A卷 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)卷
（限時(shí)30分鐘，每題10分，滿分100分）
1．（2022秋?西安月考）高空拋物嚴(yán)重威脅著人們的“頭頂安全”，即便是常見(jiàn)小物件，一旦高空落下，也威力驚人，而且用時(shí)很短，常常避讓不及．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風(fēng)速的影響，g≈10m/s2）．
（1）求從60m高空拋物到落地的時(shí)間．（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）已知高空墜物動(dòng)能（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m），某質(zhì)量為0.2kg的玩具被拋出后經(jīng)過(guò)3s后落在地上，這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（注：傷害無(wú)防護(hù)人體只需要65J的動(dòng)能）
2．（2022春?贛州期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的兩塊正方形木料的邊長(zhǎng)分別為 ， ；
（2）求剩余木料的面積；
（3）如果木工想從剩余的木料中截出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能截出 塊這樣的木條．
3．（2019春?沂水縣期中）高空拋物極其危險(xiǎn)，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風(fēng)速的影響）
（1）從50m高空拋物到落地所需時(shí)間t1是多少s，從100m高空拋物到落地所需時(shí)間t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）經(jīng)過(guò)1.5s，高空拋物下落的高度是多少？
4．（2019秋?二道區(qū)期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面積．
（2）如果木工想從剩余的木料中截出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能截出 塊這樣的木條．
5．（2018秋?太倉(cāng)市期末）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)p＝（a+b+c）．
記：Q＝．
（1）當(dāng)a＝4，b＝5，c＝6時(shí)，求Q的值；
（2）當(dāng)a＝b時(shí)，設(shè)三角形面積為S，求證：S＝Q．
6．（2019秋?會(huì)同縣期末）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a＝，寬b＝．
（1）求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；
（2）求與長(zhǎng)方形等面積的正方形的周長(zhǎng)，并比較與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的大小關(guān)系．
7．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為10、x和．
（1）求它的周長(zhǎng)（要求結(jié)果化簡(jiǎn)）
（2）請(qǐng)你給一個(gè)適當(dāng)?shù)膞值，使它的周長(zhǎng)為整數(shù)，并求出此時(shí)三角形周長(zhǎng)的值．
8．（2021秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為8米，寬AB為米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為+1米，寬為﹣1米．
（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
9．（2022春?海滄區(qū)校級(jí)期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個(gè)面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面積；
（2）如果木工想從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，估計(jì)最多能裁出多少塊這樣的木條，請(qǐng)你計(jì)算說(shuō)明理由．
10．（2022春?沂水縣期中）座鐘的鐘擺擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為，其中r表示周期（單位：s），l表示擺長(zhǎng)（單位：m），g為重力加速度且g＝9.8m/s2，假如一臺(tái)座鐘的鐘擺長(zhǎng)為0.5m，它每擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回發(fā)出一次滴答聲，那么在1min內(nèi)，該座鐘發(fā)出多少次滴答聲？（≈3.16，π取3.14，結(jié)果保留整數(shù)）
B卷 能力提升卷
（限時(shí)50分鐘，每題10分，滿分100分）
11．（2022春?伊寧市校級(jí)期末）已知矩形的長(zhǎng)為a，寬為b且，．
（1）求矩形的周長(zhǎng)；
（2）當(dāng)S矩形＝S正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)m的值．（注：S表示面積）
12．（2022秋?攸縣期末）已知長(zhǎng)方形長(zhǎng)a＝，寬b＝．
①求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；
②求與長(zhǎng)方形等面積的正方形的周長(zhǎng)，并比較長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與正方形周長(zhǎng)大小關(guān)系．
13．（2022秋?南昌期末）如圖，長(zhǎng)和寬分別是a，b的長(zhǎng)方形紙片的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形．
（1）用含a，b，x的代數(shù)式表示紙片剩余部分的面積；
（2）當(dāng)a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面積．
14．（2023?源城區(qū)開(kāi)學(xué)）如圖，B地在A地的正東方向，兩地相距km．A，B兩地之間有一條東北走向的高速公路，且A，B兩地到這條高速公路的距離相等．上午8：00測(cè)得一輛在高速公路上行駛的汽車位于A地的正南方向P處，至上午8：20，B地發(fā)現(xiàn)該車在它的西北方向Q處，該段高速公路限速為110km/h．問(wèn)：該車是否超速行駛？
15．（2022春?江都區(qū)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：
問(wèn)題：已知，求代數(shù)式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根據(jù)得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．
仿照上述方法解決問(wèn)題：
（1）已知，求代數(shù)式x2+6x﹣8的值；
（2）已知，求代數(shù)式x3+2x2的值．
16．（2016春?泰州校級(jí)期末）（1）閱讀：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)，則這個(gè)三角形的面積為．
（2）應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△ABC面積．
（3）引申：如圖2，在（2）的條件下，AD、BE分別為△ABC的角平分線，它們的交點(diǎn)為I，求：I到AB的距離．
17．（2022春?武江區(qū)校級(jí)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：
問(wèn)題：已知x＝+2，求代數(shù)式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根據(jù)x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：
（1）已知x＝﹣2，求代數(shù)式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代數(shù)式x3+x2+1的值．
18．（2021春?石城縣期末）在二次根式中如：，＝3，它們的積不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問(wèn)題：
（1）4﹣的有理化因式可以是 ，分母有理化得 ．
（2）計(jì)算：
①已知x＝，求x2+y2的值；
②．
19．（2021秋?洪江市期末）閱讀并解答問(wèn)題：
＝＝；
＝＝；
＝＝2﹣；
……
上面的計(jì)算過(guò)程叫做“分母有理化”，仿照上述計(jì)算過(guò)程，解答下列問(wèn)題：
（1）將的分母有理化；
（2）已知a＝，b＝，求a+b的值；
（3）計(jì)算+…++．
20．（2022秋?昌平區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式和二次根式，當(dāng)被除數(shù)是一個(gè)二次根式，除數(shù)是一個(gè)整式時(shí)，求得的商就會(huì)出現(xiàn)類似的形式，我們把形如的式子稱為根分式，例如，都是根分式．
（1）下列式子中①，②，③， 是根分式（填寫(xiě)序號(hào)即可）；
（2）寫(xiě)出根分式中x的取值范圍 ；
（3）已知兩個(gè)根分式，．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一個(gè)整數(shù)，且x為整數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值： ．
C卷 培優(yōu)壓軸卷
（限時(shí)80分鐘，每題10分，滿分100分）
21．（2022?南京模擬）請(qǐng)閱讀下面材料，并解決問(wèn)題：
海倫——秦九韶公式
海倫（約公元50年），古希臘幾何學(xué)家，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題聞名，在他的著作《度量》一書(shū)中證明了一個(gè)利用三角形的三條邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式：假設(shè)在平面內(nèi)，有一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記那么三角形的面積．這個(gè)公式稱為海倫公式．秦九韶（約1202﹣1261年），我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，曾提出利用三角形的三邊長(zhǎng)求面積的秦九韶公式．它填補(bǔ)了中國(guó)數(shù)學(xué)史中的一個(gè)空白，從中可以看出中國(guó)古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．通過(guò)公式變形，可以發(fā)現(xiàn)海倫公式和秦九韶公式實(shí)質(zhì)是同一個(gè)公式，所以海倫公式也稱海倫﹣秦九韶公式．
問(wèn)題：如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，請(qǐng)用海倫一秦九韶公式求△ABC的面積．
22．（2021秋?敘州區(qū)期末）已知△ABC三條邊的長(zhǎng)度分別是，，，記△ABC的周長(zhǎng)為C△ABC．
（1）當(dāng)x＝2時(shí)，△ABC的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度是（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）；
（2）請(qǐng)求出C△ABC（用含x的代數(shù)式表示，結(jié)果要求化簡(jiǎn)）；
（3）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長(zhǎng)求面積的秦九韶公式：S＝．其中三角形邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三角形的面積為S．若x為整數(shù)，當(dāng)C△ABC取得最大值時(shí)，請(qǐng)用秦九韶公式求出△ABC的面積．
23．（2022秋?南山區(qū)校級(jí)期中）著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探索問(wèn)題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請(qǐng)先閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：
數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號(hào)．
例如：＝＝＝＝1+．
解決問(wèn)題：
（1）在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：＝＝③
①： ，②： ，③ ．
（2）根據(jù)上述思路，化簡(jiǎn)并求出+的值．
24．（2022秋?臨汾期中）閱讀與思考
閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華?盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第n項(xiàng)的表達(dá)式，創(chuàng)造出了檢驗(yàn)素?cái)?shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問(wèn)題．
“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個(gè)整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第n個(gè)數(shù)F（n）可以表示為+，其中n≥1．（說(shuō)明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）
任務(wù)：
（1）盧卡斯數(shù)列中的第1個(gè)數(shù)F（1）＝ ，第2個(gè)數(shù)F（2）＝ ；
（2）盧卡斯數(shù)列有一個(gè)重要特征：當(dāng)n≥3時(shí)，滿足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．請(qǐng)根據(jù)這一規(guī)律寫(xiě)出盧卡斯數(shù)列中的第6個(gè)數(shù)F（6）．
25．（2022春?南城縣校級(jí)月考）觀察下列等式：；；…你根據(jù)觀察得到的結(jié)論，解答下列各題：
（1）猜想：＝ ；
（2）解方程：．
26．（2022秋?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）小明在解決問(wèn)題：已知a＝．求2a2﹣8a+1的值，他是這樣分析與解的：
∵a＝＝＝2﹣∴a﹣2＝﹣
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
（1）化簡(jiǎn)+++…+；
（2）比較﹣ ﹣；（填“＞”或“＜”）
（3）A題：若a＝+1，則a2﹣2a+3＝ ．
B題：若a＝，則4a2﹣4a+7＝ ．
27．（2022春?赤坎區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面的材料，解答后面給出的問(wèn)題：
兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，+1與﹣1．這樣，化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出3+的有理化因式： ；
（2）請(qǐng)仿照上面的方法化簡(jiǎn)（b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝，b＝，求的值．
28．（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)期中）閱讀理解：已知x＝+1，求代數(shù)式x2﹣2x﹣5的值．王紅的做法是：根據(jù)x＝+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作為整體代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．
請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：
（1）已知x＝﹣2，求代數(shù)式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x＝，求代數(shù)式x3+x2+1的值．
29．（2022春?南部縣校級(jí)月考）在《九章算術(shù)》中有求三角形面積公式“底乘高的一半”，但是在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求面積．我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求積術(shù)”，闡述了利用三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積方法，簡(jiǎn)稱秦九韶公式．在海倫（公元62年左右，生平不詳）的著作《測(cè)地術(shù)》中也記錄了利用三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的方法，相傳這個(gè)公式最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我國(guó)稱這個(gè)公式為海倫﹣秦九韶公式．它的表述為：三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則三角形的面積．（公式里的p為半周長(zhǎng)即周長(zhǎng)的一半）
請(qǐng)利用海倫﹣秦九韶公式解決以下問(wèn)題：
（1）三邊長(zhǎng)分別為3、6、7的三角形面積為 ．
（2）四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四邊形ABCD的面積為 ．
（3）五邊形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五邊形ABCDE的面積．
30．（2020?太原三模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：
任務(wù)：
（1）盧卡斯數(shù)列中的第1個(gè)數(shù)F（1）＝ ，第2個(gè)數(shù)F（2）＝ ；
（2）求盧卡斯數(shù)列中的第3個(gè)數(shù)F（3）；
（3）盧卡斯數(shù)列有一個(gè)重要特征：當(dāng)n≥3時(shí)，滿足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）．請(qǐng)根據(jù)這一規(guī)律直接寫(xiě)出盧卡斯數(shù)列中的第5個(gè)數(shù)：F（5）＝ ．
盧卡斯數(shù)列
法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華?盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第n項(xiàng)的表達(dá)式，創(chuàng)造出了檢驗(yàn)素?cái)?shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問(wèn)題．
“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個(gè)整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第n個(gè)數(shù)F（n）可以表示為，其中n≥1．
（說(shuō)明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列．）
2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】
專題2.2二次根式的應(yīng)用及探究材料大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）
A卷 基礎(chǔ)過(guò)關(guān)卷
（限時(shí)30分鐘，每題10分，滿分100分）
1．（2022秋?西安月考）高空拋物嚴(yán)重威脅著人們的“頭頂安全”，即便是常見(jiàn)小物件，一旦高空落下，也威力驚人，而且用時(shí)很短，常常避讓不及．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風(fēng)速的影響，g≈10m/s2）．
（1）求從60m高空拋物到落地的時(shí)間．（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）已知高空墜物動(dòng)能（單位：J）＝10×物體質(zhì)量（單位：kg）×高度（單位：m），某質(zhì)量為0.2kg的玩具被拋出后經(jīng)過(guò)3s后落在地上，這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（注：傷害無(wú)防護(hù)人體只需要65J的動(dòng)能）
【分析】（1）把60m代入公式t＝即可；
（2）先根據(jù)公式t＝求出h，再代入動(dòng)能計(jì)算公式求出這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能，即可判斷．
【解答】解：（1）由題意知h＝60m，
∴t＝＝＝2（s），
故從60m高空拋物到落地的時(shí)間為2s；
（2）這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人，
理由：當(dāng)t＝3s時(shí)，3＝，
∴h＝45，
經(jīng)檢驗(yàn)，h＝45是原方程的根，
∴這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能＝10×0.2×45＝90（J）＞65J，
∴這個(gè)玩具產(chǎn)生的動(dòng)能會(huì)傷害到樓下的行人．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的應(yīng)用，通過(guò)具體情境考查二次根式，理解公式，正確運(yùn)算代入求值是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022春?贛州期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）截出的兩塊正方形木料的邊長(zhǎng)分別為 3dm ， 4dm ；
（2）求剩余木料的面積；
（3）如果木工想從剩余的木料中截出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能截出 2 塊這樣的木條．
【分析】（1）由正方形的面積可得邊長(zhǎng)分別為dm和dm，再對(duì)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；
（2）矩形的長(zhǎng)為7dm，寬為4dm，再求面積即可；
（3）剩余木條的長(zhǎng)為3dm，寬為dm，再由題意進(jìn)行截取即可．
【解答】解：（1）＝3dm，＝4dm，
故答案為：3dm，4dm；
（2）矩形的長(zhǎng)為3+4＝7（dm），寬為4dm，
∴剩余木料的面積＝（7×4）﹣18﹣32＝56﹣18﹣32＝6（dm2）；
（3）剩余木條的長(zhǎng)為3dm，寬為4﹣3＝（dm），
∵3＜3×1.5，＞1，
∴能截出2×1＝2個(gè)木條，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)和運(yùn)算，矩形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
3．（2019春?沂水縣期中）高空拋物極其危險(xiǎn)，是我們必須杜絕的行為．據(jù)研究，高空拋物下落的時(shí)間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式t＝（不考慮風(fēng)速的影響）
（1）從50m高空拋物到落地所需時(shí)間t1是多少s，從100m高空拋物到落地所需時(shí)間t2是多少s；
（2）t2是t1的多少倍？
（3）經(jīng)過(guò)1.5s，高空拋物下落的高度是多少？
【分析】（1）將h＝50代入t1＝進(jìn)行計(jì)算即可；將h＝100代入t2＝進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）計(jì)算t2與t1的比值即可得出結(jié)論；
（3）將t＝1.5代入公式t＝進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）當(dāng)h＝50時(shí)，t1＝＝（秒）；
當(dāng)h＝100時(shí)，t2＝＝＝2（秒）；
（2）∵＝＝，
∴t2是t1的倍．
（3）當(dāng)t＝1.5時(shí)，1.5＝，
解得h＝11.25，
∴下落的高度是11.25米．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．
4．（2019秋?二道區(qū)期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖的方式，在木板上截出兩個(gè)面積分別為18dm2和32dm2的正方形木板．
（1）求剩余木料的面積．
（2）如果木工想從剩余的木料中截出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能截出 2 塊這樣的木條．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，結(jié)合圖形計(jì)算得到答案；
（2）求出3和范圍，根據(jù)題意解答．
【解答】解：（1）∵兩個(gè)正方形的面積分別為18dm2和32dm2，
∴這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為3dm和4dm，
∴剩余木料的面積為（4﹣3）×3＝6（dm2）；
（2）4＜3＜4.5，1＜＜2，
∴從剩余的木料中截出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能截出2塊這樣的木條，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．
5．（2018秋?太倉(cāng)市期末）若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)p＝（a+b+c）．
記：Q＝．
（1）當(dāng)a＝4，b＝5，c＝6時(shí)，求Q的值；
（2）當(dāng)a＝b時(shí)，設(shè)三角形面積為S，求證：S＝Q．
【分析】（1）先根據(jù)△ABC的三邊長(zhǎng)求出p的值，然后再代入三角形面積公式中計(jì)算；
（2）設(shè)底邊c上的高為h，根據(jù)三角形的面積公式得到S＝c?h＝c，代入Q＝得到Q＝c，于是得到結(jié)論．
【解答】解：（1）∵a＝4，b＝5，c＝6，
∴p＝（a+b+c）＝，
∴Q＝＝＝；
（2）∵a＝b，
∴設(shè)底邊c上的高為h，
∴h＝，
∴S＝c?h＝c，
∵a＝b，
∴p＝（a+b+c）＝a+c，
∴Q＝＝＝c，
∴S＝Q．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，三角形的面積公式，正確的化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵．
6．（2019秋?會(huì)同縣期末）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)a＝，寬b＝．
（1）求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；
（2）求與長(zhǎng)方形等面積的正方形的周長(zhǎng)，并比較與長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的大小關(guān)系．
【分析】首先化簡(jiǎn)a＝＝2，b＝＝．
（1）代入周長(zhǎng)計(jì)算公式解決問(wèn)題；
（2）求得長(zhǎng)方形的面積，開(kāi)方得出正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步求得周長(zhǎng)比較即可．
【解答】解：a＝＝2，b＝＝．
（1）長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)＝（2+）×2＝6；
（2）正方形的周長(zhǎng)＝4＝8，
∵6＝.8＝，
∵＞
∴6＞8．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次根式的實(shí)際運(yùn)用，掌握二次根式的化簡(jiǎn)方法以及長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)與面積計(jì)算方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
7．（2021春?廣陵區(qū)校級(jí)月考）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為10、x和．
（1）求它的周長(zhǎng)（要求結(jié)果化簡(jiǎn)）
（2）請(qǐng)你給一個(gè)適當(dāng)?shù)膞值，使它的周長(zhǎng)為整數(shù)，并求出此時(shí)三角形周長(zhǎng)的值．
【分析】（1）利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而求值計(jì)算即可；
（2）如果一個(gè)二次根式化簡(jiǎn)后為整數(shù)，則被開(kāi)方數(shù)就是一個(gè)能開(kāi)得盡方的數(shù)，適當(dāng)取值即可．
【解答】解：（1）因?yàn)閤＞0，所以三角形的周長(zhǎng)為：
10+x+
＝10×++2
＝2++2
＝5；
（2）當(dāng)x＝5時(shí)，＝5，為整數(shù)，
此時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為5＝5×5＝25．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．
8．（2021秋?長(zhǎng)安區(qū)校級(jí)期末）某居民小區(qū)有塊形狀為長(zhǎng)方形ABCD的綠地，長(zhǎng)方形綠地的長(zhǎng)BC為8米，寬AB為米，現(xiàn)要在長(zhǎng)方形綠地中修建一個(gè)長(zhǎng)方形花壇（即圖中陰影部分），長(zhǎng)方形花壇的長(zhǎng)為+1米，寬為﹣1米．
（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是多少？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
（2）除去修建花壇的地方．其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價(jià)為6元/m2的地磚，要鋪完整個(gè)通道，則購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)多少元？（結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式）
【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得；
（2）先計(jì)算出空白部分面積，再計(jì)算即可，
【解答】解：（1）長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)＝2×（）＝2（8+7）＝16+14（米），
答：長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是16+14（米），
（2）通道的面積＝
＝56﹣（13﹣1）
＝56（平方米），
購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)＝6×（56）＝336﹣72（元）．
答：購(gòu)買(mǎi)地磚需要花費(fèi)336﹣72元；
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及其性質(zhì)．
9．（2022春?海滄區(qū)校級(jí)期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個(gè)面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板．
（1）求原矩形木板的面積；
（2）如果木工想從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，估計(jì)最多能裁出多少塊這樣的木條，請(qǐng)你計(jì)算說(shuō)明理由．
【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，結(jié)合圖形計(jì)算得到答案；
（2）求出2和的范圍，根據(jù)題意解答．
【解答】解：（1）∵兩個(gè)正方形的面積分別為12dm2和27dm2，
∴這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為2dm和3dm，
∴原矩形木板的面積為3（2+3）＝45（dm2）；
（2）最多能裁出3塊這樣的木條．理由如下：
∵2≈3.464，≈1.732，
3.46÷1≈3（塊），
1.73÷1.5≈1（塊），
3×1＝3（塊）．
∴從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長(zhǎng)為1.5dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木條，最多能裁出3塊這樣的木條．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的應(yīng)用，掌握二次根式的性質(zhì)、無(wú)理數(shù)的估算是解題的關(guān)鍵．
10．（2022春?沂水縣期中）座鐘的鐘擺擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回所需的時(shí)間稱為一個(gè)周期，其計(jì)算公式為，其中r表示周期（單位：s），l表示擺長(zhǎng)（單位：m），g為重力加速度且g＝9.8m/s2，假如一臺(tái)座鐘的鐘擺長(zhǎng)為0.5m，它每擺動(dòng)一個(gè)來(lái)回發(fā)出一次滴答聲，那么在1min內(nèi)，該座鐘發(fā)出多少次滴答聲？（≈3.16，π取3.14，結(jié)果保留整數(shù)）
【分析】由給出的公式先計(jì)算出這個(gè)鐘擺的周期，然后利用時(shí)間除周期得到滴答次數(shù)．
【解答】解：當(dāng)l＝0.5m，g＝9.8m/s2 時(shí)，
r＝2π
＝2π
＝2π
＝，
≈（s），
∴在1min內(nèi)，該座鐘發(fā)出滴答聲的次數(shù)為：60÷1.42≈42，
答：在1min內(nèi)，該座鐘發(fā)出約42次滴答聲．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，計(jì)算出鐘擺的周期是解決本題的關(guān)鍵．
B卷 能力提升卷
（限時(shí)50分鐘，每題10分，滿分100分）
11．（2022春?伊寧市校級(jí)期末）已知矩形的長(zhǎng)為a，寬為b且，．
（1）求矩形的周長(zhǎng)；
（2）當(dāng)S矩形＝S正方形時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)m的值．（注：S表示面積）
【分析】（1）根據(jù)矩形的周長(zhǎng)＝2×（長(zhǎng)+寬），列式計(jì)算即可；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為m，根據(jù)S矩形＝S正方形，列出方程6×4＝72，解方程求出m的值．
【解答】解：（1）∵矩形的長(zhǎng)為a，寬為b且＝6，＝4．
∴矩形的周長(zhǎng)＝2（a+b）＝2（6+4）＝20；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則m＞0．
∵S矩形＝S正方形，
∴m2＝ab＝6×4＝72，
∴m＝6（負(fù)值舍去），
∴正方形的邊長(zhǎng)m為6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，掌握矩形、正方形的周長(zhǎng)與面積公式是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋?攸縣期末）已知長(zhǎng)方形長(zhǎng)a＝，寬b＝．
①求長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)；
②求與長(zhǎng)方形等面積的正方形的周長(zhǎng)，并比較長(zhǎng)方形周長(zhǎng)與正方形周長(zhǎng)大小關(guān)系．
【分析】①根據(jù)周長(zhǎng)公式列出算式，再利用二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得；
②先求出正方形的邊長(zhǎng)，再由周長(zhǎng)公式求解可得．
【解答】解：①長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2×（+）＝2×（2+）＝6；
②長(zhǎng)方形的面積為×＝2×＝6，
則正方形的邊長(zhǎng)為，
∴此正方形的周長(zhǎng)為4，
∵6＝，4＝，且＜，
∴6＞4，
則長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)大于正方形的周長(zhǎng)．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及其性質(zhì)．
13．（2022秋?南昌期末）如圖，長(zhǎng)和寬分別是a，b的長(zhǎng)方形紙片的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形．
（1）用含a，b，x的代數(shù)式表示紙片剩余部分的面積；
（2）當(dāng)a＝20+2，b＝20﹣2，x＝，求剩余部分的面積．
【分析】（1）用長(zhǎng)方形的面積減去四周四個(gè)小正方形的面積列式即可；
（2）根據(jù)（1）所列出的式子，再把a(bǔ)＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入即可求出答案．
【解答】解：（1）剩余部分的面積為：ab﹣4x2；
（2）把a(bǔ)＝20+2，b＝20﹣2，x＝代入ab﹣4x2得：
（20+2）（20﹣2）﹣4×（）2
＝400﹣8﹣4×2
＝400﹣8﹣8
＝384．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查二次根式的應(yīng)用，用代數(shù)式表示正方形、矩形的面積，需熟記公式，且認(rèn)真觀察圖形，得出等量關(guān)系．
14．（2023?源城區(qū)開(kāi)學(xué)）如圖，B地在A地的正東方向，兩地相距km．A，B兩地之間有一條東北走向的高速公路，且A，B兩地到這條高速公路的距離相等．上午8：00測(cè)得一輛在高速公路上行駛的汽車位于A地的正南方向P處，至上午8：20，B地發(fā)現(xiàn)該車在它的西北方向Q處，該段高速公路限速為110km/h．問(wèn)：該車是否超速行駛？
【分析】根據(jù)題意得到AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，則∠ACP＝45°，∠BCQ＝45°，作AH⊥PQ于H，根據(jù)題意有AH＝BQ，再證明△ACH≌△BCQ，
得到AC＝BC＝AB＝14，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PC＝AC＝28，CQ＝＝14，所以PQ＝PC+CQ＝42，然后根據(jù)速度公式計(jì)算出該車的速度＝126（km/h），再與110km/h比較即可判斷該車超速行駛了．
【解答】解：如圖，AB＝28，∠P＝45°，∠PAC＝90°，∠ABQ＝45°，
∴∠ACP＝45°，
∴∠BCQ＝45°，
作AH⊥PQ于H，則AH＝BQ，
在△ACH和△BCQ中
，
∴△ACH≌△BCQ（AAS），
∴AC＝BC，
∴AC＝BC＝AB＝14，
∴PC＝AC＝28，CQ＝＝14，
∴PQ＝PC+CQ＝42，
∴該車的速度＝＝126（km/h）
∵126km/h＞110km/h，
∴該車超速行駛了．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用：二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．
15．（2022春?江都區(qū)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：
問(wèn)題：已知，求代數(shù)式x2﹣4x﹣7的值．
小明的做法是：根據(jù)得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入，得：x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．
仿照上述方法解決問(wèn)題：
（1）已知，求代數(shù)式x2+6x﹣8的值；
（2）已知，求代數(shù)式x3+2x2的值．
【分析】（1）根據(jù)x＝﹣3求出x+3＝，兩邊平方后求出x2+6x+9＝10，求出x2+6x＝1，再代入求出答案即可；
（2）根據(jù)x＝求出2x+1＝，兩邊平方求出4x2+4x+1＝5，求出x2+x＝1，再變形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x＝﹣3，
∴x+3＝，
兩邊平方得：（x+3）2＝10，
即x2+6x+9＝10，
∴x2+6x＝1，
∴x2+6x﹣8＝1﹣8＝﹣7；
（2）∵x＝，
∴2x＝﹣1，
∴2x+1＝，
兩邊平方，得（2x+1）2＝5，
即4x2+4x+1＝5，
∴4x2+4x＝4，
即x2+x＝1，
∴x3+2x2
＝x3+x2+x2
＝x（x2+x）+x2
＝x×1+x2
＝x+x2
＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，整式的加減等知識(shí)點(diǎn)，能夠整體代入是解此題的關(guān)鍵．
16．（2016春?泰州校級(jí)期末）（1）閱讀：若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)，則這個(gè)三角形的面積為．
（2）應(yīng)用：如圖1，在△ABC中，AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△ABC面積．
（3）引申：如圖2，在（2）的條件下，AD、BE分別為△ABC的角平分線，它們的交點(diǎn)為I，求：I到AB的距離．
【分析】（2）先根據(jù)三邊長(zhǎng)度求出p的值，再代入公式計(jì)算可得；
（3）過(guò)點(diǎn)I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，由角平分線性質(zhì)可得IF＝IH＝IG，再根據(jù)S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI即可求得IF的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）如圖：
在△ABC中，過(guò)A作高AD交BC于D，
設(shè)BD＝x，那么DC＝a﹣x，
由于AD是△ABD、△ACD的公共邊h2＝c2﹣x2＝b2﹣（a﹣x）2，
解出x得x＝，
于是h＝，
△ABC的面積S＝ah＝a
即S＝，
令p＝（a+b+c），
對(duì)被開(kāi)方數(shù)分解因式，并整理得到；
（2）由題意，得：a＝4，b＝5，c＝6；
∴p＝＝；
∴S＝＝＝，
故△ABC的面積是；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)I作IF⊥AB、IG⊥AC、IH⊥BC，垂足分別為點(diǎn)F、G、H，
∵AD、BE分別為△ABC的角平分線，
∴IF＝IH＝IG，
∵S△ABC＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，
即＝×6?IF+×5?IG+×4?IH，
∴3?IF+?IF+2?IF＝，
解得IF＝，
故I到AB的距離為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形面積的計(jì)算和角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2022春?武江區(qū)校級(jí)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：
問(wèn)題：已知x＝+2，求代數(shù)式x2﹣4x﹣7的值．小敏的做法是：根據(jù)x＝+2得（x﹣2）2＝5，∴x2﹣4x+4＝5，得：
x2﹣4x＝1．把x2﹣4x作為整體代入：得x2﹣4x﹣7＝1﹣7＝﹣6．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：
（1）已知x＝﹣2，求代數(shù)式x2+4x﹣10的值；
（2）已知x＝，求代數(shù)式x3+x2+1的值．
【分析】（1）根據(jù)完全平方公式求出x2+4x＝1，代入計(jì)算即可；
（2）根據(jù)二次根式的乘法法則、完全平方公式計(jì)算，答案．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2，
∴（x+2）2＝5，
∴x2+4x+4＝5，
∴x2+4x＝1，
∴x2+4x﹣10＝1﹣10＝﹣9；
（2）∵x＝，
∴x2＝（）2＝，
則x3＝x?x2＝×＝﹣2，
∴x3+x2+1＝﹣2++1＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握完全平方公式、二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．
18．（2021春?石城縣期末）在二次根式中如：，＝3，它們的積不含根號(hào)，我們說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為有理化因式，其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式，于是，二次根式除法可以這樣理解：如：，．像這樣，通過(guò)分子、分母同乘以一個(gè)式子把分母中的根號(hào)化去或把根號(hào)中的分母化去，叫做分母有理化．
解決問(wèn)題：
（1）4﹣的有理化因式可以是 4+ ，分母有理化得 ．
（2）計(jì)算：
①已知x＝，求x2+y2的值；
②．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①將x與y分母有理化后代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果．
②原式各項(xiàng)分母有理化，合并即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）4﹣的有理化因式可以是4+，
＝＝．
故答案為：4+，；
（2）①當(dāng)x＝＝＝＝2+，
y＝＝＝＝2﹣時(shí)，
x2+y2
＝（x+y）2﹣2xy
＝（2++2﹣）2﹣2×（2+）×（2﹣）
＝16﹣2×1
＝14．
②原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，分母有理化，正確選擇兩個(gè)二次根式，使它們的積符合平方差公式是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．
19．（2021秋?洪江市期末）閱讀并解答問(wèn)題：
＝＝；
＝＝；
＝＝2﹣；
……
上面的計(jì)算過(guò)程叫做“分母有理化”，仿照上述計(jì)算過(guò)程，解答下列問(wèn)題：
（1）將的分母有理化；
（2）已知a＝，b＝，求a+b的值；
（3）計(jì)算+…++．
【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行二次根式分母有理化計(jì)算；
（2）先利用平方差公式進(jìn)行分母有理化計(jì)算，從而化簡(jiǎn)a和b的值，然后代入求值；
（3）利用平方差公式進(jìn)行分母有理化計(jì)算，然后通過(guò)觀察數(shù)字變化的規(guī)律進(jìn)行分析計(jì)算．
【解答】解：（1）原式＝
＝﹣2；
（2）a＝＝﹣，
b＝＝，
∴a+b＝＝2；
（3）原式＝++...++
＝﹣1+﹣+...+﹣+﹣
＝﹣1
＝10﹣1
＝9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的分母有理化計(jì)算，理解二次根式的性質(zhì)，掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解題關(guān)鍵．
20．（2022秋?昌平區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式、分式和二次根式，當(dāng)被除數(shù)是一個(gè)二次根式，除數(shù)是一個(gè)整式時(shí)，求得的商就會(huì)出現(xiàn)類似的形式，我們把形如的式子稱為根分式，例如，都是根分式．
（1）下列式子中①，②，③， ③ 是根分式（填寫(xiě)序號(hào)即可）；
（2）寫(xiě)出根分式中x的取值范圍 x≥1且x≠2 ；
（3）已知兩個(gè)根分式，．
①若M2﹣N2＝1，求x的值；
②若M2+N2是一個(gè)整數(shù)，且x為整數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出x的值： 1 ．
【分析】（1）根據(jù)根分式的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）根據(jù)二次根式的定義，分式有意義的條件進(jìn)行分析即可；
（3）①對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，再進(jìn)行求解即可；
②對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合分式有意義的條件及二次根式的定義進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）①不是根分式，
②不是根分式，
③是根分式，
故答案為：③；
（2）由題意得：x﹣1≥0，x﹣2≠0，
解得：x≥1，x≠2，
故x的取值范圍是：x≥1且x≠2；
故答案為：x≥1且x≠2；
（3）當(dāng)，時(shí)，
①M(fèi)2﹣N2＝1，
（）2﹣（）2＝1，
，
，
解得：x＝1，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1是原方程的解；
②M2+N2
＝（）2+（）2
＝+
＝
＝
＝1+，
∵M(jìn)2+N2是一個(gè)整數(shù)，且x為整數(shù)，
∴是一個(gè)整數(shù)，
∴x﹣2＝±1，
解得：x＝3或1，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1符合題意，
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，分式有意義的條件，二次根式的定義，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的知識(shí)的掌握與運(yùn)用．
C卷 培優(yōu)壓軸卷
（限時(shí)80分鐘，每題10分，滿分100分）
21．（2022?南京模擬）請(qǐng)閱讀下面材料，并解決問(wèn)題：
海倫——秦九韶公式
海倫（約公元50年），古希臘幾何學(xué)家，在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題聞名，在他的著作《度量》一書(shū)中證明了一個(gè)利用三角形的三條邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式：假設(shè)在平面內(nèi)，有一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記那么三角形的面積．這個(gè)公式稱為海倫公式．秦九韶（約1202﹣1261年），我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，曾提出利用三角形的三邊長(zhǎng)求面積的秦九韶公式．它填補(bǔ)了中國(guó)數(shù)學(xué)史中的一個(gè)空白，從中可以看出中國(guó)古代已經(jīng)具有很高的數(shù)學(xué)水平．通過(guò)公式變形，可以發(fā)現(xiàn)海倫公式和秦九韶公式實(shí)質(zhì)是同一個(gè)公式，所以海倫公式也稱海倫﹣秦九韶公式．
問(wèn)題：如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝7，BC＝8，請(qǐng)用海倫一秦九韶公式求△ABC的面積．
【分析】已知三角形ABC的三邊為整數(shù)，直接將其帶入海倫公式求面積即可．
【解答】解：根據(jù)材料，得a＝6，b＝7，c＝8，
∴，
∴
＝
＝
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過(guò)閱讀理解材料中所給的定義以及概念，再運(yùn)用材料中的知識(shí)點(diǎn)解決對(duì)應(yīng)的問(wèn)題即可．
22．（2021秋?敘州區(qū)期末）已知△ABC三條邊的長(zhǎng)度分別是，，，記△ABC的周長(zhǎng)為C△ABC．
（1）當(dāng)x＝2時(shí)，△ABC的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度是（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）；
（2）請(qǐng)求出C△ABC（用含x的代數(shù)式表示，結(jié)果要求化簡(jiǎn)）；
（3）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊長(zhǎng)求面積的秦九韶公式：S＝．其中三角形邊長(zhǎng)分別為a、b、c，三角形的面積為S．若x為整數(shù)，當(dāng)C△ABC取得最大值時(shí)，請(qǐng)用秦九韶公式求出△ABC的面積．
【分析】（1）把x＝2代入三角形的三邊中，分別計(jì)算，比較后即可求解；
（2）把三角形的三邊求和，利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解；
（3）先根據(jù)x的取值范圍，確定三角形周長(zhǎng)的最大值及三角形各邊的長(zhǎng)，代入公式求出三角形的面積．
【解答】解：（1）當(dāng)x＝2時(shí)，＝，，，
∴△ABC的最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度是3；
（2）由題知：，解得﹣1≤x≤4．
∴，，
∴C△ABC＝++＝+5?x+x＝+5；
（3）∵C△ABC＝+5，﹣1≤x≤4，且x為整數(shù)，
∴x越大C△ABC越大，
∴當(dāng)x＝4時(shí)，C△ABC取得最大值，此時(shí)三邊為，1，4，
∵+1＜4，
∴不合題意舍去．
當(dāng)x＝3時(shí)，三邊為2，2，3，
∴S＝
＝
＝
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式，掌握三角形的三邊關(guān)系和二次根式的化簡(jiǎn)和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
23．（2022秋?南山區(qū)校級(jí)期中）著名數(shù)學(xué)教育家G?波利亞，有句名言：“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要”，這句話啟發(fā)我們：要想學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)，就需要觀察，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，探索問(wèn)題的規(guī)律性東西，要有一雙敏銳的眼睛．請(qǐng)先閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：
數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去里面的一層根號(hào)．
例如：＝＝＝＝1+．
解決問(wèn)題：
（1）在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：＝＝③
①： 5 ，②： ，③ 3+ ．
（2）根據(jù)上述思路，化簡(jiǎn)并求出+的值．
【分析】（1）模仿樣例進(jìn)行解答便可；
（2）把28看成，7看成，借助完全平方公式將每個(gè)根號(hào)內(nèi)化成完全平方數(shù)的形式，便可開(kāi)方計(jì)算得結(jié)果．
【解答】解：（1）由題意得，＝＝3+，
則①＝5，②＝，③＝3+，
故答案為：①5；②；③3+；
（2）+
＝
＝
＝5﹣
＝7．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)，完全平方式的應(yīng)用，關(guān)鍵是把被開(kāi)方數(shù)化成完全平方數(shù)．
24．（2022秋?臨汾期中）閱讀與思考
閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華?盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第n項(xiàng)的表達(dá)式，創(chuàng)造出了檢驗(yàn)素?cái)?shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問(wèn)題．
“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個(gè)整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第n個(gè)數(shù)F（n）可以表示為+，其中n≥1．（說(shuō)明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列）
任務(wù)：
（1）盧卡斯數(shù)列中的第1個(gè)數(shù)F（1）＝ 2 ，第2個(gè)數(shù)F（2）＝ 1 ；
（2）盧卡斯數(shù)列有一個(gè)重要特征：當(dāng)n≥3時(shí)，滿足F（n）＝F（n﹣﹣1）+F（n﹣2）．請(qǐng)根據(jù)這一規(guī)律寫(xiě)出盧卡斯數(shù)列中的第6個(gè)數(shù)F（6）．
【分析】（1）根據(jù)F（n）＝+，將n＝1，2分別代入計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)當(dāng)n≥3時(shí)，滿足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），F(xiàn)（5），再進(jìn)一步求出F（6）．
【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2個(gè)數(shù)F（2）＝+＝1．
故答案為：2；1；
（2）∵F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），
∴F（3）＝F（2）+F（1）＝1+2＝3；
F（4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，
F（5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7，
∴F（6）＝F（5）+F（4）＝7+4＝11．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握“盧卡斯數(shù)列”．
25．（2022春?南城縣校級(jí)月考）觀察下列等式：；；…你根據(jù)觀察得到的結(jié)論，解答下列各題：
（1）猜想：＝ ；
（2）解方程：．
【分析】（1）根據(jù)閱讀部分提供的方法直接可得答案；
（2）根據(jù)閱讀部分的方法把方程化為x＝3，再解方程即可．
【解答】解：（1）由題意可得：．
故答案為：；
（2）∵，
∴，
∴x＝3，
解得：x＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題屬于閱讀題，考查分母有理化，二次根式的化簡(jiǎn)，理解題意，根據(jù)閱讀部分提供的信息解題是關(guān)鍵．
26．（2022秋?杏花嶺區(qū)校級(jí)月考）小明在解決問(wèn)題：已知a＝．求2a2﹣8a+1的值，他是這樣分析與解的：
∵a＝＝＝2﹣∴a﹣2＝﹣
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1
請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過(guò)程，解決如下問(wèn)題：
（1）化簡(jiǎn)+++…+；
（2）比較﹣ ＞ ﹣；（填“＞”或“＜”）
（3）A題：若a＝+1，則a2﹣2a+3＝ 4 ．
B題：若a＝，則4a2﹣4a+7＝ 5 ．
【分析】（1）根據(jù)分母有理化的方法化簡(jiǎn)即可；
（2）先將和化簡(jiǎn)，比較大小，從而可比較﹣ 和﹣；
（3）A題：由a＝+1，可得a﹣1＝，（a﹣1）2＝2，從而可得a2﹣2a＝1，進(jìn)一步求解即可；
B題：由a＝，可得a＝，從而可得2a﹣＝1，兩邊同時(shí)作平方，可得，進(jìn)一步求解即可．
【解答】解：（1）+++…+
＝…+
＝
＝；
（2）＝，
＝，
∵＜，
∴﹣＞﹣，
故答案為：＞；
（3）A題：∵a＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2＝2，
即a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴a2﹣2a+3＝4，
故答案為：4；
B題：∵a＝，
∴a＝，
∴2a﹣＝1，
∴＝1，
即，
∴，
∴4a2﹣4a+7＝5，
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，規(guī)律型，完全平方公式和平方差公式等，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．
27．（2022春?赤坎區(qū)校級(jí)期末）閱讀下面的材料，解答后面給出的問(wèn)題：
兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，+1與﹣1．這樣，化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，＝＝＝＝．
（1）請(qǐng)你寫(xiě)出3+的有理化因式： 3﹣ ；
（2）請(qǐng)仿照上面的方法化簡(jiǎn)（b≥0且b≠1）；
（3）已知a＝，b＝，求的值．
【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義即可解答；
（2）根據(jù)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（3）通過(guò)分母有理化可化簡(jiǎn)a、b，從而求出a+b、ab，根據(jù)＝，將a+b，ab的值代入即可求解．
【解答】解：（1）∵（3+）（3﹣）＝9﹣11＝﹣2，
∴3﹣是3+的有理化因式，
故答案為：3﹣；
（2）
＝
＝
＝1+；
（3）∵a＝＝﹣﹣2，b＝＝2﹣，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣1，
∴
＝
＝
＝
＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次根式分母有理化的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分母有理化的方法．
28．（2022秋?皇姑區(qū)校級(jí)期中）閱讀理解：已知x＝+1，求代數(shù)式x2﹣2x﹣5的值．王紅的做法是：根據(jù)x＝+1得（x﹣1）2＝2，∴x2﹣2x+1＝2，得：x2﹣2x＝1．把x2﹣2x作為整體代入：得x2﹣2x﹣5＝1﹣5＝﹣4．即：把已知條件適當(dāng)變形，再整體代入解決問(wèn)題．
請(qǐng)你用上述方法解決下面問(wèn)題：
（1）已知x＝﹣2，求代數(shù)式x2+4x﹣5的值；
（2）已知x＝，求代數(shù)式x3+x2+1的值．
【分析】（1）仿照閱讀材料解答即可；
（2）把已知變形可得x2+x＝1，代入即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x＝﹣2，
∴x+2＝，
∴（x+2）2＝（）2，
∴x2+4x＝﹣1，
∴x2+4x﹣5＝﹣6；
（2）∵x＝，
∴2x+1＝，
∴（2x+1）2＝（）2，
變形整理得：x2+x＝1，
∴x3+x2+1
＝x（x2+x）+1
＝x+1
＝+1
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能將已知式子適當(dāng)變形．
29．（2022春?南部縣校級(jí)月考）在《九章算術(shù)》中有求三角形面積公式“底乘高的一半”，但是在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，量出高并非易事，所以古人想到了能否利用三角形的三條邊長(zhǎng)來(lái)求面積．我國(guó)南宋著名的數(shù)學(xué)家秦九韶（1208年﹣1261年）提出了“三斜求積術(shù)”，闡述了利用三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積方法，簡(jiǎn)稱秦九韶公式．在海倫（公元62年左右，生平不詳）的著作《測(cè)地術(shù)》中也記錄了利用三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的方法，相傳這個(gè)公式最早是由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287年﹣公元前212年）得出的，故我國(guó)稱這個(gè)公式為海倫﹣秦九韶公式．它的表述為：三角形三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則三角形的面積．（公式里的p為半周長(zhǎng)即周長(zhǎng)的一半）
請(qǐng)利用海倫﹣秦九韶公式解決以下問(wèn)題：
（1）三邊長(zhǎng)分別為3、6、7的三角形面積為 ．
（2）四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝7，AD＝6，∠B＝90°，四邊形ABCD的面積為 ．
（3）五邊形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，求出五邊形ABCDE的面積．
【分析】（1）根據(jù)題意應(yīng)用二次根式的計(jì)算解答即可；
（2）根據(jù)二次根式的計(jì)算解答即可；
（3）根據(jù)二次根式的混合計(jì)算解答即可．
【解答】解：（1）三邊長(zhǎng)分別為3、6、7的三角形面積為；
故答案為：；
（2）∵四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝5，
∴△ABC的面積＝，
∴△ACD的面積＝，
∴四邊形ABCD的面積為：，
故答案為：；
（3）∵五邊形ABCDE中，AB＝BC＝，CD＝6，DE＝8，AE＝12，∠B＝120°，∠D＝90°，
∴AC＝6，
∴△ABC的面積＝，
∴CE＝10，
∴△CDE的面積為：，
∴AC＝6，AE＝12，CE＝10，
∴△ACE的面積＝，
∴五邊形ABCDE的面積為．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積公式解答．
30．（2020?太原三模）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：
任務(wù)：
（1）盧卡斯數(shù)列中的第1個(gè)數(shù)F（1）＝ 2 ，第2個(gè)數(shù)F（2）＝ 1 ；
（2）求盧卡斯數(shù)列中的第3個(gè)數(shù)F（3）；
（3）盧卡斯數(shù)列有一個(gè)重要特征：當(dāng)n≥3時(shí)，滿足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）．請(qǐng)根據(jù)這一規(guī)律直接寫(xiě)出盧卡斯數(shù)列中的第5個(gè)數(shù)：F（5）＝ 7 ．
【分析】（1）代入計(jì)算即可求解；
（2）代入計(jì)算，再根據(jù)完全平方公式即可求解；
（3）根據(jù)當(dāng)n≥3時(shí)，滿足F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），先求出F（4），進(jìn)一步求出F（5）．
【解答】解：（1）F（1）＝1+1＝2，第2個(gè)數(shù)F（2）＝+＝1．
故答案為：2；1；
（2）＝＝＝3；
（3）∵F（4）＝F（3）+F（2）＝3+1＝4，
∴F（5）＝F（4）+F（3）＝4+3＝7．
故答案為：7．
【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握“盧卡斯數(shù)列”．
盧卡斯數(shù)列
法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華?盧卡斯以研究斐波那契數(shù)列而著名，他曾給出了求斐波那契數(shù)列第n項(xiàng)的表達(dá)式，創(chuàng)造出了檢驗(yàn)素?cái)?shù)的方法，還發(fā)明了漢諾塔問(wèn)題．
“盧卡斯數(shù)列”是以盧卡斯命名的一個(gè)整數(shù)數(shù)列，在股市中有廣泛的應(yīng)用．盧卡斯數(shù)列中的第n個(gè)數(shù)F（n）可以表示為，其中n≥1．
（說(shuō)明：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列．）

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專題2.14二次根式的應(yīng)用及材料閱讀大題專練（分層培優(yōu)強(qiáng)化40題）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)高分攻略(蘇科版)：

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