（限時(shí)50分鐘，每題10分，滿分100分）
1．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD＝24，∠ABC＝70°，△ABO的周長是20．
（1）求∠ADC的度數(shù)；
（2）求AB的長．
2．已知，如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF．求證：四邊形DEBF是平行四邊形．
3．如圖，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CA的延長線上，∠FDA＝∠B．
（1）求證：AF＝DE；
（2）若AC＝6，BC＝10，求四邊形AEDF的周長．
4．如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是平行四邊形．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC的延長線上，∠FEC＝∠B，
（1）CF＝DE成立嗎？試說明理由．
（2）若AC＝6cm，AB＝10cm，求四邊形DCFE的面積．
6．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，EF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)O．有以下三個(gè)條件：①AE＝CF；②EO＝OF；③O為BD中點(diǎn)．從中選取一個(gè)作為題設(shè)，余下的兩個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)正確的命題，并加以證明．
7．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且EF⊥AE．
求證：AE平分∠DAF．
李華同學(xué)讀題后有一個(gè)想法，延長FE，AD交于點(diǎn)M，要證AE平分∠DAF，只需證△AMF是等腰三角形即可．請(qǐng)你參考李華的想法，完成此題的證明．
8．在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并完成證明過程．
已知，如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在AC上， （填寫序號(hào)）．
求證：BE＝DF．
9．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點(diǎn)，連接DH．
（1）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；
（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度數(shù)．
10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點(diǎn)F在邊AB上，EF∥BC．
（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；
（2）若AB＝10，AC＝4，求BF的長．
B卷 能力提升卷
（限時(shí)60分鐘，每題10分，滿分100分）
11．如圖，已知平行四邊形ABCD，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：CD＝CE；
（2）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠C＝108°，求∠DAE的度數(shù)．
12．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，CF平分∠DCB交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，連接AF，CE．
（1）若∠BCF＝50°，求∠ADC的度數(shù)；
（2）求證：四邊形AECF為平行四邊形．
13．如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
14．如圖，平行四邊形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，CB＝2AB，∠DCB的平分線交BA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度數(shù)．
15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長線上一點(diǎn)，且CF＝3BF，連接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．
（1）求證：DE＝BF；
（2）求四邊形DEFB的周長．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC．
（1）求證：
①△AOE≌△COF；
②四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．
17．如圖，在?ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，延長邊CD到點(diǎn)F，使DF＝DC，過點(diǎn)F作EF∥AC，連接OF、EC．
（1）求證△ODC≌△EDF．
（2）連接AF，已知 ．（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形OCEF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：AF＝FC且AC＝2DC；
條件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．
18．如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若AB＝，AC＝2，BD＝4．
（1）猜想∠BAO＝ ，并證明你的猜想．
（2）求平行四邊形ABCD的周長．
（3）求點(diǎn)A到BC邊的距離．
19．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝90°．
（1）求證：AC＝BD；
（2）若點(diǎn)E、F分別為線段AB、AO的中點(diǎn)，連接EF，，BC＝6，求AB的長及四邊形ABCD的面積．
20．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，連接EB并延長至F，使BF＝BE；連接EC并延長至G，使CG＝CE，連接FG，點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，連接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度數(shù)；
（2）求證：四邊形AFHD為平行四邊形．
C卷 培優(yōu)壓軸卷
（限時(shí)70分鐘，每題10分，滿分100分）
21．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)H，G分別在AD，BC上，且AH＝BG，點(diǎn)P是線段GH上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線EF交AB于E，交CD于F，且∠BEP＝∠BGH．
（1）如圖1，求證：四邊形HPFD是平行四邊形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線BD上時(shí)，請(qǐng)直接寫出圖中所有面積相等的四邊形．
22．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在CD上，連接FO并延長，交AB于點(diǎn)E，交CB的延長線于點(diǎn)M．
（1）求證：OE＝OF；
（2）若AD＝3，AB＝，BM＝1，直接寫出BE的長為 ．
23．如圖1，平行四邊形ABCD，E、F為AB、DC中點(diǎn)，連接DE、CE、AF、BF，交點(diǎn)分別為G、H．
（1）如圖1，求證：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）如圖2，若∠BAD＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出圖中所有直角三角形．
24．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AD，BC為邊向外構(gòu)造等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF，BD．
（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
（2）若AD與BE交于點(diǎn)G，且AD＝BD，∠DFB＝45°，，求△BDG的面積．
25．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．
26．如圖，在平行四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E，且∠CBE＝∠CDE＝90°．
（1）請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)結(jié)論中，選出一個(gè)正確的結(jié)論并證明：
①∠BED＝2CABE；②∠BED﹣∠ABE＝90°；③∠BED﹣∠CBD＝90°．
（2）若BD平分∠CDE，求證：BC＝BE．
27．在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA上的動(dòng)點(diǎn)，滿足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG．
（1）當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在如圖1所示的位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，并證明四邊形DBCG是平行四邊形；
（2）當(dāng)AD＜BD，AB＝DE時(shí)，求∠BDE的度數(shù)．
28．如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，G是EF的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DB，DG（如圖2），請(qǐng)直接寫出∠BDG的度數(shù)
（2）當(dāng)∠ABC＝120°時(shí)，F(xiàn)G∥CE，且FG＝CE，分別聯(lián)結(jié)DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．
29．在平行四邊形ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，點(diǎn)P為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合），連接AP，過點(diǎn)P作EP⊥AP交直線BD于點(diǎn)E．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：PA＝PE；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，求證：DE﹣DA＝DP．
30．如圖，在?ABCD中，已知AD＝15cm，點(diǎn)P在AD上以1cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上以4cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（同時(shí)點(diǎn)Q也停止），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，線段PD的長度為 cm；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，線段BQ的長度為 cm；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，線段BQ的長度為 cm；
（2）若經(jīng)過t秒，以P、D、Q、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．請(qǐng)求出所有t的值．
2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】
專題2.5平行四邊形的性質(zhì)與判定大題專練（分層培優(yōu)30題，八下人教）
A卷 基礎(chǔ)過關(guān)卷
（限時(shí)50分鐘，每題10分，滿分100分）
1．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC+BD＝24，∠ABC＝70°，△ABO的周長是20．
（1）求∠ADC的度數(shù)；
（2）求AB的長．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等即可得答案；
（2）根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分可得AO+BO的長，進(jìn)而可求出AB．
【解析】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°；
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴AO+BO＝（AC+BD）＝12，
∴AO+BO+AB＝20，
∴AB＝8．
2．已知，如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF．求證：四邊形DEBF是平行四邊形．
【分析】連接BD，與AC交于點(diǎn)O，由平行四邊形的對(duì)角線互相平分得到OA＝OC，OB＝OD，進(jìn)而得到OE＝OF，利用對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可得證．
【解答】證明：如圖，連接BD，與AC交于點(diǎn)O，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，
即OE＝OF，
又OB＝OD，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
3．如圖，Rt△ABC，∠BAC＝90°，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CA的延長線上，∠FDA＝∠B．
（1）求證：AF＝DE；
（2）若AC＝6，BC＝10，求四邊形AEDF的周長．
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)證明四邊形DEAF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明；
（2）由（1）的結(jié)論計(jì)算即可．
【解答】（1）證明：∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵∠BAC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠B，又∠FDA＝∠B，
∴∠FDA＝∠EAB，
∴EA∥DF，
∴四邊形DEAF是平行四邊形，
∴AF＝DE；
（2）解：∵∠BAC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，
∴EA＝BC＝5，
∵D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，
∴DE＝AC＝3，
∴四邊形AEDF的周長＝2×（3+5）＝16．
4．如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是平行四邊形．
【分析】由條件AB∥CD，AD∥BC可證到四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OA＝OC，OB＝OD，要證四邊形AFCE是平行四邊形，只需證OE＝OF即可．
【解答】證明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形．
5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AC的延長線上，∠FEC＝∠B，
（1）CF＝DE成立嗎？試說明理由．
（2）若AC＝6cm，AB＝10cm，求四邊形DCFE的面積．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD＝BD，再根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B＝∠DCE，然后求出∠FEC＝∠DCE，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CED＝90°，然后求出∠CED＝∠ECF＝90°，再利用“角邊角”證明△CDE和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．
（2）由三角形的中位線定理得到DE的長度，再由平行四邊形的面積公式求得．
【解析】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴CD＝BD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠FEC＝∠B，
∴∠FEC＝∠DCE，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠ECF＝90°，
在△CDE和△ECF中，
∴△CDE≌△ECF（ASA），
∴CF＝DE；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴BC＝＝8，
∵點(diǎn)D、E分別是AB、BC的中點(diǎn)，
∴DE＝AC＝3，CE＝，
∴S四邊形DCFE＝3×4＝12．
6．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，EF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)O．有以下三個(gè)條件：①AE＝CF；②EO＝OF；③O為BD中點(diǎn)．從中選取一個(gè)作為題設(shè)，余下的兩個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)正確的命題，并加以證明．
【分析】利用已知結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出DE＝BF進(jìn)而得出答案．
【解析】答案不唯一，例如：已知②EO＝OF；③O為BD中點(diǎn)，結(jié)論：①AE＝CF．
理由：在△DOE和△BOF中
，
∴△DOE≌△BOF（SAS），
∴DE＝BF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，
∴AE＝FC．
7．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且EF⊥AE．
求證：AE平分∠DAF．
李華同學(xué)讀題后有一個(gè)想法，延長FE，AD交于點(diǎn)M，要證AE平分∠DAF，只需證△AMF是等腰三角形即可．請(qǐng)你參考李華的想法，完成此題的證明．
【分析】通過倍長中線可證△EDM≌△ECF，進(jìn)而可得EM＝EF，即可得△AMF是等腰三角形．
【解答】證明：延長AD，F(xiàn)E交于M．
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDE＝∠FCE，∠EMD＝∠EFC，
又E是CD的中點(diǎn)，
∴DE＝CE，
∴△EDM≌△ECF（AAS），
∴EM＝EF，
又∵EF⊥AE，
∴AF＝AM，即△AMF是等腰三角形，
∴AE平分∠DAF．
8．在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并完成證明過程．
已知，如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在AC上， ② （填寫序號(hào)）．
求證：BE＝DF．
【分析】由四邊形ABCD是平行四邊形得BO＝DO，加上條件OE＝OF，從而得出四邊形BEDF為平行四邊形，從而有BE＝DF．
【解析】選②，如圖，連接BF，DE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO＝DO，
∵OE＝OF，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴BE＝DF．
故選擇：②（答案不唯一）．
9．如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG．H為FG的中點(diǎn)，連接DH．
（1）求證：四邊形AFHD為平行四邊形；
（2）若CB＝CE，∠BAE＝80°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度數(shù)．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC；證明BC是△EFG的中位線，得出BC∥FG，BC＝FG，證出AD∥FH，AD＝FH，由平行四邊形的判定方法即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出∠BCE＝50°，再由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CBE＝∠CEB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位線，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H為FG的中點(diǎn)，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四邊形AFHD是平行四邊形；
（2）解：∵∠BAE＝80°，
∴∠BCD＝80°，
∵∠DCE＝30°，
∴∠BCE＝80°﹣30°＝50°，
∵CB＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣50°）＝65°．
10．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點(diǎn)F在邊AB上，EF∥BC．
（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；
（2）若AB＝10，AC＝4，求BF的長．
【分析】（1）證明△AGE≌△ACE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到GE＝EC，再利用三角形的中位線定理證明DE∥AB，再加上條件EF∥BC可證出結(jié)論；
（2）先證明BF＝DE＝BG，再證明AG＝AC，可得到BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）．
【解答】（1）證明：延長CE交AB于點(diǎn)G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AEG和△AEC中，
，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE＝EC．
∵BD＝CD，
∴DE為△CGB的中位線，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四邊形BDEF是平行四邊形．
（2）解：∵四邊形BDEF是平行四邊形，
∴BF＝DE．
∵D、E分別是BC、GC的中點(diǎn)，
∴BF＝DE＝BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG＝AC，
∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣AC）＝（10﹣4）＝3．
B卷 能力提升卷
（限時(shí)60分鐘，每題10分，滿分100分）
11．如圖，已知平行四邊形ABCD，DE是∠ADC的角平分線，交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：CD＝CE；
（2）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∠C＝108°，求∠DAE的度數(shù)．
【分析】（1）由AD//BC可得∠ADE＝∠DEC，再由∠ADE＝∠EDC，從而可得∠DEC＝∠EDC，繼而可證得CD＝CE；
（2）由題意可得AD//BC，AB＝CD，繼而可求得∠BAD的度數(shù)，AB＝BE，從而可求得∠BAE的度數(shù)，由此即可求得∠DAE的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∴∠DEC＝∠EDC，
∴CD＝CE；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD//BC，AB＝CD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠C＝108°，
∴∠B＝180°﹣108°＝72°，
∵BE＝CE，CE＝CD，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣72°）÷2＝54°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝108°﹣54°＝54°．
12．如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，CF平分∠DCB交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，連接AF，CE．
（1）若∠BCF＝50°，求∠ADC的度數(shù)；
（2）求證：四邊形AECF為平行四邊形．
【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形得出∠ADC+∠DCB＝180°，再根據(jù)角平分線的定義得出∠DCB的度數(shù)即可求解；
（2）由ASA證明△ABE≌△CDF得出AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，再根據(jù)平行線的判定得出AE∥CF即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC+∠DCB＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠DCF＝∠BCF＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DCF﹣∠BCF＝180°﹣50°﹣50°＝80°；
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，
∴∠BAE＝，，
∴∠BAE＝∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，∠AEB＝∠DFC，
∴∠AEF＝∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形．
13．如圖，以平行四邊形ABCD的邊AB、CD為邊，作等邊△ABE和等邊△CDF，連接DE，BF．求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，由等邊三角形的性質(zhì)得出BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，證明△ADE≌△CBF（SAS），得出DE＝BF，則可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，
∵△ABE和△CDF是等邊三角形，
∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，
∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE，
即∠DAE＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，
又∵BE＝DF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形．
14．如圖，平行四邊形ABCD中AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，CB＝2AB，∠DCB的平分線交BA的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE＝AE；
（2）若∠DAF＝70°，求∠BEA的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明A為BF的中點(diǎn)，然后證明△DEC≌△AEF（AAS），進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的對(duì)邊平行證出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠CBE＝∠ABE，即可得出答案．
【解答】（1）證明：∵CE是∠DCB的平分線，
∴∠DCE＝∠BCF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠DCE＝∠CFB，
∴∠BCF＝∠CFB，
∴BC＝BF，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴A為BF的中點(diǎn)，
∴AB＝AF，
∴AB＝DC＝AF，
在△DEC和△AEF中，
，
∴△DEC≌△AEF（AAS），
∴DE＝AE；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠BEA＝∠EBC，
∵△DEC≌△AEF，
∴CE＝EF，
∵BC＝BF，
∴∠EBC＝∠FBE＝CBF＝35°，
∴∠BEA＝35°．
15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長線上一點(diǎn)，且CF＝3BF，連接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．
（1）求證：DE＝BF；
（2）求四邊形DEFB的周長．
【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得到DE∥BC，DE＝BC，根據(jù)題意得到BF＝BC，等量代換證明結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求出DB，證明四邊形DBFE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的周長公式計(jì)算即可．
【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵CF＝3BF，
∴BF＝BC，
∴DE＝BF；
（2）解：∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AC＝12，
∴CD＝6，
∵DE＝4，
∴BC＝8，
由勾股定理得：DB＝＝＝10，
∵DE＝BF，DE∥BC，
∴四邊形DBFE為平行四邊形，
∴四邊形DEFB的周長＝2×（4+10）＝28．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AO＝OC．
（1）求證：
①△AOE≌△COF；
②四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）過點(diǎn)O作EF⊥BD，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝32°，求∠ABE的度數(shù)．
【分析】（1）①由平行線的性質(zhì)得出∠OAD＝∠OCB，可證明△AOE≌△COF（ASA）；
②證得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出結(jié)論；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出OE＝OF，證出BE＝BF，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBF＝∠OBE＝32°，求出∠ABC＝116°，則可得出答案．
【解答】（1）①證明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
②同理可證△AOD≌△COB，
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）解：∵△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∵EF⊥BD，
∴BE＝BF，
∴∠OBF＝∠OBE＝32°，
∴∠EBF＝64°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣100°＝80°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBF＝80°﹣64°＝16°．
17．如圖，在?ABCD中，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，延長邊CD到點(diǎn)F，使DF＝DC，過點(diǎn)F作EF∥AC，連接OF、EC．
（1）求證△ODC≌△EDF．
（2）連接AF，已知 ② ．（從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，填寫序號(hào)），請(qǐng)判斷四邊形OCEF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：AF＝FC且AC＝2DC；
條件②：OD＝DC且∠BEC＝45°．
【分析】（1）由DF＝DC，EF∥AC，可以證明△ODC≌△EDF；
（2）由△ODC≌△EDF推出四邊形OCEF是平行四邊形，再由OD＝DC證明四邊形OCEF是矩形，最后由∠BEC＝45°即可證明四邊形OCEF是正方形．
【解答】（1）證明：∵EF∥AC，
∴∠EFC＝∠DCO，∠FED＝∠DOC，
∵DF＝DC，
∴△ODC≌△EDF（AAS）；
（2）選擇②，四邊形OCEF是正方形，
證明：∵△ODC≌△EDF（AAS），
∴OD＝DE，CD＝DF，
∴四邊形OCEF是平行四邊形，
∵OD＝DC，
∴OD＝DE＝CD＝DF，
∴四邊形OCEF是矩形，
∵∠BEC＝45°，
∴∠EOC＝45°，
∴∠OEC＝∠EOC，
∴OC＝CE，
∴四邊形OCEF是正方形，
18．如圖所示，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若AB＝，AC＝2，BD＝4．
（1）猜想∠BAO＝ 90° ，并證明你的猜想．
（2）求平行四邊形ABCD的周長．
（3）求點(diǎn)A到BC邊的距離．
【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論；
（2）先利用勾股定理可得，再根據(jù)平行四邊形的周長公式即可得；
（3）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)S平行四邊形ABCD＝BC?AE＝AB?AC即可得．
【解析】（1）猜想∠BAO＝90°，證明如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC＝2，BD＝4，
∴，
∵，
∴OA2+AB2＝4＝OB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°，
故答案為：90°；
（2）∵，
∴，
則平行四邊形ABCD的周長為；
（3）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵，
∴S平行四邊形ABCD＝BC?AE＝AB?AC，即，
解得，
即點(diǎn)A到BC邊的距離為．
19．如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝90°．
（1）求證：AC＝BD；
（2）若點(diǎn)E、F分別為線段AB、AO的中點(diǎn)，連接EF，，BC＝6，求AB的長及四邊形ABCD的面積．
【分析】（1）證明四邊形ABCD是矩形，即可解決問題；
（2）利用矩形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理可得AB＝8，然后利用矩形的面積公式即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵平行四邊形ABCD，∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD；
（2）解：∵E，F(xiàn)分別為AB、AO的中點(diǎn)，
∴OB＝2EF＝5；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2OB＝10，
∵BC＝6，∠ABC＝90°，
∴AB＝＝8，
所以矩形ABCD的面積＝AB?BC＝6×8＝48．
20．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，連接EB并延長至F，使BF＝BE；連接EC并延長至G，使CG＝CE，連接FG，點(diǎn)H為FG的中點(diǎn)，連接DH，AF．
（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度數(shù)；
（2）求證：四邊形AFHD為平行四邊形．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)得出答案即可；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD＝BC，AD∥BC；證明BC是△EFG的中位線，得出BC∥FG，BC＝FG，證出AD∥FH，AD∥FH，進(jìn)而解答即可．
【解答】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，
∵∠DCE＝20°，AB∥CD，
∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，
∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，
∵BF＝BE，CG＝CE，
∴BC是△EFG的中位線，
∴BC∥FG，BC＝FG，
∵H為FG的中點(diǎn)，
∴FH＝FG，
∴BC∥FH，BC＝FH，
∴AD∥FH，AD＝FH，
∴四邊形AFHD是平行四邊形．
C卷 培優(yōu)壓軸卷
（限時(shí)70分鐘，每題10分，滿分100分）
21．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)H，G分別在AD，BC上，且AH＝BG，點(diǎn)P是線段GH上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線EF交AB于E，交CD于F，且∠BEP＝∠BGH．
（1）如圖1，求證：四邊形HPFD是平行四邊形；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線BD上時(shí)，請(qǐng)直接寫出圖中所有面積相等的四邊形．
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)和已知條件得出EF∥BC∥AD，由平行線的性質(zhì)得出∠HPF+∠PHD＝180°，證出∠D+∠PHD＝180°，得出PH∥FD，即可得出結(jié)論；
（2）證出四邊形BGPE是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得出△ABD的面積＝△BCD的面積，△BEP的面積＝△BGP的面積，△BDH的面積＝△PDF的面積，因此四邊形AEPH的面積＝四邊形PGCF的面積，得出四邊形ABGH的面積＝四邊形BCFE的面積，四邊形AEFD的面積＝四邊形GHDC的面積即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∵EF∥BC，
∴EF∥BC∥AD，
∴∠HPF+∠PHD＝180°，
∵∠HPF＝∠D，
∴∠D+∠PHD＝180°，
∴PH∥FD，
∴四邊形HPFD是平行四邊形；
（2）解：四邊形AEPH的面積＝四邊形PGCF的面積，四邊形ABGH的面積＝四邊形BCFE的面積，四邊形AEFD的面積＝四邊形GHDC的面積；理由如下：
∵AB∥CD，PH∥FD，
∴AB∥GH∥CD，
∴四邊形BGPE是平行四邊形，
∵△ABD的面積＝△BCD的面積，△BEP的面積＝△BGP的面積，△BDH的面積＝△PDF的面積，
∴四邊形AEPH的面積＝四邊形PGCF的面積，
∴四邊形ABGH的面積＝四邊形BCFE的面積，四邊形AEFD的面積＝四邊形GHDC的面積．
22．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)F在CD上，連接FO并延長，交AB于點(diǎn)E，交CB的延長線于點(diǎn)M．
（1）求證：OE＝OF；
（2）若AD＝3，AB＝，BM＝1，直接寫出BE的長為 ．
【分析】（1）通過ASA證明△AOE≌△COF即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)O作ON∥BC交AB于N，由△AON∽△ACB得出ON＝，BN＝，再由△ONE∽△MBE得出等式求出BE即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△AOE與△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）解：過點(diǎn)O作ON∥BC交AB于N，
則△AON∽△ACB，
∵OA＝OC，
∴ON＝，BN＝，
∵ON∥BC，
∴△ONE∽△MBE，
∴，
即，
∴BE＝，
故答案為：．
23．如圖1，平行四邊形ABCD，E、F為AB、DC中點(diǎn)，連接DE、CE、AF、BF，交點(diǎn)分別為G、H．
（1）如圖1，求證：四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）如圖2，若∠BAD＝90°時(shí)，請(qǐng)直接寫出圖中所有直角三角形．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝DC，AB∥DC，求出AE＝CF＝BE＝DF，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形AFCE和四邊形BFDE都是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AF∥CE，DE∥BF即可；
（2）根據(jù)矩形的判定得出四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC＝90°，根據(jù)全等三角形的判定得出△EAD≌△EBC，求出∠AED＝∠BEC＝45°，求出∠DEC＝90°，得出四邊形EGFH是矩形，再得出答案即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∵E、F分別為AB、DC的中點(diǎn)，
∴AE＝BE＝AB，DF＝CF＝DC，
∴AE＝CF＝BE＝DF，
∴四邊形AFCE和四邊形BFDE都是平行四邊形，
∴AF∥CE，DE∥BF，
即GF∥EH，EG∥HF，
∴四邊形EGFH是平行四邊形；
（2）解：直角三角形有△ADE，△BCE，△ADF，△CBE，△AGE，△AGD，△DGF，△CFH，△BHC，△BHE．
24．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AD，BC為邊向外構(gòu)造等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF，BD．
（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形．
（2）若AD與BE交于點(diǎn)G，且AD＝BD，∠DFB＝45°，，求△BDG的面積．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證得DE＝BF，∠EDB＝∠DBF即DE∥BF，進(jìn)而利用平行四邊形的判定即可得證；
（2）先求得∠DBF＝∠EDB＝90°，進(jìn)而求得∠ADB＝∠DBC＝30°，∠DEB＝∠DBE＝45°，過G作GH⊥BD于H，利用等腰直角三角形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得BH、GH、DH，進(jìn)而求得BD即可得所求面積．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵等邊△ADE和等邊△BCF，
∴DE＝AD，BC＝BF，∠EDA＝∠CBF＝60°，
∴DE＝BF，∠EDB＝∠DBF，
∴DE∥BF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形；
（2）解：∵AD＝BD，AD＝DE＝BF，
∴DE＝BD＝BF，
又∵∠DFB＝45°，
∴∠DBF＝180°﹣2∠DFB＝90°＝∠EDB，
∴∠DBC＝∠DBF﹣∠CBF＝30°，∠DEB＝∠DBE＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
過G作GH⊥BD于H，
在Rt△GHB中，，∠HBG＝45°，BG2＝GH2+HB2，
∴，
在Rt△GHD中，∠GDH＝30°，GH＝1，
∴DG＝2GH＝2，
∴，
∴，
∴△BDG的面積為＝．
25．如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)．
（1）若AB＝10，CD＝24，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的長．
（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求證：AB2+CD2＝4EF2．
【分析】（1）取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，由三角形中位線定理得PE∥AB，且PE＝5，PF∥CD，且PF＝12，再證∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）由三角形中位線定理得PE∥AB，且，PF∥CD，且，再證∠EPF＝90°，然后由勾股定理即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：如圖，取BD的中點(diǎn)P，連接EP、FP，
∵E，F(xiàn)分別是AD、BC的中點(diǎn)，AB＝10，CD＝24，
∴PE是△ABD的中位線，PF是△BCD的中位線，
∴PE∥AB，且，且，
∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，
在Rt△EPF中，由勾股定理得：，
即EF的長為13；
（2）證明：由（1）可知，PE是△ABD的中位線，PF是△BCD的中位線，
∴PE∥AB，且，PF∥CD，且，
∴∠EPD＝∠ABD，∠DPF＝180°﹣∠BDC．
∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，
∴∠BDC＝90°+∠ABD，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，
∴，
∴AB2+CD2＝4EF2．
26．如圖，在平行四邊形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)E，且∠CBE＝∠CDE＝90°．
（1）請(qǐng)?jiān)谙旅嫒齻€(gè)結(jié)論中，選出一個(gè)正確的結(jié)論并證明：
①∠BED＝2CABE；②∠BED﹣∠ABE＝90°；③∠BED﹣∠CBD＝90°．
（2）若BD平分∠CDE，求證：BC＝BE．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得正確的結(jié)論為②∠BED﹣∠ABE＝90°，證明即可；
（2）在DC上截取DF＝DE，證明△BDE≌△BDF（SAS），可得BE＝BF，∠BED＝∠BFD，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】（1）解：正確的結(jié)論為：②∠BED﹣∠ABE＝90°，證明過程如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠C+∠ABC＝180°，
∵∠CBE＝∠CDE＝90°，
∴∠BED+∠C＝180°，
∴∠BED＝∠ABC，
∴∠BED﹣∠ABE＝∠ABC﹣∠ABE＝∠CBE＝90°；
（2）證明：如圖，在DC上截取DF＝DE，
∵BD平分∠CDE，
∴∠BDE＝∠BDF，
在△BDE和△BDF中，
，
∴△BDE≌△BDF（SAS），
∴BE＝BF，∠BED＝∠BFD，
由（1）知：∠BED+∠C＝180°，∠BFD+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝∠C，
∴BF＝BC，
∴BC＝BE．
27．在等邊△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CA上的動(dòng)點(diǎn)，滿足DE＝EF，且∠DEF＝60°．作點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG，DG．
（1）當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)在如圖1所示的位置時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，并證明四邊形DBCG是平行四邊形；
（2）當(dāng)AD＜BD，AB＝DE時(shí)，求∠BDE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形；然后證明△BDE≌△CEF可得CE＝BD，進(jìn)而可以解決問題；
（2）根據(jù)題意證明△DEF是等邊三角形，可得DE＝DF，由點(diǎn)E，點(diǎn)G關(guān)于AC對(duì)稱，可得EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，所以DF＝GF，進(jìn)而可以解決問題．
【解析】（1）如圖1，即為補(bǔ)全的圖形，
證明：在等邊△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，
∵點(diǎn)E，點(diǎn)G關(guān)于AC對(duì)稱，
∴∠ACG＝∠ACB＝60°，CE＝CG，
∴∠A＝∠ACG，
∴AB∥CG，
即BD∥CG，
∵∠DEF＝60°，∠BED+∠CEF+∠DEF＝180°，
∴∠BED+∠CEF＝120°，
在△BDE中，
∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝120°，
∴∠BDE＝∠CEF，
在△BDE與△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（AAS），
∴CE＝BD，
∴CG＝CE＝BD，
∵BD∥CG，
∴四邊形DBCG是平行四邊形；
（2）∵四邊形DBCG是平行四邊形，
∴BC＝DG，∠DGC＝∠B＝60°，
∵BC＝AB，AB＝DE，
∴DG＝DE，
∵DE＝EF，∠DEF＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
∴DE＝DF，
∵點(diǎn)E，點(diǎn)G關(guān)于AC對(duì)稱，
∴EF＝GF，∠FEC＝∠FGC，
∴DF＝GF，
∴DG＝DF＝GF，
在△DFG中，DG2＝DF2+GF2，
∴∠DFG＝90°，
∵DF＝GF，
∴∠FDG＝∠FGD＝45°，
∴∠CGF＝∠CGD﹣∠FGD＝15°，
∴∠BDE＝∠CEF＝∠CGF＝15°．
28．如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．
（1）當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，G是EF的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DB，DG（如圖2），請(qǐng)直接寫出∠BDG的度數(shù)
（2）當(dāng)∠ABC＝120°時(shí)，F(xiàn)G∥CE，且FG＝CE，分別聯(lián)結(jié)DB、DG（如圖3），求∠BDG的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)∠ABC＝90°，G是EF的中點(diǎn)可直接求得；
（2）延長AB、FG交于H，連接HD．易證平行四邊形AHFD為菱形，進(jìn)而可得△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，再證明△BHD≌△GFD，所以可得∠BDH＝∠GDF，然后即可求得答案．
【解析】（1）連接GC、BG，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC＝90°，
∴四邊形ABCD為矩形，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝∠BAF＝45°，
∵∠DCB＝90°，DF∥AB，
∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°
∴△ECF為等腰直角三角形，
∵G為EF中點(diǎn)，
∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，
∵△ABE為等腰直角三角形，AB＝DC，
∴BE＝DC，
∵∠CEF＝∠GCF＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△BEG與△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，
∵CG⊥EF，
∴∠DGC+∠DGA＝90°，
又∵∠DGC＝∠BGA，
∴∠BGA+∠DGA＝90°，
∴△DGB為等腰直角三角形，
∴∠BDG＝45°；
（2）延長AB、FG交于H，連接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四邊形AHFD為平行四邊形，
∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°，
∴△DAF為等腰三角形，
∴AD＝DF，
∴CE＝CF，
∴平行四邊形AHFD為菱形，
∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，
∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°．
∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，
∴BH＝GF．
在△BHD與△GFD中，
，
∴△BHD≌△GFD（SAS），
∴∠BDH＝∠GDF，
∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°．
29．在平行四邊形ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，點(diǎn)P為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D重合），連接AP，過點(diǎn)P作EP⊥AP交直線BD于點(diǎn)E．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：PA＝PE；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，求證：DE﹣DA＝DP．
【分析】（1）連接PB，根據(jù)題意可得△BDC是等腰直角三角形，再證明△ADP≌△EBP，即可；
（2）過點(diǎn)P作PF⊥CD交DE于點(diǎn)F，可得∠DPA＝∠FPE，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得△ADP≌△EFP，可得AD＝EF，再由勾股定理可得，即可．
【解答】證明：（1）如圖，連接PB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝CB，AD∥BC，
∵AD＝BD，
∴BC＝BD，
∵∠C＝45°，
∴∠BDC＝∠C＝45°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，
∴DP＝BP，∠CPB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADP＝∠PBE＝135°，
∵EP⊥AP，
∴∠APE＝∠DPB＝90°，
∴∠APD＝∠BPE，
∴△ADP≌△EBP（ASA），
∴PA＝PE；
（2）證明：如圖，過點(diǎn)P作PF⊥CD交DE于點(diǎn)F，
∵PF⊥CD，EP⊥AP，
∴∠DPF＝∠APE＝90°，
∴∠DPA＝∠FPE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠C＝∠DAB＝45°，AB∥CD，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°，
∴∠ADB＝∠DBC＝90°，
∴∠PFD＝45°，
∴∠PFD＝∠PDF＝45°，
∴PD＝PF，
∴∠PDA＝∠PFE＝135°，
∴△ADP≌△EFP（ASA），
∴AD＝EF，
∵PD＝PF，∠PFD＝∠PDF＝45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴，
∵DE＝DF+EF，
∴DE＝DF+DA，
∴．
30．如圖，在?ABCD中，已知AD＝15cm，點(diǎn)P在AD上以1cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上以4cm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)往返運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)（同時(shí)點(diǎn)Q也停止），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（t＞0）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，線段PD的長度為 （15﹣t） cm；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，線段BQ的長度為 7 cm；
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，線段BQ的長度為 5 cm；
（2）若經(jīng)過t秒，以P、D、Q、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．請(qǐng)求出所有t的值．
【分析】（1）由路程＝速度×?xí)r間，可求解；
（2）分四種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)，列出等式可求解．
【解析】（1）∵點(diǎn)P在AD上以1cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，
∴AP＝tcm，
∴PD＝（15﹣t）cm，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，CQ＝2×4＝8cm，
∴BQ＝15﹣8＝7cm，
當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，CQ＝4×5＝20cm，
∴BQ＝20﹣15＝5cm，
故答案為：（15﹣t）；7；5；
（2）∵P在AD上運(yùn)動(dòng)，
∴t≤15÷1＝15，即0＜t≤15，
∵以點(diǎn)P、D、Q、B為頂點(diǎn)的平行四邊形，
已有PD∥BQ，還需滿足DP＝BQ，
①當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線是C﹣B時(shí)，BQ＝15﹣4t，由題意得：15﹣t＝15﹣4t，t＝0 不合題意，
②當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線是C﹣B﹣C時(shí)，BQ＝4t﹣15，由題意得：15﹣t＝4t﹣15，解得：t＝6；
③當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線是C﹣B﹣C﹣B時(shí)，BQ＝45﹣4t，由題意得：15﹣t＝45﹣4t，解得：t＝10；
④當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路線是C﹣B﹣C﹣B–C時(shí)，BQ＝4t﹣45，由題意得：15﹣t＝4t﹣45，解得：t＝12；
綜上所述，t的值為6或10或12．

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