類型一、勾股定理與折疊問題
1．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知長(zhǎng)方形紙片ABCD，AB=4，BC=3，點(diǎn)P在BC邊上，將△CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE，DE分別交AB于點(diǎn)O，F(xiàn)，且OP=OF．
(1)求證：△BOP≌△EOF；
(2)求證：CP=BF；
(3)求DF的長(zhǎng)．
2．（2023秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州延安中學(xué)校考期末）如圖，△ABC中，AB>AC，AD AD是BC邊上的高，將△ADC沿AD所在的直線翻折，使點(diǎn)C C落在BC BC邊上的點(diǎn)E E處．
(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面積：
(2)求證：AB2?AC2=BE?BC．
3．（2023秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的D點(diǎn)處，再將邊CB沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處．
(1)求∠ECF的度數(shù)；
(2)若CE=4，B′F=1，求線段BC的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，求△ABC的面積．
4．（2022秋·江西鷹潭·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將△ABC沿AD折疊，AC落在AB上．
(1)判斷△ABC的形狀，關(guān)說明理由；
(2)求折痕AD的長(zhǎng)．
5．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=15cm，點(diǎn)E在AD上，且AE=9cm，連結(jié)EC將長(zhǎng)方形沿BE翻折，點(diǎn)A恰好落在EC上的點(diǎn)A′處，求A′C的長(zhǎng)度．
6．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長(zhǎng)方形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8．在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
類型二、勾股定理與面積問題
7．（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．
(1)如圖1，是一個(gè)重要的乘法公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式______．
(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為S1，S2，S3，試猜想S1，S2，S3之間存在的等量關(guān)系為______．
(3)如圖3，如果以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c為直徑向外作半圓，那么第（2）問的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．
8．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7cm．
(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．
(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．
9．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)信宜市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，學(xué)校操場(chǎng)邊有一塊四邊形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB=8m，BC=17m，CD=9m，AD=12m．為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行綠化整理．
(1)求AC的長(zhǎng)；
(2)請(qǐng)說明△ACD是直角三角形；
(3)求需要綠化的空地ABCD的面積．
10．（2021秋·山西晉中·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理，在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①請(qǐng)敘述勾股定理；
②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)利用圖二證明該定理；
S大正方形=_____，還可以表示為_____，
所以可得到_______=______，
化簡(jiǎn)后最終得到____．
(2)如圖4，以直角三角形的三邊為直徑，分別向外部作半圓，則S1，S2，S3滿足的關(guān)系是______．
(3)如圖5，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中兩個(gè)月形圖案（陰影部分）的面積為______．
11．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，分別以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，所得的兩個(gè)月形圖案AGCE與DHCF（即陰影部分）的面積分別記為S1、S2，△ACD的面積記為S．
(1)求證：S=S1+S2的值．
(2)當(dāng)AD=6cm時(shí)，求S的值．
12．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如圖，作三個(gè)等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC為斜邊，陰影部分的面積分別記為S1，S2，S3，S4．
(1)當(dāng)AC＝6，BC＝8時(shí)，
①求S1的值；
②求S4﹣S2﹣S3的值；
(2)請(qǐng)寫出S1，S2，S3，S4之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
類型三、勾股數(shù)（樹）
13．（2022·八年級(jí)單元測(cè)試）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．事實(shí)上，勾是三時(shí)，股和弦的算式分別是12（9﹣1），12（9＋1）；勾是五時(shí)，股和弦的算式分別是12（25﹣1），12（25＋1）．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時(shí)，股和弦的算式；
(2)根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請(qǐng)寫出兩種），并對(duì)其中一種猜想加以證明；
(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來表示股和弦．
14．（2022秋·山西晉中·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，完成文后任務(wù)：
清朝皇帝康熙的數(shù)學(xué)專著中，有一文《積求勾股法》中記載了三邊長(zhǎng)為3，4，5的整數(shù)倍的三角形，如果已知面積，求三邊長(zhǎng)的方法，把這種方法翻譯成我們今天的數(shù)學(xué)語言是：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，4，5的整數(shù)倍，設(shè)它的面積為S，則第一步：求S6，設(shè)等于m；第二步：求m，設(shè)等于k；第三步：分別用3，4，5乘以k得三邊長(zhǎng)分別為3k，4k，5k．
任務(wù)：
(1)求當(dāng)面積為96時(shí)，用康熙的“積求勾股法”求三角形的三邊長(zhǎng)．
(2)你能證明康熙這種“積求勾股法”的正確性嗎？請(qǐng)寫出你的理由．
15．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）同學(xué)們都知道，凡是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)， 稱之為“勾股數(shù)”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等．
(1)請(qǐng)你寫出另外兩組勾股數(shù)：6，______，______；7 ，______，______；
(2)清朝的揚(yáng)州籍?dāng)?shù)學(xué)家羅士琳提出了四個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)的法則，其中有兩個(gè)法則如下：
（I）如果k是大于1的奇數(shù)，那么k，k2?12，k2+12是一組勾股數(shù)
（Ⅱ）如果k是大于2的偶數(shù)，那么k，k22?1，k22+1是一組勾股數(shù)
①如果在一組勾股數(shù)中，其中有一個(gè)數(shù)為 12，根據(jù)法則（I）求出另外兩個(gè)數(shù)；
②請(qǐng)你任選其中一個(gè)法則證明它的正確性．
16．（2018秋·四川成都·八年級(jí)成都市青羊?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：
12+1＝2，S1＝12，(2)2+1＝3，S2＝22，(3)2+1＝4，S3＝32
（1）請(qǐng)用含有n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律．
（2）推算出OA10的長(zhǎng)．
（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．
17．（2022春·甘肅武威·八年級(jí)校考期中）如圖，Rt△OA1A2中，過A2作A2A3⊥OA2，以此類推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，記△OA1A2的面積為S1，△OA2A3面積為S2，△OA3A4面積為S3，…，細(xì)心觀察圖，認(rèn)真分析各題，然后解答問題：
①（1）2+1＝2，S1＝12；
②（2）2+1＝3，S2＝22；
③（3）2+1＝4，S3＝32
…
（1）請(qǐng)寫出第n個(gè)等式；
（2）根據(jù)式子規(guī)律，線段OA10等于多少；
（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．
18．（2022春·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①請(qǐng)敘述勾股定理．
②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理．（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）
(2)①如圖4，5，6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有___________個(gè)．
②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)寫出S1，S2，S3的數(shù)量關(guān)系：___________．
(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則a2+b2+c2+d2=___________．
類型四、利用勾股定理解方程
19．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)校考期中）如圖，連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，已知∠B=90°，BC=3，AB=4，CD=5，AD=52．求證：△ACD是直角三角形．
20．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D作AB⊥BD,ED⊥BD，連接AC,EC．已知AB=2,DE=1,BD=4，設(shè)CD=x．
(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的值；
(2)探究：當(dāng)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？
21．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC和△EFC為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，已知點(diǎn)E在AB上，連納BF．
(1)求證：△AEC≌△BFC．
(2)苦AE=1,∠AEC=105°，求BE的長(zhǎng)．
22．（2022秋·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形．線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．
(1)求證：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的長(zhǎng)．
23．（2022秋·遼寧盤錦·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將正方形ABCD中的△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置，且BP=2，AP=1．
(1)求PP′的長(zhǎng)；
(2)連接CP，若CP=3，求∠APB的度數(shù)．
24．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖1，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．
(1)若△ADC是直角三角形．
①當(dāng)AD⊥BC時(shí)，求AD的長(zhǎng)；
②當(dāng)AD⊥AC時(shí)，求CD的長(zhǎng)．
(2)如圖2，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠ADE=∠B，若△ADE是直角三角形，求CD的長(zhǎng)．
類型五、勾股定理逆定理及應(yīng)用
25．（2022秋·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期中）金塔縣綠化環(huán)衛(wèi)部門為美化環(huán)境，要在如圖所示的一塊四邊形ABCD空地種植草皮，工人師傅量得AB=3m，BC=4m，AC=5m，CD=12m，AD=13m，若每平方米草皮需要300元，則需要投資多少元？
26．（2020秋·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，BC=6，DB=185．
(1)求AD的長(zhǎng)．
(2)△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
27．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．
(1)四邊形ABCD的周長(zhǎng)=________；
(2)四邊形ABCD的面積=________；
(3)∠ABC是直角嗎？判斷并說明理由．
28．（2021春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在第一象限，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為B，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，3，AC長(zhǎng)為2．
(1)求AB的長(zhǎng)．
(2)請(qǐng)你判斷△OAC的形狀，并說明理由．
29．（2022秋·河南平頂山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=25，BC=5，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積．
30．（2022秋·遼寧丹東·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=n2+1，BC=n2?1，AC=2n.
(1)試判斷△ABC的形狀，并證明：
(2)當(dāng)n=2時(shí)，點(diǎn)D從A出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿折線A→B→C→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
①當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，求t的值：
②當(dāng)點(diǎn)D落在邊AB的垂直平分線上時(shí)，求t的值；
③在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出△BCD為等腰三角形時(shí)t的值.
類型六、勾股定理的證明
31．（2022秋·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)把四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形，如圖所示．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為b，較短的直角邊長(zhǎng)為a，大正方形邊長(zhǎng)為c．請(qǐng)你直接寫出a，b，c之間的關(guān)系；并說明理由．
32．（2022秋·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(I)驗(yàn)證它的正確性：圖中大正方形的面積可表示為：(a+b)2，也可表示為：c2+4?12ab，即(a+b)2=c2+412ab由此推出勾股定理a2+b2=c2，這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱“無字證明”．
(1)請(qǐng)你用圖(Ⅱ)(2002年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo))的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)直角三角形全等)；
(2)請(qǐng)你用(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證(x+y)2=x2+2xy+y2
33．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，∠A=∠D=90°，AE=CD=a，AB=ED=b，BE=CE=c．
(1)填空：∠BEC=______°，根據(jù)三角形面積公式，可得△BEC的面積=______；根據(jù)割補(bǔ)法，由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得△BEC的面積=______．
(2)求證：a2+b2=c2．
34．（2022秋·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖2）．
(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示： ；
(2)用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求證（1）中的定理結(jié)論；
(3)如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）
35．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）公股定理神奇而美麗，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：兩個(gè)全等的直角三角板 ABC和直角三角板DEF ，頂點(diǎn)F在BC邊止，項(xiàng)點(diǎn)C、D重合，連接AE 、EB．設(shè)AB、DE交于點(diǎn)G．∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a ，AC=DF=b （a>b ），AB=DE=c． 請(qǐng)你回答以下問題：
(1)請(qǐng)猜想AB與DE的位置關(guān)系，并加以證明．
(2)填空：S四邊形ADBE =___________（用含有c的代數(shù)式表示）
(3)請(qǐng)嘗試?yán)么藞D形證明勾股定理．
36．（2022秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐
【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即12ab×4+b?a2，從而得到等式c2=12ab×4+b?a2，化簡(jiǎn)便得結(jié)論a2+b2=c2．這里用兩種求法來表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．
【方法運(yùn)用】千百年來，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．
(1)請(qǐng)用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AB邊上的高為______．
(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．
類型七、勾股定理與弦圖問題
37．（2022秋·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來探究下列兩個(gè)問題：
(1)如圖①是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)用它驗(yàn)證勾股定理；
(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD的長(zhǎng)度；
(3)如圖①，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求a+b2的值．
38．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖1所示．該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．
(1)請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理；
(2)圖2所示的徽標(biāo)，是我國(guó)古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個(gè)Rt△ABC繞中心點(diǎn)O順時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個(gè)圖形的總面積為113cm2，AD=2cm，則徽標(biāo)的外圍周長(zhǎng)為________cm．
39．（2022秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”） ．
(1)弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖1，試驗(yàn)證勾股定理；
(2)如圖2，將四個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風(fēng)車”，已知外圍輪廊（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC=3，求該“勾股風(fēng)車”圖案的面積；
(3)如圖3，將八個(gè)全等的直角三角形（外圍四個(gè)和內(nèi)部四個(gè)）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+2S2+S3=20，則S2= ．
40．（2022春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用了“弦圖”．如圖，由4個(gè)全等的直角三角形(RtΔAFB?RtΔBGC ?RtΔCHD?RtΔDEA)和與一個(gè)小正方形EFGH恰好拼成一個(gè)大正方形ABCD，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，baAC，AD AD是BC邊上的高，將△ADC沿AD所在的直線翻折，使點(diǎn)C C落在BC BC邊上的點(diǎn)E E處．
(1)若AB=20，AC=13，CD=5，求△ABC的面積：
(2)求證：AB2?AC2=BE?BC．
【答案】(1)126
(2)答案見解析
【分析】（1）由AD是BC邊上的高，AC=13，CD=5，得AD=12，BD=16，即有BC=BD+CD=16+5=21，故S△ABC=12BC?AD=126；
（2）根據(jù)△ADC沿AD所在的直線翻折得到ΔADE，得AC=AE，DC=DE，而AB2?AC2=AB2?(AD2+DC2)=AB2?AD2?DC2=(BD?DE)(BD+DE)，即可證明AB2?AC2=BE?BC．
【詳解】（1）解：∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，
∵AC=13，CD=5，
∴AD=AC2?CD2=12，
在Rt△ADB中，
∵AB=20，AD=12，
∴BD=AB2?AD2=16，
∴BC=BD+CD=16+5=21，
∴S△ABC=12BC?AD=12×21×12=126；
（2）證明：∵△ADC沿AD所在的直線翻折得到△ADE，
∴AC=AE，DC=DE，
在RtΔADC中，由勾股定理，得AC2=AD2+DC2，
在RtΔADB中，由勾股定理，得BD2=AB2?AD2，
∴AB2?AC2=AB2?(AD2+DC2)
=AB2?AD2?DC2
=BD2?DE2
=(BD?DE)(BD+DE)，
∵BE=BD?DE，BC=BD+DC=BD+DE，
∴AB2?AC2=BE?BC．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的折疊，涉及勾股定理及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用．
3．（2023秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在邊AB上，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的D點(diǎn)處，再將邊CB沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)B′處．
(1)求∠ECF的度數(shù)；
(2)若CE=4，B′F=1，求線段BC的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，求△ABC的面積．
【答案】(1)45°
(2)41
(3)825
【分析】（1）由折疊可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，再根據(jù)∠ACB=90°，即可得出∠ECF=45°；
（2）在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得BC=BE2+CE2=41；
（3）設(shè)AE=x，則AB=x+5，根據(jù)勾股定理可得AE2+CE2=AB2?BC2，即x2+42=x+52?41，求得x=165，即可得出S△ABC=12AB×CE=825．
【詳解】（1）由折疊可得，∠ACE=∠DCE=12∠ACD，∠BCF=∠B′CF=12∠BCB′，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCB′=90°，
∴∠ECD+∠FCD=12×90°=45°，
即∠ECF=45°；
（2）由折疊可得，∠DEC=∠AEC=180°2=90°，BF=B′F=1，
∵∠ECF=45°，
∴∠EFC=∠ECF=45°，
∴CE=EF=4，
∴BE=4+1＝5，
∴在Rt△BCE中，BC=BE2+CE2=41；
（3）結(jié)合（2），設(shè)AE=x，則AB=x+5，
∵在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2?BC2，
∴AE2+CE2=AB2?BC2，
即x2+42=x+52?41，
解得x=165
∴S△ABC=12AB×CE=12165+5×4=825．
【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·江西鷹潭·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的三邊分別為AC=5，BC=12，AB=13，將△ABC沿AD折疊，AC落在AB上．
(1)判斷△ABC的形狀，關(guān)說明理由；
(2)求折痕AD的長(zhǎng)．
【答案】(1)△ABC是直角三角形，理由見解析
(2)AD=5133
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷AC2+BC2=52+122=AB2是否成立即可．
（2）設(shè)折疊后點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)E重合．在Rt△EBD中，根據(jù)勾股定理即可得到一個(gè)關(guān)于DE的方程，解方程即可求解．
【詳解】（1）△ABC是直角三角形；
∵AC2+BC2=52+122=169=AB2，
∴∠C=90°；
∴△ABC是直角三角形．
（2）設(shè)折疊后點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)E重合．
設(shè)CD=x，則DE=x，AE=AC=5，BE=AB?AE=13?5=8，BD=12?x；
∵∠AED=∠C=90°，
∴在Rt△EBD中，x2+82=(12?x)2，
解得：x=103， 即CD=103，
在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2，
∴AD=52+1032=5133．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，以及利用勾股定理把求線段的長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為方程問題．
5．（2022秋·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=15cm，點(diǎn)E在AD上，且AE=9cm，連結(jié)EC將長(zhǎng)方形沿BE翻折，點(diǎn)A恰好落在EC上的點(diǎn)A′處，求A′C的長(zhǎng)度．
【答案】A′C=8cm
【分析】由矩形和翻折的性質(zhì)可知：A′E=AE=9cm，A′B=AB=CD=15cm，∠ECB=∠CED，從而可利用“AAS”證明△BA'C≌△CDE，得出CE=CB．設(shè)A′C=xcm，則CE=CB=(x+9)cm，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解出x即可．
【詳解】解：由矩形和翻折的性質(zhì)可知：A′E=AE=9cm，A′B=AB=CD=15cm，AD∥BC．
∴∠ECB=∠CED，
∴在Rt△A′BC和Rt△DEC中
∠ECB=∠CED∠BA′C=∠D=90°DC=A′B，
∴△BA′C≌△CDE(AAS)，
∴A′C=DE
設(shè)A′C=DE=x，則CE=9+x．
在Rt△CDE中，CE2=CD2+DE2．
所以9+x2=x2+152，解得：x=8(cm)．
即：A′C=8cm．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．解答時(shí)運(yùn)用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵．
6．（2022春·福建龍巖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長(zhǎng)方形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=10，OC=8．在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】D0，5；E4,8
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及勾股定理求出BE=6，即可求出線段CE的長(zhǎng)，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；設(shè)OD=DE=m，CD=8?m，在Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于m的方程，解方程得出m的值，可求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出D點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】解：依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對(duì)稱軸，
∴AE=AO=10，OD=DE，
∵四邊形OABC是一張長(zhǎng)方形紙片，
∴AB=OC=8，∠B=∠BCO=90°，BC=OA=10，
∴BE=AE2?AB2=102?82=6，
∴CE=BC?BE=4，
∵∠BCO=90°，
∴BC⊥y軸，
∴E4,8；
設(shè)OD=DE=m，CD=8?m，
在Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理得：DC2+CE2=DE2，
即8?m2+42=m2，
解得：m=5，
∴D0，5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系，然后利用勾股定理求解即可．
類型二、勾股定理與面積問題
7．（2022秋·廣東佛山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．
(1)如圖1，是一個(gè)重要的乘法公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式______．
(2)如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為S1，S2，S3，試猜想S1，S2，S3之間存在的等量關(guān)系為______．
(3)如圖3，如果以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c為直徑向外作半圓，那么第（2）問的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)a+b2=a2+2ab+b2
(2)S1+S2=S3
(3)S1+S2=S3成立，理由見解析
【分析】（1）通過整體和部分求和兩種方法對(duì)該正方形面積求解可得此題結(jié)果；
（2）先根據(jù)正方形的面積分別列式表示出S1，S2，S3，再運(yùn)用勾股定理可得S1+S2=S3；
（3）先根據(jù)半圓的面積分別列式表示出S1，S2，S3，再運(yùn)用勾股定理可得S1+S2=S3．
【詳解】（1）解：從整體看，正方形的面積為a+b2，
從部分看，正方形的面積為a2+2ab+b2，
∴a+b2=a2+2ab+b2；
故答案為：a+b2=a2+2ab+b2；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
由題意得S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，
∴S1+S2=S3；
故答案為：S1+S2=S3；
（3）解：成立，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即b2+a2=c2，
∴S2=12πb22=b2π8，S1=12πa22=a2π8，S3=12πc22=c2π8，
∵a2π8+b2π8=πa2+b28=c2π8，
∴S1+S2=S3．
【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用勾股定理解決幾何問題的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意并列式，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行推理、求解．
8．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的邊長(zhǎng)為7cm．
(1)求A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和．
(2)若其中每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3：5，求正方形A，B，C，D的面積．
【答案】(1)49cm2
(2)正方形A，B，C，D的面積分別為：3969625 cm2，7056625 cm2，12544625 cm2，7056625 cm2
【分析】（1）按照?qǐng)D形，根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理，列方程解答即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：依次設(shè)三個(gè)空白正方形為E，F(xiàn)，G
由勾股定理可得：E正方形的面積=A正方形的面積+B正方形的面積，F(xiàn)正方形的面積=C正方形的面積+D正方形的面積；G正方形的面積=E正方形的面積+F正方形的面積，
∴A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和=G正方形的面積=49cm2，
答：A，B，C，D四個(gè)正方形的面積之和為49cm2；
（2）解：∵每個(gè)直角三角形的最短邊與最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度之比都為3:5，
∴設(shè)中間的直角三角形的較短的直角邊為3x cm，斜邊為5x cm，由題意得：5x=7，解得x=75，
∴較短的直角邊為215 cm，另一直角邊為285 cm，
設(shè)A的邊長(zhǎng)為3y cm，B的邊長(zhǎng)為4y cm，則(3y)2+(4y)2=(215)2，解得：y=2125，
∴A的面積是：(3y)2=(6325)2=3969625 cm2；B的面積是：(4y)2=(8425)2=7056625 cm2，
同理：
設(shè)D的邊長(zhǎng)為3z cm，C的邊長(zhǎng)為4z cm，則(3z)2+(4z)2=(285)2，解得：z=2825，
∴C的面積是；(4z)2=(11225)2=12544625 cm2；D的面積是：(3z)2=(8425)2=7056625 cm2，
答：正方形A，B，C，D的面積分別為：3969625 cm2，7056625 cm2，12544625 cm2，7056625 cm2．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并正確列式是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)信宜市第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，學(xué)校操場(chǎng)邊有一塊四邊形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB=8m，BC=17m，CD=9m，AD=12m．為了美化校園環(huán)境，創(chuàng)建綠色校園，學(xué)校計(jì)劃將這塊四邊形空地進(jìn)行綠化整理．
(1)求AC的長(zhǎng)；
(2)請(qǐng)說明△ACD是直角三角形；
(3)求需要綠化的空地ABCD的面積．
【答案】(1)15m
(2)見解析
(3)114m2
【分析】（1）由勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；
（3）由S=S△ABC+S△ACD求解即可．
【詳解】（1）解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴AC=BC2?AB2=172?82=15(m)，
（2）解：∵CD=9m，AD=12m，AC=15m
∴AD2+CD2=122+92=225=AC2，
∴ ∠D=90°，即△ACD是直角三角形，
（3）解：需要綠化的空地ABCD的面積S=S△ABC+S△ACD=12AB?AC+12AD?CD=12×8×15+12×12×9=114(m2)．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理以及三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出∠D=90°是解題的關(guān)鍵．
10．（2021秋·山西晉中·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理，在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①請(qǐng)敘述勾股定理；
②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)利用圖二證明該定理；
S大正方形=_____，還可以表示為_____，
所以可得到_______=______，
化簡(jiǎn)后最終得到____．
(2)如圖4，以直角三角形的三邊為直徑，分別向外部作半圓，則S1，S2，S3滿足的關(guān)系是______．
(3)如圖5，直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為3，5，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，則圖中兩個(gè)月形圖案（陰影部分）的面積為______．
【答案】(1)①直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；②a2+2ab+b2；c2+2ab；a2+2ab+b2；c2+2ab；a2+b2=c2；
(2)S1+S2=S3
(3)7.5
【分析】（1）①根據(jù)勾股定理的內(nèi)容即可得；
②圖1和圖2：利用四個(gè)小直角三角形的面積與小正方形的面積的和等于大正方形的面積即可得；圖3：利用三個(gè)直角三角形的面積之和等于直角梯形的面積即可得；
（2）根據(jù)勾股定理、圓的面積公式即可得；
（3）根據(jù)陰影部分的面積等于以兩直角邊為直徑的兩個(gè)半圓面積與直角三角形的面積之和減去以斜邊為直徑的半圓面積即可得．
（1）
解：①直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2）；
故答案為：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；
②圖2：大正方形的面積為(a+b)2=a2+2ab+b2，
還可以表示為：四個(gè)小直角三角形的面積與小正方形的面積的和為4×12ab+c2=c2+2ab，
所以可得到a2+2ab+b2=c2+2ab，
化簡(jiǎn)后最終得到：a2+b2=c2；
故答案為：a2+2ab+b2；c2+2ab；a2+2ab+b2；c2+2ab；a2+b2=c2；
（2）
解：設(shè)S1對(duì)應(yīng)的直角邊長(zhǎng)為a，S2對(duì)應(yīng)的直角邊長(zhǎng)為b，S3對(duì)應(yīng)的斜邊長(zhǎng)為c，
由圓的面積公式得：S1=π?a22=14πa2，
S2=π?b22=14πb2，
S3=π?c22=14πc2，
由勾股定理得：a2+b2=c2，
則14πa2+14πb2=14πc2，
即S1+S2=S3，
故答案為：S1+S2=S3；
（3）
解：設(shè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a=3,b=5，斜邊長(zhǎng)為c，
由（2）可知，14πa2+14πb2=14πc2，
則陰影部分的面積為π?a22+π?b22+12ab?π?c22
=14πa2+14πb2+12×3×5?14πc2
=7.5，
故答案為：7.5．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的定義、證明、以及應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．
11．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，分別以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，所得的兩個(gè)月形圖案AGCE與DHCF（即陰影部分）的面積分別記為S1、S2，△ACD的面積記為S．
(1)求證：S=S1+S2的值．
(2)當(dāng)AD=6cm時(shí)，求S的值．
【答案】(1)詳見解析
(2)9cm2
【分析】（1）由勾股定理可得AC2+CD2=AD2，然后確定出S半圓ACD=S半圓AEC+S半圓CFD，從而得出結(jié)論；
（2）由等腰直角三角形的面積公式可得出答案．
（1）
證明：∵△ACD為等腰直角三角形，
∴AC2+CD2=AD2，
∵以等腰Rt△ACD的邊AD，AC，CD為直徑畫半圓，
∴S半圓ACD=12π?14AD2=π8AD2，S半圓AEC=12π?14AC2=π8AC2，
S半圓CFD=12π?14CD2=π8CD2，
∴π8AC2+π8CD2=π8AC2+CD2=π8AD2，
∴S半圓ACD=S半圓AEC+S半圓CFD，
∴S陰影=SRt△ACD+S半圓AEC+S半圓CFD?S半圓ACD=SRt△ACD，即S=S1+S2．
（2）
解：∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC=CD，且AC2+CD2=AD2，
又∵AD=6cm，
∴AC=CD=32cm，
∴S=12AC?CD=12×32×32=9cm2．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）已知△ABC中，∠ACB＝90°，如圖，作三個(gè)等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，AB，AC，BC為斜邊，陰影部分的面積分別記為S1，S2，S3，S4．
(1)當(dāng)AC＝6，BC＝8時(shí)，
①求S1的值；
②求S4﹣S2﹣S3的值；
(2)請(qǐng)寫出S1，S2，S3，S4之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)①S1＝9；②S4﹣S2﹣S3的值為9
(2)S4＝S1+S2+S3，理由見解析
【分析】（1）①直接根據(jù)勾股定理可得AD的長(zhǎng)，由此可得答案；
②利用勾股定理得AE=BE=52，CF=BF=42，設(shè)S△BEG=S5，則S4+S5-（S1+S2+S5）=S4-S2-S3即可得答案；
（2）設(shè)S△BEG=S5，假設(shè)一個(gè)等腰直角三角形的斜邊為a，則可表示出這個(gè)三角形的面積，利用勾股定理及三角形面積公式可得答案．
【詳解】（1）①∵△ACD是等腰直角三角形，AC=6，
∴AD=CD=32，
∴S1=12×32×32=9；
②設(shè)AE與BC交于點(diǎn)G，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵△EAB，△FCB是等腰直角三角形，
∴AE=BE=52，CF=BF=42，
設(shè)S△BEG=S5，
∴S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3=12×52×52-12×42×42=9；
（2）設(shè)S△BEG=S5，如圖，
∵等腰直角三角形△ACD，△EAB，△FCB，
∴S△ADC=14AC2，S△BFC=14BC2，S△ABE=14AB2，
∵AC2+BC2=AB2，
∴14AC2+14BC2=14AB2，
∵S4+S5-（S2+S3+S5）=S4-S2-S3，
∴14AB2-14BC2=S4-S2-S3，
∴14AC2=S4-S2-S3，
∴S4+S5＝S1+S2+S5+S3，
∴S4＝S1+S2+S3．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是將勾股定理和直角三角形的面積公式進(jìn)行靈活的綜合和利用．
類型三、勾股數(shù)（樹）
13．（2022·八年級(jí)單元測(cè)試）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
(1)觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．事實(shí)上，勾是三時(shí)，股和弦的算式分別是12（9﹣1），12（9＋1）；勾是五時(shí)，股和弦的算式分別是12（25﹣1），12（25＋1）．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時(shí)，股和弦的算式；
(2)根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關(guān)系（請(qǐng)寫出兩種），并對(duì)其中一種猜想加以證明；
(3)繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．運(yùn)用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來表示股和弦．
【答案】(1)12（49﹣1），12（49＋1）
(2)（ⅰ）弦﹣股＝1，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2，證明過程詳見解析
(3)m，m22?1,m22+1
【分析】（1）根據(jù)推論即可發(fā)現(xiàn)：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系運(yùn)用字母表示即可，然后發(fā)現(xiàn)勾、股、弦之間的關(guān)系，并驗(yàn)證；
（3）發(fā)現(xiàn)：股和弦總是相差為2．主要是考慮勾和股之間的關(guān)系即是勾的一半的平方再減1．
（1）
解：由題意得勾是七時(shí)，股和弦的算式分別是：12（49﹣1），12（49＋1）；
（2）
當(dāng)n≥3，且n為奇數(shù)時(shí)，勾、股、弦分別為：n，12n2?1,12n2+1，
它們之間的關(guān)系為：（?。┫药伖桑?，（ⅱ）勾2＋股2＝弦2．
如證明（ⅰ）：弦﹣股＝=12n2+1?12n2?1=12n2+12?12n2+12=1；
如證明（ⅱ）：勾2+股2=n2+14n2?12=n2+14n4?12n2+14=14n4+12n2+14=14n2+12=弦2；
（3）
當(dāng)m＞4，且m為偶數(shù)時(shí)，勾、股、弦分別為：m，m22?1,m22+1．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及規(guī)律的探索，解決本題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)具體數(shù)字發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用字母表示推廣到一般．
14．（2022秋·山西晉中·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下列材料，完成文后任務(wù)：
清朝皇帝康熙的數(shù)學(xué)專著中，有一文《積求勾股法》中記載了三邊長(zhǎng)為3，4，5的整數(shù)倍的三角形，如果已知面積，求三邊長(zhǎng)的方法，把這種方法翻譯成我們今天的數(shù)學(xué)語言是：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，4，5的整數(shù)倍，設(shè)它的面積為S，則第一步：求S6，設(shè)等于m；第二步：求m，設(shè)等于k；第三步：分別用3，4，5乘以k得三邊長(zhǎng)分別為3k，4k，5k．
任務(wù)：
(1)求當(dāng)面積為96時(shí)，用康熙的“積求勾股法”求三角形的三邊長(zhǎng)．
(2)你能證明康熙這種“積求勾股法”的正確性嗎？請(qǐng)寫出你的理由．
【答案】(1)12，16，20；
(2)能，理由見解析．
【分析】（1）將S=96，代入k=m=s6，求出k，然后乘以3、4、5，可求出三邊長(zhǎng)；
（2）設(shè)直角三角形的三邊上分別為3k、4k、5k，求出其面積即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）解：當(dāng)S=96時(shí)，k=m=S6=966=16=4，
∴三邊長(zhǎng)分別為3×4=12,4×4=16,5×4=20；
驗(yàn)證：∵3，4，5是勾股數(shù)，
設(shè)三角形的邊長(zhǎng)分別為3k,4k,5k，
故S△ABC=12×3k?4k=6k2，
∵S=96，
∴6k2=96
k=4或?4（舍去），
其邊長(zhǎng)分別為12，16，20，
故康熙的“積求勾股法”正確；
（2）解：能，
證明：三邊為3?4?5的整數(shù)倍，設(shè)為k倍，
則三邊為3k,4k,5k，而三角形為直角三角形且3k?4k為直角邊．
其面積S=12(3k)?(4k)=6k2，
∴k2=S6,k=S6(k>0)，
即：將面積除以6，然后開方，即可得到倍數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形面積的應(yīng)用，算式平方根的應(yīng)用，掌握基本概念是求解的關(guān)鍵．
15．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）同學(xué)們都知道，凡是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)， 稱之為“勾股數(shù)”． 比如 3 ，4 ，5 或 11 ，60 ，61 等．
(1)請(qǐng)你寫出另外兩組勾股數(shù)：6，______，______；7 ，______，______；
(2)清朝的揚(yáng)州籍?dāng)?shù)學(xué)家羅士琳提出了四個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)的法則，其中有兩個(gè)法則如下：
（I）如果k是大于1的奇數(shù)，那么k，k2?12，k2+12是一組勾股數(shù)
（Ⅱ）如果k是大于2的偶數(shù)，那么k，k22?1，k22+1是一組勾股數(shù)
①如果在一組勾股數(shù)中，其中有一個(gè)數(shù)為 12，根據(jù)法則（I）求出另外兩個(gè)數(shù)；
②請(qǐng)你任選其中一個(gè)法則證明它的正確性．
【答案】(1)8，10；24，25
(2)①5，13，②證明見解析．
【分析】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；
（2）①假設(shè)k2?12=12，求出k=5，即可求出另外兩個(gè)數(shù)；②根據(jù)勾股定理證明即可．
【詳解】（1）解：由勾股定理可知：
62+82=10，72+242=25，
另外兩組勾股數(shù)為：6，8，10；7，24，25；
故答案為：8，10；24，25；
（2）解：①∵k為奇數(shù)，且其中有一個(gè)數(shù)為 12，故假設(shè)k2?12=12，
解得：k=5，k=?5（舍去），
∴k2+12=13，即5，12，13構(gòu)成一組勾股數(shù)，
∴另外兩個(gè)數(shù)為5，13；
②∵k2+k22?12=k2+k24?2k22+1=k24+2k22+1，且k22+12=k24+2k22+1，
∴k2+k22?12=k22+12．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理中的勾股數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是理解勾股定理．
16．（2018秋·四川成都·八年級(jí)成都市青羊?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題：
12+1＝2，S1＝12，(2)2+1＝3，S2＝22，(3)2+1＝4，S3＝32
（1）請(qǐng)用含有n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律．
（2）推算出OA10的長(zhǎng)．
（3）求出S12+S22+S32+…+S1002的值．
【答案】（1）OAn2＝n ，Sn＝n2；（2）OA10＝10；（3）25252
【分析】（1）利用已知可得OAn2，注意觀察數(shù)據(jù)的變化，
（2）結(jié)合（1）中規(guī)律即可求出OA102的值即可求出，
（3）將前10個(gè)三角形面積相加，利用數(shù)據(jù)的特殊性即可求出．
【詳解】解：（1）結(jié)合已知數(shù)據(jù)，可得：OAn2＝n；Sn＝n2；
（2）∵OAn2＝n，
∴OA10＝10．
（3）S12+S22+S32+...+S1002
＝14+24+34+…+1004
＝1+2+3+4+?+1004
＝50504＝25252．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2．也考查了三角形的面積公式以及圖形類規(guī)律探究.
17．（2022春·甘肅武威·八年級(jí)校考期中）如圖，Rt△OA1A2中，過A2作A2A3⊥OA2，以此類推．且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4…＝1，記△OA1A2的面積為S1，△OA2A3面積為S2，△OA3A4面積為S3，…，細(xì)心觀察圖，認(rèn)真分析各題，然后解答問題：
①（1）2+1＝2，S1＝12；
②（2）2+1＝3，S2＝22；
③（3）2+1＝4，S3＝32
…
（1）請(qǐng)寫出第n個(gè)等式；
（2）根據(jù)式子規(guī)律，線段OA10等于多少；
（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．
【答案】（1）（n）2+1＝n+1，Sn＝n2；（2）OA10＝10；（3）S12+S22+S32+…+S102＝554．
【分析】此題為勾股定理的運(yùn)用，但分析可知，其內(nèi)部存在一定的規(guī)律性，找出其內(nèi)在規(guī)律即可解題，因?yàn)椤螼A1A2=∠OA2A3=∠OA3A4=∠OA4A5=…=90°，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=…=1，即每個(gè)三角形最外的那條直角邊均為1，則由圖可得出OAn=n.，Sn＝n2,分析到此，即可解題．
【詳解】解：（1）①（1）2+1＝2，S1＝12；
②（2）2+1＝3，S2＝22；
③（3）2+1＝4，S3＝32
…
則第n個(gè)等式為：③（n）2+1＝n+1，Sn＝n2，
故答案為（n）2+1＝n+1，Sn＝n2；
（2）OA1＝1
OA2＝2，
OA3＝3，
…
則OA10＝10，
故答案為10；
（3）S12+S22+S32+…+S102
＝（12）2+（22）2+（32）2+…+（102）2
＝1+2+?+104
＝554．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活應(yīng)用，考查了學(xué)生找規(guī)律的能力，本題中找到OAn與n的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
18．（2022春·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①請(qǐng)敘述勾股定理．
②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理．（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）
(2)①如圖4，5，6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有___________個(gè)．
②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)寫出S1，S2，S3的數(shù)量關(guān)系：___________．
(3)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程就可以得到如圖8所示的“勾股樹”．在如圖9所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則a2+b2+c2+d2=___________．
【答案】(1)①見解析，②見解析
(2)①3，②S1+S2=S3
(3)m2
【分析】（1）①根據(jù)所學(xué)的知識(shí)，寫出勾股定理的內(nèi)容即可；
②根據(jù)題意，利用面積相等的方法，即可證明勾股定理成立；
（2）①根據(jù)題意，設(shè)直角三角形的三邊分別為a、b、c，利用面積相等的方法，分別求出面積的關(guān)系，即可得到答案；
②利用三角形的面積加上兩個(gè)小半圓的面積，然后減去大半圓的面積，即可得到答案；
（3）由（1）（2）中的結(jié)論，結(jié)合勾股定理的應(yīng)用可知，a2+b2+c2+d2=m2．
（1）
解：①如果直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2．（或在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方）
②（以下過程，選擇其一解答即可，不必三個(gè)皆證．）
若選擇圖1，證明過程如下：
證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，
即c2=12ab×4+(b?a)2，
化簡(jiǎn)，得a2+b2=c2．
若選擇圖2，證明過程如下：
在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和，
即(a+b)2=c2+12ab×4，
化簡(jiǎn)，得a2+b2=c2．
若選擇圖3，證明過程如下：
證明：在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和，
即12(a+b)(a+b)=12ab×2+12c2，
化簡(jiǎn)，得a2+b2=c2．
（2）
①根據(jù)題意，則如下圖所示：
在圖4中，直角三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則
由勾股定理，得a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3；
在圖5中，三個(gè)扇形的直徑分別為a、b、c，則
S1=12π×(a2)2=18πa2，S2=12π×(b2)2=18πb2，S3=12π×(c2)2=18πc2，
∴S1+S2=18π(a2+b2)，
∵a2+b2=c2，
∴18π(a2+b2)=18πc2，
∴S1+S2=S3；
在圖6中，等邊三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則
S1=34a2，S2=34b2，S3=34c2，（等邊三角形面積公式：S等邊△=34a2，a為邊長(zhǎng)）
∵S1+S2=34(a2+b2)，a2+b2=c2，
∴34(a2+b2)=34c2，
∴S1+S2=S3；
∴滿足S1+S2=S3的有3個(gè)，
故答案為：3；
②結(jié)論S1+S2=S3；
∵S1+S2=12πa22+12πb22+S3?12πc22
∴S1+S2=18πa2+b2?c2+S3
∵a2+b2=c2，
∴S1+S2=S3；
故答案為：S1+S2=S3．
（3）
如圖9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c、d、e、f、m，則有
由（1）（2）中的結(jié)論可知，面積的關(guān)系為：SA+SB=SE，SC+SD=SF，SE+SF=SM，
∴a2+b2=e2，c2+d2=f2，e2+f2=m2，
∴a2+b2+c2+d2=m2
故答案為：m2．
【點(diǎn)睛】本題考查了求扇形的面積，解直角三角形，勾股定理的證明，以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，注意歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力、歸納總結(jié)能力，是中檔題．
類型四、利用勾股定理解方程
19．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC，已知∠B=90°，BC=3，AB=4，CD=5，AD=52．求證：△ACD是直角三角形．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)勾股定理得出AC，再進(jìn)而利用勾股定理的逆定理解答即可．
【詳解】證明∶∵∠B=90°,BC=3,AB=4，
∴AC=BC2+AB2=32+42=5,
∵AC=5,CD=5,AD=52，
∴AC2+CD2=50,AD2=50,
∴AC2+CD2=AD2
∴△ACD是直角三角形．
【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出AC，進(jìn)而利用勾股定理的逆定理解答．
20．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D作AB⊥BD,ED⊥BD，連接AC,EC．已知AB=2,DE=1,BD=4，設(shè)CD=x．
(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE的值；
(2)探究：當(dāng)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最??？最小值是多少？
【答案】(1)22+4?x2+x2+1
(2)當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小，最小值是5
【分析】（1）根據(jù)線段的和差，可得BC的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得答案；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得線段AC+CE的最小值為AE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得答案．
【詳解】（1）解：∵AB⊥BD,ED⊥BD，
∴△ABC,△CDE都是直角三角形，
∵BD=4，CD=x，
∴BC=4?x，
在Rt△ABC,Rt△CDE中，
∴AC=AB2+BC2=22+4?x2，
CE=CD2+DE2=x2+1，
∴AC+CE=22+4?x2+x2+1；
（2）解：當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，AC+CE的值最小，最小值為AE的長(zhǎng)，
過A作AF⊥DE交ED的延長(zhǎng)線于F，
∴AF∥BD，
∴DF=AB=2，
∴AE=32+42=5，
∴AC+CE的最小值是5．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱——最短路線問題和勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱——最短路線問題和勾股定理．
21．（2022秋·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC和△EFC為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，已知點(diǎn)E在AB上，連納BF．
(1)求證：△AEC≌△BFC．
(2)苦AE=1,∠AEC=105°，求BE的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見詳解；
(2)BE的長(zhǎng)是3；
【分析】（1）根據(jù)△ABC和△EFC為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，則AC=BC，EC=FC，∠ACE=∠BCF=90°?∠BCE，由此可證△AEC≌△BFC（SAS）；
（2）作EG⊥AC于點(diǎn)G，求出∠GCE=30°，可得AG=EG，CE=2EG，根據(jù)AG2+EG2=AE2，可求AG=EG=22，進(jìn)而可得CE=2，根據(jù)勾股定理求出CG=62，則AC=22+62，利用勾股定理求出AB，進(jìn)而可求出BE的長(zhǎng)．
【詳解】（1）證明：∵△ABC和△EFC為等腰直角三角形，∠ACB=∠ECF=90°，
∴AC=BC，EC=FC，∠ACE=∠BCF=90°?∠BCE，
AC=BC∠ACE=∠BCFEC=FC，
∴△AEC≌△BFC（SAS）；
（2）作EG⊥AC于點(diǎn)G，則∠AGE=∠CGE=90°，
∵∠AEC=105°，∠A=∠CBA=45°，∠GCE=180°?∠AEC?∠A=30°，
∴AG=EG，CE=2EG，
∵AG2+EG2=AE2，AE=1，
∴2AG2=EG2=12，
∴AG=EG=22，
∴CE=2×22=2，
∴CG=CE2?EG2=22?222=62，
∴AC=AG+CG=22+62，
∴AB=AC2+BC2=2AC2=2AC=2×22+62=1+3，
∴BE=AB?AE=1+3?1=3
∴BE的長(zhǎng)是3．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，正確的作出所需的輔助線是解題的關(guān)鍵．
22．（2022秋·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，AC，BD是對(duì)角線，△ABC是等邊三角形．線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．
(1)求證：AE=BD；
(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=6，求BD的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見解析
(2)BD=213
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠ACB=60°，AC=BC，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出∠BCD=∠ACE，再根據(jù)“邊角邊”，得出△BCD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（2）連接DE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出∠DCE=60°，CD=CE，再根據(jù)等邊三角形的判定，得出△CDE是等邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠CDE=60°，DE=CD=6，進(jìn)而得出∠ADE=90°，再根據(jù)勾股定理，得出AE=213，再根據(jù)（1）的結(jié)論，即可得出答案．
【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)可知∠DCE=60°，CD=CE，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△BCD和△ACE中
BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，
∴△BCD≌△ACESAS，
∴AE=BD；
（2）解：如圖，連接DE，
∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠CDE=60°，DE=CD=6，
∵∠ADC=30°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°，
在Rt△ADE中，
∴AE=AD2+DE2=16+36=213，
∵AE=BD，
∴BD=213．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并且正確作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
23．（2022秋·遼寧盤錦·九年級(jí)校考期中）如圖，將正方形ABCD中的△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△CBP′的位置，且BP=2，AP=1．
(1)求PP′的長(zhǎng)；
(2)連接CP，若CP=3，求∠APB的度數(shù)．
【答案】(1)22；
(2)135°．
【分析】（1）有旋轉(zhuǎn)可知∠CBP′=∠ABP，從而得到∠CBA=∠PBP′=90°，結(jié)合已知運(yùn)用勾股定理求解即可；
（2）在△CPP′中，運(yùn)用勾股定理逆定理證明∠AP′C=90°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)和（1）可得∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C，即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可知，
△CBP′≌△ABP，
∴∠CBP′=∠ABP，BP′=BP=2，CP′=AP=1，
∴∠CBP′+∠PBC=∠ABP+∠PBC，
∴∠CBA=∠PBP′=90°，
∴PP′=BP2+BP′2=22+22=22；
（2）在△CPP′中，
∵PP′=22，CP=3，CP′=1，
∴PP′2+CP′2=222+12=9，
CP2=32，
∴PP′2+CP′2=CP2，
∴∠AP′C=90°，
由（1）可知△PBP′是等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，
由旋轉(zhuǎn)可知：
∴∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C
=90°+45°=135°．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理即勾股定理的逆定理的運(yùn)用以及等腰直角三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
24．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖1，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D在BC上（不與點(diǎn)B，C重合）．
(1)若△ADC是直角三角形．
①當(dāng)AD⊥BC時(shí)，求AD的長(zhǎng)；
②當(dāng)AD⊥AC時(shí)，求CD的長(zhǎng)．
(2)如圖2，點(diǎn)E在AB上（不與點(diǎn)A，B重合），且∠ADE=∠B，若△ADE是直角三角形，求CD的長(zhǎng)．
【答案】(1)①6；②152；
(2)72或8
【分析】（1）①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可解答；
②如圖，作AE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)DE=x，則CD=8+x，根據(jù)勾股定理即可得到關(guān)于x 的方程，求出x，再根據(jù)勾股定理即可解答；
（2）分兩種情況：當(dāng)∠DAE=90°時(shí)，如圖，同②小題的方法可求出AD=152，再根據(jù)勾股定理求出BD，即可求出CD；當(dāng)∠AED=90°時(shí)，根據(jù)已知條件和直角三角形的性質(zhì)可得出AD⊥BC，再由①的結(jié)果即得答案．
【詳解】（1）解：①當(dāng)AD⊥BC時(shí)，∵AB=AC=10，BC=16，
∴BD=CD=12BC=8，
則在直角三角形ABD中，AD=AB2?BD2=6；
②如圖，當(dāng)AD⊥AC時(shí)，作AE⊥BC于點(diǎn)E，則由①知：CE=8,AE=6，
設(shè)DE=x，則CD=8+x，
則在直角三角形ADE中，AD2=AE2+DE2=36+x2，
在直角三角形ACD中，AD2+AC2=CD2，
即36+x2+102=8+x2，
解得：x=92，
∴AD=62+x2=152；
（2）∵∠ADE=∠B≠90°，
∴若△ADE是直角三角形，則∠DAE=90°或∠AED=90°，
當(dāng)∠DAE=90°時(shí)，如圖，同②小題的方法可求出AD=152，則BD=102+1522=252，
∴CD=16?252=72；
當(dāng)∠AED=90°時(shí)，如圖，則∠EAD+∠EDA=90°，
∵∠ADE=∠B，
∴∠EAD+∠B=90°，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
則由①知：CD=AD=8．
綜上，當(dāng)△ADE是直角三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為72或8．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及二次根式的計(jì)算，熟練掌握上述知識(shí)、正確分類是解題的關(guān)鍵．
類型五、勾股定理逆定理及應(yīng)用
25．（2022秋·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期中）金塔縣綠化環(huán)衛(wèi)部門為美化環(huán)境，要在如圖所示的一塊四邊形ABCD空地種植草皮，工人師傅量得AB=3m，BC=4m，AC=5m，CD=12m，AD=13m，若每平方米草皮需要300元，則需要投資多少元？
【答案】需要投資10800元
【分析】由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形，∠B=90°，△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，再求出S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=36m2，即可解決問題．
【詳解】解：∵AB=3m，BC=4m，AC=5m，
∴AC2=AB2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，
∵CD=12m，AD=13m，122+52=132，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36m2，
∴36×300=10800（元）．
答：需要投資10800元．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．
26．（2020秋·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，CD是AB邊上的高，AC=8，BC=6，DB=185．
(1)求AD的長(zhǎng)．
(2)△ABC是直角三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)325
(2)是，理由見解析
【分析】（1）利用勾股定理，求出CD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)；
（2）利用AB=AD+BD，求出AB的長(zhǎng)，再利用勾股定理逆定理進(jìn)行判定即可．
【詳解】（1）解：∵CD是AB邊上的高，
∴∠CDB=∠CDA=90°，
∵BC=6，DB=185，
∴CD=BC2?DB2=245，
∵AC=8，
∴AD=AC2?CD2=325；
（2）解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵AB=AD+BD=325+185=10，AC=8，BC=6，
∴AC2+BC2=100=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．
27．（2022春·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．
(1)四邊形ABCD的周長(zhǎng)=________；
(2)四邊形ABCD的面積=________；
(3)∠ABC是直角嗎？判斷并說明理由．
【答案】(1)17+35+2
(2)13
(3)是，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB、BC、AD的長(zhǎng)，再求出周長(zhǎng)即可；
（2）根據(jù)圖形得知△ABC的面積等于矩形的面積減去3個(gè)直角三角形的面積，根據(jù)面積公式求出即可；
（3）根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷△ABC的形狀．
【詳解】（1）由勾股定理得：AB=42+22=25，BC=12+22=5，AD=42+12=17，
∵DC=2，
∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD
=25+5+2+17=17+35+2，
故答案為：17+35+2；
（2）四邊形ABCD的面積=4×4?12×(2×1+2×4+4×1)=9，
故答案為：9；
（3）∠ABC是直角，
理由是：連接AC，由勾股定理得：AC=42+32=5，
∵AB=25,BC=5，
∴AC2=AB2+BC2，
∴∠ABC=90°，
即∠ABC是直角．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及其逆定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是善于把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．
28．（2021春·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在第一象限，過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為B，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，3，AC長(zhǎng)為2．
(1)求AB的長(zhǎng)．
(2)請(qǐng)你判斷△OAC的形狀，并說明理由．
【答案】(1)AB=1；
(2)△OAC是直角三角形．理由見解析
【分析】（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，3，知BC=3，利用勾股定理即可求AB的長(zhǎng)；
（2）分別求得OC2+AC2=16，OA2=16，利用勾股定理的逆定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，3，
∴OB=3，BC=3，
∴OC=32+32=23，
∵AC長(zhǎng)為2．
∴AB=22?32=1；
（2）解：△OAC是直角三角形．
理由：
OA=OB+AB=3+1=4，
∵OC2+AC2=232+22=16，OA2=42=16，
∴OC2+AC2=OA2，
∴△OAC是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
29．（2022秋·河南平頂山·八年級(jí)校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=25，BC=5，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積．
【答案】35
【分析】連接AC，先根據(jù)勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再勾股定理的逆定理可證△ACD為直角三角形，然后將兩個(gè)直角三角形的面積相加即為四邊形ABCD的面積．
【詳解】解：連接AC，
在Rt△ABC為直角三角形，AB=25，BC=5，
根據(jù)勾股定理得：AC2=AB2+BC2=252+52=25，
∴ AC=5．
在△ACD中，AD=13，CD=12，CD2+AC2=122+52=144+25=169=AD2，
∴ △ACD為直角三角形，∠ACD=90°，
∴ S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD =12AB?BC+12AC?CD=12×25×5+12×12×5=35．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，難度不大，此題的突破點(diǎn)是連接AC，求出兩個(gè)三角形的面積，二者相加即可．
30．（2022秋·遼寧丹東·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=n2+1，BC=n2?1，AC=2n.
(1)試判斷△ABC的形狀，并證明：
(2)當(dāng)n=2時(shí)，點(diǎn)D從A出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度沿折線A→B→C→A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
①當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，求t的值：
②當(dāng)點(diǎn)D落在邊AB的垂直平分線上時(shí)，求t的值；
③在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出△BCD為等腰三角形時(shí)t的值.
【答案】(1)△ABC是直角三角形
(2)①t=9.5秒；②t=2.5秒或t=8.875秒；③t=2秒或11秒或2.5秒或1.4秒
【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可得AB2=BC2+AC2，即可判斷△ABC的形狀；
（2）①根據(jù)題意作出圖形，再過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，可發(fā)現(xiàn)Rt△BCD≌Rt△BED，設(shè)CD=DE=x，則AD=4?x，AE=2，通過△AED是直角三角形建立方程解答即可；②根據(jù)題意作出圖形，分兩種情況：點(diǎn)D在AB中點(diǎn)；點(diǎn)D在AC上．當(dāng)點(diǎn)D在AB中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)AD=12AB即可解答；當(dāng)點(diǎn)D在AC上時(shí)，連接BD，設(shè)CD″為x，則BD″=AD″=4?x，根據(jù)△BCD是直角三角形列出方程即可解答；③由題意可知，當(dāng)點(diǎn)D在AB上，且BD=BC；當(dāng)點(diǎn)D在AC上，BC=CD；當(dāng)點(diǎn)D在AB上，且過BC的垂直平分線，BD=CD；當(dāng)點(diǎn)D在AB上，BC=CD；分別求出四種情況的t值即可．
【詳解】（1）解：AB2=(n2+1)2=n4+2n2+1，
BC2=(n2?1)2=n4?2n2+1，
AC2=(2n)2=4n2，
則BC2+AC2=n4?2n2+1+4n2=n4+2n2+1，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：當(dāng)n=2時(shí)，AB=5，BC=3，AC=4，
①如圖，BD平分∠ABC，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，
在Rt△BCD和Rt△BED中，
BD=BDCD=DE，
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BE=BC=3，
設(shè)CD=DE=x，
∴AD=4?x，AE=5?3=2，
在Rt△AED中，有DE2+AE2=AD2，
∴x2+22=(4?x)2，
∴x=32=1.5，
此時(shí)，AB+BC+CD=5+3+1.5=9.5，
∴t=9.5÷1=9.5（秒）；
②如圖，D′D″垂直平分AB，
點(diǎn)D可能在點(diǎn)D′處，也可能在點(diǎn)D″處，
當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)D′處時(shí)，
AD′=12AB=2.5，
t=2.5÷1=2.5（秒），
當(dāng)點(diǎn)D在D″處時(shí)，
連接BD″，∵D′D″垂直平分AB，
∴BD″=AD″，
設(shè)CD″為x，
則BD″=AD″=4?x，
在Rt△BCD″中，有BC2+CD″2=BD″2，
∴32+x2=(4?x)2，
∴x=78=0.875，
AB+BC+CD″=5+3+0.875=8.875，
∴t=8.875÷1=8.875（秒），
綜上，t=2.5秒或t=8.875秒；
③當(dāng)點(diǎn)D在AB上，BD=BC時(shí)，
此時(shí)AB=5?3=2，
∴t=2÷1=2（秒），
當(dāng)點(diǎn)D在AC上，BC=CD時(shí)，
此時(shí)AB+BC+CD=5+3+3=11，
∴t=11÷1=11（秒），
當(dāng)點(diǎn)D在AB上，且過BC的垂直平分線，BD=CD時(shí)，如圖，
此時(shí)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，AD=2.5，
∴t=2.5÷1=2.5（秒），
當(dāng)點(diǎn)D在AB上，BC=CD時(shí)，
如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB，垂足為H，
∵ S△ABC=3×4×12=6，
S△ABC=12×AB×CH=12×5×CH=6，
∴CH=125，
∵AD=t，
∴BD=5?t，
∴DH=5?t2，
在Rt△CDH中，有DH2+CH2=CD2，
∴ 5?t22+1252=9，
∴t=75=1.4或435（舍去），
綜上，t=2秒或11秒或2.5秒或1.4秒．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及其逆定理、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的定義，掌握勾股定理及其逆定理、靈活運(yùn)用分類討論思想是解題關(guān)鍵．
類型六、勾股定理的證明
31．（2022秋·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)把四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的大正方形，如圖所示．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊長(zhǎng)為b，較短的直角邊長(zhǎng)為a，大正方形邊長(zhǎng)為c．請(qǐng)你直接寫出a，b，c之間的關(guān)系；并說明理由．
【答案】c2=a2+b2，見解析
【分析】根據(jù)圖形可得四個(gè)直角三角形的面積加上中間小正方形的面積等于大正方形的面積，進(jìn)而可以解決問題．
【詳解】c2=a2+b2.
理由如下：
∵S小三角形=12ab，S小正方形=b?a2
∴c2=S大正方形=4?12ab+b?a2
=2ab+a2－2ab+b2
=a2+b2
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的證明，根據(jù)圖形得到四個(gè)直角三角形的面積加上中間小正方形的面積等于大正方形的面積是解題關(guān)鍵．
32．（2022秋·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖(I)驗(yàn)證它的正確性：圖中大正方形的面積可表示為：(a+b)2，也可表示為：c2+4?12ab，即(a+b)2=c2+412ab由此推出勾股定理a2+b2=c2，這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱“無字證明”．
(1)請(qǐng)你用圖(Ⅱ)(2002年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo))的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理(其中四個(gè)直角三角形全等)；
(2)請(qǐng)你用(Ⅲ)提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證(x+y)2=x2+2xy+y2
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積=小正方形的面積+4個(gè)直角三角形的面積，即可證明；
（2）可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)是x+y的正方形，它由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是x、y的正方形和兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別是x、y的長(zhǎng)方形組成；
【詳解】（1）解：由圖可得：大正方形的面積為：c2，
中間小正方形面積為：(b?a)2，
四個(gè)直角三角形面積和為：4×12ab，
由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=小正方形面積+四直角三角形面積，
則有：c2=(b?a)2+4×12ab=b2?2ab+a2+2ab=a2+b2，
即：c2=a2+b2；
（2）如圖示：
大正方形邊長(zhǎng)為(x+y)
所以面積為：(x+y)2，
因?yàn)樗拿娣e也等于兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為x，y和兩個(gè)長(zhǎng)為x寬為y的矩形面積之和，即x2+2xy+y2，
所以有：(x+y)2=x2+2xy+y2成立．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
33．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形按照如下的位置擺放，使點(diǎn)A，E，D在同一條直線上，∠A=∠D=90°，AE=CD=a，AB=ED=b，BE=CE=c．
(1)填空：∠BEC=______°，根據(jù)三角形面積公式，可得△BEC的面積=______；根據(jù)割補(bǔ)法，由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得△BEC的面積=______．
(2)求證：a2+b2=c2．
【答案】(1)90，12c2，12c2
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）用兩種不同的方法表示梯形ABCD的面積，計(jì)算化簡(jiǎn)后，即可得出a2+b2=c2．
【詳解】（1）解：∵AE=CD=a，AB=ED=b，BE=CE=c，
∴△BAE≌ △EDCSSS，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC的面積=12BE?CE=12c2，
由梯形的面積減去陰影部分的面積，可得△BEC的面積=12a+ba+b?2×12ab=12a2+2ab+b2?ab=12a2+b2+ab?ab=12c2，
故答案為：90，12c2，12c2；
（2）證明：∵Rt△ABE≌ Rt△DEC，
∴∠AEB=∠DCE，BE=EC=c，
∵∠D=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是等腰直角三角形，
∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△CDE+SRt△BEC，
∴AB+CD?AD2=AE?AB2+ED?DC2+BE?EC2，
即a+ba+b2=ab2+ba2+ca2，
∴a2+2ab+b22=c2+2ab2，
∴a2+b2=c2．
【點(diǎn)睛】本題考查了梯形，勾股定理的證明，用兩種不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積是解決問題的關(guān)鍵．
34．（2022秋·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（如圖1）與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形（如圖2）．
(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理，該定理的結(jié)論用字母表示： ；
(2)用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形，滿足AE=BC=a，DE=AC=b，AD=AB=c，∠AED=∠ACB=90°，求證（1）中的定理結(jié)論；
(3)如圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，設(shè)CE=m，HG=n，求正方形BDFA的面積．（用m，n表示）
【答案】(1)c2=a2+b2
(2)見解析
(3)m2+n22
【分析】（1）由大正方形的面積的兩種表示列出等式，可求解；
（2）由四邊形ABCD的面積兩種計(jì)算方式列出等式，即可求解；
（3）分別求出a，b，由勾股定理可求解．
【詳解】（1）解：∵大正方形的面積=c2，大正方形的面積=4×12×a×b+b?a2，
∴c2=4×12×a×b+b?a2，
∴c2=a2+b2，
故答案為：c2=a2+b2；
（2）證明：如圖：連接BD，
∵Rt△ABC≌Rt△DAE，
∴∠ADE=∠BAC，
∴∠DAE+∠ADE=90°=∠DAE+∠BAC，
∴∠DAB=90°，
∵S四邊形ABCD=12c2+12ab?a， S四邊形ABCD=2×12ab+12bb?a，
∴12c2+12ab?a=2×12ab+12bb?a，
∴c2=a2+b2；
（3）解：由題意可得：CE=CD+DE，GH=AG?AH，
∴m=a+b，n=b?a，
∴a=m?n2，b=m+n2，
∴BD2=BC2+CD2=a2+b2=m2+n22，
∴正方形BDFA的面積為m2+n22．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
35．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┕啥ɡ砩衿娑利?，它的證法多種多樣，在學(xué)習(xí)了教材中介紹的拼圖證法以后，小華突發(fā)靈感，給出了如圖拼圖：兩個(gè)全等的直角三角板 ABC和直角三角板DEF ，頂點(diǎn)F在BC邊止，項(xiàng)點(diǎn)C、D重合，連接AE 、EB．設(shè)AB、DE交于點(diǎn)G．∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=a ，AC=DF=b （a>b ），AB=DE=c． 請(qǐng)你回答以下問題：
(1)請(qǐng)猜想AB與DE的位置關(guān)系，并加以證明．
(2)填空：S四邊形ADBE =___________（用含有c的代數(shù)式表示）
(3)請(qǐng)嘗試?yán)么藞D形證明勾股定理．
【答案】(1)AB⊥DE，見解析
(2)12c2
(3)見解析
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EDF=∠CAB ，求得∠ACE+∠CAB=90° ，得到∠AGC=90° ，根據(jù)垂直的定義可得AB⊥DE．
（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
（3）根據(jù)三角形面積和梯形面積公式用兩種方法求得四邊形ACBE 的面積，可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：AB⊥DE
證明：∵△ABC≌△DEF
∴∠EDF=∠CAB
∵∠EDF+∠CAE=90°
∴∠ACE+∠CAB=90°
∴∠AGC=90°
∴∠AGE=180°?∠AGC=90°
∴DE⊥AB
（2）解：∵DE⊥AB
∴S四邊形ADBE=S△ACB+S△ABE
=12AB?DG+12AB?EG
=12AB(DG+EG)
=12AB?DE=12c2
故答案為：12c2
（3）解：∵ S四邊形ACBE =S△ACB+S△ABE
=12AB?DG+12AB?EG
=12AB?(DG+EG)
=12AB?DE=12c2
∴S四邊形ACBE=S四邊形ACFE+S△EFB
=12×(AC+EF)?CF+12BF?EF
=12(b+a)b+12(a?b)a
=12b2+12ab+12a2?12ab
=12a2+12b2
∴12c2=12a2+12b2
即a2+b2=c2
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，三角形面積的計(jì)算，全等三角形的性質(zhì)，正確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
36．（2022秋·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐
【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于c2，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即12ab×4+b?a2，從而得到等式c2=12ab×4+b?a2，化簡(jiǎn)便得結(jié)論a2+b2=c2．這里用兩種求法來表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．
【方法運(yùn)用】千百年來，人們對(duì)勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形△ABC和△DEA如圖2放置，其三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，顯然BC⊥AD．
(1)請(qǐng)用a，b，c分別表示出四邊形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法遷移】請(qǐng)利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AB邊上的高為______．
(3)如圖4，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB=4，AC=5，BC=6，設(shè)BD=x，求x的值．
【答案】(1)見解析
(2)655
(3)x=94
【分析】（1）表示出三個(gè)圖形的面積進(jìn)行加減計(jì)算可證a2+b2=c2；
（2）計(jì)算出△ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AB邊上的高；
（3）運(yùn)用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；
【詳解】（1）證明：∵S四邊形ABCD=12c2，S梯形AEDC=12b+ab，S△BED=12a?ba，
S四邊形ABCD=S梯形AEDC+S△BED
∴12c2=12b+ab+12a?ba
∴12c2=12b2+12ab+12a2?12ab
∴a2+b2=c2
（2）S△ABC=4×4?12×2×4?12×2×4?12×2×2=6，
AB=22+42=25，
∵S△ABC=12AB×?=12×25?=6，
∵?=655
即AB邊上的高是655
（3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD2=AB2?BD2=42?x2=16?x2
∵BD+CD=BC=6，
∴CD=BC?BD=6?x
在Rt△ACD中，由勾股定理得
AD2=AC2?CD2=52?6?x2=?11+12x?x2
∴16?x2=?11+12x?x2，
∴x=94
【點(diǎn)睛】此題主要考查了梯形，證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，是解本題的關(guān)鍵．構(gòu)造出直角三角形DEF是解本題的難點(diǎn)．
類型七、勾股定理與弦圖問題
37．（2022秋·江西撫州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度之間關(guān)系的有關(guān)問題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來探究下列兩個(gè)問題：
(1)如圖①是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)用它驗(yàn)證勾股定理；
(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，AC=4，BC=3，求CD的長(zhǎng)度；
(3)如圖①，若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求a+b2的值．
【答案】(1)見解析
(2)CD=125
(3)25
【分析】（1）分別用兩種方法求出大正方形的面積，根據(jù)面積相等列等式，即可證明；
（2）先根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)等面積法即可求解；
（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，可得c2=a2+b2=13，b?a2=a2+b2?2ab=1，即有a2+b2?a2+b2?2ab=2ab=13?1=12，則問題得解．
【詳解】（1）∵S大正方形=c2，S小正方形=b?a2，4個(gè)直角三角形的面積為：S=4×12ab=2ab，
又∵S大正方形=S小正方形+S，
∴c2=2ab+b?a2=2ab+b2?2ab+a2=a2+b2，
即c2=a2+b2；
（2）由勾股定理得：BC2+AC2=AB2，AC=4，BC=3，
∴32+42=AB2，
∴AB=5，
∵S△ABC=12×AC×BC=6，
又∵S△ABC=12×AB×CD，
∴12×AB×CD=12×AC×BC=6，
∵AB=5，
∴CD=6×2AB=125；
（3）根據(jù)（1）有：S大正方形=c2，S小正方形=b?a2，c2=a2+b2，
又∵S大正方形=c2=13，S小正方形=b?a2=1，
∴c2=a2+b2=13，b?a2=a2+b2?2ab=1，
∴a2+b2?a2+b2?2ab=2ab=13?1=12，
∴a+b2=a2+b2+2ab=13+12=25，
即值為25．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證，勾股定理以及完全平方公式的知識(shí)，理解并靈活運(yùn)用等面積法是解答本題的關(guān)鍵．
38．（2023秋·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖1所示．該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．
(1)請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理；
(2)圖2所示的徽標(biāo)，是我國(guó)古代弦圖的變形，該圖是由其中的一個(gè)Rt△ABC繞中心點(diǎn)O順時(shí)針連續(xù)旋轉(zhuǎn)3次，每次旋轉(zhuǎn)90°得到的，如果中間小正方形的面積為1cm2，這個(gè)圖形的總面積為113cm2，AD=2cm，則徽標(biāo)的外圍周長(zhǎng)為________cm．
【答案】(1)見解析
(2)52
【分析】（1）從整體和部分分別表示正方形的面積即可證明；
（2）設(shè)Rt△ABC的較長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，則有a?b=3，4×12ab+1=113，利于整體思想可求出斜邊c的長(zhǎng)，從而解決問題．
【詳解】（1）證明：∵正方形的邊長(zhǎng)為c，
∴正方形的面積等于c2，
∵正方形的面積還可以看成是由4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為a?b的小正方形組成的，
∴正方形的面積為：4×12ab+a?b2=a2+b2，
∴c2=a2+b2；
（2）解：設(shè)Rt△ABC的較長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，斜邊為c，
根據(jù)題意得，a?b=3，4×12ab+1=113，
又∵c2=a2+b2
=a?b2+2ab
=32+112
=121
∴c=11cm，
故徽標(biāo)的外圍周長(zhǎng)為：4×11+2=52cm．
故答案為：52．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的證明，勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式等知識(shí)，運(yùn)用整體思想求出斜邊c的長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．
39．（2022秋·江蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖1的“弦圖”（史稱“趙爽弦圖”） ．
(1)弦圖中包含了一大一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a，較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖1，試驗(yàn)證勾股定理；
(2)如圖2，將四個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，形成“勾股風(fēng)車”，已知外圍輪廊（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC=3，求該“勾股風(fēng)車”圖案的面積；
(3)如圖3，將八個(gè)全等的直角三角形（外圍四個(gè)和內(nèi)部四個(gè)）緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+2S2+S3=20，則S2= ．
【答案】(1)證明見詳解
(2)“勾股風(fēng)車”圖案的面積為24
(3)5
【分析】（1）根據(jù)圖形可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，由此即可求解；
（2）已知圖形的周長(zhǎng)，可求出直角三角形的斜邊長(zhǎng)，已知OC=3，則可求出直角三角形的兩條直角邊，由此即可求出“勾股風(fēng)車”圖案的面積；
（3）八個(gè)全等的直角三角形，且圖形的面積是由三角形和正方形組成，S1+2S2+S3=20，設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為m，n，根據(jù)勾股定理即可求解．
【詳解】（1）證明：由圖①可知S大正方形=4S△ABC+S小正方形，
∵S大正方形=c2，S△ABC=12ab，S小正方形=(a?b)2，
∴c2=4×12ab+(a?b)2=2ab+a2?2ab+b2，
即c2=a2+b2．
（2）解：四個(gè)全等的直角三角形，外圍輪廊（粗線）的周長(zhǎng)為24，OC=3，設(shè)AC=x，
∴4AB+4AC=24，即4AB+4x=24，
∴AB=6?x，
在Rt△OAB中，AB2=OB2+OA2，OB=OC=3，OA=OC+AC=3+x，
∴(6?x)2=32+(3+x)2，解方程得，x=1，即AC=1，
∴OA=3+1=4，OB=3，
∴S△OAB=12×3×4=6，
∴“勾股風(fēng)車”圖案的面積是6×4=24．
（3）解：設(shè)AE=m，AH=n，
∴S1=4×12mn+m2+n2，S2=m2+n2，S3=(n?m)2=n2?2mn+m2，
∴S1+2S2+S3=2mn+m2+n2+2m2+2n2+m2?2mn+n2=4m2+4n2=4S2=20，
∴S2=5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，理解直角三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
40．（2022春·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用了“弦圖”．如圖，由4個(gè)全等的直角三角形(RtΔAFB?RtΔBGC ?RtΔCHD?RtΔDEA)和與一個(gè)小正方形EFGH恰好拼成一個(gè)大正方形ABCD，每個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別為a，ba

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人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí) 專題2.6特殊的平行四邊形大題專練(分層培優(yōu)30題(原卷版+解析)：

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