人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí) 專(zhuān)題6.2考前必做30題之勾股定理小題培優(yōu)提升(壓軸篇(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本套試題主要針對(duì)期中期末考試的選擇填空壓軸題，所選題目典型性和代表性強(qiáng)，均為中等偏上和較難的題目，具有一定的綜合性，適合學(xué)生的培優(yōu)拔高訓(xùn)練.試題共30題，選擇20道，每題3分，填空10道，每題4分，總分100分.涉及的考點(diǎn)主要有以下方面：
勾股定理：用勾股定理求線段長(zhǎng)度、勾股定理與面積、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、勾股定理求線段之間的平方關(guān)系、勾股定理與分類(lèi)討論、勾股定理的證明方法、勾股定理與弦圖問(wèn)題、勾股定理與數(shù)軸、勾股樹(shù)問(wèn)題、翻折問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題
勾股定理的逆定理：勾股數(shù)、直角三角形的判斷、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理與網(wǎng)格問(wèn)題
勾股定理的應(yīng)用：梯子問(wèn)題、旗桿高度問(wèn)題、航海問(wèn)題、超速問(wèn)題、選址問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等.
一、單選題
1．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谀┫铝袟l件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）
A．AB:BC:AC=3:4:5B．AB:BC:AC=5:12:13
C．∠A?∠B=∠CD．∠A:∠B:∠C=3:4:5
2．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，小宇手里有一張直角三角形紙片ABC，他無(wú)意中將直角邊AC折疊了一下，恰好使AC落在斜邊AB上，且C點(diǎn)與E點(diǎn)重合，小宇經(jīng)過(guò)測(cè)量得知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，求出CD的長(zhǎng)是（）
A．4cmB．5cmC．6cmD．3cm
3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AD在數(shù)軸上，若點(diǎn)A與數(shù)軸上表示數(shù)?1的點(diǎn)重合，點(diǎn)D與數(shù)軸上表示數(shù)?4的點(diǎn)重合，AB=1，以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為（）
A．?10B．1?10C．10?1D．?1?10
4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）為了方便體溫監(jiān)測(cè)，某學(xué)校在大門(mén)入口的正上方A處裝有紅外線激光測(cè)溫儀（如圖所示），測(cè)溫儀離地面的距離AB=2.2米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高為1.7米的小明CD正對(duì)門(mén)緩慢走到離門(mén)1.2米處時(shí)（即BC=1.2米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，此時(shí)小明頭頂?shù)綔y(cè)溫儀的距離AD等于（）
A．0.5米B．1.2米C．1.3米D．1.7米
5．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將長(zhǎng)方形AOCD沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為10，8．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）
A．10，3B．10，4C．10，5D．10，6
6．（2023秋·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若ab=24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長(zhǎng)為（）
A．12B．11C．10D．9
7．（2022秋·河南開(kāi)封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE交BC于點(diǎn)D，若BD=5，AB=15，△ABD的面積30，則AC+CD的值是（）
A．19B．16C．14D．12
8．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）
A．x2?3=10?x2B．x2+3=10?x2
C．x2+32=10?x2D．x2?32=10?x2
9．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”．三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)⒔o出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）
A．B．
C．D．
10．（2023·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？计谀┰赗t△ABC中，∠C=90°，若AB?AC=2，BC=3，則AC的長(zhǎng)為（）
A．3B．4C．5D．54
11．（2023秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．AB2=20B．∠BAC=90°
C．S△ABC=10D．點(diǎn)A到直線BC的距離是2
12．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校考期中）勾股定理是初中數(shù)學(xué)最重要的定理之一，如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．記四邊形ABCD的面積為S1，四邊形DCEI的面積為S2，四邊形CEFG的面積為S3，△EHI的面積為S4．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）
A．S1B．S2C．S3D．S4
13．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，一大樓的外墻面ADEF與地面ABCD垂直，點(diǎn)P在墻面上，若PA=AB=10米，點(diǎn)P到AD的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（）米．
A．20B．85C．24D．610
14．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且周長(zhǎng)為36 m，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1m的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2m的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過(guò)3秒時(shí)，點(diǎn)B到PQ的距離為（）m．
A．32mB．6mC．3mD．62m
15．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，將等腰Rt△ABC按圖示方式依次翻折，若DE=a，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）
①DC′平分∠BDE；②BC長(zhǎng)為(2+2)a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
16．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖, 在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．則下列數(shù)量關(guān)系正確的為( )
A．BP2=2PQ2 B．3BP2=4BQ2C．4BP2=3PQ2D．2BQ2=3PQ2
17．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市廣益中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=57，BC=18，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD翻折，得到△AED，連接BE．若BE=DE，S△ACD=2S△AED，則AD的長(zhǎng)度為（）
A．73B．12C．75D．18
18．（2021秋·河南駐馬店·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將△AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB1C2的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將△A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置，點(diǎn)A2在x軸上，依次進(jìn)行下去……，若點(diǎn)A32,0，B0,2．則點(diǎn)B2019的坐標(biāo)是（）
A．6052,0B．6054,2C．6058,0D．6060,2
19．（2022春·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AE=CF．連接DE、DF、EF得到下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面積的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正確的結(jié)論是（）
A．②③B．①②C．①③D．①②③
20．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期末）將一個(gè)等腰三角形ABC紙板沿垂線段AD，DE進(jìn)行剪切，得到三角形①②③，再按如圖2方式拼放，其中EC與BD共線．若BD=6，則AB的長(zhǎng)為（）
A．223B．152C．50D．7
二、填空題
21．（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是BC邊上的中線，且AD=2，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
22．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D．已知CD=5，BD=2，則△ABC的面積是______．
23．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=12，AC=102，BC=142，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD．將△ACD沿AD翻折后得到△AED，若AE⊥BC，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
24．（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處．若∠C=45°，∠B=30°，AD=2，則AB2?AC2的值是_________ ．
25．（2022春·江西南昌·八年級(jí)江西師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，已知：∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，連接PA，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的值為_(kāi)__________．
26．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是__________寸．
27．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為_(kāi)__________．
28．（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB?BC=2，AC=4，以三邊分別向外作三個(gè)正方形，連接DE，F(xiàn)G，HI，得到六邊形DEFGHI，則六邊形DEFGHI的面積為_(kāi)__________．
29．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是邊AC上的一點(diǎn)，且CD=1.5，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為_(kāi)_____時(shí)，能使DE=CD．
30．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校仙林分校?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了探索代數(shù)式x2+1+(8?x)2+25的最小值，小明巧妙地運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合”思想．具體方法是這樣的：如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，設(shè)BC=x．則AC=x2+1，CE=(8?x)2+25則問(wèn)題即轉(zhuǎn)化成求AC+CE的最小值．
（1）我們知道當(dāng)A、C、E在同一直線上時(shí)，AC+CE的值最小，于是可求得x2+1+(8?x)2+25的最小值等于___________，此時(shí)x=___________；
（2）請(qǐng)你根據(jù)上述的方法和結(jié)論，代數(shù)式x2+4+(12?x)2+9的最小值等于___________．
2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】
專(zhuān)題6.2考前必做30題之勾股定理小題培優(yōu)提升（壓軸篇，八下人教）
本套試題主要針對(duì)期中期末考試的選擇填空壓軸題，所選題目典型性和代表性強(qiáng)，均為中等偏上和較難的題目，具有一定的綜合性，適合學(xué)生的培優(yōu)拔高訓(xùn)練.試題共30題，選擇20道，每題3分，填空10道，每題4分，總分100分.涉及的考點(diǎn)主要有以下方面：
勾股定理：用勾股定理求線段長(zhǎng)度、勾股定理與面積、勾股定理與網(wǎng)格問(wèn)題、勾股定理求線段之間的平方關(guān)系、勾股定理與分類(lèi)討論、勾股定理的證明方法、勾股定理與弦圖問(wèn)題、勾股定理與數(shù)軸、勾股樹(shù)問(wèn)題、翻折問(wèn)題、最短路徑問(wèn)題
勾股定理的逆定理：勾股數(shù)、直角三角形的判斷、勾股定理的逆定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理與網(wǎng)格問(wèn)題
勾股定理的應(yīng)用：梯子問(wèn)題、旗桿高度問(wèn)題、航海問(wèn)題、超速問(wèn)題、選址問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題等.
一、單選題
1．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谀┫铝袟l件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（）
A．AB:BC:AC=3:4:5B．AB:BC:AC=5:12:13
C．∠A?∠B=∠CD．∠A:∠B:∠C=3:4:5
【答案】D
【分析】根據(jù)用勾股定理的逆定理判斷A、B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)，即可判斷選項(xiàng)C和選項(xiàng)D．
【詳解】解：A.∵AB:BC:AC=3:4:5，
∴可設(shè)AB=3k，BC=4k，AC=5k ，
∴AB2+BC2=25k2=AC2，
∴△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
B.∵AB:BC:AC=5:12:13，
∴可設(shè)AB=5k，BC=12k，AC=13k，
∴AB2+BC2=169k2=AC2 ，
∴△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
C.∵∠A?∠B=∠C，
∴∠A=∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；
D.∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴△ABC不是直角三角形，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的判定，熟練掌握勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，小宇手里有一張直角三角形紙片ABC，他無(wú)意中將直角邊AC折疊了一下，恰好使AC落在斜邊AB上，且C點(diǎn)與E點(diǎn)重合，小宇經(jīng)過(guò)測(cè)量得知兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，求出CD的長(zhǎng)是（）
A．4cmB．5cmC．6cmD．3cm
【答案】D
【分析】先由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到CD=DE，AC=AE，最后利用勾股定理列方程即可求出CD的長(zhǎng)．
【詳解】解：∵△ABC是直角三角形，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10cm，
設(shè)CD=xcm，
∵△ADE由△ADC折疊而成，
∴CD=DE=xcm，AC=AE=6cm，
∴BD=8?xcm，BE=AB?AE=4cm，
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，
即8?x2=x2+42，解得x=3，
∴CD=3cm．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問(wèn)題和勾股定理，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的邊AD在數(shù)軸上，若點(diǎn)A與數(shù)軸上表示數(shù)?1的點(diǎn)重合，點(diǎn)D與數(shù)軸上表示數(shù)?4的點(diǎn)重合，AB=1，以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧與數(shù)軸負(fù)半軸交于一點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為（）
A．?10B．1?10C．10?1D．?1?10
【答案】D
【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得該點(diǎn)與點(diǎn)A的距離，再根據(jù)點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，可得該點(diǎn)表示的數(shù)．
【詳解】解：∵在長(zhǎng)方形ABCD中，AD=?1??4=3，AB=CD=1，
∴AC=AD2+CD2=32+12=10，
則點(diǎn)A到該交點(diǎn)的距離為10，
∵點(diǎn)A表示的數(shù)為?1，
∴該點(diǎn)表示的數(shù)為：?1?10，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．
4．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）為了方便體溫監(jiān)測(cè)，某學(xué)校在大門(mén)入口的正上方A處裝有紅外線激光測(cè)溫儀（如圖所示），測(cè)溫儀離地面的距離AB=2.2米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高為1.7米的小明CD正對(duì)門(mén)緩慢走到離門(mén)1.2米處時(shí)（即BC=1.2米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫，此時(shí)小明頭頂?shù)綔y(cè)溫儀的距離AD等于（）
A．0.5米B．1.2米C．1.3米D．1.7米
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，構(gòu)造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的長(zhǎng)度即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，
∵AB=2.2米，BE=CD=1.7米，ED=BC=1.2米，
∴AE=AB?BE=2.2?1.7=0.5（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=AE2+DE2=0.52+1.22=1.3（米），
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求得線段AD的長(zhǎng)度．
5．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將長(zhǎng)方形AOCD沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為10，8．則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）
A．10，3B．10，4C．10，5D．10，6
【答案】A
【分析】先根據(jù)點(diǎn)D的坐標(biāo)得到AD=OC=10，OA=CD=8，再由折疊的性質(zhì)得到DE=EF，AF=AD=10，利用勾股定理求出OF=6，則CF=4，設(shè)CE=x，則DE=EF=8?x，由勾股定理得8?x2=x2+42，解方程即可得到答案．
【詳解】解：∵四邊形AOCD是長(zhǎng)方形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為10，8，
∴AD=OC=10，OA=CD=8，
由折疊的性質(zhì)可得DE=EF，AF=AD=10，
∴OF=AF2?OA2=6，
∴CF=OC?OF=4，
設(shè)CE=x，則DE=EF=8?x，
在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2=CE2+CF2，
∴8?x2=x2+42，
解得x=3，
∴CE=3，
∴E10，3，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023秋·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若ab=24，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長(zhǎng)為（）
A．12B．11C．10D．9
【答案】D
【分析】首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a?b；結(jié)合題意可得ab=24， a2+b2=129，結(jié)合完全平方公式即可求出小正方形的邊長(zhǎng)．
【詳解】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a?b，
∵ab=24， a2+b2=129，
∴a?b2=a2+b2?2ab=129?2×24=81，
而a?b>0，
∴a?b=9，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式．
7．（2022秋·河南開(kāi)封·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線AE交BC于點(diǎn)D，若BD=5，AB=15，△ABD的面積30，則AC+CD的值是（）
A．19B．16C．14D．12
【答案】B
【分析】過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AB，垂足為F，利用三角形ABD的面積和角平分線的性質(zhì)求出CD=DF=4，得到BC=9，再利用勾股定理求出AC，最后即可得答案．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AB，垂足為F
∵S△ABD=30，
∴12AB?DF=30，
∴DF=4，
根據(jù)作圖得到AD是∠CAB的角平分線，
又∵∠C=90°
∴CD=DF=4，
∵BD=5，
∴BC=5+4=9，
在Rt△ABC中，由勾股定理得 AC=AB2?BC2=12，
∴AC+CD=12+4=16，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線性質(zhì)與勾股定理，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？題意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問(wèn)折斷處離地面多高？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）
A．x2?3=10?x2B．x2+3=10?x2
C．x2+32=10?x2D．x2?32=10?x2
【答案】C
【分析】根據(jù)題意結(jié)合勾股定理列出方程即可．
【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則斜邊為10?x尺，根據(jù)勾股定理可得，
x2+32=10?x2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用及由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程的知識(shí)，根據(jù)題意正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
9．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，根據(jù)《周髀算經(jīng)》的記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”．三國(guó)時(shí)代的蔣銘祖對(duì)《蔣銘祖算經(jīng)》勾股定理作出了詳細(xì)注釋?zhuān)⒔o出了另外一種證明．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)面積公式，逐項(xiàng)推理論證判斷即可．
【詳解】解：A、大正方形的面積為：c2；
也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：12ab×4+b?a2=a2+b2，
∴a2+b2=c2，故A選項(xiàng)能證明勾股定理；
B、大正方形的面積為：a+b2；
也可看作是4個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形組成，則其面積為：12ab×4+c2=2ab+c2，
∴a+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2，故B選項(xiàng)能證明勾股定理；
C、梯形的面積為：12a+ba+b=12a2+b2+ab；
也可看作是2個(gè)直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形組成，則其面積為：12ab×2+12c2=ab+12c2，
∴ab+12c2=12a2+b2+ab，
∴a2+b2=c2 ，故C選項(xiàng)能證明勾股定理；
D、大正方形的面積為：a+b2；
也可看作是2個(gè)矩形和2個(gè)小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，
∴a+b2=a2+b2+2ab，
∴D選項(xiàng)不能證明勾股定理．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，完全平方公式，熟練掌握勾股定理的證明和完全平方公式的幾何意義是解題的關(guān)鍵．
10．（2023·江蘇·八年級(jí)泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)?？计谀┰赗t△ABC中，∠C=90°，若AB?AC=2，BC=3，則AC的長(zhǎng)為（）
A．3B．4C．5D．54
【答案】D
【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解．
【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB?AC=2，BC=3，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC2+32=AC+22，
解得：AC=54，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解答的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式．
11．（2023秋·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在如圖所示的網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在正方形格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）
A．AB2=20B．∠BAC=90°
C．S△ABC=10D．點(diǎn)A到直線BC的距離是2
【答案】C
【分析】利用勾股定理即可判斷A；利用勾股定理的逆定理即可判斷B；利用割補(bǔ)法求出△ABC的面積進(jìn)而求出點(diǎn)A到直線BC的距離即可判斷C、D．
【詳解】解：由題意得，AC2=12+22=5，BC2=32+42=25，AB2=22+42=20，
∴AC2+AB2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°，
∵S△ABC=4×4?12×1×2?12×2×4?12×3×4=5，
∴點(diǎn)A到直線BC的距離是512×25=2，
∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面積，點(diǎn)到直線的距離，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┕垂啥ɡ硎浅踔袛?shù)學(xué)最重要的定理之一，如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩個(gè)正方形按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．記四邊形ABCD的面積為S1，四邊形DCEI的面積為S2，四邊形CEFG的面積為S3，△EHI的面積為S4．若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）
A．S1B．S2C．S3D．S4
【答案】D
【分析】設(shè)大正方形的面積為c，中正方形的面積為b，小正方形的面積為a，根據(jù)圖可得S陰影+S四邊形IHPQ=12c?a，又由圖可知S4+S四邊形IHPQ=12b，且c=b+a可得S4=S陰影，進(jìn)而得到答案．
【詳解】解：如圖所示，設(shè)大正方形的面積為c，中正方形的面積為b，小正方形的面積為a，
∵S陰影+S四邊形IHPQ=12c?a，S4+S四邊形IHPQ=12b
解得S陰影+12b?S4=12c?a，即S陰影?S4=12c?a?12b
∵c=a+b ，
∴S陰影?S4=12c?a?12b=0，
∴S4=S陰影，
∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出S4．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
13．（2023秋·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）如圖，一大樓的外墻面ADEF與地面ABCD垂直，點(diǎn)P在墻面上，若PA=AB=10米，點(diǎn)P到AD的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（）米．
A．20B．85C．24D．610
【答案】D
【分析】可將教室的墻面ADEF與地面ABCD展開(kāi)，連接PB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)P作PG⊥BF于G，連接PB，
∵ AG=8（米），AP=AB=10（米），
∴ PG=AP2?AG2=6（米），
∴ BG=8+10=18（米），
∴ PB=GB2+GP2=62+182=610（米）
∴這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是610米，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，解題關(guān)鍵是立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．
14．（2022春·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在△ABC中，AB:BC:CA=3:4:5，且周長(zhǎng)為36 m，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1m的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2m的速度移動(dòng)，如果同時(shí)出發(fā)，則過(guò)3秒時(shí)，點(diǎn)B到PQ的距離為（）m．
A．32mB．6mC．3mD．62m
【答案】A
【分析】先求出AB,BC,CA的長(zhǎng)，利用勾股定理逆定理得到∠ABC=90°，根據(jù)題意，求出BP,BQ的長(zhǎng)，勾股定理求出PQ的長(zhǎng)，利用等積法進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵AB:BC:CA=3:4:5，
設(shè)：AB=3x,BC=4x,CA=5x，
則：AB+BC+CA=3x+4x+5x=36，
∴x=3，
∴AB=9m,BC=12m,CA=15m，
∴AB2+BC2=CA2，
∴∠ABC=90°，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1m的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2m的速度移動(dòng)，
則：運(yùn)動(dòng)3秒后，AP=3m,BQ=6m，
∴BP=AB?AP=6m，
∴PQ=62+62=62，
設(shè)點(diǎn)B到PQ的距離為?，
∵S△PBQ=12BP?BQ=12PQ??，即：BP?BQ=PQ??
∴6×6=62??，
∴?=32m；
故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理，以及等積法求線段的長(zhǎng)．通過(guò)勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形，是解題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，將等腰Rt△ABC按圖示方式依次翻折，若DE=a，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）
①DC′平分∠BDE；②BC長(zhǎng)為(2+2)a；③△BC′D是等腰三角形；④△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】由翻折變換的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理分別對(duì)各個(gè)說(shuō)法進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠C=45°，
由折疊的性質(zhì)得：
AD=DE=a，∠DBE=12∠ABC=22.5°，∠DEB=∠A=90°，∠C′DE=∠CDE，
∴∠BDE=90°?22.5°=67.5°，
∵∠DEC=180°?90°=90°，∠C=45°，
∴∠C′DE=∠CDE=90°?45°=45°，
∴∠BDC′=∠BDE?∠C′DE=22.5°，
∴∠BDC′≠∠C′DE，即DC′不平分∠BDE，故①不符合題意；
②由折疊的性質(zhì)知，△C′ED≌△CED，且都是等腰直角三角形，
∴∠DC′E=∠DCE=45°，C′E=CE=DE=AD=a，
∴CD=C′D=2a，
∴AC=a+2a，
∴BC=2AC=2+2a，故②符合題意；
③由①可知，∠DBC′=∠BDC′=22.5°，
∴BC′=DC′，即△BC′D是等腰三角形，故③符合題意；
④∵△CED的周長(zhǎng)DE+EC+DC=a+a+2a=2+2a，BC=2+2a，
∴△CED的周長(zhǎng)等于BC的長(zhǎng)，故④符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、角平分線的判定，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)和翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖, 在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD與BE相交于點(diǎn)P，BQ⊥AD于Q．則下列數(shù)量關(guān)系正確的為( )
A．BP2=2PQ2 B．3BP2=4BQ2C．4BP2=3PQ2D．2BQ2=3PQ2
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件得出△ABC是等邊三角形，證明△ADC≌△BEA，進(jìn)而證明∠BPQ=60°，則∠PBQ=30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵AB=BC=AC，
∴ △ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠C=60°．
∵AB=AC，AE=CD，
∴△ADC≌△BEA．
∴∠DAC=∠EBA，
∵∠BPQ=∠EBA+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°,BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=12PB，
設(shè)PQ=a，則BP=2a，
∴BQ=3a
∴BQBP=32，
∴3BP2=4BQ2，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，證明∠BPQ=60°是解題的關(guān)鍵．
17．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市廣益中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=57，BC=18，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD翻折，得到△AED，連接BE．若BE=DE，S△ACD=2S△AED，則AD的長(zhǎng)度為（）
A．73B．12C．75D．18
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)AD與BE交于點(diǎn)G，根據(jù)翻折性質(zhì)可以證明△BDE是等邊三角形，根據(jù)S△ACD=2S△AED=2S△ABD，可得CD=2BD，所以BD=6，然后利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)AD與BE交于點(diǎn)G，
由翻折可知：△AED?△ABD，
∴BD=DE，∠ADB=∠ADE，
∵BE=DE，
∴BE=DE=BD，
∴△BDE是等邊三角形，
∴∠EDB=60°，
∴∠ADB=∠ADE=30°，
∵△AED?△ABD，
∵S△ACD=2S△AED=2S△ABD，
∴12×CD·AF=2×12×BD·AF，
∴CD=2BD，
∴3BD=BC=18，
∴BD=6，
由翻折可知：AD⊥BE，
∴BG=12BD=3，
∴DG=3BG=33，
∵AB=57，
∴AG=AB2?BG2=43，
∴AD=AG+DG=43+33=73．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，含30度角的直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．
18．（2021秋·河南駐馬店·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB1C1的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)B1、C1處，點(diǎn)B1在x軸上，再將△AB1C1繞點(diǎn)B1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB1C2的位置，點(diǎn)C2在x軸上，將△A1B1C2繞點(diǎn)C2順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A2B2C2的位置，點(diǎn)A2在x軸上，依次進(jìn)行下去……，若點(diǎn)A32,0，B0,2．則點(diǎn)B2019的坐標(biāo)是（）
A．6052,0B．6054,2C．6058,0D．6060,2
【答案】C
【分析】首先根據(jù)已知求出三角形三邊長(zhǎng)度，然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，B1、B3、B5…，由圖象可知點(diǎn)B2019在x軸上，B1B3=6，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可以求得B2019的坐標(biāo)．
【詳解】解：由圖象可知點(diǎn)B2019在x軸上，
∵ OA=32,OB=2,∠AOB=90°，
∴AB=OA2+OB2=322+22=52，
∴ B1B3=OB+OA+AB=6，B14,0
∵2019÷2=1009?1，
∴1009×6=6054，6054+4=6058，
∴ B20196058,0．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從特殊到一般探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
19．（2022春·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持AE=CF．連接DE、DF、EF得到下列結(jié)論：①△DEF是等腰直角三角形；②△CEF面積的最大值是2；③EF的最小值是2．其中正確的結(jié)論是（）
A．②③B．①②C．①③D．①②③
【答案】B
【分析】證明△ADE≌△CDFSAS，進(jìn)一步可得ED=DF，∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，所以可知△DFE是等腰直角三角形．故①正確；根據(jù)由于△DFE是等腰直角三角形，可知當(dāng)DF⊥BC時(shí)，DF最小，此時(shí)DF=12BC=2，EF=2DF=22．故③錯(cuò)誤；利用△ADE≌△CDF，推出S四邊形CEDF=S△ADC，當(dāng)△CEF面積最大時(shí)，此時(shí)△DEF的面積最小，求出此時(shí)S△CEF=S四邊形CEDF?S△DEF=S△ADC?S△DEF=2，故②正確；
【詳解】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中，
AE=CF∠DCB=∠ACD=AD
∴△ADE≌△CDFSAS；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此選項(xiàng)正確；
③由于△DFE是等腰直角三角形，因此當(dāng)DF最小時(shí)，F(xiàn)E也最??；
即當(dāng)DF⊥BC時(shí)，DF最小，此時(shí)DF=12BC=2．
∴EF=2DF=22．故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②∵△ADE≌△CDF，
∴S△CDF=S△ADE，
∴S四邊形CEDF=S△ADC，
當(dāng)△CEF面積最大時(shí)，此時(shí)△DEF的面積最小，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB=42+42=42，
∴AD=CD=22，
此時(shí)S△CEF=S四邊形CEDF?S△DEF=S△ADC?S△DEF=12×22×22?12×2×2=4?2=2，故此選項(xiàng)正確；
故正確的有①②，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并能夠綜合運(yùn)用．
20．（2022秋·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期末）將一個(gè)等腰三角形ABC紙板沿垂線段AD，DE進(jìn)行剪切，得到三角形①②③，再按如圖2方式拼放，其中EC與BD共線．若BD=6，則AB的長(zhǎng)為（）
A．223B．152C．50D．7
【答案】B
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可以得到AB=AD+12CD，設(shè)AB為x，再運(yùn)用勾股定理得AD=x2?36，代入解方程即可解題．
【詳解】解：如圖，設(shè)∠B為∠1，∠C為∠2，∠CDE為∠3，圖2中∠1的余角為∠4，
∵ΔABC為等腰三角形，BD=6，
∴∠1=∠2，CD=6，
∵∠2+∠3=∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
結(jié)合兩圖，可得AB=AD+12CD，
設(shè)AB為x，
根據(jù)勾股定理得AD=x2?62=x2?36，
∴ x=x2?36+12×6，
解得：x=152，
∴AB=152，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，識(shí)別圖形找等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
二、填空題(共0分)
21．（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=3，AC=5，AD是BC邊上的中線，且AD=2，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】213
【分析】首先證明△ABD≌△ECD，推出EC=AB=3，DE=AD=2，由AE2+EC2=AC2，推出△AEC是直角三角形，在Rt△DEC中，求出CD，根據(jù)BC=2CD即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接CE，
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=DC，
在△ADB和△EDC中，
AD=DE∠ADB=∠EDCBD=DC，
∴△ABD≌△ECDSAS，
∴EC=AB=3，DE=AD=2，
∵AE=2AD=4，AC=5，
∴AE2+EC2=AC2，
∴△AEC是直角三角形，∠E=90°，
在Rt△DEC中，CD=CE2+DE2=32+22=13，
∴BC=2CD=213．
故答案為：213．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
22．（2023春·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=AC，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D．已知CD=5，BD=2，則△ABC的面積是______．
【答案】1458
【分析】設(shè)AB=AC=x，則AD=x?2，在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【詳解】解：設(shè)AB=AC=x，則AD=AB?BD=x?2，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD2+AD2=AC2，
即52+(x?2)2=x2，
解得：x=294，
即AB的長(zhǎng)為294，
∴S△ABC=12AB·CD=12×294×5=1458
故答案為：1458．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．
23．（2023春·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在△ABC中，AB=12，AC=102，BC=142，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD．將△ACD沿AD翻折后得到△AED，若AE⊥BC，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】52
【分析】AE與BC交于點(diǎn)F，設(shè)AF=x，則CF=142?x，根據(jù)勾股定理得出CF=82，AF=62，再由翻折的性質(zhì)得出E=AC=102，CD=ED，設(shè)CD=ED=y，則DF=82?y，繼續(xù)利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：AE與BC交于點(diǎn)F，設(shè)AF=x，則CF=142?x，
∵AB=12，AC=102，BC=142，AE⊥BC，
∴AB2?BF2=AC2?CF2即122?x2=(102)2?(142?x)2，
解得：x=62，
∴CF=142?62=82，
∴AF=AB2?BF2=62，
∵將△ACD沿AD翻折后得到△AED，
∴AE=AC=102，CD=ED，
∴EF=102?62=42，
設(shè)CD=ED=y，則DF=82?y，
∴DF2+EF2=DE2即(82?y)2+(42)2=y2，
解得：y=52
線段CD的長(zhǎng)為52
故答案為：52
【點(diǎn)睛】本題考翻折變換，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)用勾股定理進(jìn)行求解，屬中考?？碱}型．
24．（2023秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處．若∠C=45°，∠B=30°，AD=2，則AB2?AC2的值是_________ ．
【答案】8
【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠ADC=∠ADE=90°，由∠C=45°，∠B=30°，AD=2，可得AC=2AD，AB=2AD=4，可求AB2?AC2的值．
【詳解】解：∵將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在BD邊上的點(diǎn)E處，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
∵∠C=45°，AD=2，
∴AC=2AD=22，
∵∠B=30°，
∴AB=2AD=2×2=4，
∴AB2?AC2=42?(22)2=8，
故答案為：8．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，熟練運(yùn)用折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
25．（2022春·江西南昌·八年級(jí)江西師范大學(xué)附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，已知：∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，連接PA，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t的值為_(kāi)__________．
【答案】2516或52或4
【分析】根據(jù)勾股定理先求出BC的長(zhǎng)，再分三類(lèi)：當(dāng)AB=AP時(shí)，當(dāng)BA=BP時(shí)，當(dāng)PA=PB時(shí)，分別進(jìn)行討論即可得到答案．
【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，
由勾股定理得：BC=AB2?AC2=102?62=8cm，
∵ △ABP為等腰三角形，
當(dāng)AB=AP時(shí)，如圖所示，
，
則BP=2BC=16cm，
即t=16÷4=4s，
當(dāng)BA=BP=10cm時(shí)，如圖所示，
，
則t=10÷4=52s，
當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖所示，設(shè)PA=PB=x，則PC=8?x，
，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：
PC2+AC2=AP2，
即8?x2+62=x2，
解得x=254，
∴t=254÷4=2516s，
綜上所述：t的值為2516s或52s或4s，
故答案為：2516或52或4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵．
26．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是__________寸．
【答案】25
【分析】把立體幾何圖展開(kāi)得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算AB，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度．
【詳解】解：將臺(tái)階展開(kāi)矩形，線段AB恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長(zhǎng)分別為24寸，7寸，
由勾股定理得AB=72+242=25寸．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
27．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為_(kāi)__________．
【答案】122019
【分析】根據(jù)勾股定理可得DE2+CE2=DC2，從而得到S2=12S1，依次類(lèi)推，即可得到S3=12S2=14S1，找出規(guī)律，進(jìn)而得到S2022的值．
【詳解】解：如圖所示，△CDE為等腰直角三角形，
則CE=DE，DE2+CE2=DC2，
∴2DE2=CD2，
即S2=12S1=12×22=2，
同理可得：S3=12S2=14S1=1，S4=12S3=18S1=123S1=12，
∴S2022=122021S1=122021×4=122019．
故答案為：122019．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理與正方形面積的關(guān)鍵找出規(guī)律．
28．（2023春·河北邯鄲·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB?BC=2，AC=4，以三邊分別向外作三個(gè)正方形，連接DE，F(xiàn)G，HI，得到六邊形DEFGHI，則六邊形DEFGHI的面積為_(kāi)__________．
【答案】74
【分析】如圖，作DJ⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于J，CH⊥AB于H．證明△ADJ≌△ACH，得到DJ=CH，進(jìn)而證明S△CIH=S△BFG=S△ABC，同理可證S△AED=S△ABC，再利用勾股定理求出AC=4，BC=3，AB=5，由此即可得到答案．
【詳解】解：如圖，作DJ⊥EA交EA的延長(zhǎng)線于J，CH⊥AB于H．
∵∠DAC=∠JAB=90°，
∴∠DAJ=∠CAB，
∵AD=AC，∠J=∠AHC=90，
∴△ADJ≌△ACHAAS，
∴DJ=CH，
∵S△ADE=12AE?DJ，S△ABC=12AB?CH，AE=AB，
∴S△AED=S△ABC，
同理可證S△CIH=S△BFG=S△ABC，
∵AB?BC=2，AC=4，
∴可以設(shè)BC=x，則AB=x+2，
∴由勾股定理得x+22=x2+42，
解得x=3，
∴AC=4，BC=3，AB=5，
∴六邊形DEFGHI的面積=4×12×3×4+4×4+3×3+5×5=74，
故答案為：74．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
29．（2023春·河南鄭州·八年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是邊AC上的一點(diǎn)，且CD=1.5，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒3個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為_(kāi)_____時(shí)，能使DE=CD．
【答案】t=53或t=113
【分析】根據(jù)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的不同位置：①點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，②點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，先證明△PDE?△PDC，利用全等三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求解．
【詳解】解：①點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖1所示：
則∠AED=∠PED=90°，
∴∠PED=∠ACB=90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD=∠CPD，
又∵PD=PD，
∴△PDE?△PDC（AAS）,
∴ED=CD=1.5，PE=PC=8?3t，
∴AD=AC?CD=4?1.5=2.5，
∵DE⊥AP，
∴∠AED=90°，
∴AE=AD2?DE2=2.52?1.52=2，
∴AP=AE+PE=2+8?3t=10?3t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：42+(8?3t)2=(10?3t)2，
解得：t=53；
②點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖2所示：
同①得：△PDE?△PDC(AAS)，
∴ED=CD=1.5，PE=PC=3t?8，
∴AD=AC?CD=4?1.5=2.5，
∵DE⊥AP，
∴∠AED=90°，
∴AE=AD2?DE2=2.52?1.52=2，
∴AE=2，
∴AP=AE+PE=2+3t?8=3t?6，
在Rt△APC中，由勾股定理得：42+(3t?8)2=(3t?6)2，
解得：t=113．
綜上所述，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t的值為t=53或t=113時(shí)，能使DE=CD．
故答案為：t=53或t=113 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到不同位置形成不同的直角三角形．
30．（2023春·江蘇南京·八年級(jí)南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校仙林分校?？奸_(kāi)學(xué)考試）為了探索代數(shù)式x2+1+(8?x)2+25的最小值，小明巧妙地運(yùn)用了“數(shù)形結(jié)合”思想．具體方法是這樣的：如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，設(shè)BC=x．則AC=x2+1，CE=(8?x)2+25則問(wèn)題即轉(zhuǎn)化成求AC+CE的最小值．
（1）我們知道當(dāng)A、C、E在同一直線上時(shí)，AC+CE的值最小，于是可求得x2+1+(8?x)2+25的最小值等于___________，此時(shí)x=___________；
（2）請(qǐng)你根據(jù)上述的方法和結(jié)論，代數(shù)式x2+4+(12?x)2+9的最小值等于___________．
【答案】 10 43 13
【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知AC+CE的最小值就是線段AE的長(zhǎng)度．過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)．在Rt△AEF中運(yùn)用勾股定理計(jì)算求解．
（2）由（1）的結(jié)果可作BD=12，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD，交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點(diǎn)C，然后構(gòu)造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值就是代數(shù)式x2+4+(12?x)2+9的最小值．
【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD，交AB的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，
根據(jù)題意，四邊形BDEF為矩形．
AF=AB+BF=5+1=6，EF=BD=8．
∴AE=62+82=10．
即AC+CE的最小值是10．
x2+1+(8?x)2+25=10，
∵EF∥BD，
∴AB AF=BC EF，
∴ 16=x8，
解得：x=43．
（2）過(guò)點(diǎn)A作AF∥BD，交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，
根據(jù)題意，四邊形ABDF為矩形．
EF=AB+DE=2+3=5，AF=DB=12．
∴AE=52+122=13．
即AC+CE的最小值是13．
故答案為10，43，13．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了最短路線問(wèn)題以及勾股定理應(yīng)用，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解是解題關(guān)鍵．

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