∠ABC=37°，
則AC=AB?sin∠ABC≈8×0.60=4.8（米），
BC=AB?cs∠ABC≈8×0.80=6.40（米），
在Rt△ADC中，∠ADC=30°，
則CD=ACtan∠ADC=4.8tan30°=4.833≈8.30（米），
∴BD=CD-BC=8.30-6.40≈1.9（米），
答：BD的長約為1.9米．
【解析】【分析】利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可。
27．（2022八下·交口期末）某校秉承“學(xué)會(huì)生活，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)做人”的辦學(xué)理念，將本校的辦學(xué)理念做成宣傳牌（AB），放置在教室的黑板上面（如圖所示）．在三月雷鋒活動(dòng)中小明搬來一架梯子（AE＝5米）靠在宣傳牌（AB）A處，底端落在地板E處，然后移動(dòng)的梯子使頂端落在宣傳牌（AB）的B處，而底端E向外移到了1米到C處（CE＝1米）．測量得BM＝4米．求宣傳牌（AB）的高度（結(jié)果用根號(hào)表示）．
【答案】解：由題意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，
在Rt△MBC中，MC=BC2?BM2=52?42=3（米），
則EM＝3﹣1＝2（米），
在Rt△AEM中，AM=AE2?EM2=52?22=21（米），
則AB=AM?BM=(21?4)米，
即宣傳牌（AB）的高度為(21?4)米．
【解析】【分析】 由題意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，在Rt△MBC中，根據(jù)勾股定理可得MC=BC2?BM2=3（米），則EM＝3﹣1＝2（米），在Rt△AEM中，根據(jù)勾股定理可得AM=AE2?EM2=21（米），則AB=AM?BM=(21?4)米。
28．（2022·郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高 CD=20m ，背水坡BC的坡度為 i1=1：1 .為了對水庫大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為 i2=1：3 ，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離.（參考數(shù)據(jù)： 2≈1.41 ， 3≈1.73 .結(jié)果精確到0.1m）
【答案】解：在 Rt△BCD 中，∵背水坡BC的坡度 i1=1：1 ，
∴CDBD=1 ，
∴BD=CD=20(m) .
在 RtΔACD 中，∵背水坡AC的坡度 i2=1：3 ，
∴CDAD=13 ，
∴AD=3CD=203(m) ，
∴AB=AD?BD=203?20≈14.6(m) .
答：背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離約為14.6m.
【解析】【分析】根據(jù)背水坡BC的坡度可得BD=CD=20m，根據(jù)背水坡AC的坡度可得AD=3CD=203m，然后根據(jù)AB=AD-BD進(jìn)行計(jì)算.
29．（2022·通遼）某型號(hào)飛機(jī)的機(jī)翼形狀如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計(jì)算AB的長度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，3≈1.7）.
【答案】解：如圖，延長BA交CE的垂線DG于點(diǎn)F，AC，DF交于點(diǎn)G，則四邊形DFBE是矩形，
∵∠FDB=45°，
∴DF=FB，
∴四邊形DFBE是正方形，
∴BF=EB=14，
∵∠DCG=90°?60°=30°，AF∥CD，
∴∠FAG=∠DCG=30°，
Rt△CDG中，DG=tan∠DCG?CD=33×20=2033，
∴GF=DF?DG=14?2033，
Rt△AFG中，AF=FGtan∠FAG=FGtan30°=14?203333=143?20，
∴AB=BF?AF=14?143+20=34?143≈9.8米．
【解析】【分析】在Rt△CDG中，求出DG的值，在Rt△AFG中，得出AF的值，由此得解。
30．（2022·錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時(shí)，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cs50°≈0.643，tan50°≈1.192）．
【答案】解：過B作BD⊥AC于D，
由題意可知∠ABE=30°，∠BAC=30°，則∠C=180°-30°-30°-70°=50°，
在Rt△BCD中，∠C=50°，BC=20(海里)，
∴BD= BCsin50°≈20×0.766=15.32(海里)，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=15.32(海里)，
∴AB=2BD=30.64≈30.6(海里)，
答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．
【解析】【分析】先利用解直角三角形求出BD的長，再利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AB的長。
31．（2022·呼和浩特）“一去紫臺(tái)連朔漠，獨(dú)留青冢向黃昏”，美麗的昭君博物院作為著名景區(qū)現(xiàn)已成為外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地．如圖，為測量景區(qū)中一座雕像AB的高度，某數(shù)學(xué)興趣小組在D處用測角儀測得雕像頂部A的仰角為30°，測得底部B的俯角為10°．已知測角儀CD與水平地面垂直且高度為1米，求雕像AB的高．（用非特殊角的三角函數(shù)及根式表示即可）
【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則四邊形CDBE是矩形，
∴CD=BE=1，
Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE=tan30°=33，
∴AE=33CE，
Rt△EBC中，tan∠ECB=EBEC=tan10°，
∵EB=CD=1
∴EC=EBtan10°=1tan10°，
∴AB=AE+EB=33?tan10°+1tan10°=3+33?tan10°米
答：雕像AB的高為3+33?tan10°米
【解析】【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則四邊形CDBE是矩形， CD=BE=1，在Rt△ACE中，tan∠ACE=AECE=tan30°=33，AE=33CE，利用銳角三角函數(shù)的定義，在Rt△EBC中，tan∠ECB=EBEC=tan10°，由EB=CD=1可得EC=EBtan10°=1tan10°，則AB=AE+EB=33?tan10°+1tan10°=3+33?tan10°米。
32．（2022·綏化）如圖所示，為了測量百貨大樓CD頂部廣告牌ED的高度，在距離百貨大樓30m的A處用儀器測得∠DAC=30°；向百貨大樓的方向走10m，到達(dá)B處時(shí)，測得∠EBC=48°，儀器高度忽略不計(jì)，求廣告牌ED的高度．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）
（參考數(shù)據(jù)：3≈1.732，sin48°≈0.743，cs48°≈0.669，tan48°≈1.111）
【答案】解：根據(jù)題意有AC=30m，AB=10m，∠C=90°，
則BC=AC-AB=30-10=20，
在Rt△ADC中，DC=AC×tan∠A=30×tan30°=103，
在Rt△BEC中，EC=BC×tan∠EBC=20×tan48°，
∴DE=EC?DC=20×tan48°?103，
即DE=20×tan48°?103≈20×1.111?10×1.732=4.9
故廣告牌DE的高度為4.9m．
【解析】【分析】先利用銳角三角函數(shù)求出DC=AC×tan∠A=30×tan30°=103，EC=BC×tan∠EBC=20×tan48°，再利用線段的和差可得DE=EC?DC=20×tan48°?103，最后計(jì)算即可。
33．（2022·瀘州）如圖，海中有兩小島C，D，某漁船在海中的A處測得小島C位于東北方向，小島D位于南偏東30°方向，且A，D相距10 nmile.該漁船自西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)B，此時(shí)測得小島C位于西北方向且與點(diǎn)B相距82 nmile.求B，D間的距離（計(jì)算過程中的數(shù)據(jù)不取近似值）.
【答案】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
根據(jù)題意可得，∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC=82 nmile.
在Rt△ABC中，AC=BC=82，
∴AB=2BC=16(nmile)，
在Rt△ADE中，AD=10 nmile，∠EAD=60°，
∴DE=AD?sin60°=10×32=53(nmile)，
AE=12AD=5 (nmile)，
∴BE=AB-AE=11(nmile)，
∴BD=DE2+BE2=14(nmile)，
答：B，D間的距離為14nmile.
【解析】【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得：∠BAC=∠ABC=45°，∠BAD=60°，AD=10 nmile，BC=82nmile，則AB=2BC=16(nmile)，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得DE、AE，由BE=AB-AE可得BE，然后根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.
34．（2022·泗洪模擬）如圖所示，玫瑰家園小區(qū)有甲、乙兩棟居民樓，小明在甲居民樓的樓頂B處觀測乙居民樓樓底D處的俯角是30°，觀測乙居民樓樓頂C處的仰角為15°，已知甲居民樓的高為10m，求乙居民樓的高.（參考數(shù)據(jù)：2=1.414，3=1.732，結(jié)果精確到0.1m）
【答案】解：如圖：分別過C、B作CF⊥BD，BE⊥DC，垂足分別為E、F，則DE=AB=10，
∵在Rt△BDE中，∠DBE=30°，AB=10
∴BD=20，AD=103
∵在Rt△CFB中，∠CBF=∠DBE+∠CBE=45°，
∴CF=BF
∵在Rt△CFD中，∠DCF=30°，
∴tan∠DCF=DFCF=tan30°=33，CF=BF=3DF
∴BD=BF+DF=3DF+DF=20，即DF=10(3?1)
∴CD=2DF=20(3?1)
解得CD=20(3?1)≈14.6m
∴乙居民樓的高14.6m.
【解析】【分析】 分別過C、B作CF⊥BD，BE⊥DC，垂足分別為E、F，則DE=AB=10， 根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可得BD=20 ，易得∠CBF=∠BCF=45°，可得CF=BF，根據(jù)解直角三角形可求出 CF=BF=3DF ，由BD=DF+BF可求出DF的長，從而由CD=2DF求出答案.
35．（2022·邵陽）如圖，一艘輪船從點(diǎn)A處以30km/?的速度向正東方向航行，在A處測得燈塔C在北偏東60°方向上，繼續(xù)航行1?到達(dá)B處，這時(shí)測得燈塔C在北偏東45°方向上，已知在燈塔C的四周40km內(nèi)有暗礁，問這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說明理由.（提示：2≈1.414，3≈1.732）
【答案】解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D.如圖所示：
根據(jù)題意可知∠BAC=90°?60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，
tan∠DBC=CDBD，即CDBD=1
∴CD=BD
設(shè)BD=CD=xkm，
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，
∴tan∠DAC=CDAD，即x30+x=33
解得x=153+15≈40.98，
∵40.98km>40km
∴這艘船繼續(xù)向東航行安全.
【解析】【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，易知∠BAC=30°，∠DBC=45°，AB=30×1=30km，利用 ∠DBC 的正切三角函數(shù)的概念可得CD=BD，設(shè)BD=CD=xkm，根據(jù) ∠DAC 的正切三角函數(shù)的概念并結(jié)合特殊銳角三角函數(shù)值可得x，然后與40km進(jìn)行比較即可判斷.
36．（2022·達(dá)州）某老年活動(dòng)中心欲在一房前3m高的前墻（ AB ）上安裝一遮陽篷 BC ，使正午時(shí)刻房前能有2m寬的陰影處（ AD ）以供納涼，假設(shè)此地某日正午時(shí)刻太陽光與水平地面的夾角為63.4°，遮陽篷 BC 與水平面的夾角為10°，下圖為側(cè)面示意圖，請你求出此遮陽篷 BC 的長度（結(jié)果精確到0.1m）.（參考數(shù)據(jù)： sin10°≈0.17 ， cs10°≈0.98 ， tan10°≈0.18 ； sin63.4°≈0.89 ， cs63.4°≈0.45 ， tan63.4°≈2.00 ）
【答案】解：如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD的延長線于點(diǎn)F，
∵∠A=90°，∠BEC=90°，
∴四邊形AECF為矩形，
∴AF=EC，AE=FC，
設(shè)AE=FC=a米，
∴在Rt△CFD中，∠CDF=63.4°，
∴DF=CFtan63.4°=a2米，
∵AD=2米，AB=3米
∴AF=EC=（a2+2）米，BE=（3-a）米，
∴在Rt△CEB中，∠BCE=10°，
∴tan10°=BEEC=3?aa2+2=0.18，
整理，解得：a≈2.4，
∴BE=3-2.4=0.6，
∴BC=BEsin10°=≈3.5.
答：遮陽棚BC的長度約為3.5米.
【解析】【分析】過點(diǎn)C作CF⊥AD的延長線于點(diǎn)F，易得四邊形AECF為矩形，則AF=EC，AE=FC，設(shè)AE=FC=a米，在Rt△CFD中，∠CDF=63.4°，求得DF=a2米，繼而得AF=EC=（a2+2）米，BE=（3-a）米，在Rt△CEB中，∠BCE=10°，由正切函數(shù)關(guān)系得3?aa2+2=0.18，整理，解得：a≈2.4，則BE=3-2.4=0.6，再由正弦函數(shù)關(guān)系求出BC的長即可.
37．（2022·四川）去年，我國南方菜地一處山坡上一座輸電鐵塔因受雪災(zāi)影響，被冰雪從C處壓折，塔尖恰好落在坡面上的點(diǎn)B處，造成局部地區(qū)供電中斷，為盡快搶通供電線路，專業(yè)維修人員迅速奔赴現(xiàn)場進(jìn)行處理在B處測得BC與水平線的夾角為45°，塔基A所在斜坡與水平線的夾角為30°，A、B兩點(diǎn)間的距離為16米，求壓折前該輸電鐵塔的高度（結(jié)果保留根號(hào)）．
【答案】解：如圖，
∵BD∥EF，
∴∠ABD=∠E=30°，
在Rt△ADB中，
∴AD=12AB=8米，BD=ABcs∠ABD=83米，
∵∠CBD=45°，
在Rt△BDC中，
∴CD=BD=83米，BC=BDcs45°=86米，
∴AD+CD+BC=（8+83+86）米，
答： 壓折前該輸電鐵塔的高度為 （8+83+86）米.
【解析】【分析】過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，在Rt△ABD和Rt△BCD中，分別解直角三角形求出AD、BD、CD、BC的長，根據(jù)線段和差即可求出結(jié)果.
38．（2022·和平模擬）如圖，斜立于地面的木桿AB，從點(diǎn)C處折斷后，上半部分BC倒在地上，桿的頂部B恰好接觸到地面D處，測得∠ACD=60°，∠ADC=37°，折斷部分CD長5.73米，求木桿AB的長度（結(jié)果保留整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73．
【答案】解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，
∴∠AEC=∠AED=90°，
由題意可知∠ACD=60°，∠ADC=37°，CD=5.73，
在Rt△AED中，tan∠ADC=AEDE=tan37°，
∴DE=AEtan37°，
∵在Rt△AEC中，tan∠ACD=AECE=tan60°，sin∠ACD=AEAC=sin60°，
∴CE=AEtan60°=AE3=33AE，AC=AEsin60°=AE32=233AE，
∵DC=CE+DE=5.73，
∴33AE+AEtan37°=5.73，
∴解得AE≈3，
∴AB=AC+CD=233AE+CD=23+5.73≈9m．
答：木桿AB的長度約是9米．
【解析】【分析】過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，在Rt△AEC中，tan∠ACD=AECE=tan60°，sin∠ACD=AEAC=sin60°，得出CE、AC的值，從而求出DC的長，再得出AE的值，代入求解即可。
39．（2022·郯城模擬）如圖所示，某人通過定滑輪拉動(dòng)靜止在水平面上的箱子，開始時(shí)與物體相連的繩和水平面間的夾角為37°，拉動(dòng)一段距離后，繩與水平面間的夾角為53°，繩子的自由端豎直向下移動(dòng)了3米，求箱子移動(dòng)的距離．（繩子伸縮不計(jì)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°=35，sin53°=45，tan37°=34，tan53°=43）
【答案】解：由題意得：OA比OB長3米．
設(shè)：OB=x米，則OA=(x+3)米，
∵AB⊥OC，
∴在Rt△AOC中：
∴sin∠OAC=sin37°=OCOA=35，
∴OC=35OA=35(x+3)，
同理：OC=45OB=45x，
∴35(x+3)=45x，
∴x=9，OA=12，
∴OB=9，OA=12．tan∠OAC=tan37°=OCAC=34=45xAC，
∴AC=16x15，
∴AC=9.6，
同理：BC=5.4．
∴AB=AC?BC=9.6?5.4=4.2米．
答：箱子移動(dòng)了4.2米．
【解析】【分析】 設(shè)OB=x米，則OA=(x+3)米，在Rt△AOC中，由sin∠OAC=sin37°=OCOA=35可得 OC=35OA=35(x+3)，同理可得OC=45OB=45x，據(jù)此建立關(guān)于x方程并解之即得OB、OA的長，然后再求出AC、BC的長，由AB=AC-BC即可求解.
40．（2022·溫江模擬）如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時(shí)氣球的高是46m，求河流的寬度BC.（結(jié)果精確到1m；參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，tan67°≈2.30，3≈1.73）
【答案】解：如圖，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，
在Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46，
∴tan30°=46CD，
∴CD=4633=463≈79.58，
在Rt△ABD中，∠ABD=67°，AD=46，
∴tan67°=46BD，
∴BD=46tan67°≈462.30=20，
∴BC=CD-BD=79.58-20≈60.
答：河流的寬度BC約為60m.
【解析】【分析】根據(jù)AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，分別在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函數(shù)的定義求出CD、BD的長，則可得出BC長，即河流在B、C兩地的寬度.

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初中數(shù)學(xué)蘇科版九年級(jí)下冊電子課本 舊教材

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