一、單選題
1．（2022春·廣東河源·八年級(jí)?？计谀┮阎庑蔚闹荛L(zhǎng)等于40cm，兩對(duì)角線的比為3:4，則對(duì)角線的長(zhǎng)分別是（ ）
A．12cm，16cmB．6cm，8cm
C．3cm，4cmD．24cm，32cm
2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE=（ ）
A．6B．8C．245D．485
3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=5,BC=12，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，且PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．6013D．6012
4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=6，則四邊形EFGH的面積是（ ）
A．34B．36C．40D．100
5．（2022秋·山東聊城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在DC上，DM=1，點(diǎn)N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么DN+MN的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四個(gè)判斷中，不正確的是（ ）
A．四邊形AEDF是平行四邊形
B．如果AD平分∠EAF，那么四邊形AEDF是菱形
C．如果AD=EF，那么四邊形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四邊形AEDF是正方形
7．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，E、F、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD上的點(diǎn)，連接DF，HE，且HE=DF，DG平分∠ADF交AB于點(diǎn)G．若∠BEH=52°，則∠AGD的度數(shù)為（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
8．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）將圖1中兩個(gè)三角形按圖2所示的方式擺放，其中四邊形ABCD為矩形，連接PQ，甲、乙兩人有如下結(jié)論：
甲：若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，則四邊形PQMN必是正方形；
乙：若四邊形PQMN為正方形，則四邊形ABCD必是邊長(zhǎng)為1的正方形．
下列判斷正確的是（ ）
A．甲正確，乙不正確B．甲不正確，乙正確
C．甲、乙都不正確D．甲、乙都正確
9．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2，當(dāng)BP=（ ）時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最?。?br>A．3B．4C．5D．22
10．（2023春·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E為對(duì)角線AC上與A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值為2．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
11．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB=6，BC=8，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（ ）
A．485B．325C．245D．125
12．（2023春·福建福州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點(diǎn)，且AB=CD，下列結(jié)論：①四邊形EFGH是菱形；②EG⊥FH；③若∠BAD+∠ADC=245°，則∠EFH=27.5°；④EG=12BC?AD；其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
13．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，把矩形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH的度數(shù)恰好為90°，PF=4，PH=3，則矩形ABCD的邊BC的長(zhǎng)為( )
A．10B．11C．12D．15
14．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接AE，沿直線AE把△ADE折疊，使點(diǎn)D恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處．若AB=9，CE=4，則折痕AE的長(zhǎng)度為（ ）
A．510B．103C．105D．53
15．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖：E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ+PR的值是（ ）
A．32B．12C．22D．23
16．（2023秋·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論： ①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四邊形DEOF，其中正確的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
17．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)順次在直線l上，AC=a,BD=b．以AC為底向下作等腰直角三角形ACE，以BD為底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=56BD．連接AF,DE，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變，則a與b需滿足（ ）
A．a(chǎn)=43bB．a(chǎn)=65bC．a(chǎn)=53bD．a(chǎn)=2b
18．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD中，P為CD上一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線MN交BD于N，M為垂足，交正方形的兩邊于E、F，連接PN，則下列結(jié)論：①∠APN=45°；②PC=2BN；③∠DNF=∠DAP；④MN=MF+NE，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
19．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校考期末）如圖，邊長(zhǎng)為5的大正方形ABCD是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M．若AH=GH，則CM的長(zhǎng)為（ ）
A．12B．34C．1D．54
20．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBnCnDn．下列結(jié)論正確的是（ ）．
①四邊形A4B4C4D4是菱形；
②四邊形A3B3C3D3是矩形；
③四邊形A7B7C7D7周長(zhǎng)為a+b8；
④四邊形AnBnCnDn面積為a2?b2n．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
二、填空題
21．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，連接OE．下列結(jié)論：
①△ODC是等邊三角形；
②CD=BE；
③BC=2AB；
④S△AOE=S△COE．其中正確的有______（填序號(hào)）．
22．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，若AB=2,∠BAD=60°，則EF的最小值為_______．
23．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠DAB=30°，點(diǎn)P、Q分別是AC、AB上的動(dòng)點(diǎn)，BP+PQ的最小值為______
24．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)南京外國語學(xué)校仙林分校?？奸_學(xué)考試）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)E是BC邊上任一點(diǎn)，連接AE，把∠B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，當(dāng)CE的長(zhǎng)為___________時(shí)，△CEB′恰好為直角三角形．
25．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)期中）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上(不與點(diǎn)C，D重合)，AE交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，GF⊥AE交AE于點(diǎn)G．
(1)若AB=10，BF=4，線段AF的長(zhǎng)度為___________．
(2)連接AF，EF，若AF=AE，正方形ABCD與△CEF的面積之比___________．
26．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)校考期中）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)F分別在AD，BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②線段BF的取值范為3≤BF≤4；③EF=2DE；④當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，EF= 20，其中正確的結(jié)論是________．
27．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F．若正方形邊長(zhǎng)是8，EC=2，則FC的長(zhǎng)為____．
28．（2021春·江蘇南京·八年級(jí)校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，G、H分別是BD、AC的中點(diǎn)，依次連接E、G、F、H得到四邊形EGFH，要使四邊形EGFH是菱形，可添如條件__________．
29．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，四邊形ABCD中，AD=6，CD=8，∠ADC=90°，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，連接BM，若BM=12AC，∠BAD+∠BDC=180°，則BC2的值為 __．
30．（2022春·北京朝陽·八年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校閼c祝建黨90周年，美化社區(qū)環(huán)境，某小區(qū)要修建一塊藝術(shù)草坪．如圖，該草坪依次由部分互相重疊的一些全等的菱形組成，且所有菱形的較長(zhǎng)的對(duì)角線在同一條直線上，前一個(gè)菱形對(duì)角線的交點(diǎn)是后一個(gè)菱形的一個(gè)頂點(diǎn)，如菱形ABCD、EFGH、CIJK…，要求每個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4m和6m．
（1）若使這塊草坪的總面積是39m2，則需要___個(gè)這樣的菱形；
（2）若有n個(gè)這樣的菱形（n≥2，且n為整數(shù)），則這塊草坪的總面積是___m2．
2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】
專題6.4考前必做30題之特殊的平行四邊形小題培優(yōu)提升（壓軸篇，八下人教）
一、單選題
1．（2022春·廣東河源·八年級(jí)校考期末）已知菱形的周長(zhǎng)等于40cm，兩對(duì)角線的比為3:4，則對(duì)角線的長(zhǎng)分別是（ ）
A．12cm，16cmB．6cm，8cm
C．3cm，4cmD．24cm，32cm
【答案】A
【分析】根據(jù)菱形的周長(zhǎng)可以計(jì)算菱形的邊長(zhǎng)，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直，所以△ABO為直角三角形，設(shè)菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為2x、2y,則x:y＝3:4，且在Rt△ABO中，x2＋y2＝102，求得x、y即可解題．
【詳解】解：如下圖所示，菱形的周長(zhǎng)為40cm,則菱形的邊長(zhǎng)為10cm,
菱形的對(duì)角線互相垂直，所以△ABO為直角三角形，
設(shè)菱形的對(duì)角線長(zhǎng)為2x、2y,則x:y＝3:4，
在Rt△ABO中，x2＋y2＝102
解得x＝6cm，y＝8 cm,
故對(duì)角線長(zhǎng)為12cm，16cm．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，菱形各邊長(zhǎng)相等的性質(zhì)，菱形對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，本題中根據(jù)x、y的關(guān)系式求x、y的值是解題的關(guān)鍵．
2．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=6，DB=8，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE=（ ）
A．6B．8C．245D．485
【答案】C
【分析】先利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出BC=5，再根據(jù)菱形的面積公式求解即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OC=OA，OB=OD，
∵AC=6，DB=8，
∴OC=3，OB=4，
∴BC=OB2+OC2=32+42=5，
∵AC=6，DB=8，
∴菱形ABCD的面積=12×AC?BD=12×6×8=24，
∵BC=5，
∴AE=S菱形ABCDBC=245，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟知菱形對(duì)角線互相垂直平分是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，矩形ABCD中，AB=5,BC=12，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段AD上任意一點(diǎn)，且PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE+PF等于（ ）
A．6B．5C．6013D．6012
【答案】C
【分析】連接PO，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及勾股定理可得S△AOD=14S矩形ABCD=15，OA=OD=12AC=132，再由S△AOD=S△AOP+S△DOP，即可求解．
【詳解】解：連接PO，如圖，
在矩形ABCD中，AB=5,BC=12，
∴S矩形ABCD=AB?BC=60,OA=OC,OB=OD,AC=BD， AC=AB2+BC2=52+122=13，
∴S△AOD=14S矩形ABCD=15，OA=OD=12AC=132，
S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA?PE+12OD?PF=12OAPE+PF=12×132×PE+PF=15,
∴PE+PF=6013．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=6，則四邊形EFGH的面積是（ ）
A．34B．36C．40D．100
【答案】C
【分析】利用正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=6，
∴BE=AH=DG=CF=8?6=2，
∴四邊形EFGH的面積為：82?12×2×6×4=64?24=40；
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，正確的識(shí)圖，利用割補(bǔ)法求面積，是解題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·山東聊城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M在DC上，DM=1，點(diǎn)N是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么DN+MN的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由正方形的對(duì)稱性可知點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，連接BM交AC于N′點(diǎn)，N′即為所求，在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B與D關(guān)于直線AC對(duì)稱，
連接BD，BN，BM交AC于N′點(diǎn)，連接DN′，
則DN=BN，
∵DN+MN=BN+MN≥BM，
當(dāng)B、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，DN+MN取得最小值，
則N′即為所求的點(diǎn)，
則BM的長(zhǎng)即為DN+MN的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
又CM=CD?DM=4?1=3，
在Rt△BCM中，BM=CM2+BC2=32+42=5，
故DN+MN的最小值是5．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線AC對(duì)稱，可知BM的長(zhǎng)即為DN+MN的最小值是解答此題的關(guān)鍵．
6．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E、D、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四個(gè)判斷中，不正確的是（ ）
A．四邊形AEDF是平行四邊形
B．如果AD平分∠EAF，那么四邊形AEDF是菱形
C．如果AD=EF，那么四邊形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四邊形AEDF是正方形
【答案】D
【分析】?jī)山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是90°的平行四邊形是矩形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，四個(gè)角都是直角，且四個(gè)邊都相等的是正方形，逐項(xiàng)判斷即可得出答案．
【詳解】A．因?yàn)镈E∥CA，DF∥BA，所以四邊形AEDF是平行四邊形．故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．如果AD=EF，四邊形AEDF是平行四邊形，所以四邊形AEDF是矩形．故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
C．因?yàn)锳D平分∠EAF，所以∠EAD=∠FAD，
∵∠FAD=∠EDA，∠EAD=∠FDA，
∴EAD=∠EDA，
∴AE=DE，又因?yàn)樗倪呅蜛EDF是平行四邊形，所以是菱形．故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
D．∵AD⊥BC且AB=AC，
∴D為BC的中點(diǎn)．
∵DE∥CA，DF∥BA，
∴E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，
∴AE=12AB，AF=12AC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴四邊形AEDF是菱形．故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形的判定定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，E、F、H分別為正方形ABCD的邊AB、BC、CD上的點(diǎn)，連接DF，HE，且HE=DF，DG平分∠ADF交AB于點(diǎn)G．若∠BEH=52°，則∠AGD的度數(shù)為（ ）
A．26°B．38°C．52°D．64°
【答案】D
【分析】過點(diǎn)H作HM⊥AB，由正方形的性質(zhì)BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC，四邊形BCHM為矩形，利用HL易證得△HEM≌△DFC，可得∠BEH=∠DFC=52°，進(jìn)而可得∠ADF=∠DFC=52°，由角平分線可得的∠ADG度數(shù)，即可求得得∠AGD度數(shù)．
【詳解】解：過點(diǎn)H作HM⊥AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠A=∠C=∠ADC=90°，AD∥BC
∵HM⊥AB，則四邊形BCHM為矩形，
∴MH=BC=DC，
∵HE=DF，
∴△HEM≌△DFC（HL），
∴∠BEH=∠DFC=52°，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DFC=52°，
又∵DG平分∠ADF，
∴∠ADG=12∠ADF=26°，
∴∠AGD=90°?∠ADG=64°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線，構(gòu)造全等三角形，利用其性質(zhì)轉(zhuǎn)化角度是解決問題的關(guān)鍵．
8．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）將圖1中兩個(gè)三角形按圖2所示的方式擺放，其中四邊形ABCD為矩形，連接PQ，甲、乙兩人有如下結(jié)論：
甲：若四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，則四邊形PQMN必是正方形；
乙：若四邊形PQMN為正方形，則四邊形ABCD必是邊長(zhǎng)為1的正方形．
下列判斷正確的是（ ）
A．甲正確，乙不正確B．甲不正確，乙正確
C．甲、乙都不正確D．甲、乙都正確
【答案】D
【分析】根據(jù)AB=BC=CD=AD=1，求出AQ和AP的值，根據(jù)勾股定理求出PQ的值，即可判斷甲是否正確，若平行四邊形PQMN為正方形，根據(jù)邊的關(guān)系可以求出AB=CD=AD=BC=1且四個(gè)角都是直角，即可判斷乙是否正確．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴AB=BC=CD=AD=1，∠BAD=90°，
∴AQ=4?1=3，AP=3+1=4，∠PAQ=90°，
∴PQ2=AQ2+AP2=25，
∴PQ=5，
同理MN=5，
∴四邊形PQMN是菱形，
在△QMD和△PQA中，
MQ=QPMD=QADQ=AP，
∴△QMD≌△PQASSS，
∴∠MQD=∠APQ，
∵∠AQP+∠QPA=90°，
∴∠AQP+∠MQD=90°，
∴∠MQP=90°，
則四邊形PQMN必是正方形；
∴甲正確；
若四邊形PQMN為正方形，則PQ=PN=MN=MQ=5，
且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90°，
在△QMD和△PQA中，
∠QMD=∠AQPMQ=PQ∠MQD=∠QPA，
∴△QMD≌△PQAASA，
∴QD=AP=4，
同理QD=AP=MC=BN=4，
又∵BP=MD=AQ=3，
∴QD?AD=PA?AB，
∴AB=AD=1，
同理AB=CD=AD=BC=1，
即四邊形ABCD為菱形，
∵∠DAB=180°?∠QAP=90°，
則四邊形ABCD必是邊長(zhǎng)為1的正方形，
∴乙正確，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春·廣東深圳·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E為CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q為BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且PQ=2，當(dāng)BP=（ ）時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最?。?br>A．3B．4C．5D．22
【答案】B
【分析】在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過F點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，此時(shí)四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，先求出∠CEQ=45°，得出CE=CQ=2，設(shè)BP=x，則CQ=BC?BP?PQ=8?x?2=6?x，列出關(guān)于x的方程，解方程即可．
【詳解】解：如圖，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G，連接EG與BC交于一點(diǎn)即為Q點(diǎn)，過F點(diǎn)作FQ的平行線交BC于一點(diǎn)，即為P點(diǎn)，此時(shí)四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，過G點(diǎn)作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴AD=BC=8，DC=AB=4，
∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=90°，
∴DF=AD?AF=8?2=6，
∵E為CD邊的中點(diǎn)，
∴CE=DE=2，
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，
∴GH=EH，
∵∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
∵在△CQE中，∠QCE=90°，
∴∠QEC=90°?45°=45°，
∴∠EQC=∠CEQ，
∴CE=CQ=2，
設(shè)BP=x，則CQ=BC?BP?PQ=8?x?2=6?x，
∴6?x=2，
解得：x=4，
即BP=4時(shí)，四邊形APQE的周長(zhǎng)最小，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找出使四邊形APQE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)P的位置．
10．（2023春·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E為對(duì)角線AC上與A，C不重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①DE=FG；②DE⊥FG；③∠BFG=∠ADE；④FG的最小值為2．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【答案】C
【分析】①連接BE，易知四邊形EFBG為矩形，可得BE=FG；由△AEB?△AED可得DE=BE，所以DE=FG；②延長(zhǎng)DE，交FG于M，交FB于點(diǎn)H，由矩形EFBG可得OF=OB，則∠OBF=∠OFB；由∠OBF=∠ADE，則∠OFB=∠ADE；由四邊形ABCD為正方形可得∠BAD=90°，即∠AHD+∠ADH=90°，所以∠AHD+∠OFH=90°，即∠FMH=90°，可得DE⊥FG；③由②中的結(jié)論可得∠BFG=∠ADE；④由于點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，根據(jù)垂線段最短可得此時(shí)DE最小，最小值為22，由①知FG=DE，所以FG的最小值為22
【詳解】解：①連接BE，交FG于點(diǎn)O，如圖，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠EFB=∠EGB=90°．
∵∠ABC=90°，
∴四邊形EFBG為矩形．
∴FG=BE，OB=OF=OE=OG．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°．
在△ABE和△ADE中，
AE＝AE∠BAC＝∠DACAB＝AD，
∴△ABE?△ADE．
∴BE=DE．
∴DE=FG．
∴①正確；
②延長(zhǎng)DE，交FG于M，交FB于點(diǎn)H，
∵△ABE?△ADE，
∴∠ABE=∠ADE．
由①知：OB=OF，
∴∠OFB=∠ABE．
∴∠OFB=∠ADE．
∵∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠AHD=90°．
∴∠OFB+∠AHD=90°．
即：∠FMH=90°，
∴DE⊥FG．
∴②正確；
③由②知：∠OFB=∠ADE．
即：∠BFG=∠ADE．
∴③正確；
④∵點(diǎn)E為AC上一動(dòng)點(diǎn)，
∴根據(jù)垂線段最短，當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE最?。?br>∵AD=CD=4，∠ADC=90°，
∴AC=AD2+CD2=42．
∴DE=12AC=22．
由①知：FG=DE，
∴FG的最小值為22，
∴④錯(cuò)誤．
綜上，正確的結(jié)論為：①②③．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，垂線段最短，三角形全等的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂直的定義．根據(jù)圖形位置的特點(diǎn)通過添加輔助線構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵，也是解決此類問題常用的方法．
11．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB=6，BC=8，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（ ）
A．485B．325C．245D．125
【答案】C
【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到△AOD的面積為12，再根據(jù)S△AOD=S△AOE+S△DOE，即可得到EO+EF的值．
【詳解】∵AB=6，BC=8，
∴矩形ABCD的面積為48，AC=AB2+BC2=82+62=10，
∴AO=DO=12AC=5，
∵對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，
∴△AOD的面積為12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，
∴S△AOD=S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，
∴12=12×5×EO+12×5×EF，
∴EO+EF=245，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
12．（2023春·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是BD，BC，AC，AD的中點(diǎn)，且AB=CD，下列結(jié)論：①四邊形EFGH是菱形；②EG⊥FH；③若∠BAD+∠ADC=245°，則∠EFH=27.5°；④EG=12BC?AD；其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半與AB=CD可得四邊形EFGH是菱形，然后根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且平分每一組對(duì)角的性質(zhì)對(duì)各小題進(jìn)行判斷．
【詳解】
解：∵E、F、G、H分別是BD、BC、AC、AD的中點(diǎn)，
∴EF=12CD，F(xiàn)G=12AB，GH=12CD，HE=12AB，AB∥FG，CD∥EF，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∴四邊形EFGH是菱形，故①正確；
∴EG⊥FH，故②正確；
∵∠BAD+∠ADC=245°，
∴∠ABC+∠DCB=115°，
∵AB∥FG，CD∥EF，
∴∠CFG=∠ABC，∠EFB=∠DCB，
∴∠CFG+∠EFB=115°，
∴∠EFG=180°?∠CFG+∠EFB=65°，
∴∠EFH=12∠EFG=32.5°，故③錯(cuò)誤；
當(dāng)AD∥BC，如圖所示：E，G分別為BD，AC中點(diǎn)，
∴連接CD，延長(zhǎng)EG到CD上一點(diǎn)N，
∴EN=12BC，GN=12AD，
∴EG=12(BC?AD)，只有AD∥BC時(shí)才可以成立，而本題AD與BC很顯然不平行，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，①②共2個(gè)正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理與菱形的判定與菱形的性質(zhì)，根據(jù)三角形的中位線定理與AB=CD判定四邊形EFGH是菱形是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，把矩形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH的度數(shù)恰好為90°，PF=4，PH=3，則矩形ABCD的邊BC的長(zhǎng)為( )
A．10B．11C．12D．15
【答案】C
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出BF=PF=4，CH=PH=3，根據(jù)勾股定理得出FH，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵矩形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，
∴BF=PF=4，CH=PH=3，
∵∠FPH=90°，
∴FH=PF2+PH2=42+32=5 ，
∴BC=BF+FH+CH=4+5+3=12，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
14．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市珊瑚初級(jí)中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)，連接AE，沿直線AE把△ADE折疊，使點(diǎn)D恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處．若AB=9，CE=4，則折痕AE的長(zhǎng)度為（ ）
A．510B．103C．105D．53
【答案】A
【分析】首先長(zhǎng)方形的性質(zhì)和已知條件得到CE=4，DE=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=AF，DE=EF=5然后由勾股定理求出CF=3，設(shè)AD=AF=BC=x，根據(jù)勾股定理列方程求出AD=15，然后根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】∵在長(zhǎng)方形ABCD中，
∴CD=AB=9，∠C=∠B=∠D=90°
∵CE=4
∴DE=CD?CE=5
∵沿直線AE把△ADE折疊，使點(diǎn)D恰好落在邊BC上的點(diǎn)F處
∴AD=AF，DE=EF=5
∴CF=EF2?CE3=3
∴設(shè)AD=AF=BC=x，
∴BF=BC?CF=x?3
∴AF2=BF2+AB2，即x2=x?32+92
∴解得x=15
∴AD=15
∴AE=AD2+DE2=510
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方形中的折疊問題，涉及長(zhǎng)方形性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何性質(zhì)及勾股定理求線段長(zhǎng)是解決問題的關(guān)鍵．
15．（2022春·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖：E是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BE=BC，P為CE上任意一點(diǎn)，PQ⊥BC于點(diǎn)Q，PR⊥BE于點(diǎn)R，則PQ+PR的值是（ ）
A．32B．12C．22D．23
【答案】C
【分析】連接BP，過C作CM⊥BD，利用面積法求解，PQ+PR的值等于C點(diǎn)到BE的距離，即正方形對(duì)角線的一半．
【詳解】解：連接BP，過C作CM⊥BD，如圖所示：
∵BC=BE，
∴S△BCE=S△BPE+S△BPC
=12BC×PQ+12BE×PR=12BC×(PQ+PR)=12BE×CM，
∴PQ+PR=CM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，CD=BC=1，∠CBD=∠CDB=45°，
∴BD=12+12=2，
∵BC=CD，CM⊥BD，
∴M為BD中點(diǎn)，
∴CM=12BD=22，
即PQ+PR值是22．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算；熟練掌握正方形的性質(zhì)，運(yùn)用面積法求解是解決問題的關(guān)鍵．
16．（2023秋·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD、AD上的點(diǎn)，且CE=DF，AE、BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論： ①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四邊形DEOF，其中正確的有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，然后求出AF=DE，再利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=BF，從而判定出①正確；再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABF=∠DAE，然后證明∠ABF+∠BAO=90°，再得到∠AOB=90°，從而得出AE⊥BF，判斷②正確；假設(shè)AO=OE，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)可得AB=BE，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可得BE>BC，即BE>AB，從而判斷③錯(cuò)誤；根據(jù)全等三角形的面積相等可得S△ABF=S△ADE，然后都減去△AOF的面積，即可得解，從而判斷④正確．
【詳解】解：在正方形ABCD中，∠BAF=∠D=90°，AB=AD=CD，
∵CE=DF，
∴AD?DF=CD?CE，
即AF=DE，
在△ABF和△DAE中，
AB=AD∠BAF=∠D=90°AF=DE，
∴△ABF?△DAESAS，
∴AE=BF，故①正確；
∵∠DAE+∠BAO=90°，∠ABF+∠BAO=90°，
∴∠ABF=∠DAE，
在△ABO中，∠AOB=180°?(∠ABF+∠BAO)=180°?90°=90°，
∴AE⊥BF，故②正確；
假設(shè)AO=OE，
∵AE⊥BF（已證），
∴AB=BE（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∵在Rt△BCE中，BE>BC，
∴AB>BC，這與正方形的邊長(zhǎng)AB=BC相矛盾，
所以，假設(shè)不成立，AO≠OE，故③錯(cuò)誤；
∵△ABF?△DAE，
∴S△ABF=S△DAE，
∴S△ABF?S△AOF=S△DAE?S△AOF，
即S△AOB=S四邊形DEOF，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的四條邊都相等，每一個(gè)角都是直角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，求出△ABF?△DAE全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．
17．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)順次在直線l上，AC=a,BD=b．以AC為底向下作等腰直角三角形ACE，以BD為底向上作等腰三角形BDF，且FB=FD=56BD．連接AF,DE，當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變，則a與b需滿足（ ）
A．a(chǎn)=43bB．a(chǎn)=65bC．a(chǎn)=53bD．a(chǎn)=2b
【答案】A
【分析】過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AD于點(diǎn)N，先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EM=12AC=a2，BN=12BD=b2，利用勾股定理可得FN=23b，再利用三角形的面積公式可得△ABF與△CDE的面積之差，然后根據(jù)“當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變”建立等式，化簡(jiǎn)即可得．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥AD于點(diǎn)N，
∵△ACE是等腰直角三角形，且AC=a，
∴EM=12AC=a2，
∵△BDF是等腰三角形，且BD=b，
∴BN=12BD=b2，
∵FB=FD=56BD=56b，
∴FN=FB2?BN2=23b，
∴△ABF與△CDE的面積之差為12FN?AB?12EM?CD
=12×23bAC?BC?12×a2BD?BC
=13ba?BC?a4b?BC
=112ab+a4?b3BC，
∵當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，△ABF與△CDE的面積之差保持不變，
∴a4?b3=0，
∴a=43b，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
18．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCD中，P為CD上一點(diǎn)，線段AP的垂直平分線MN交BD于N，M為垂足，交正方形的兩邊于E、F，連接PN，則下列結(jié)論：①∠APN=45°；②PC=2BN；③∠DNF=∠DAP；④MN=MF+NE，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】B
【分析】①過N作ST∥BC，則ST⊥AB，先證明△BSN是等腰直角三角形，得出SA=TN，再由AN=PN,，證明Rt△ASN≌Rt△NTP，得出∠SAN=∠TNP，證出∠ANP=90°，即可得出∠APN=45°；
②PC=PT+TC=SN+SB，△BSN是等腰直角三角形，SB=SN，即可得出PC=2BN；
③假設(shè)∠DNF=∠DAP成立，證明△NDP≌△NDF，得出DP=DF，可判斷③不一定成立；
④過P作AD的平行線交MN于K，證出MF=MK，NE=NK，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：①正確；過N作ST∥BC分別交AB、DC于S、T，則ST⊥AB，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=ST,∠BAD=90°,∠ABD=45°，
∴△BSN是等腰直角三角形，
∴SB=SN,∠BNS=45°，
∴SA=TN，
∵線段AP的垂直平分線MN交BD于點(diǎn)N，
∴AN=PN，
在Rt△ASN和Rt△NTP中，
AN=PNSA=TN，
∴Rt△ASN≌Rt△NTPHL，
∴∠SAN=∠TNP，
∵∠SAN+∠ANS=90°，
∴∠TNP+∠ANS=90°，
∴∠ANP=90°，
∴∠APN=45°，故①正確；
由①得：PC=PT+TC=SN+SB，△BSN是等腰直角三角形，SB=SN，
∴PC=SN+SB=2BN，故②正確；
∵∠APN=∠ADN=45°，∠PON=∠AOD，
∴∠DNP=∠DAP，
若∠DNF=∠DAP，
則∠DNF=∠DNP．
∵ND=ND,∠NDP=∠NDF，
∴△NDP≌△NDF，
∴DP=DF，顯然不一定成立，故③錯(cuò)誤；
過P作AD的平行線交MN于K，
∴∠MAF=∠MPK．
∵M(jìn)N垂直平AP，
∴AM=PM，
∵∠AMF=∠PMK，
∴△AMF≌△PMKASA，
∴MF=MK，
作KG⊥ST于點(diǎn)G，作NH⊥BC于點(diǎn)H，
則KG=PT,NH=CT，
由①得：PT=SN=SB=CT，
∴KG=MH．
∵ST∥BC，
∴∠KNG=∠NEH，
∵∠KGN=∠NHE=90°，
∴△KGN≌△NHEAAS，
∴NE=NK，
∴MN=MF+NE，故④正確；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是需要通過作輔助線證明三角形全等．
19．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，邊長(zhǎng)為5的大正方形ABCD是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH組成，連結(jié)AF并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M．若AH=GH，則CM的長(zhǎng)為（ ）
A．12B．34C．1D．54
【答案】D
【分析】過點(diǎn)M作MN⊥FC于點(diǎn)N，設(shè)FA與GH交與點(diǎn)K，利用已知條件和正方形的性質(zhì)得到△ABF為等腰三角形，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，對(duì)頂角相等和等量代換得到△MCF為等腰三角形，再利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和平行線分線段成比例定理解答即可得出結(jié)論．
【詳解】解：過點(diǎn)M作MN⊥FC于點(diǎn)N，設(shè)FA與GH交與點(diǎn)K，如圖，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴HE=HG=GF=EF，AH∥GF，
∵AH=GH，
∴AH=HE=GF=EF．
由題意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE=CF=AH=DG，∠BAE=∠DCG．
∴BE=EF=GF=FC．
∵AE⊥BF，
∴AB=AF，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠DCG=∠FAE，
∵AH∥GF，
∴∠FAE=∠GFK．
∵∠GFK=∠CFM，
∴∠CFM=∠DCG，
∴MF=MC，
∵M(jìn)N⊥FC，
∴CN=NF=12CF，
∴CN=14CG．
∵M(jìn)N⊥CG，DG⊥CG，
∴MN∥DG，
∴CMCD=CNCG=14，
∵CD=5，
∴CM=54．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，依據(jù)題意恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線是解題的關(guān)鍵．
20．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點(diǎn)，得到四邊形A2B2C2D2，如此進(jìn)行下去，得到四邊形AnBnCnDn．下列結(jié)論正確的是（ ）．
①四邊形A4B4C4D4是菱形；
②四邊形A3B3C3D3是矩形；
③四邊形A7B7C7D7周長(zhǎng)為a+b8；
④四邊形AnBnCnDn面積為a2?b2n．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長(zhǎng)與四邊形ABCD中各邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系規(guī)律，然后對(duì)選項(xiàng)作出分析判斷：①②根據(jù)三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理、菱形和矩形的判定與性質(zhì)作出判斷；③根據(jù)三角形的中位線定理和四邊形周長(zhǎng)公式作出判斷；④找到每得到的四邊形與原四邊形面積關(guān)系規(guī)律，即可求得四邊形AnBnCnDn的面積．
【詳解】解：①連接A1C1，B1D1，
∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC，
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；
∵AC⊥BD，
∴A1B1⊥A1D1，
∴四邊形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的兩條對(duì)角線相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（三角形的中位線定理），
∴四邊形A2B2C2D2是菱形；
∴四邊形A3B3C3D3是矩形；
∴根據(jù)中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；
故①②正確；
③根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，A7B7=12A5B5=14A3B3=18A1B1=116AC，
B7C7=12B5C5=14B3C3=18B1C1=116BD，
∴四邊形A7B7C7D7的周長(zhǎng)是2×116a+b=a+b8，故③正確；
④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，
∴S四邊形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位線的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>四邊形AnBnCnDn的面積是ab2n+1，故④錯(cuò)誤；
綜上所述，①②③正確．
故選A．
【點(diǎn)睛】本題是一道規(guī)律題，考查了中點(diǎn)四邊形、平行四邊形的判定、三角形的中位線定理、菱形和矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理清題意，熟練并靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)點(diǎn)解題．
二、填空題
21．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，連接OE．下列結(jié)論：
①△ODC是等邊三角形；
②CD=BE；
③BC=2AB；
④S△AOE=S△COE．其中正確的有______（填序號(hào)）．
【答案】①②④
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知∠BAD=∠ABE=90°，OA=OB=OC=OD，AB=CD，根據(jù)平分線的定義可得∠BAE=12∠BAD=45°，繼而得到∠BAO=60°，所以△OAB是等邊三角形，可知∠COD=∠AOB=60°，可得△ODC是等邊三角形，故①正確；證明△ABE是等腰直角三角形，可得BE=AB，所以CD=BE，故②正確；由△OAB是等邊三角形得AB=OA，又因?yàn)镺A=OC，所以AC=2AB，根據(jù)直角三角形中直角邊小于斜邊可知BC

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