類型一、勾股定理與梯子問題
1．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，一架長10米的梯子AB，斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端離墻BO6米
(1)此時梯子頂端A離地面多少米?
(2)若梯子頂端A下滑3米到C處，那么梯子底端B將向左滑動多少米到D處?
2．（2022秋·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時，竹竿底端O到左墻角的距離OC為0.7米，頂端B距墻頂?shù)木嚯xAB為0.6米若保持竹竿底端位置不動，將竹竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離OF為1.5米，頂端E距墻項D的距離DE為1米，點A、B、C在一條直線上，點D、E、F在一條直線上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：
(1)墻的高度；
(2)竹竿的長度．
3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）一架梯子AB長25米，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端B離墻7米．
(1)這個梯子的頂端距地面有多高？
(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑動了4米嗎？為什么？
類型二、勾股定理與旗桿高度問題
4．（2022秋·山東濟(jì)南·七年級?？计谥校┤鐖D，有一只擺鐘，擺錘看作一個點，當(dāng)它擺動到離底座最近時，擺錘離底座的垂直高度DE=4cm，當(dāng)它來回擺動到離底座的距離最高與最低時的水平距離為8cm時，擺錘離底座的垂直高度BF=6cm，求鐘擺AD的長度．
5．（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級?？计谥校┤鐖D，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，請你求出旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）．
6．（2022秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，為預(yù)防新冠疫情，某小區(qū)人口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀，測溫儀離地面的距離AB=2.4米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫．當(dāng)身高為1.8米的市民CD正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即BC=0.8米），測溫儀自動顯示體溫，求此時人頭頂離測溫儀的距離AD．
類型三、勾股定理與大樹折斷問題
類型四、勾股定理與筷子問題
類型五、勾股定理與航海問題
7．（2022春·廣東江門·八年級?？计谥校┤鐖D所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺風(fēng)中于離地面9米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，大樹在折斷之前高多少米？
8．（2022秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一根垂直于地面的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部的距離AB=4m．
(1)求旗桿折斷處C點距離地面的高度AC；
(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1.25m的點D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將修復(fù)好的旗桿從點D處吹斷，旗桿的頂點落在水平地面上的B′處，形成一個直角△ADB′，請求出AB′的長．
9．（2022秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．
(1)求旗桿距地面多高處折斷（AC）；
(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1m的點D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險？
類型三、勾股定理與大樹折斷問題
類型四、勾股定理與筷子問題
10．（2021春·云南紅河·八年級?？计谥校⒁桓?4cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為?cm，求h的取值范圍
11．（2022春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍叮ㄕ?、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處，問水的深度是多少？
12．（2022秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一個直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時（木棍底端不動），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．
類型五、勾股定理與航海問題
13．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，海中有一小島P，它的周圍12海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測得小島P在北偏東60°方向上，航行16海里到N處，這時測得小島P在北偏東30°方向上．
(1)求M點與小島P的距離；
(2)如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險，并說明理由．
14．（2022秋·江蘇·八年級期中）位于蘇州樂園的漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面垂直高度為8m的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子AC的長為17m，工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？
15．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，一艘輪船由A港口沿著北偏東60°的方向航行100km到達(dá)B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到達(dá)C港口．
(1)求A，C兩港口之間的距離；（結(jié)果保留根號）
(2)C港口在A港口的什么方向．
類型六、勾股定理與寬度問題
16．（2022春·安徽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，沿AC方向開山修路．為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一邊開挖點E離D多遠(yuǎn)正好使A、C、E三點在一直線上（3≈1．732，結(jié)果精確到1米）？
17．（2020秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A,B，其中AB=AC，由于某種原因，電C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，已知CB=5千米，CH=2千米，HB=1千米．
（1）CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
18．（2022春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？计谥校┤ツ昴呈⒌靥嶢，B兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合性大學(xué)，為了方便A，B兩地師生的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距2.732km的A，B兩地之間修筑一條筆直公路（即圖中的線段AB），經(jīng)測量，在A地的北偏東60度方向、B地的西偏北45度方向C處有一個半徑為0.7km的公園，問計劃修筑的這條公路會不會穿過公園？為什么？（參考數(shù)據(jù)3≈1.732）
類型七、勾股定理與超速問題
19．（2022秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期中）“某市道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70千米/時，如圖，一輛小汽車在城市道路BC上直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測儀A正前方60米的C處，過了4秒后到達(dá)B處（BC⊥AC），此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離AB為100米，請問這輛小汽車是否超速？
20．（2022春·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期中）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學(xué)在幸福大道段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路l的距離為100m的P處．這時，一輛紅旗轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3s，并測得∠APO=60°，∠BPO=45°，
(1)求AP的長？
(2)試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？（3≈1.732）
21．（2022春·福建福州·八年級福建省福州第八中學(xué)?？计谥校爸腥A人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h（約為19.4m/s）．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方40m的C處（即AC＝40m），過了2s后，行駛到B處，測得小汽車與車速檢測儀間距離AB為50m，問：這輛小汽車超速了嗎？
類型八、勾股定理與臺風(fēng)影響問題
22．（2021秋·浙江嘉興·八年級期中）如圖，小明家位于筆直的公路MN一側(cè)的點A處，且到公路MN的距離AB為600m，現(xiàn)有一廣播車在公路MN上以250m/min的速度沿MN方向行駛，已知廣播車周圍1000m以內(nèi)都能聽到廣播宣傳，則小明家是否能聽到廣播宣傳？若能，請求出小明家共能聽到多長時間的廣播宣傳？若不能，請說明理由．
23．（2022秋·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米的范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220km的B處有一臺風(fēng)中心，該臺風(fēng)中心現(xiàn)在正以15km/h的速度沿北偏東30°方向移動，若在距離臺風(fēng)中心130km范圍內(nèi)都要受到影響．（結(jié)果精確到0.01）（2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）
(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響？說明理由．
(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長？
24．（2022秋·廣西貴港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，某貨船以20海里/小時的速度將一批重要物資由A處運(yùn)往正西方向的目的地B處，經(jīng)16小時的航行到達(dá)，到達(dá)后立即開始卸貨，這時接到氣象部門的通知，一臺風(fēng)中心正以40海里/小時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都會受到影響．
(1)問B處是否會受到臺風(fēng)的影響請說明理由；
(2)為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物？（結(jié)果保留根號）
類型九、勾股定理與選址問題
25．（2019春·山東濟(jì)寧·八年級校考期中）為了豐富少年兒童的業(yè)余生活，某社區(qū)要在如圖中的AB所在的直線上建一圖書室，本社區(qū)有兩所學(xué)校所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知，AB=2.5 km，CA=1.5 km，DB=1.0 km，試問，圖書室E應(yīng)該建在距點A多少km知處．才能使它到兩所學(xué)校的距離相等？
26．（2022秋·山東東營·七年級統(tǒng)考期中）如圖，某電信公司計劃在A，B兩鄉(xiāng)鎮(zhèn)間的E處修建一座5G信號塔，且使C，D兩個村莊到E的距離相等．已知AD⊥AB于點A，BC⊥AB于點B，AB=80km，AD=50km，BC=30km，求5G信號塔E應(yīng)該建在離A鄉(xiāng)鎮(zhèn)多少千米的地方？
27．（2022秋·江蘇·八年級統(tǒng)考期中）“三農(nóng)”問題是關(guān)系國計民生的根本問題，實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上A、B兩點相距50km，C、D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=30km，CB=20km，現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)品市場E，使得C、D兩村莊到市場E的距離相等，則市場E應(yīng)建在距A多少千米處?并判斷此時ΔDEC的形狀，請說明理由．
類型十、勾股定理與最短路徑
28．（2022秋·陜西漢中·八年級?？计谥校┤鐖D，一只蜘蛛從長方體的一個頂點A爬到另一頂點B，已知長方體的長、寬高分別是AC是8cm，CD是7cm，BD是8cm，求這只蜘蛛爬行的最短距離是多少？
29．（2022秋·甘肅酒泉·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一個圓柱體，高等于12cm，底面半徑等于3cm，一只螞蟻在點A處，它要吃到上底面上與A點相對的點B處的食物，沿圓柱體側(cè)面爬行的最短路程是多少cm（π取3）
30．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級?？计谥校┤鐖Da，圓柱的底面半徑為4cm，圓柱高AB為2cm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線．小明設(shè)計了兩條路線：
路線1：高線AB＋底面直徑BC，如圖a所示，設(shè)長度為l1．
路線2：側(cè)面展開圖中的線段AC，如圖b所示，設(shè)長度為l2．
(1)你認(rèn)為小明設(shè)計的哪條路線較短？請說明理由；
(2)小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱底面半徑為2cm，高AB為4cm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計算．（結(jié)果保留π）
①此時，路線1的長度l1= ，路線2的長度l2= ；
②所以選擇哪條路線較短？試說明理由．
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專題2.4勾股定理與實際問題十大類型大題專練（分層培優(yōu)30題）
類型一、勾股定理與梯子問題
1．（2022秋·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，一架長10米的梯子AB，斜靠在豎直的墻上，這時梯子底端離墻BO6米
(1)此時梯子頂端A離地面多少米?
(2)若梯子頂端A下滑3米到C處，那么梯子底端B將向左滑動多少米到D處?
【答案】(1)8米；
(2)53?6米．
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑3米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵AB=10米，BO=6米，
梯子距離地面的高度AO=AB2?BO2=8米，
答：此時梯子頂端離地面8米；
（2）解：∵梯子下滑了3米，即梯子距離地面的高度CO=8?3=5米，
∴BD+BO=DO=CD2?CO2=102?52=53米，
∴DB=DO?OB=53?6米，即下端滑行了53?6米．
答：梯子底端將向左滑動了53?6米．
【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·山西晉中·八年級統(tǒng)考期中）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一根竹竿斜靠在左墻時，竹竿底端O到左墻角的距離OC為0.7米，頂端B距墻頂?shù)木嚯xAB為0.6米若保持竹竿底端位置不動，將竹竿斜靠在右墻時，竹竿底端到右墻角的距離OF為1.5米，頂端E距墻項D的距離DE為1米，點A、B、C在一條直線上，點D、E、F在一條直線上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：
(1)墻的高度；
(2)竹竿的長度．
【答案】(1)墻高3米
(2)竹竿的長2.5米
【分析】（1）設(shè)墻高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根據(jù)勾股定理即可表示出竹竿長度的平方 ，聯(lián)立即可得到答案；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【詳解】（1）解：設(shè)墻高x米，
∵AC⊥CF，DF⊥CF，
∴∠BCO=∠EFO=90° ，
在RtΔBCO，RtΔEFO根據(jù)勾股定理可得，
BO2=(x?0.6)2+0.72 ，OE2=(x?1)2+1.52，
∵BO=OE ，
∴(x?1)2+1.52=(x?0.6)2+0.72，
解得：x=3 ，
答：墻高3米；
（2）由（1得），
BO2=(x?0.6)2+0.72 ，x=3 ，
∴BO=(3?0.6)2+0.72=2.5
答：竹竿的長2.5米．
【點睛】本題考查勾股定理實際應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵時根據(jù)兩種不同狀態(tài)竹竿長不變列等式及正確計算．
3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考期中）一架梯子AB長25米，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端B離墻7米．
(1)這個梯子的頂端距地面有多高？
(2)如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑動了4米嗎？為什么？
【答案】(1)24米
(2)不是4米，是8米，見解析
【分析】（1）直接利用勾股定理計算即可；
（2）先求出A′C的長度，再利用勾股定理求出B′C的長度即可得到BB′．
【詳解】（1）解：由題意得：AB=25米，BC=7米，
∴AC=252?72=24（米），
答：這個梯子的頂端距地面有24米；
（2）梯子底部不是水平方向滑動了4米，
由題意得：AA′=4米，
∴A′C=24?4=20米，
∴B′C=252?202=15（米），
則：BB′=15?7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑動了8米．
【點睛】此題考查了勾股定理的實際應(yīng)用，正確理解題意確定直角三角形，利用勾股定理解決問題是解題的關(guān)鍵．
類型二、勾股定理與旗桿高度問題
4．（2022秋·山東濟(jì)南·七年級校考期中）如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個點，當(dāng)它擺動到離底座最近時，擺錘離底座的垂直高度DE=4cm，當(dāng)它來回擺動到離底座的距離最高與最低時的水平距離為8cm時，擺錘離底座的垂直高度BF=6cm，求鐘擺AD的長度．
【答案】15cm
【分析】根據(jù)勾股定理可知AB2=AC2+BC2列方程即可請求解.
【詳解】解：設(shè)AB=xcm，依題意得：BC=8cm，CD=CE?DE=6?4=2(cm)，AC=AD?CD=(x?2)(cm)，
∵∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，即(x?2)2+82=x2，
解得：x=15
答：鐘擺AD的長15cm
【點睛】本題考查了利勾股定理解決實際問題，正確構(gòu)造直角三角形利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級?？计谥校┤鐖D，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，請你求出旗桿的高度（滑輪上方的部分忽略不計）．
【答案】17m
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，設(shè)旗桿高度為x米，可得AC=AD=xm，AB=x?2m，而BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x即可．
【詳解】解：如圖，設(shè)旗桿高度為x米，則AC=AD=xm，AB=x?2m，而BC=8m，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即x?22+82=x2，
解得：x=17m，
即旗桿的高度為17m．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，構(gòu)造直角三角形的一般方法就是作垂線．
6．（2022秋·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，為預(yù)防新冠疫情，某小區(qū)人口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀，測溫儀離地面的距離AB=2.4米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫．當(dāng)身高為1.8米的市民CD正對門緩慢走到離門0.8米的地方時（即BC=0.8米），測溫儀自動顯示體溫，求此時人頭頂離測溫儀的距離AD．
【答案】1米
【分析】過點D作DE⊥AB于點E，構(gòu)造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的長度即可．
【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，
∵AB=2.4米，BE=CD=1.8米，ED=BC=0.8米，
∴AE=AB?BE=2.4?1.8=0.6（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：
AD=AE2+DE2=1.0（米），
故此時人頭頂離測溫儀的距離AD為1米．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段AD的長度．
類型三、勾股定理與大樹折斷問題
7．（2022春·廣東江門·八年級校考期中）如圖所示，一棵大樹在一次強(qiáng)烈臺風(fēng)中于離地面9米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，大樹在折斷之前高多少米？
【答案】24
【分析】先根據(jù)大樹離地面部分、折斷部分及地面正好構(gòu)成直角三角形利用勾股定理求出折斷部分的長，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【詳解】解：根據(jù)題意：大樹離地面部分、折斷部分及地面正好構(gòu)成直角三角形，且折斷部分是斜邊，
∴折斷部分的長度為：92+122=15（米），
∴大樹在折斷之前高為：9+15=24（米），
答：大樹在折斷之前高24米
【點睛】本題考查的是勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理．
8．（2022秋·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一根垂直于地面的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部的距離AB=4m．
(1)求旗桿折斷處C點距離地面的高度AC；
(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1.25m的點D處，有一明顯裂痕，若下次大風(fēng)將修復(fù)好的旗桿從點D處吹斷，旗桿的頂點落在水平地面上的B′處，形成一個直角△ADB′，請求出AB′的長．
【答案】(1)AC=3米
(2)AB′=6米
【分析】（1）由題意可知AC+BC=8米，根據(jù)勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因為AB=4米，所以可求得AC的長，
（3）先求出D點距地3?1.25=1.75米，B′D=8?1.75=6.25米，再根據(jù)勾股定理可以求得AB′=6米．
【詳解】（1）解：由題意可知：AC+BC=8米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=4米，
∴42+AC2=8?AC2，
∴AC=3米；
（2）解：∵D點距地面AD=3?1.25=1.75米，
∴B′D=8?1.75=6.25米，
∴AB′=B′D2?AD2=6米．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖
9．（2022秋·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一根直立的旗桿高8m，因刮大風(fēng)旗桿從點C處折斷，頂部B著地且離旗桿底部A的距離為4m．
(1)求旗桿距地面多高處折斷（AC）；
(2)工人在修復(fù)的過程中，發(fā)現(xiàn)在折斷點C的下方1m的點D處，有一條明顯裂痕，將旗桿修復(fù)后，若下次大風(fēng)將旗桿從點D處吹斷，則距離旗桿底部周圍多大范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險？
【答案】(1)旗桿距地面3m處折斷
(2)距離旗桿底部周圍42m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險
【分析】（1）設(shè)AC長為xm，則BC長(8?x)m，再利用勾股定理建立方程即可；
（2）先畫好圖形，再求解AD，B′D，再利用勾股定理可得答案．
【詳解】（1）解：由題意，知AC+BC=8m．
因為∠A=90°，
設(shè)AC長為xm，則BC長(8?x)m，
則42+x2=(8?x)2，
解得x=3．
故旗桿距地面3m處折斷；
（2）如圖．
因為點D距地面AD=3?1=2(m)，
所以B′D=8?2=6(m)，
所以AB′=B′D2?AD2=62?22=42(m)，
所以距離旗桿底部周圍42m的范圍內(nèi)有被砸傷的風(fēng)險．
【點睛】本題考查的是勾股定理的實際應(yīng)用，熟練的從實際問題中構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
類型四、勾股定理與筷子問題
10．（2021春·云南紅河·八年級?？计谥校⒁桓?4cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為?cm，求h的取值范圍
【答案】7≤?≤16
【分析】如圖（見解析），先分別找出筷子露在杯子外面的長度?最小與最大時，筷子的位置，再根據(jù)線段和差、勾股定理求解即可得．
【詳解】解：由題意，當(dāng)筷子按圖1放置時，?取得最大值，最大值為24?8=16cm，
當(dāng)筷子按圖2放置時，其中AC恰好為底面直徑，AC⊥BC，?取得最小值，最小值為24?AB=24?152+82=7cm，
則?的取值范圍是7≤?≤16．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確求出?最小與最大值，是解題關(guān)鍵．
11．（2022春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級統(tǒng)考期中）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲校鏊怀撸绺鞍叮ㄕ?、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達(dá)池邊的水面D處，問水的深度是多少？
【答案】12尺
【分析】設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為（h+1）尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可．
【詳解】解：設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h + 1)尺，根據(jù)勾股定理列方程，解出h即可．
設(shè)水深為h尺，則蘆葦長為(h+ 1)尺，
根據(jù)勾股定理，得(h+ 1)2-h2=52解得h = 12，
∴水深為12尺，
故答案是： 12尺．
【點睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一個直徑為20cm的杯子，在它的正中間豎直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，當(dāng)木棍倒向杯壁時（木棍底端不動），木棍頂端正好觸到杯口，求木棍長度．
【答案】26cm
【分析】設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，因為直徑為20cm的杯子，可根據(jù)勾股定理列方程求解．
【詳解】解：設(shè)杯子的高度是xcm，那么小木棍的高度是（x+2）cm，
∵杯子的直徑為20cm，
∴杯子半徑為10cm，
∴x2+102＝（x+2）2，
即x2+100＝x2+4x+4，
解得：x＝24，
24+2＝26（cm）．
答：小木棍長26cm．
【點睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是看到構(gòu)成的直角三角形以及各邊的長．
類型五、勾股定理與航海問題
13．（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，海中有一小島P，它的周圍12海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測得小島P在北偏東60°方向上，航行16海里到N處，這時測得小島P在北偏東30°方向上．
(1)求M點與小島P的距離；
(2)如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否有觸礁危險，并說明理由．
【答案】(1)163海里
(2)不會有觸礁危險，理由見解析
【分析】（1）過點P作PA⊥MN，交MN的延長線于點A，利用30°所對的直角邊是斜邊的一半，以及勾股定理，進(jìn)行求解即可；
（2）求出PA的長，與12海里比較大小，即可進(jìn)行判斷．
【詳解】（1）解：過點P作PA⊥MN，交MN的延長線于點A，
由題意，得：∠PMA=90°?60°=30°，∠PNA=90°?30°=60°，
∴∠APN=90°?∠PNA=30°，
設(shè)：AN=x，
則：PN=2x,AP=PN2?AN2=3x，AM=MN+AN=16+x，
∵∠PMA=30°，
∴PM=2AP=23x，
在Rt△MAP中，PM2=AM2+AP2，
即：23x2=3x2+x+162，
解得：x1=8,x2=?4（不合題意，舍去）；
∴PM=8×23=163；
∴M點與小島P的距離：163海里；
（2）不會有觸礁危險，理由如下：
由（1）知：AP=3x=83，
∵832=192>144=122，
∴83>12，
∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險．
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解，是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·江蘇·八年級期中）位于蘇州樂園的漂流項目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點A拉回點B的位置（如圖）．在離水面垂直高度為8m的岸上點C，工作人員用繩子拉船移動，開始時繩子AC的長為17m，工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點D的位置，問此時游船移動的距離AD的長是多少？
【答案】此時游船移動的距離AD的長是9m
【分析】在Rt△ABC中用勾股定理求出AB=15，在Rt△DBC中用勾股定理求出BD=6，再根據(jù)AD=AB?BD的出結(jié)果．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=8m，AC=17m，
∴AB=AC2?BC2=172?82=15m，
∵工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過20秒后游船移動到點D的位置，
∴CD=17?0.35×20=10m，
∴BD=CD2?BC2=102?82=6m，
∴AD=AB?BD=9m．
答：此時游船移動的距離AD的長是9m．
【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理在實際問題中的應(yīng)用，從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型是解題關(guān)鍵．
15．（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示，一艘輪船由A港口沿著北偏東60°的方向航行100km到達(dá)B港口，然后再沿北偏西30°方向航行100km到達(dá)C港口．
(1)求A，C兩港口之間的距離；（結(jié)果保留根號）
(2)C港口在A港口的什么方向．
【答案】(1)1002km
(2)C港口在A港口的北偏東15°的方向上
【分析】（1）由題意得∠ABC=90°，由勾股定理，從而得出AC的長；
（2）由（1）可得∠BAC=45°，求出∠MAC即可．
【詳解】（1）∵∠MAB=60°，
∴∠BAN=30°．
∵AN∥QB，
∴∠QBA=∠BAN=30°．
∵∠PBC=30°，
∴∠CBQ=60°．
∴∠ABC=∠QBA+∠CBQ=90°．
根據(jù)勾股定理，知AC=AB2+BC2=1002+1002=1002(km)．
答：A、C兩港之間的距離是1002km；
（2）由（1）知，△ABC是等腰直角三角形，且∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°
∴∠MAC=90°?∠BAC?∠BAN=90°?45°?30°=15°,
∴C港口在A港口的北偏東15°的方向上
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用和方向角，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到∠ABC=90°．
類型六、勾股定理與寬度問題
16．（2022春·安徽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，沿AC方向開山修路．為了加快施工進(jìn)度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B取∠ABD＝120°，BD＝400米，∠D＝30°．那么另一邊開挖點E離D多遠(yuǎn)正好使A、C、E三點在一直線上（3≈1．732，結(jié)果精確到1米）？
【答案】另一邊開挖點E離D346m，正好使A，C，E三點在一直線上
【分析】由∠ABD＝120°可求出∠EBD=60°，可證∠AED＝90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)，可得BE＝12BD，從而求得BE的長度，在Rt△BDE中，根據(jù)姑姑定力，即可求得答案．
【詳解】解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，
∴∠EBD=60°
∴∠AED＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BDE中，BD＝400m，∠D＝30°，
∴BE＝12BD＝200m，
∴DE＝BD2?BE2＝2003≈346（m），
答：另一邊開挖點E離D346m，正好使A，C，E三點在一直線上．
【點睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
17．（2020秋·四川成都·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A,B，其中AB=AC，由于某種原因，電C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，已知CB=5千米，CH=2千米，HB=1千米．
（1）CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請通過計算加以說明．
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？
【答案】（1）是，證明見解析；（2）12千米．
【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理驗證△CHB為直角三角形，進(jìn)而得到CH⊥AB，再根據(jù)點到直線的距離垂線段最短即可解答；
(2)在△ACH中根據(jù)勾股定理解答即可．
【詳解】（1）∵在△CHB中，CH=2,BH=1,BC=5，
又22+12=52，
∴△CHB是以∠BHC為直角的直角三角形，
∴CH⊥AB，
∵點到直線垂線段的長度最短，
∴CH是村莊C到河邊的最近路．
（2）設(shè)AC=AB=x，
∵BH=1千米，
∴AH=AB?BH=(x?1)千米，
在Rt△ACH中，由勾股定理得：CH2+AH2=AC2，
∴22+(x?1)2=x2，
解得x=52，
∴AC=AB=52千米，
∴CH比CA少52?2=12千米．
【點睛】此題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．
18．（2022春·湖南長沙·八年級長沙市長郡梅溪湖中學(xué)?？计谥校┤ツ昴呈⒌靥嶢，B兩地的兩所大學(xué)合并成了一所綜合性大學(xué)，為了方便A，B兩地師生的交往，學(xué)校準(zhǔn)備在相距2.732km的A，B兩地之間修筑一條筆直公路（即圖中的線段AB），經(jīng)測量，在A地的北偏東60度方向、B地的西偏北45度方向C處有一個半徑為0.7km的公園，問計劃修筑的這條公路會不會穿過公園？為什么？（參考數(shù)據(jù)3≈1.732）
【答案】計劃修筑的這條公路不會穿過公園．理由見解析
【分析】先過點C作CD⊥AB于D，設(shè)CD為xkm，則BD為xkm，AD為3xkm，則有x+3x=2，求出x的值，再與0.7比較大小，即可得出答案．
【詳解】解：如圖所示，過點C作CD⊥AB，垂足為點D，
由題意可得∠CAB=30°，∠CBA=45°，
在Rt△CDB中，∠BCD=45°，
∴∠CBA=∠BCD，
∴BD=CD．
在Rt△ACD中，∠CAB=30°，
∴AC=2CD．設(shè)CD=DB=x，
∴AC=2x．
由勾股定理得AD=AC2?CD2=(2x)2?x2=3x．
∵AD+DB=2.732，
∴3x+x=2.732，
∴x≈1．
即CD≈1＞0.7，
∴計劃修筑的這條公路不會穿過公園．
【點睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理的應(yīng)用，用到的知識點是方向角和含30度角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線，構(gòu)造直角三角形．
類型七、勾股定理與超速問題
19．（2022秋·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期中）“某市道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過70千米/時，如圖，一輛小汽車在城市道路BC上直道行駛，某一時刻剛好行駛到車速檢測儀A正前方60米的C處，過了4秒后到達(dá)B處（BC⊥AC），此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離AB為100米，請問這輛小汽車是否超速？
【答案】小汽車已超速行駛．
【分析】根據(jù)題意得出由勾股定理得出BC的長，根據(jù)時間求出速度，從而可知道是否超速．
【詳解】解：根據(jù)題意，得AC=60米，AB=100米，∠C=90°，
在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理，BC=AB2?AC2=80(米)，
80米=0.08千米，
4秒=4×13600=1900小時，
0.08÷1900=72>70，
所以小汽車已超速行駛．
【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出BC的長是解題關(guān)鍵．
20．（2022春·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期中）超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同學(xué)在幸福大道段，嘗試用自己所學(xué)的知識檢測車速，觀測點設(shè)在到公路l的距離為100m的P處．這時，一輛紅旗轎車由西向東勻速駛來，測得此車從A處行駛到B處所用的時間為3s，并測得∠APO=60°，∠BPO=45°，
(1)求AP的長？
(2)試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？（3≈1.732）
【答案】(1)AP的長為200m
(2)此車超過了80km/h的限制速度
【分析】（1）根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)，即可求解；
（2）根據(jù)勾股定理可得AO=1003m，再由等腰直角三角形的判定可得BO=OP=100m，可求出AB，即可求解．
【詳解】（1）解：在RtΔAPO中，∠APO=60°,OP=100m，
∴∠PAO=30°，
∴AP=2OP=200m；
（2）解：在RtΔAPO中，OP=100m,AP=200m，
∴AO=AP2?OP2=2002?1002=1003m，
在RtΔBOP中，∠BPO=45° ，
∴∠BPO=∠OBP=45°，
∴BO=OP=100m，
∴V小車=1003?100÷3≈24.4m/s=87.84km/h>80km/h，
∴此車超過80km/h的限制速度．
【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，熟練掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2022春·福建福州·八年級福建省福州第八中學(xué)?？计谥校爸腥A人民共和國道路交通管理條例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h（約為19.4m/s）．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方40m的C處（即AC＝40m），過了2s后，行駛到B處，測得小汽車與車速檢測儀間距離AB為50m，問：這輛小汽車超速了嗎？
【答案】這輛小汽車沒有超速
【分析】利用勾股定理先求得小汽車形式的路程BC，再利用路程、速度、時間之間的而關(guān)系求得小汽車實際形式的速度，與限速比較即可．
【詳解】在Rt△ABC中，AC＝40m，AB＝50m；
據(jù)勾股定理可得：BC＝AB2?AC2＝502?402＝30（m）
小汽車的速度為v＝302＝15（m/s），
∵15m/s＜19.4m/s；
∴這輛小汽車沒有超速行駛．
答：這輛小汽車沒有超速了
【點睛】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．
類型八、勾股定理與臺風(fēng)影響問題
22．（2021秋·浙江嘉興·八年級期中）如圖，小明家位于筆直的公路MN一側(cè)的點A處，且到公路MN的距離AB為600m，現(xiàn)有一廣播車在公路MN上以250m/min的速度沿MN方向行駛，已知廣播車周圍1000m以內(nèi)都能聽到廣播宣傳，則小明家是否能聽到廣播宣傳？若能，請求出小明家共能聽到多長時間的廣播宣傳？若不能，請說明理由．
【答案】小明家能聽到廣播宣傳，小明家共能聽到廣播宣傳的時間為6.4min．
【分析】根據(jù)垂線段最短可得小明家能聽到廣播宣傳．假設(shè)當(dāng)廣播車行駛到點P時，小明家開始聽到廣播，當(dāng)廣播車行駛到點Q時，小明家不再聽到廣播，則AP=AQ=1000m,AB=600m，再由勾股定理可得BP=800m，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：小明家能聽到廣播宣傳．
∵小明家到公路MN的距離AB為600m，600

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